空间角与空间距离常考题型讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

空间角与空间距离 考点目录 【题型1 异面直线夹角】 2 【题型2 垂线法（直接法）求二面角】 9 【题型3 等体积法求线面角】 14 【题型4 三垂线法求二面角（常考）】 23 【题型5 定义法求二面角】 27 【题型6 射影面积法求二面角】 32 【题型7 已知线线角，求其他】 33 【题型8 已知线面角，求其他】 35 【题型9 已知二面角，求其他】 38 【题型10 空间角的最值与范围问题】 39 【题型11 等体积法求点面距离】 44 知识点1 线线角的定义与求解 线线角主要是求异面直线所成角。 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线（证明直线平移前后相互平行），交线所夹锐角（或直角）即为异面直线所夹平面角． （2）求值：在立体图形中，构建三角形，通过特殊三角形、余弦定理，求角． （3）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、三种平移产生 ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 【题型1 异面直线夹角】 【例题1】如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.8 【解析】 取的中点F，连接EF，CF，， 又为的中点， 在长方体中，可得， 所以为异面直线BD与CE所成的角或其补角， 因为， 所以， ， 所以在中，由余弦定理得 . 故选：A. 【变式1-1】如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.8 【解析】取的中点，连接，，    可知，，且，， 则是与所成的角或其补角，即是与所成的角或其补角． 因为，在中，． 且，可得，则，所以． 故选：A. 【变式1-2】如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.8 【解析】 如图，在棱上取一点，使得， 取的中点，连接 ，，， 由于分别是棱的中点，所以， 故四边形为平行四边形，进而, 又因为是的中点， 所以，所以， 则或其补角是异面直线与所成的角. 设，则， 从而， ， 故, 故异面直线与所成角的余弦值是.故选：C 【变式1-3】 如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】连接、，推导出，可知异面直线和所成角等于或其补角，利用余弦定理求出、的长，推导出，可求出的余弦值，即为所求. 【解析】连接、，如下图所示：      因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式1-4】正方体中，、分别为棱和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】异面直线与所成角，即异面直线与所成角.取的中点，连接，根据，得到异面直线与所成的角，即为与所成的角，直角中，即可求解. 【解析】 异面直线与所成角，即异面直线与所成角. 如图所示，取的中点，连接， 在正方体中，因为是的中点，可得， 所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，设， 设正方体的棱长为，可得， 由平面，且平面，可得， 所以， 在直角中，可得， 则. 故选：C 【变式1-5】 如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的基本定理将与用基底表示出来，然后利用数量积的定义求解即可. 【解析】由条件可知，， ， ， ， ，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A 【变式1-6】在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为2，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题 【分析】将四棱锥补成长方体，设，根据条件可求得，可得与所成的角即为或其补角，在中，利用余弦定理求解. 【解析】设，如图所示，将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径， 因为，，即，所以． 又，所以与所成的角即为或其补角， 由题意以及长方体结构特征知和均为直角三角形， 所以，， 所以． 可知与所成的角为，所以与所成的角的正弦值为． 故选：B． 知识点2 线面角的定义与求解 1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°] 2、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 【题型2 垂线法（直接法）求二面角】 【例题2】如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【难度】0.65 【解析】取的中点，则 因为侧面底面BCD，侧面底面，侧面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以就是直线AC与底面BCD所成的角， 因为，，，所以， 在直角中，， 在直角中，，即， 所以直线AC与底面BCD所成角的大小为，故选：. 【变式2-1】如图，在正方体中． (1)求直线和平面所成的角； (2)求直线和平面所成的角． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【解析】（1）根据正方体性质，平面， 就是与平面所成的角， 在中，，， ，和平面所成的角是． （2）连接，与相交于点，连接，如图所示．设正方体的棱长为． 平面，平面，， 又，，，平面，平面， 为斜线在平面上的投影，为和平面所成的角． 在中，，， ．． 直线和平面所成的角为． 【变式2-2】如图，在三棱锥中，，底面ABC. (1)求证：平面平面； (2)若，，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【解析】（1）在三棱锥中， 因为底面ABC，平面，所以， 又因为，即， 因为平面，所以平面， 因为平面PBC，所以平面平面. （2） 如图，在平面PAC内，过点A作于点，连接DM， 因为BC⊥平面PAC，平面PAC，所以AD⊥BC， 因为AD⊥PC，平面，所以平面， 故是直线AM与平面PBC所成的角. 因为平面，平面，所以， 在中，因为，所以, 因为，所以D为PC的中点，且， 又因为M是PB的中点，在中，， 因为平面，平面PBC，所以， 在中，， 即AM与平面PBC所成角的正切值为. 【变式2-3】如图所示，，在平面内. 是的斜线，．求与平面所成的角． 【答案】45° 【难度】0.4 【解析】如图所示，过作于．连接， 则为在平面上的射影，为与平面所成的角． 作，， 由三垂线定理可得，． 由，，， 可得，则． 由于、分别为、在内的射影， 则． 所以点在的平分线上． 设，又，则，，则． 在中，， 则，即与平面所成角为45°． 【变式2-4】长方体中，，，O是的中点，则直线AO与平面所成角的正切值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求线面角、证明线面垂直 【分析】根据给定条件，利用几何法求出直线与平面所成角的正切即可. 【解析】长方体中，平面平面， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 取中点，连接，由是的中点，得，而平面， 于是平面，即为直线与平面所成的角， 由，，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正切为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题求出线面角的正切，关键是转化为与平面平行的平面所成角的正切. 【题型3 等体积法求线面角】 【例题3】如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，， ，，，，是垂足，平面平面． (1)证明：； (2)若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 （2） 【难度】0.65 【解析】（1） 连接，∵平面平面，，平面平面，平面， ∴平面，因为平面，所以， 由题意可知，等腰梯形的高为1，故等腰梯形的面积为：， 又梯形的高为，故， ∴， ∴，在中，，．∴，即， ∴为的三等分点，所以， 所以，∴． 又∵，面，面， ∴平面，∵平面，∴． （2）， 连接，在梯形中可得，， 因此，即， 因为平面，因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 由平面，可得， 因为平面，因为平面， 所以， 所以，所以，所以B到平面的距离为， 在中由，，得， 设直线和平面所成角为，则， 所以直线和平面所成角得正弦值为． 【变式3-1】如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求GA与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.65 【解析】（1）若为的中点，连接，又F，G分别是的中点， 所以且，而底面是正方形，则且， 所以，，故为平行四边形，即， 由平面，平面，则平面； （2）由（1）及，则，而，故， 由底面，底面，则， 所以， 由底面是正方形，则， 所以，F是的中点，则， 由且都在面平面内，故平面； （3）由底面，底面，则，， 又，，， 所以，则， 令棱锥的高为，又， 则，所以， 又，故GA与平面所成角的正弦值为. 【变式3-2】如图1，在四边形中，，将沿边BD翻折至，使得平面平面，如图2所示．E是线段PD上的一点，且．    (1)求证：平面平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求线面角、证明面面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）由平面平面，可得平面PBD，从而，结合已知可证平面，由面面垂直的判定定理可证平面平面； （2）根据等体积法求出点E到平面的距离d，则直线BE与平面所成角的正弦值为． 【解析】（1）因为平面平面BCD，平面平面， 且平面，由题意易知，所以平面PBD，                    又平面，所以，                   又，且平面PCD，所以平面，                 又平面，所以平面平面； （2）在中，结合已知有．             因为平面平面，平面平面， 且平面，，所以平面， 平面，所以， 所以中，易得， 所以．        因为平面PBD，所以CD是三棱锥的高， 解法一：所以．               设点D到平面的距离为h，因为， 所以，解得， 易得，所以点E到平面的距离为，      所以直线BE与平面所成角的正弦值为．     解法二：在中，BE是边PD的高，可求出，     所以， 设点E到平面的距离为d，则，     由等体积可知，令，解出，     所以直线BE与平面所成角的正弦值为． 【变式3-3】如图，在四棱柱中，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】面面垂直证线面垂直、求线面角、证明线面垂直、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）在线段上取一点，使得，连接，问题转化为，； （2）首先证明出平面，然后在通过体积转化法求出点到平面的距离为，最后再通过求解. 【解析】（1）如图：在线段上取一点，使得，连接， 因为，，，所以四边为正方形， 所以，，，， 又因为，，所以，所以， 又因为，，所以， 因为，，，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 由于且，，平面且必相交与一点， 所以平面. （2）由（1）可知，，所以， 又因为平面，，所以平面， 设点到平面的距离为，与平面的夹角为， 在中，，，， ，， 所以， 而， 由可得：， 所以，所以与平面夹角的正弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点是利用体积转化法求出点到平面的距离为，进而转化为求三角形面积的问题，在计算过程中为普通三角形，面积需要三部来计算，计算量较大，最后再通过求解. 