专题01 二次根式（十大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题01二次根式 题型概览 题型01二次根式有意义的条件 题型02利用二次根式的性质化简 题型03最简二次根式 题型04同类二次根式 题型05分母有理化 题型06二次根式加减乘除混合运算 题型07二次根式的化简求值 题型08比较二次根式的大小 题型09有关二次根式的应用 题型10新定义型二次根式的运算 ( 题型01 )二次根式有意义的条件 1．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）要使得代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 2．（2023-24八年级下·山东威海·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 3．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如果，那么（　　） A．4 B．5 C．6 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：由题意得，，， 解得，， 则， ∴， 故选：B． 4．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）当 时有意义． 【答案】 【详解】解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 5．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，， 解得． 故答案为：． ( 题型0 2 )利用二次根式的性质化简 6．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）二次根式化成最简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 7．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）化简二次根式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D ． 8．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：由数轴可得， ∴，， ∴ ， 故选：A． 9．（2023-24八年级下·山东德州·期末）化简： ． 【答案】/ 【详解】解：． 故答案为： 10．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）化简： ． 【答案】/ 【详解】解：， 故答案为：． 11．（2023-24八年级下·山东日照·期末）已知，则 ． 【答案】1 【详解】解：， ，， ， 故答案为：1． 12．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如果数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，且在的左侧，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧， ，， 在的左侧， ， ， 故答案为． ( 题型0 3 )最简二次根式 13．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 14．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，化简不正确； B. ，化简不正确； C. ，化简不正确； D. ，化简正确； 故选D． 15．（2023-24八年级下·山东济南·期末）若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键． 16．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ． 【答案】， 【详解】解：，，， 故这些二次根式中是最简二次根式的为：，． 故答案为：， 17．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【答案】4（答案不唯一） 【详解】∵是最简二次根式， ∴． 故答案为：4（答案不唯一）． 18．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）两个最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】5 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴， 但当时，，不是最简二次根式，应舍去， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键． ( 题型0 4 )同类二次根式 19．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意． 故选：C ． 20．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）若最简二次根式与可以合并，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 故选：D． 21．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）下列二次根式中，化简后可以合并的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、和是同类二次根式，能合并，符合题意； C、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选B． 22．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）与 同类二次根式（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【详解】解：， 与是同类二次根式． 故答案为：是． 23．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【详解】解∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得， ∴ 故答案为： 24．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如果最简二次根式与能够合并为一项，那么m的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得： 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后， 如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 25．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【答案】(1)； (2)；． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）， ∵与可以合并， ∴， 解得：； 由得：， ， ． ( 题型0 5 )分母有理化 26．（2023-24八年级下·山东济南·期末）化简：= ． 【答案】 【详解】解：原式 故答案为：． 27．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 28．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）已知，，，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得： ， ， ， ， ， ， 故选：． 29．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）阅读下列材料，并解决相应问题： 应用：用上述类似的方法化简下列各式： (1)， (2)若k是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2）∵， ∴， ∵k是的小数部分， ∴ ∴ ( 题型0 6 )二次根式加减乘除混合运算 30．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）估计的值应在（   ）之间． A．7到8 B．8到9 C．9到10 D．10到11 【答案】C 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在到之间， 故选：C． 31．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 33．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ( 题型0 7 )二次根式的化简求值 35．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 36．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 37．（2023-24八年级下·山东济南·期末）若为的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，解题的关键是估算出在哪两个连续整数之间． 38．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）已知，，求． 【答案】 【详解】解： ． 39．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 【答案】(1)16 (2)4 【详解】（1）解：∵，； ∴； （2）解：． 40．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）先化简， 再求值：，其中   【答案】； 【详解】解： ， 把代入得：原式． 41．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）已知，求． 【答案】． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题关键． 42．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）若 x，y 为实数，且 ． 求的值． 【答案】 【详解】解：依题意得：且， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． ( 题型0 8 )比较二次根式的大小 43．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 44．（2023-24八年级下·山东威海·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 45．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）比较大小： ． 【答案】 【详解】解：， ∵， ，即， 故答案为：． 46．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）比较大小： (填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 47．