专题03 万有引力与宇宙航行（考题猜想）-2024-2025学年高一物理下学期期末考点大串讲（粤教版2019）

专题03 万有引力与宇宙航行 考点1　开普勒定律的应用 考点2 万有引力和重力的关系 考点3　万有引力定律的应用 考向1　天体的质量和密度的估算 考向2　行星(或卫星)运行参数的确定 考向3 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较 考向4 宇宙速度的理解和计算 考点4 卫星或天体的追及和相遇问题 考点5 卫星变轨问题 考点6　双星及多星模型 考点1　开普勒定律的应用 对开普勒定律的三点理解 (1)开普勒定律除了适用于行星绕太阳的运动,同样适用于月球(人造卫星)绕地球的运动等天体系统。行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 ⑵由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 ⑶开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 1．(2024广东一模)如图所示为太阳系主要天体的分布示意图,下列关于太阳系行星运动规律的描述正确的是(　　) A.所有行星均以太阳为中心做匀速圆周运动 B. 地球与太阳的连线、火星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等 C.所有行星运行轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方之比都相等 D.地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆,且这两个椭圆必定有公共的焦点 开普勒定律的适用范围 (1)开普勒第二定律及其引出的推论,不仅适用于绕太阳运转的所有行星,也适用于以行星为中心的卫星,还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。但需要注意的是,不同行星的运行不能套用开普勒第二定律。 (2)开普勒第三定律不仅适用于太阳系,它对具有中心天体的引力系统(如行星-卫星系统)和双星系统[=,L为双星中心的距离]都成立。 2．国产科幻巨作《流浪地球》开创了中国科幻电影的新纪元，引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论．其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系．假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为(　　) A．8年 B．6年 C．4年 D．2年 3．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆如图所示。近日点与太阳中心的距离为，远日点到太阳的距离为。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。下列说法中正确的是（　　） A．哈雷彗星在近日点运动的速率与在远日点运动的速率之比为 B．哈雷彗星在近日点运动的速率与在远日点运动的速率之比为 C．哈雷彗星椭圆轨道的半长轴是地球公转轨道半径的倍 D．哈雷彗星椭圆轨道的半长轴是地球公转轨道半径的倍 4．如图所示，A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，O为地心，在两卫星运行过程中，AB连线和OA连线的夹角最大为θ，则A、B两卫星(　　) A．做圆周运动的周期之比为2 B．做圆周运动的周期之比为 C．与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为 D．与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为 考点2 万有引力和重力的关系 1．重力为地球引力的分力 如图甲所示，设地球的质量为 、半径为 ， 处物体的质量为 ，则物体受到地球吸引力为 ，方向指向地心 ，由万有引力公式得 。 图中 为物体随地球自转做圆周运动的向心力， 就是物体的重力 ，故一般情况 。 甲 2．重力和万有引力的大小关系 （1）重力与纬度的关系如图乙所示。 乙 ①在赤道： ， ，故 ，由于 最大，则 最小。 ②在两极：由于 ，故 最大。 ③在地面上其他位置， ，向心力 ，随着纬度的增大而减小，重力逐渐增大，直到等于地球对物体的万有引力。 （2）重力、重力加速度与高度的关系。 由于地球的自转角速度很小，所以一般情况下可忽略自转的影响。 ①在地球表面： ， ， 为常数。 ②在距地面 处： ， ，高度 越大，重力越小，重力加速度 越小。 5．如图所示， 、 是质量均为 的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上。如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体， 、 两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( ) A. 、 所受地球引力大小相等 B. 、 做圆周运动的向心力大小相等 C. 、 做圆周运动的线速度大小相等 D. 、 两质点的重力大小相等 6．中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像．若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是(　　) 7．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)(　　) A. B. C. D. 8．设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F1＝F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝。假设第三次在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F3；第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是(　　) A．F3＝，F4＝ B．F3＝，F4＝0 C．F3＝，F4＝0 D．F3＝4F0，F4＝ 考点3　万有引力定律的应用 1．解答人造地球卫星运行问题的策略 (1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 (2)两种关系 ①万有引力提供向心力：G＝ma＝m＝mω2r＝m2r。 ②重力等于万有引力：＝mg(R、g分别是地球的半径、地球表面重力加速度)。 