知识点3 二面角 1、二面角的概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念 平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、 二面角的大小范围：[0°，180°] 确定二面角的平面角的方法： 1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 （1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． （2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点， 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角 2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 （1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向交线作垂线，得到交线上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 （2）具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向交线a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 3、垂面法（空间一点垂面法） （1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 （2）具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C， 面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 4、射影面积法求二面角 （1）方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 （2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。 证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD. A B D C 于，， 在内的射影为. 又， （三垂线定理的逆定理）. 为二面角—BC—的平面角. 设△ABC和△的面积分别为S和，，则. . 【题型4 三垂线法求二面角（常考）】 【例题4】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，．    (1)证明：平面平面； (2)点在棱上，当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】（1）先证明，，可得平面，进而可得结论； （2）过作交于，过作于，连接，先证明平面，可得为二面角的平面角，设，列方程求解即可. 【解析】（1）连结，∵侧棱底面， 平面，∴． 又∵底面是正方形，∴． 而且，平面． ∴平面．又平面， ∴平面平面．    （2）过作交于，过作于，连接． 在平面中，，， ∴，因为底面，∴平面， 又平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，又平面，∴， ∴为二面角的平面角． 故，则． 设，则，，． 在Rt中，，∴． 在Rt中，， ∴．所以，当二面角的余弦值为时，． 【变式4-1】如图，四棱锥中，，，，侧面底面ABCD，E为PC的中点． (1)求证：平面PCD； (2)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【分析】（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，得出，再证明和得出平面，即可证明； （2）取中点，过作交延长线于，可得为二面角的平面角，设即可求出. 【解析】（1）取中点，连接， 因为为中点，所以且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，交线为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，为中点，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面； （2）取中点，在平面内过作交延长线于，连接， 因为，所以， 又平面平面，交线为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 设，则，， 所以二面角的余弦值为. 【变式4-2】如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M为AD的中点且. （1）证明：； （2）若，求二面角的平面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【难度】0.65 【解析】 （1）证明：∵底面ABCD，平面ABCD，∴， 又∵，，平面PAC， ∴平面PAC， ∵平面PAC，∴； （2）由（1）得，∴， 又∵，， 代入上式解得：， ∴，，， 设AC与BM交于点O， ∵，所以， ∴，，， 过O作交PA于点E，连接BE， ∵平面PAC，平面PAC，∴， ∵，平面OEB， ∴平面OEB， 又平面OEB，所以， ∴为二面角的平面角， 在△PAC中，，即，解得， ∴， 二面角的平面角的正切值 【题型5 定义法求二面角】 【例题5】已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______． 【答案】 【难度】0.8 【解析】设，连接， 平面，平面， ，， 四边形为正方形，， ，平面，平面， 又平面，， 是二面角的平面角， 由，得：. 故答案为：. 【变式5-1】如图，四棱锥与三棱锥构成了一个组合体，其中在线段上，且、、三点共线．四边形是边长为的正方形，且，．为棱中点，且平面．    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求平面与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度0.65】 【解析】（1）连接，， ， ，    即四边形为平行四边形，则点为的中点， 又为中点，， 平面，平面， 平面. （2）平面，平面， ， 又，平面，， 平面，平面， . 又平面，. 在中，， ， 平面， 平面. （3）由，可得， 又平面，平面， ， 则平面与平面所成角为， 又点为中点，， ， 在中，， 则， 则平面与平面所成角为. 【变式5-2】如图，在棱长为的正方体中，为的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为正方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）如图，连接，取的中点，连接交于点，连接， 设交于点，连接，，    因为为的中点，所以， 因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以平面即为平面，且为中点， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，为的中点，所以， 所以为平面与平面的夹角， 由为直角三角形，可得， ，则， 即为等腰三角形，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【变式5-3】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）见解析；（2） 【难度】0.4 【解析】 （1）由 平面可得 又 ，所以平面，所以 ; 连交于点 ，连， 则是 的中位线，， 而平面，平面，平面. （2）取的中点，连，则是的中位线， ,又平面，平面； 因为平面，故， 又，底面为平行四边形，,， 而分别为中点，所以； 而是的中位线,, 而平面， 故平面， 而平面，故， 所以是二面角的平面角. 又 ； ，而二面角与二面角互补, 故所求二面角的大小为. 【题型6 射影面积法求二面角】 【例题6】如图，正方体中，为棱的中点，求平面和平面 夹角的余弦值. 【答案】 【难度】0.65 【解析】设正方体的边长为2，则； 在中，，，， 利用余弦定理， 则；则. 【题型7 已知线线角，求其他】 【例题7】在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.4 【解析】如图，取的中点，连接， 易知，，且，， 故，且是异面直线与所成角或其补角， 所以或， 所以异面直线与所成角为或其补角， 当时，；当时，， 所以直线与所成角的大小为或     故选：C    【变式7-1】如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，． (1)求证：； (2)若直线PD与BC所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【解析】（1）证明：由平面平面ABCD，平面平面， ，平面PAB，所以平面ABCD． 又平面ABCD，则． （2）过点D作BC的平行线DE，交AB于点E，连接PE． 由，得， 由（1）的证明可知平面ABCD，又平面ABCD，． 平面PAB，，平面PAB． 又平面PAB，． 又，． 由直线PD与BC所成角为，，则． 由，，， 得，， 则梯形ABCD面积为． 又平面ABCD，， 所以四棱锥的体积． 【题型8 已知线面角，求其他】 【例题8】设所在的平面，，PB、PC分别与成45°和30°角，，点P到BC的距离是 ． 【答案】 【难度】0.65 【解析】如图所示： 根据题意可知，又， 所以；； 又，所以； 作于，由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，所以即为点P到BC的距离； 易知，由勾股定理可得. 即点P到BC的距离. 故答案为： 【变式8-1】如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【解析】（1）设，连接，因为为正方形，所以且为的中点， 又，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角，即， 又，所以， 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又，所以 因为为正方形，所以，则， 所以，即，解得， 又平面，平面，所以， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【题型9 已知二面角，求其他】 【例题9】如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【解析】取中点为连接，由于和均为等边三角形，所以故为二面角的平面角，即， 由于为等边三角形，故，进而, 又, 由余弦定理可得, 由于,所以即为直线与所成角或其补角， 所以直线与所成角的余弦值为， 故选：B 【变式9-1】在三棱锥中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若，二面角的大小为60°，三棱锥的体积为，则直线PB与平面PAC所成角的正弦值为 . 【答案】 【难度】0.65 【解析】由平面，，则即为二面角的平面角， 而，平面，平面，， 平面，即为直线与平面所成角， ，，则，， ，得， 故，， 故答案为：    【题型10 空间角的最值与范围问题】 【例题10】如图，在中，，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点在斜边上.    (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【详解】（1）由题意，， ∴是二面角的平面角； 又∵二面角是直二面角， ∴ ， 又∵平面， 又平面，∴平面平面； （2）由（i）知，平面， ∴是与平面所成的角； 在中，, ∴； 当最小时，最大， 由于,故最小时，最小，此时，垂足为， 由三角形的面积相等，得 所以 ， ∴与平面所成角的正弦的最大值为 【变式10-1】动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【详解】    连接， 容知，, 所以平面平面, M与平面的距离保持不变， 点M的移动轨迹为三角形的三条边， 当M为中点时，直线与平面所成角正弦值最大，    取的中点， 设正方体的棱长为2， 所以， ， ， 所以, 所以为直角三角形，    所以直线与平面所成角正弦值为, 当M为C点时，直线与平面所成角的正弦值最小， 此时，，，    所以， . 直线与平面所成角正弦值的取值范围是， 故选：A. 【变式10-2】（多选题）直四棱柱的所有棱长都为4，，点P在四边形及其内部运动，且满足，则（   ）． A．存在点P使得平面 B．直线与平面所成的角为定值 C．点P到平面的距离的最小值为 D．