精品解析：江苏省南京市第一中学2024届高三二模数学试题

江苏省南京市第一中学2024届高考数学二模试题 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则A的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求集合A，结合集合的元素个数与子集个数之间的关系分析求解. 【详解】由题意可得：， 可知A有3个元素，所以A的子集个数为. 故选：C. 2. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式，当且仅当时等号成立，即可判断D. 【详解】对于A，由，可得，故A错误； 对于B，由，，，可得，故B错误； 对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误； 对于D，因为，当且仅当时，等号成立， 即，故D正确. 故选：D. 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为 ， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B 4. 已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则，相互独立 B. 若，相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B、C、D. 【详解】对于A：因为，所以与不独立，故A错误； 对于B：若，相互独立，则，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：若，则，所以，故D正确. 故选：D 5. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建系，可得，结合向量的坐标运算求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 可知，则， 所以. 故选：A. 6. 某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ） A. 42种 B. 40种 C. 36种 D. 30种 【答案】B 【解析】 【分析】利用相邻问题的排列数，减去甲乙相邻时丙排在5月3日的排列数得解. 【详解】甲乙相邻的排列数是，其中甲乙相邻且丙排在5月3日的排列数为， 所以不同的安排方案共有（种）. 故选：B 7. 已知圆，直线，为直线上的动点．过点作圆的切线PM，PN，切点为M，N．若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则正实数（ ） A. 1 B. C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可知：，且，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为四边形为正方形，可知， 若使得四边形为正方形的点有且只有一个，可知， 则，解得或（舍去）， 所以正实数. 故选：C. 8. 已知函数在上有且仅有个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求. 【详解】因为，且，则， 由题意可得：，解得， 又因为直线为函数图象的一条对称轴， 则，解得， 可知，即， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X，Y满足，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强 D. 按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用方差的性质判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；利用线性相关系数的性质判断C；利用第p百分位数计算判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强，C正确； 对于D，由，依题意，，且， 解得，因此，D正确. 故选：BCD 10. 如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为 B. 若AP=，则点P的轨迹长度为 C. 若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是 D. 若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可得点Р的轨迹是线段，即可判断AB，建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算即可判断C，结合条件可得外接球的半径，即可判断D 【详解】 分别取棱，的中点M，N，连接， 易证，， 平面，平面，所以平面， 且平面，平面，所以平面， 又平面，则平面平面， 因为平面，且P是正方形内的动点， 所以点Р的轨迹是线段. 因为，所以，因为，所以， 故A正确. 因为，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆， 则点Р的轨迹长度为，则B错误. 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图1所示的空间直角坐标系. 由题中数据可知则，，. 设平面CEF的法向量为，则，得. 设直线AР与平面CEF所成的角为，则. 因为，所以，所以， 所以，则，故C正确. Р是棱的中点，则外接圆的圆心为正方形的中心，半径为2. 如图2，设，则三棱锥的外接球的半径满足，解得， 从而三棱锥P-CEF的外接球的表面积是，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数（，）的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由对称轴和对称中心列出关系式得，利用单调性得到，进而得或或，再注意验证是否符合题意可得答案. 【详解】由题意可得则， 即.因为在上单调， 所以，所以，即，所以，即， 解得.因为，所以或或. 当时，，，此时在上单调递减，故符合题意； 当时，，，此时在上单调递减，故符合题意； 当时，，，此时在上不单调，故不符合题意. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律计算即可得，再根据夹角公式计算即可. 【详解】因为，所以，所以. 因为，所以，所以， 则. 故答案为： 13. 甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有___________种. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分甲或乙参加A活动和甲和乙都不参加A活动，两种情况讨论，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】甲或乙参加A活动的情况有种， 甲和乙都不参加A活动的情况有种， 则他们参加活动的不同方案有种. 故答案为：. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为________.若点Р在圆上，则的最小值是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据两点距离公式计算即可得第一空，设点P坐标及点，根据圆的方程与两点距离公式化简得出，根据三角形三边关系求最值即可. 【详解】设，则， 整理得（或）. 设，则， 故 . 令，则=. 故答案为：； . 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得； （2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得. 【小问1详解】 设的公差为，由题意知，即， 即有，因为，可得，， 所以； 【小问2详解】 设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 则 ， ， 所以． 16. ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数： （2）将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民. （i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？ 青年 非青年 合计 喜欢 20 不喜欢 60 合计 200 （ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率. 参考公式：，其中． 参考数据： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）45 （2）（i） 青年 非青年 合计 喜欢 90 20 110 不喜欢 60 30 90 合计 150 50 200 有； （ii） 【解析】 【分析】（1）借助频率分布直方图及百分位数的性质计算即可得； （2）（i）完善列联表后，计算卡方即可得；（ii）借助分层抽样的性质可得抽取8人中居民类别，再结合组合数的计算与概率公式计算即可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， 年龄在40岁以下的居民所占比例为， 年龄在50岁以下的居民所占比例为， 所以分位数位于内， 由， 所以，样本数据的分位数为45； 【小问2详解】 （i）由题知，列联表为： 青年 非青年 合计 喜欢 90 20 110 不喜欢 60 30 90 合计 150 50 200 根据列联表中的数据，可得： 所以，有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联； （ii）按照分层抽样，青年居民应抽取人，非青年居民应抽取2人． 设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为， ， ， 所以， 所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为． 17. 如图，在三棱锥中，，为的中点，为内部一点且平面． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 连接，取中点，连接． 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以． 所以，在中，，同理， 因为，所以． 因为为中点，所以， 因为，且在同一平面内，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 又因为，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，取中点，连接，先证明出平面平面，由面面平行证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以以及与垂直向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 在直角中，因为，所以， 在中，，所以， 又， 所以． 设面的一个法向量，则，即， 取，则，所以． 设面的一个法向量，则，即， 取，则，所以． 设二面角为，由图可知为钝角，则， 所以二面角的余弦值为． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再对m进行分类讨论得的正负情况，进而得函数单调性. （2）先由题意得出隐性条件得m的限制范围， 再对不等式两边同时取以为底的对数整理得左右两边为同样形式的不等式进而将原问题等价简化成研究 恒成立即可求解. 【小问1详解】 由题可知，，且在定义域上单调递增， 当时，恒成立，此时在上单调递减， 当时，令，则， 所以时，，此时单调递减； 时，，此时单调递增， 当，即时， 此时在恒成立，单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增. 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以，即， 故时，恒成立， 令，，则， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，从而． 将两边同时取以为底的对数可得 整理可得． 令，则，且在上单调递增， 因为且， 所以在上恒成立， 所以恒成立， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 所以， 又因为，所以． 【点睛】方法点睛：对于指、对、幂函数同时出现的复杂不等式问题，如本题，一般考虑用同构思想方法将不等式两边转化成形式一样的式子，再构造函数利用函数单调性来研究. 19. 已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点． （1）求证：点在定直线上，并求出该直线方程； （2）设点为直线上一点，且，求的最小值． 【答案】（1）证明:由题意可知，， 所以，所以椭圆方程为， 设直线方程为， 联立，消可得，， 所以， 因为过点的切线为，过点的切线为， 由对称性可得，点处于与轴垂直的直线上， 法一：联立，消去得，， 将代入上式得， 所以点在直线上． 法二：因为点在两切线上，所以， 所以直线的方程为， 又直线过点，所以，解得． （2）12 【解析】 【分析】（1）由题得出椭圆方程，设直线方程为，写出两点处的切线方程，由对称性得，点处于与轴垂直的直线上，法一：两切线方程联立得，再代入即可证明；法二：由点在两切线上得直线的方程，结合直线过点，即可得出； （2）由（1）得出直线的方程，设直线和交于点，得出为线段的中点，由弦长公式得出进而得出，由两直线夹角公式得出，得出，根据基本不等式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将代入得，， 直线的方程为， 设直线和交于点，联立，解得， 又，所以为线段的中点， 因为， 所以， 又因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为12． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市第一中学2024届高考数学二模试题 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则A的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 2. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则，相互独立 B. 若，相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. 4 B. 1 C. D. 6. 某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ） A. 42种 B. 40种 C. 36种 D. 30种 7. 已知圆，直线，为直线上的动点．过点作圆的切线PM，PN，切点为M，N．若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则正实数（ ） A. 1 B. C. 5 D. 7 8. 已知函数在上有且仅有个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X，Y满足，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强 D. 按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 10. 如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为 B. 若AP=，则点P的轨迹长度为 C. 若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是 D. 若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 11. 已知函数（，）的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是_________. 13. 甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有___________种. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为________.若点Р在圆上，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数： （2）将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民. （i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？ 青年 非青年 合计 喜欢 20 不喜欢 60 合计 200 （ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率. 参考公式：，其中． 参考数据： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 17. 如图，在三棱锥中，，为的中点，为内部一点且平面． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点． （1）求证：点在定直线上，并求出该直线方程； （2）设点为直线上一点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $