精品解析：江苏省南京市2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题

南京市2025届高三年级第二次模拟考试 数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合交集概念计算即可. 【详解】因为，， 所以，故， 故选：A 2. 已知，其中为虚数单位，是的共轭复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的概念可得，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 所以，所以. 故选：C 3. 设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若与所成的角相等，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理，结合举例，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A选项，若，，则与可能平行、相交或异面. 例如，在正方体中，平面，平面，但与是相交的；平面，平面，但与是平行的.平面，平面，但与是异面的. 所以A选项错误. 对于B选项，若，则存在直线，使. 又因为，根据直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的任意一条直线垂直，所以. 由于，根据异面直线所成角的定义可知，所以B选项正确. 对于C选项，若，，则或.例如，当在平面内时，也能满足且，所以C选项错误. 对于D选项，若，与所成的角相等，则与可能平行、相交或异面. 例如，圆锥的母线与底面所成的角都相等，但母线之间相交.所以D选项错误. 故选：B. 4. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. . 【答案】B 【解析】 【分析】求出把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数，求出再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数. 【详解】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为. 故选：B. 5. 展开式中的常数项为（ ） A. 160 B. 60 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出二项式的通式，当时取到常数 【详解】由题可知，当时， ，故展开式中的常数项为：60 故选：B 【点睛】本题考查二项式中具体项的求解，属于基础题 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性、对数的运算性质可得、，即可求解. 【详解】， 由，得，则，即； ， 所以. 故选：D 7. 在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立坐标系，表示出的坐标，根据是线段上的动点用参数表示点的函数，从而题目可转换为关于的二次函数在闭区间上的最小值问题. 【详解】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，E是线段中点， 所以， 而是线段上的动点， 从而可设， 所以点的坐标是， 所以， ， 所以当时，的最小值是. 故选：C. 8. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共1S分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分.不选或有选错的得0分. 9. 某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 8 10 12 14 16 每公顷产量 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5 经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 每公顷产量与耕种深度呈负相关 B. 耕种深度的平均数为12 C. 每公顷产量的平均数为7.8 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线性回归方程的概念即可判断A；求出即可判断BC；将点代入方程求出即可判断D. 【详解】A：对于，，所以每公顷产量与耕种深度呈正相关，故A错误； B：由题意知，，故B正确； C：由题意知，，故C错误； D：将点代入方程， 得，解得，故D正确. 故选：BD 10. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得、，结合等差数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；结合数列的单调性即可判断C；结合放缩法计算即可判断D. 【详解】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 11. 已知定义在上的函数，当时，，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则在上恰有5个零点 D. 若，在区间有最大值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用恒等式赋值思想，通过赋值可判断AB，通过作出分段函数图象可判断C，通过分析定义在的二次型函数取到最大值，可得到参数范围来判断D. 【详解】对于A，由题意可知：当时，有，故A正确； 对于B，当时，有， 又因为，所以有，故B错误； 对于C，当时，， 当时，由于，， ，，， 所以，， 作出分段函数和函数的图象如下： 由于，直线经过点，而函数的图象不经过点， 则由图象可得，它们只有5个交点，即在上恰有5个零点，故C正确； 对于D，根据当时，由于， 要满足对，在区间有最大值， 则只需要在上存大最大值， 即满足或，解得或， 综上可得：，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：通过对恒等式赋值，可转化到定义域内的函数解析式求值；通过函数值的伸缩关系作出分段函数图象来判断函数的零点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出过点且与直线垂直的直线方程，再令求出，即可得解. 【详解】设过点且与直线垂直的直线为， 则，解得， 所以，即圆心在直线，又圆心在轴上， 令，可得，所以圆心坐标为. 故答案为： 13. 所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】如图，确定为的中点，根据正弦定理和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为， 如图，连接，则为的中点，连接， 则为球的半径，设圆的半径为， 在中，由正弦定理得，解得， 又，所以， 所以球的表面积为. 故答案为： 14. 英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）. 【答案】216 【解析】 【分析】如图，将6个行政区标上序号，根据分步乘法计数原理，按照一定的顺序对各个区域进行涂色，同时考虑相邻区域颜色不同的限制条件即可求解. 【详解】如图，将6个行政区标上序号， 区域1有4种颜色可选，共4种方法； 区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，共3种方法； 区域3与区域1、2相邻，不能与区域1、2同色，有2种颜色可选，共2种方法； ①若区域4与区域2同色，有1种颜色可选，此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法，此时区域6有2种涂色方法； ②若区域4与区域2不同色，有1种颜色可选，此时若区域5与区域2同色，有1种涂色方法，区域6有3种涂色方法， 若区域5与区域2不同色，有1种涂色方法，区域6有2种涂色方法， 所以一共有种方法. 