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）比较大小： 【答案】 【详解】解：，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的大小比较，利用二次根式的性质将根号外的系数转入根号内是解题的关键． ( 题型0 9 )有关二次根式的应用 48．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵两张正方形纸片的面积分别为和， ∴它们的边长分别为，， ∴，， ∴空白部分的面积为 ． 故选：D． 49．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）观察下列等式：，，，用含有（，取正整数）的式子将其中的规律表示出来为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，， ， ， …… 通过观察得到规律， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，根据已知等式准确找出规律是解题关键． 50．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，长方形空地的长为，宽为，现准备在空地中划出长为，宽为的小长方形（图中阴影部分）作为花卉实验田． (1)求长方形空地的周长（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田的面积（结果化为最简）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：长方形空地的周长 （2）解：长方形花卉实验田的面积 51．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：根据题意得：小正方形木板的边长为， 大正方形木板的边长为， 故答案为：，； （2）原长方形木料的长为，宽为， ， ∴原长方形木料的面积为； （3）不能，理由如下： 根据题意，得剩余矩形木料的长为，宽为， ∵， ∴这块正方形木板的边长不能为． 52．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)4680元 【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长 ； （2）解：由题意得：， ， ∴ 元， 答：李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元． ( 题型 10 )新定义型二次根式的运算 53．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ． 【答案】2 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：2． 54．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 55．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么 ． 【答案】/ 【详解】解：， ， 故答案为：． 56．（2023-24八年级下·山东济南·期末）对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 故答案为： 57．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）阅读材料： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”完成下列问题： 如图，在中，，，． (1)求的面积； (2)设边上的高为，边上的高为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意知， 所以， ∴的面积为； （2）∵， ∴ ∴，； ∴． 58．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）观察下列等式及其验证过程： ，验证： ，验证： (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想______． (2)针对上述等式反映的规律，写出用（为大于的整数）表示的等式并给予验证． 【答案】(1) (2)（为大于的整数） 【详解】（1）解：根据材料提示，， 故答案为：． （2）解：根据题意得，， ∵为大于的整数， ∴， 当时，； 当时，； 当（为大于的整数），； 故上述等式反映的规律为（为大于的整数）． 59．（2023-24八年级下·山东日照·期末）解答： (1)计算：； (2)用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．求． 【答案】(1)4，详见解析 (2)，详见解析 【详解】（1）解： ； （2） ． 一、单选题 1．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、中的不一定大于等于，故不是二次根式，不符合题意； B、中的被开方数，故不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意， D、是三次根式，故不是二次根式，不符合题意； 故选：C 2．（2023-24八年级下·山东济南·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. 和不是同类二根式，不能进行合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项正确，符合题意． 故选：D． 3．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据实数a，b在数轴上的位置可得：，， ，， ，，， ， 故选：B． 4．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，，， 解得，， 故选：C． 5．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）已知，则的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】∵， 且， ∴， ， ∴， . 故选：B. 6．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）估计的值在（　　） A．7到8之间 B．8到9之间 C．9到10之间 D．10到11之间 【答案】A 【详解】解： ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算． 以上结论正确的是（    ） A．①③④ B．①④ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【详解】解：①，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， ∴，故②错误； ③∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵ ，故④错误； 综上，①③正确． 故选：D． 二、填空题 8．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 9．（2023-24八年级下·山东德州·期末）若，则 ． 【答案】2024 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如果，那么等式成立的条件是 . 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴等式成立的条件是：， 故答案为：． 11．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，羊头形图案做法如下，从正方形一开始以她的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和正方形②，⋯以此类推．若正方形①的边长为，则： （1）正方形③的边长为 ；（2）正方形的边长为 ． 【答案】 【详解】解：设正方形②的边长为x， ∵图中三角形均为等腰直角三角形， ∴，解得：， 同理可得：正方形③的边长， 正方形④边长， …… 正方形长， 故答案为：，． 三、解答题 12．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 13．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 14．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）阅读材料： 我们可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简， 可以先设， 再两边平方得， 所以， 又因为， 所以， 根据以上方法，化简：． 【答案】 【详解】解：设， 两边平方得 ， 所以， 又因为， 所以． 15．（2023-24八年级下·山东济南·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：； （2） 因为且， ， ， ； （3）， ，， ， ， ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次根式 题型概览 题型01二次根式有意义的条件 题型02利用二次根式的性质化简 题型03最简二次根式 题型04同类二次根式 题型05分母有理化 题型06二次根式加减乘除混合运算 题型07二次根式的化简求值 题型08比较二次根式的大小 题型09有关二次根式的应用 题型10新定义型二次根式的运算 ( 题型01 )二次根式有意义的条件 1．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）要使得代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24八年级下·山东威海·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如果，那么（　　） A．4 B．5 C．6 D．无法确定 4．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）当 时有意义． 5．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． ( 题型0 2 )利用二次根式的性质化简 6．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）二次根式化成最简结果为（   ） A． B． C． D． 7．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）化简二次根式的结果为（    ） A． B． C． D． 8．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 9．（2023-24八年级下·山东德州·期末）化简： ． 10．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）化简： ． 11．（2023-24八年级下·山东日照·期末）已知，则 ． 12．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如果数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，且在的左侧，则的值为 ． ( 题型0 3 )最简二次根式 13．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 14．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2023-24八年级下·山东济南·期末）若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 16．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ． 17．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 18．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）两个最简二次根式与可以合并，则 ． ( 题型0 4 )同类二次根式 19．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 20．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）若最简二次根式与可以合并，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 21．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）下列二次根式中，化简后可以合并的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 22．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）与 同类二次根式（填“是”或“不是”）． 23．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 24．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如果最简二次根式与能够合并为一项，那么m的值为 ． 25．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． ( 题型0 5 )分母有理化 26．（2023-24八年级下·山东济南·期末）化简：= ． 27．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）计算：． 28．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）已知，，，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 29．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）阅读下列材料，并解决相应问题： 应用：用上述类似的方法化简下列各式： (1)， (2)若k是的小数部分，求的值． ( 题型0 6 )二次根式加减乘除混合运算 30．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）估计的值应在（   ）之间． A．7到8 B．8到9 C．9到10 D．10到11 31．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）计算： (1)； (2)． 32．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）计算：． 33．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）计算 (1)； (2)． 34．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）计算 (1) (2) ( 题型0 7 )二次根式的化简求值 35．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C．3 D．5 36．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 37．（2023-24八年级下·山东济南·期末）若为的小数部分，则的值为 ． 38．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）已知，，求． 39．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 40．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）先化简， 再求值：，其中   41．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）已知，求． 42．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）若 x，y 为实数，且 ． 求的值． ( 题型0 8 )比较二次根式的大小 43．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 44．（2023-24八年级下·山东威海·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 45．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）比较大小： ． 46．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）比较大小： (填“”、“”或“”） 47．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）比较大小： ( 题型0 9 )有关二次根式的应用 48．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A． B． C． D． 49．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）观察下列等式：，，，用含有（，取正整数）的式子将其中的规律表示出来为 ． 50．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，长方形空地的长为，宽为，现准备在空地中划出长为，宽为的小长方形（图中阴影部分）作为花卉实验田． (1)求长方形空地的周长（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田的面积（结果化为最简）． 51．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） (2)求原长方形木料的面积； (3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 52．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ ( 题型 10 )新定义型二次根式的运算 53．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ． 54．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ． 55．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么 ． 56．（2023-24八年级下·山东济南·期末）对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ． 57．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）阅读材料： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”完成下列问题： 如图，在中，，，． (1)求的面积； (2)设边上的高为，边上的高为，求的值． 58．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）观察下列等式及其验证过程： ，验证： ，验证： (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想______． (2)针对上述等式反映的规律，写出用（为大于的整数）表示的等式并给予验证． 59．（2023-24八年级下·山东日照·期末）解答： (1)计算：； (2)用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．求． 一、单选题 1．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023-24八年级下·山东济南·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）已知，则的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 6．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）估计的值在（　　） A．7到8之间 B．8到9之间 C．9到10之间 D．10到11之间 7．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算． 以上结论正确的是（    ） A．①③④ B．①④ C．①②③ D．①③ 二、填空题 8．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）计算： ． 9．（2023-24八年级下·山东德州·期末）若，则 ． 10．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如果，那么等式成立的条件是 . 11．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，羊头形图案做法如下，从正方形一开始以她的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和正方形②，⋯以此类推．若正方形①的边长为，则： （1）正方形③的边长为 ；（2）正方形的边长为 ． 三、解答题 12．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）计算： (1) (2)． 13．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）先化简，再求值：，其中． 14．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）阅读材料： 我们可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简， 可以先设， 再两边平方得， 所以， 又因为， 所以， 根据以上方法，化简：． 15．（2023-24八年级下·山东济南·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 2 / 13 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