直线与所成角的范围为 【答案】ABC 【难度】0.4 【详解】由题设，棱柱底面是边长为4的菱形，且，则， 根据直棱柱的结构特征知，关于平面对称且面， 由，点P在四边形及其内部运动，则， 所以的轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆（含端点），如下图示， 当与重合时，，即，面，面， 所以平面，A对； 由上分析知，直线与平面所成的角，即为半圆锥的母线与底面所成角， 所以直线与平面所成的角为定值，B对； 令点P到平面的距离为，到直线的距离为且， 而，，， 由，则，整理可得， 所以，C对； 由，直线与所成角，即为直线与所成角， 根据对称性，当从运动到半圆的最上方时，由最小逐渐增加到最大， 即与重合时，最小为，显然不满足区间的最小值，D错. 故选：ABC 知识点4：点面距离 通常结合三棱锥体积求解，具体步骤如下： （1） 换底面，求三棱锥体积 （2） 以所给面为底面，以所求点面距离为高，表示三棱锥体积 （3） 求出点面距离 【题型11 等体积法求点面距离】 【例题11】如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【解析】（1）连接交于，连接， 则为的中点，又是的中点， 所以是的中位线，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）正方体中，易知平面， 设点到平面的距离为， 所以． 【变式11-1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【解析】（1）取中点，连接， 由为的中点，则， 而为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，平面，平面， 所以平面，则到平面的距离等于到平面的距离， 为，所以， 又， 所以， 且， 则点到平面的距离为. 【变式11-2】如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（ ）． A． B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.65 【解析】因为平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，即， 因为，所以平面PAB， 又平面PAB，所以， 因为，， 所以，的面积， 设点A到平面PBC的距离为h， 则三棱锥的体积， 即，解得， 即点A到平面PBC的距离为.故选：A. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间角与空间距离 考点目录 【题型1 异面直线夹角】 2 【题型2 垂线法（直接法）求二面角】 5 【题型3 等体积法求线面角】 8 【题型4 三垂线法求二面角（常考）】 12 【题型5 定义法求二面角】 14 【题型6 射影面积法求二面角】 17 【题型7 已知线线角，求其他】 17 【题型8 已知线面角，求其他】 18 【题型9 已知二面角，求其他】 19 【题型10 空间角的最值与范围问题】 20 【题型11 等体积法求点面距离】 22 知识点1 线线角的定义与求解 线线角主要是求异面直线所成角。 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线（证明直线平移前后相互平行），交线所夹锐角（或直角）即为异面直线所夹平面角． （2）求值：在立体图形中，构建三角形，通过特殊三角形、余弦定理，求角． （3）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、三种平移产生 ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 【题型1 异面直线夹角】 【例题1】如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】 如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-4】正方体中，、分别为棱和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】 如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【变式1-6】在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为2，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 知识点2 线面角的定义与求解 1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°] 2、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 【题型2 垂线法（直接法）求二面角】 【例题2】如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式2-1】如图，在正方体中． (1)求直线和平面所成的角； (2)求直线和平面所成的角． 【变式2-2】如图，在三棱锥中，，底面ABC. (1)求证：平面平面； (2)若，，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值. 【变式2-3】如图所示，，在平面内. 是的斜线，．求与平面所成的角． 【变式2-4】长方体中，，，O是的中点，则直线AO与平面所成角的正切值为 ． 【题型3 等体积法求线面角】 【例题3】如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，， ，，，，是垂足，平面平面． (1)证明：； (2)若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值． 【变式3-1】如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求GA与平面所成角的正弦值． 【变式3-2】如图1，在四边形中，，将沿边BD翻折至，使得平面平面，如图2所示．E是线段PD上的一点，且．    (1)求证：平面平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值． 