故答案为：216. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1） 连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据正弦定理和余弦定理计算即可求解； （2）由（1），由题意可得，，在和中，利用余弦定理建立方程，求得，进而，再次利用余弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 得，所以， 由，得. 【小问2详解】 如图，因为，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即； 在中，由余弦定理得， 即，① 所以，得， 由解得，代入①得，由解得. 在中，由余弦定理得. 17. 已知函数,. （1）当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； （2）当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1个 （2） 【解析】 【分析】（1）先求切线方程，再联立方程，化为单变量方程，分析单调性和极值点，判断交点个数； （2）利用函数在区间内的最大值与最小值之差，考虑极值点和端点，列不等式，解出的取值范围. 【详解】（1）当时，，其定义域为. 因为，所以. 所以曲线在处的切线方程为，即. 联立方程可得，. 设，，求导得. 所以在上单调递增. 又，所以有且仅有一个零点，所以直线与曲线的公共点个数为1. （2）对函数求导得，令，可得. 分情况讨论，①当时，即，此时在区间上单调递增， 则，解得. 又，所以. ②当时，即，在上单调递减，在上单调递增. 所以最小值为，，， 当最大时，即，解得. 此时，，而恒成立. 所以，满足题意. 当最大时，即，解得. 此时，即. 设，，， 所以在上递减，故，所以，满足题意. 综上，. ③当时，即，在区间上单调递减， 此时. 若其成立，则，与条件相矛盾，所以该情况下不等式不能恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. 18. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 【答案】（1） （2） ①由，直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以， 又因为，所以，， 所以， . ②由①可知，，所以， 作关于轴的对称点，则，，三点共线， 又，，设， 则直线方程即为直线方程， 又直线方程为， 作差可得， 所以， 所以，， 又，得出， 又因为， 所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程. （2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到，再由斜率公式计算可得； ②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 【小问1详解】 由，， 所以点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为， 焦距为，则，， 所以， 所以C的方程为. 【小问2详解】 略 19. 不透明的口袋中装有编号分别为的 个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取 次，每次取1个球，记取出的 个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为的“”分布，记为. （1）若，求； （2）若，且，求的最小值； （3）若，求证：且，. 【答案】（1）； （2）3； （3）由，得 ， 所以 . 方法1：先证． 设，则．令，得，列表如下： 0 0 极小值 所以， 故，当且仅当时取＂=＂． 令，则， 故， 即． 所以 ， 所以， 所以，故且． 方法2：要证且，即证，即证． ①当时，左边右边，成立； ②假设当且时命题成立，即． 则当 时， ， 只要证，即证且． 因为， 所以且． 故当 时，，命题也成立． 综合①②，且， 故得证． 【解析】 【分析】（1）根据组合数和独立事件乘法公式即可得到答案； （2）计算得，再利用期望公式得，再根据的单调性即可得到最小值； （3）方法一：首先利用期望公式得，再利用得，最后再合理放缩并求和即可； 方法二：等价转化为证明，再利用数学归纳法即可证明. 【小问1详解】 由，得 . 【小问2详解】 由，得． 则 . 令，得． 又在上单调递减， 且， 故的最小值为3． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市2025届高三年级第二次模拟考试 数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，其中为虚数单位，是的共轭复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 3. 设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若与所成的角相等，则 4. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. . 5. 展开式中的常数项为（ ） A. 160 B. 60 C. D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共1S分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分.不选或有选错的得0分. 9. 某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 8 10 12 14 16 每公顷产量 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5 经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 每公顷产量与耕种深度呈负相关 B. 耕种深度的平均数为12 C. 每公顷产量的平均数为7.8 D. 10. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数，当时，，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则在上恰有5个零点 D. 若，在区间有最大值，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为__________. 13. 所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 14. 英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求； （2）若，，求. 17. 已知函数,. （1）当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数； （2）当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 19. 不透明的口袋中装有编号分别为的 个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取 次，每次取1个球，记取出的 个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为的“”分布，记为. （1）若，求； （2）若，且，求的最小值； （3）若，求证：且，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $