专题02 勾股定理及其逆定理（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题02 勾股定理及其逆定理 题型概览 题型01勾股数（树）问题 题型02用勾股定理解三角形 题型03以直角三角形三边为边长的图形面积 题型04赵爽线图的证明及应用 题型05构造直角三角形解决问题 题型06勾股定理的实际应用 题型07直角三角形的判定 题型08勾股定理逆定理的应用 题型09勾股定理求最短路径 ( 题型01 )勾股数的判断 1．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）下列各组数据中是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）下列几组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．4，5，6 C． D．5，12，13 3．（2023-24八年级下·山东德州·期末）下列各组数，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．，， D．7，24，25 4．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形，则a的值为 ；再经过一次“生长”后变成了图2．如此继续“生长”下去，第2024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为 （填数字）． 5．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足、、、，则正方形的边长是 ．    ( 题型0 2 )用勾股定理解三角形 6．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条的长为 米． 7．（2023-24八年级下·山东济南·期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别是12和5，则斜边上的高为 ． 8．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在数轴上，以原点O为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A对应的数是 ． 9．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，的两直角边长分别为，，以的斜边为一直角边，另一直角边长为画第二个；再以的斜边为一直角边，另一直角边长为画第三个；，以此类推，第个直角三角形的斜边长是（    ） A．n B． C． D． 10．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ． 11．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，在中，是边上的高，，求的长． 12．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，交于点，，． (1)若，则___________， ___________； (2)若，求的长． 13．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，中，，直线是边的垂直平分线，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的面积． ( 题型0 3 )以直角三角形三边为边长的图形面积 14．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（   ） A．12 B．13 C．144 D．194 15．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、 的关系是（　　） A． B． C． D． 16．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 17．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于 ． 18．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 ( 题型0 4 )赵爽线图的证明及应用 19．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 21．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ． 22．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 23．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请你利用这个图形，推导勾股定理：； (2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长． ( 题型0 5 )构造直角三角形解决问题 24．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在中，，点O是、平分线的交点，且，，则点O到边的距离为（    ） A． B． C． D． 25．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则 米． 26．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，是的对称轴上一点，点P在直线下方，Q是边上一点，若，则的长为 ． 27．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，点在边上，． (1)求的面积； (2)求的长． 28．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，G为中点，求的长． 29．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，D是上一点． (1)如图1，若垂直平分，交于E，且，求的长； (2)如图2，连接，若平分，且，求的长． ( 题型0 6 )勾股定理的实际应用 30．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 31．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（2023-24八年级下·山东日照·期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，，则AC的长为（    ） A． B． C． D． 33．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ． 34．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．    35．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 36．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 37．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）． ( 题型0 7 )直角三角形的判定 38．（2023-24八年级下·山东济南·期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（   ） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 39．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．8，12，13 B． C．3，4，5 D． 40．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．点A到直线的距离是2 B． C． D． 41．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 42．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)探索与的位置关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． ( 题型0 8 )勾股定理逆定理的应用 43．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 44．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 45．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图在四边形中，，，，且，求的度数．    46．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 47．