2．天体质量和密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 质 量 的 计 算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ 密 度 的 计 算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ 3．行星(或卫星)运行参数的确定 四字结论：越高越慢 G＝ 4．人造卫星运行轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，其中一种同步卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。 考向1　天体的质量和密度的估算 1．利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg,得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 2．利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G=mr,得M=。 (2)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=,故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。 9．(多选)宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。不考虑月球自转的影响，则下列表述正确的是(　　) A．月球表面的自由落体加速度g月＝ B．月球的质量M＝ C．月球的密度ρ＝ D．月球的密度ρ＝ 10.若将北斗导航卫星绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动，运行轨道距地面的高度为h，运行周期为T，已知万有引力常量为G，地球半径为R。则地球质量M和地球的平均密度ρ分别为(　 ) A．M＝，ρ＝ B．M＝，ρ＝ C．M＝，ρ＝ D．M＝，ρ＝ 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 11.我国航空航天技术已居于世界前列。如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ。已知万有引力常量G，下列说法正确的是(　　) A.轨道半径越大，周期越小 B.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 C.若测得周期和张角，可得到星球的质量 D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度 考向2　行星(或卫星)运行参数的确定 12.如图所示的是一张人造地球卫星轨道示意图，其中圆轨道 、 、 的圆心均与地心重合， 与赤道平面重合， 与某一纬线圈共面， 与某一经线圈共面。下列说法正确的是( ) A. 、 、 、 都有可能是卫星的轨道 B. 轨道 上卫星的线速度大于 C. 轨道 上卫星的运行周期可能与地球自转周期相同 D. 仅根据轨道 上卫星的轨道半径、角速度和引力常量，也不能求出地球质量 13.有两颗质量相同的人造卫星，其轨道半径分别是 、 ，且 ，那么下列判断正确的是( ) A. 它们的周期之比 B. 它们的线速度之比 C. 它们所受的向心力之比 D. 它们的角速度之比 14.我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高，极大丰富了我国自主对地观测数据源，为现代农业、防灾减灾、环境监测等领域提供了可靠稳定的卫星数据支持。系列卫星中的高分三号的轨道高度约为 ，高分四号的轨道为高度约 的地球同步轨道。若将卫星的运动均看作是绕地球的匀速圆周运动，则( ) A. 高分三号的运行周期大于 B. 高分三号的向心加速度大于 C. 高分四号的运行角速度大于地球自转的角速度 D. 高分三号的运行速度大于高分四号的运行速度 考向3 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较 项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上物体 图示 向心力 万有引力 万有 引力 万有引力的 一个分力 轨道 半径 r同>r近=r物 角速度 ω近=,ω同=ω物=, 有ω近>ω同=ω物 线速度 v近=,v同=ω同(R+h)=, v物=ω物R,有v近>v同>v物 向心 加速度 a近=R=,a同=(R+h)= ,a物=R,有a近>a同>a物 注意 事项 忌用“越高越慢”结论比较地面上的物体和地球卫星的运动参量,因为“越高越慢”的结论适用于万有引力全部充当向心力使卫星做匀速圆周运动的情形,而地面上的物体随地球转动,充当向心力的仅是万有引力的一个分力。同样的,若地球卫星是在地球引力和其他星体或飞行器引力共同作用下的匀速圆周运动,此结论也不能直接套用 15. 、 、 、 四颗地球卫星， 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，向心加速度为 ； 处于近地轨道上，运行速度为 ； 是地球同步卫星，到地心距离为 ，运行速度为 ，加速度为 ； 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，已知地球的半径为 ，则有( ) A. 的向心加速度等于重力加速度 B. C. D. 的运动周期不可能是 16.神舟十九号载人飞船与中国空间站完成自主交会对接后形成一个组合体。该组合体在距地面高约400 km(高于近地轨道高度)的轨道上运行，其轨道可近似视为圆。已知地球同步卫星位于地面上方高度约36 000 km处，则该组合体(　　) A．运行速度大于7.9 km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期 B．运行速度大于7.9 km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期 C．运行速度小于7.9 km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期 D．运行速度小于7.9 km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期 17.如图所示，a为静止在地球赤道上的物体，b为近地卫星，c为静止卫星，d为高空探测卫星，a向为他们的向心加速度，r为它们到地心的距离，T为它们的运动周期，l、θ分别为相同时间内转过的弧长和转过的圆心角，则下列图像正确的是(　　) 考向4 宇宙速度的理解和计算 1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m，得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。 