【变式3-3】如图，在四棱柱中，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 知识点3 二面角 1、二面角的概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念 平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、 二面角的大小范围：[0°，180°] 确定二面角的平面角的方法： 1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 （1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． （2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点， 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角 2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 （1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向交线作垂线，得到交线上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 （2）具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向交线a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 3、垂面法（空间一点垂面法） （1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 （2）具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C， 面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 A B D C 4、射影面积法求二面角 （1）方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 （2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。 证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD. 于，， 在内的射影为. 又， （三垂线定理的逆定理）. 为二面角—BC—的平面角. 设△ABC和△的面积分别为S和，，则. . 【题型4 三垂线法求二面角（常考）】 【例题4】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，．   (1)证明：平面平面； (2)点在棱上，当二面角的余弦值为时，求． 【变式4-1】如图，四棱锥中，，，，侧面底面ABCD，E为PC的中点． (1)求证：平面PCD； (2)若，求二面角的余弦值． 【变式4-2】如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M为AD的中点且. （1）证明：； （2）若，求二面角的平面角的正切值. 【题型5 定义法求二面角】 【例题5】已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______． 【变式5-1】如图，四棱锥与三棱锥构成了一个组合体，其中在线段上，且、、三点共线．四边形是边长为的正方形，且，．为棱中点，且平面．    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求平面与平面所成角的大小． 【变式5-2】如图，在棱长为的正方体中，为的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式5-3】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小． 【题型6 射影面积法求二面角】 【例题6】如图，正方体中，为棱的中点，求平面和平面 夹角的余弦值. 【题型7 已知线线角，求其他】 【例题7】在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式7-1】如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，． (1)求证：； (2)若直线PD与BC所成的角为，求四棱锥的体积． 【题型8 已知线面角，求其他】 【例题8】设所在的平面，，PB、PC分别与成45°和30°角，，点P到BC的距离是 ． 【变式8-1】如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 【题型9 已知二面角，求其他】 【例题9】如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-1】在三棱锥中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若，二面角的大小为60°，三棱锥的体积为，则直线PB与平面PAC所成角的正弦值为 .    【题型10 空间角的最值与范围问题】 【例题10】如图，在中，，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点在斜边上.    (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦的最大值. 【变式10-1】动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（多选题）直四棱柱的所有棱长都为4，，点P在四边形及其内部运动，且满足，则（   ）． A．存在点P使得平面 B．直线与平面所成的角为定值 C．点P到平面的距离的最小值为 D．直线与所成角的范围为 知识点4：点面距离 通常结合三棱锥体积求解，具体步骤如下： （1） 换底面，求三棱锥体积 （2） 以所给面为底面，以所求点面距离为高，表示三棱锥体积 （3） 求出点面距离 【题型11 等体积法求点面距离】 【例题11】如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求点到平面的距离． 【变式11-1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【变式11-2】如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（ ）． A． B． C．3 D． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$