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在四边形中，，平分，，为上一点，，，求证：．    48．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，，是边上的中线，是边上的高，且． (1)求的长； (2)求的长． ( 题型0 9 )勾股定理求最短路径 49．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（　　） A．8m B．10m C．m D．m 50．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A是长方体的顶点，点B是棱的中点，一只蚂蚁由A处沿长方体表面爬到B处，最短路程为 ． 51．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别等于，和，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从点出发，沿着台阶面爬到点，最短路线长度是 ． 52．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为 ．    53．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点开始经过四个侧面绕到上底面的顶点，如果缠绕的圈数是，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米． 54．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4的半圆，其边缘，点E在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．    55．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？    一、单选题 1．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）老师在黑板上画出了如图所示的4个三角形，则下列判断正确的是（   ） A．①不是等腰三角形 B．只有②是直角三角形 C．③是等边三角形 D．只有④是直角三角形 2．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 4．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．若，则正方形与正方形的面积之比为（   ） A． B． C． D． 5．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，点D是边的中点，的周长为16，，点M，N分别是和边上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 6．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E为边上一点，将沿翻折，点A的对应点为A'，当点A'落在内部（不包括边上）时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 二、填空题 8．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为（，n为正整数），则股是 ．（结果用含n的式子表示） 9．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 10．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在长方形中，点E是的中点，连接，将沿翻折得到，交于点H，延长、相交于点G，若，，则 ． 11．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，一个圆柱体的高为，底面周长为．一只蚂蚁在点处，它要吃到点处的食物，则这只蚂蚁至少需要爬行 cm． 12．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）在四边形中，连接对角线，，已知，，若，，则的长是 ． 三、解答题 13．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 14．（2023-24八年级下·山东日照·期末）在人教版八下数学教材第36页数学活动一《测量学校旗杆高度》中，聪聪想到了一种新颖的求解方式，聪聪从点C观察旗杆顶端的仰角为（即），接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为（即）． (1)请你帮助聪聪判断的形状，并说明理由； (2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 15．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，平分，点在线段上，若，，． (1)求证：； (2)求的长． 16．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？               17．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ (1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理及其逆定理 题型概览 题型01勾股数（树）问题 题型02用勾股定理解三角形 题型03以直角三角形三边为边长的图形面积 题型04赵爽线图的证明及应用 题型05构造直角三角形解决问题 题型06勾股定理的实际应用 题型07直角三角形的判定 题型08勾股定理逆定理的应用 题型09勾股定理求最短路径 ( 题型01 )勾股数的判断 1．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）下列各组数据中是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A选项：、、不是正整数， 、、不是勾股数，故A选项不符合题意 B选项：、、，，，， 、、不是勾股数，故B选项不符合题意； C选项：， 、、是勾股数，故C选项符合题意； D选项：、、不是正整数， 、、不是勾股数，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）下列几组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．4，5，6 C． D．5，12，13 【答案】D 【详解】解：A、，2， 这一组数中的数不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、∵，∴这一组数不是勾股数，不符合题意； C、这一组数中的数都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、∵，∴这一组数是勾股数，符合题意； 故选：D． 3．（2023-24八年级下·山东德州·期末）下列各组数，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．，， D．7，24，25 【答案】D 【详解】解：A、，则不是勾股数，故不符合题意； B、、、不是整数，则不是勾股数，故不符合题意； C、，，不是整数，则不是勾股数，故不符合题意； D、，则是勾股数，故符合题意； 故选D． 4．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形，则a的值为 ；再经过一次“生长”后变成了图2．如此继续“生长”下去，第2024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为 （填数字）． 【答案】 【详解】解：如图： ∵第一个正方形的边长为a, ∴第一个正方形的面积为， 由勾股定理得，， ∴，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为， ∴，即，“生长”第1次后所有正方形的面积和为， 同理：“生长”第2次后所有正方形的面积和为， …… 则“生长”第2024次后所有正方形的面积和为， 故答案为：，． 5．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足、、、，则正方形的边长是 ．    【答案】 【详解】解：如下图，标记正方形、，分别设正方形、、的边长为、、，    则由勾股定理得：，，， 即最大正方形的面积为：， 则最大正方形E的边长为 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． ( 题型0 2 )用勾股定理解三角形 6．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条的长为 米． 【答案】 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 故答案为：． 7．（2023-24八年级下·山东济南·期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别是12和5，则斜边上的高为 ． 【答案】 【详解】由题意得：该直角三角形的斜边长为 设斜边上的高为h ∴，解得： 故答案为：． 8．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在数轴上，以原点O为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A对应的数是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得， 故点A对应的数是． 故答案为：． 9．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，的两直角边长分别为，，以的斜边为一直角边，另一直角边长为画第二个；再以的斜边为一直角边，另一直角边长为画第三个；，以此类推，第个直角三角形的斜边长是（    ） A．n B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，，根据勾股定理得， 在中，，，根据勾股定理得， 在中，，，根据勾股定理得， ， 以此类推，第个直角三角形的斜边长为， 故选：． 10．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】5 【详解】解：延长交于点F， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为： 11．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】6 【详解】解：如图，在中，是边上的高，，， ，即， 解得． 又在中，，， ． 线段的长度是6． 12．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，交于点，，． (1)若，则___________， ___________； (2)若，求的长． 【答案】(1)8，15； (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8，15； （2）解：设，则， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴． 13．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，中，，直线是边的垂直平分线，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 的面积是． ( 题型0 3 )以直角三角形三边为边长的图形面积 14．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（   ） A．12 B．13 C．144 D．194 【答案】C 【详解】解：字母B所代表的正方形的面积， 故选：C． 15．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、 的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设直角三角形的三边分别为a，b，c，则三个半圆的半径分别为，，， 由勾股定理得，则， 两边同时乘以得， 即之间的关系为， 故选：A． 16．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：根据正方形的性质得出，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵a，b的面积分别为1和9， ∴，， ∴c的面积为：， 故选：C． 17．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于 ． 【答案】 【详解】解：由题意，得，， 所以， 故答案为：. 18．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 【答案】 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． ( 题型0 4 )赵爽线图的证明及应用 19．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵大正方形的面积是16， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵小正方形的边长为：， ∴． 故选C 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理的应用，熟记完全平方公式的灵活应用是解本题的关键． 20．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 【答案】6 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且， 由题意可知：，，， ∵， 即， 则， ∴， 解得． 故答案为：． 21．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，由题意得， ∴（负值已舍）， 如图，，设，，则， 由题意得， ∴，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 解得， 如图，，设点C到的距离为， ∴，即， ∴， ∴点C到的距离为， 故答案为：． 22．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 【答案】76 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 23．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请你利用这个图形，推导勾股定理：； (2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长． 【答案】(1) (2)小正方形EFGH的边长为3 【详解】（1）解：正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，， ， 整理，得； （2）直角三角形的面积为54，， ，， ， 小正方形的面积， 小正方形的边长为3． ( 题型0 5 )构造直角三角形解决问题 24．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在中，，点O是、平分线的交点，且，，则点O到边的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点O为与的平分线的交点， ∴点O在的角平分线上， ∴点O到的三边的距离相等， 过O作，，连接， 则 ∴ ， 又∵为直角三角形， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 25．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则 米． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米）． 在中，由勾股定理得到（米），    故答案为：． 26．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，是的对称轴上一点，点P在直线下方，Q是边上一点，若，则的长为 ． 【答案】或 【详解】解：如图， P是的对称轴上一点， ， 当点Q与点B重合时，， 此时； 如图，当时，由于，所以此时， 过点P作，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：或 27．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，点在边上，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作于点， ，， 是的中点， ，， ， ， 的面积； （2）解：过点作于点， ， ， 的面积， ， ， ． 28．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【详解】（1）∵， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点E作，垂足为F， ， ，， ， ∵G为中点， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 的长为8． 29．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，D是上一点． (1)如图1，若垂直平分，交于E，且，求的长； (2)如图2，连接，若平分，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，作于点F， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形解本题的关键． ( 题型0 6 )勾股定理的实际应用 30．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选：C． 31．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，当筷子直立在水杯中时，； 当筷子斜放在水杯中，如图所示，，且 ∴， ∴筷子露在外面的部分的长度为， ∴的取值范围为：， 故选：B ． 32．（2023-24八年级下·山东日照·期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，，则AC的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，中， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理描述的三边关系是解题的关键． 33．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ． 【答案】 【详解】两棵树的高度差为米，间距为米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离． 故答案为：． 34．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．    【答案】1020 【详解】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形， 则长为：（米），宽为5米， 地毯的长度为（米），地毯的面积为（平方米）， 购买这种地毯至少需要（元）． 故答案为：1020．    【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 35．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【答案】秋千绳索长为尺 【详解】解∶ 设秋千绳索长为尺， 则尺， 在中，，即， 解得：， ∴秋千绳索长为尺． 36．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】西北方向 【详解】解：根据题意，得 （海里）， （海里）， （海里）， ， 即， ． 由“远航号”沿东北方向航行可知，，则， 即“海天”号沿西北方向航行． 37．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）． 【答案】此车超速，理由见解析. 【详解】此车超速． 理由：，， 是等腰直角三角形． 米． 在中，， ． 米． 由勾股定理得米， 米． 汽车的速度（米/秒）千米/小时千米/小时． 答：此车超速． ( 题型0 7 )直角三角形的判定 38．（2023-24八年级下·山东济南·期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（   ） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 【答案】B 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 39．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．8，12，13 B． C．3，4，5 D． 【答案】A 【详解】解：A．，所以不能构成直角三角形，故该选项符合题意； B．，所以能构成直角三角形，故该不选项符合题意； C．，所以能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D．，所以能构成直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 40．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．点A到直线的距离是2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由勾股定理，得：，，，故选项C正确； ∴， ∴为直角三角形，，故选项B正确； ∴，故选项D错误； 过点A作于点D， 则， ∴， 即点A到直线的距离是2，故选项A正确； 故选：D． 41．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ，，， 故答案为：，，； （2）是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）设边上的高为， 的面积， ， ， 故答案为： 42．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)探索与的位置关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)．理由见解析 (2)30． 【详解】（1）解：．理由如下， 理由如下：由题意， ，，， ∴， ∴，即； （2）解：∴ . ( 题型0 8 )勾股定理逆定理的应用 43．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 44．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【详解】解：连接， ∵， ∴为直角三角形， ∵，，， 根据勾股定理得：， 又∵，， ∴，， ， 为直角三角形， ， ∴． 45．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图在四边形中，，，，且，求的度数．    【答案】 【详解】解：如图所示，连接，   ，， ． 又，， ，， ， 是直角三角形， ， ． 故的度数为． 46．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴图形面积为． 47．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在四边形中，，平分，，为上一点，，，求证：．    【答案】见解析 【详解】证明：，，， ， 是直角三角形，， 又，平分， ． 48．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，，是边上的中线，是边上的高，且． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵是边上的中线，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是边上的高， ∴， ∴； （2）在中，， ∴． ( 题型0 9 )勾股定理求最短路径 49．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（　　） A．8m B．10m C．m D．m 【答案】B 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 最短路径为：（米． 故选：B． 50．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A是长方体的顶点，点B是棱的中点，一只蚂蚁由A处沿长方体表面爬到B处，最短路程为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，根据题意，长方体的长，宽，高，， 根据展开图，得到解法如下： 第一种展开图， 根据题意，得 ； 第二种展开图中，根据题意，得 ； 第三种展开图中，根据题意，得 ； 故爬行的最短路程为， 故答案为：． 51．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别等于，和，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从点出发，沿着台阶面爬到点，最短路线长度是 ． 【答案】 【详解】将台阶展开，如下图， 因为，， 所以 ， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 52．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示：作A点关于直线的对称点，再连接，交直线于点P，    则此时最小，过点B作交延长线于点E， ∵，，． ∴，， ∴，， 在中， ， 则的最小值为． 故答案为：． 53．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点开始经过四个侧面绕到上底面的顶点，如果缠绕的圈数是，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米． 【答案】 【详解】解：如图， 米，米， 由勾股定理得，（米）； 故答案为：． 54．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4的半圆，其边缘，点E在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．    【答案】20 【详解】解：将半圆面展开如图：连接，则是最短路径，    ∴，， 由勾股定理得，． ∴滑行的最短距离约为， 故答案为：20． 55．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？    【答案】 【详解】如图，做出点A关于小河的对称点，连接交MN于点P，则就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．    由题意知：，，， 在中，由勾股定理求得， 则他要完成这件事情所走的最短路程是． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键． 一、单选题 1．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）老师在黑板上画出了如图所示的4个三角形，则下列判断正确的是（   ） A．①不是等腰三角形 B．只有②是直角三角形 C．③是等边三角形 D．只有④是直角三角形 【答案】C 【详解】解：图①中，另一个角为，因此该三角形中有两个角相等，该三角形是等腰三角形； 图②中，另一个角为，因此该三角形是直角三角形； 图③中，有两条边相等，又有一个内角是，从此该三角形是等边三角形； 图④中，因为，所以该三角形是直角三角形． 综上，判断正确的是C选项． 故选：C 2．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵长方形中，，， ∴， ∵将沿折叠，点B落在处，与交于E， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 3．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在，，，， ∴， 设，则， 由折叠可知， 在中，， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：A 4．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．若，则正方形与正方形的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴是边上的中线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴正方形与正方形的面积之比为：， 故选：B． 5．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，点D是边的中点，的周长为16，，点M，N分别是和边上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，过点B作与点N，交与点M，连接， ∵在中，，点D是边的中点， ∴在等腰中，垂直平分， ， 点、C点关于直线对称， 点和N点分别是和边上的动点， ， ， 点、M点、B点在一条直线上最短， 点N点最短的直线为B点到的垂线最短， ∴则的最小值是， ， 故选：B． 6．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E为边上一点，将沿翻折，点A的对应点为A'，当点A'落在内部（不包括边上）时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当点落在上时，连接，可知， ∵，点D是的中点， ∴， ∴． ∵， 解得, ∴． 如图，当点落在上时，连接， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵点关于对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴当点落在内部（不包括边上）时，的取值范围是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，确定两个临界值是解题的关键． 7．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【详解】解：如图，连接，    ∵为等边三角形，F是的中点， ∴，平分，即点F在的平分线上， ， 如图，当，点D在上时，最小，    在中，， 则， 由勾股定理得：， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴等边的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短，得出，点D在上时，最小是解题的关键． 二、填空题 8．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为（，n为正整数），则股是 ．（结果用含n的式子表示） 【答案】 【详解】解：∵，n为正整数， ∴为奇数， 设股是a，则弦为， 根据勾股定理得：， 解得：， 故答案为：． 9．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴，， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 10．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在长方形中，点E是的中点，连接，将沿翻折得到，交于点H，延长、相交于点G，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，一个圆柱体的高为，底面周长为．一只蚂蚁在点处，它要吃到点处的食物，则这只蚂蚁至少需要爬行 cm． 【答案】25 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开， 连接，根据两点之间，线段最短，可得就是蚂蚁爬行的最短路线． 由题可得：， 由勾股定理得：， 故答案为：25． 12．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）在四边形中，连接对角线，，已知，，若，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过B作，交延长线于点E，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 在Rt△ABE中，， 故答案为：． 三、解答题 13．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵， ， ∴ 为等边三角形， ∴，， 又∵， ，， ∴，   ，   ， ∴ ∴为直角三角形， ∴ ， ∴． 14．（2023-24八年级下·山东日照·期末）在人教版八下数学教材第36页数学活动一《测量学校旗杆高度》中，聪聪想到了一种新颖的求解方式，聪聪从点C观察旗杆顶端的仰角为（即），接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为（即）． (1)请你帮助聪聪判断的形状，并说明理由； (2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 【答案】(1)等腰三角形；理由见解析 (2)米 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）由（1）可知， ∴， ∴， 在中，米． 15．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，平分，点在线段上，若，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， ； （2）解：延长交于，过作交的延长线于， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ∴． 16．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？               【答案】E站应建在离A站处． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 17．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ (1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积为：；   方法②：将阴影部分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．   由此我们可以得到平方差公式：；   故答案为：；； （2）证明：如图3， 方法①：， 方法②：， ； （3）证明：如图4， 大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为， 方法①：大正方形的边长为，所以， 方法②：， 所以， ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$