方法二：由mg＝m得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。 注意：第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度。 2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 18.使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2，v2与v1的关系是v2＝v1，已知某星球半径是地球半径R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则(　 ) A．该星球的平均密度为 B．该星球的质量为 C．该星球上的第二宇宙速度为 D．该星球的自转周期是地球的 19. 我国执行火星探测任务的“天问一号”探测器成功实现环绕火星运动。如图所示， 为“天问一号”探测器， 到火星表面的高度为 ，环绕周期为 ， 为静止在火星赤道表面的物体， 到火星中心的距离为 ，火星自转周期为 。已知引力常量为 ，则( D ) A. 火星的质量 B. 火星的第一宇宙速度大小 C. 与 的向心加速度大小之比 D. 与 的线速度大小之比 20.卢旺达2023年5月2日至3日遭受强降雨，引发该地区的洪水和山体滑坡等灾害。我国通过风云—2H静止气象卫星提供持续监测。风云—2H卫星于2018年6月5日成功发射到离地面高度约为地球半径5倍的地球静止轨道，可以为亚太空间合作组织成员国和“一带一路”沿线国家提供良好的观测视角和高频次区域观测。则关于风云—2H卫星说法正确的是(　　) A．围绕地球运转的角速度大于地球自转角速度 B．运行速度应是7.9 km/s C．向心加速度约为地面上物体的重力加速度的 D．我国能利用它进行气象观测，是因为它可以经过北京的正上方 考点4 卫星或天体的追及和相遇问题 1．问题简述：天体运动中的“相遇”是指两天体运行过程中相距最近，如图甲所示，而图乙时刻，地球和行星相距最远。 2．解题关键：从图甲开始分析两天体转过的角度或圈数。 3．卫星或天体相距最近或相距最远的条件 角度关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1,2,3，…)(同向)，或ω1t＋ω2t＝2nπ(n＝1,2,3，…)(反向) 相距最远 ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)(同向)，或ω1t′＋ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)(反向) 圈数关系 相距最近 －＝n(n＝1,2,3，…)(同向)，或＋＝n(n＝1,2,3，…)(反向) 相距最远 －＝n－(n＝1,2,3，…)(同向)，或＋＝n－(n＝1,2,3，…)(反向) 21.如图，火星与地球近似在同一平面内.绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍.地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行.当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日.忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（　　） A.火星的公转周期大约是地球的倍 B.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行 C.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行 D.在冲日处，火星相对于地球的速度最小 22.（多选）赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动，该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度，赤道上一观测者发现，该卫星连续两次出现在观测者正上方的最小时间间隔为 。已知地球自转周期为 ，地球半径为 ，地球表面的重力加速 度为 ，由此可知该卫星绕地球运动的周期 和离地面的高度 为( ) A. B. C. D. 23.如图所示，有A、B两颗卫星绕地心O做圆周运动，运动方向相反。A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量为G)(　 ) A．两卫星下一次相距最近需经过时间t＝ B．两颗卫星的轨道半径之比为 C．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度 D．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度 考点5 卫星变轨问题 1．变轨问题概述 （1）稳定运行 卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即 。 （2）变轨运行 当卫星由于某种原因，其速度 突然变化时， 和 不再相等，会出现以下两种情况： ①当 时，卫星做近心运动； ②当 时，卫星做离心运动。 2．两种常见形式 （1）渐变 由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动。 ①关键要点：轨道半径 减小（近心运动）。 这种变轨运动的起因是阻力使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做近心运动，即轨道半径 将减小。 ②各个物理参量的变化：当轨道半径 减小时，卫星线速度 、角速度 、向心加速度 增大，周期 减小。 （2）突变 由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的轨道。 发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为 ，在 点第一次点火加速，在短时间内将速率由 增加到 ，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ；卫星运行到远地点 时的速率为 ，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由 增加到 ，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。 24.北京时间2024年4月26日神舟十八号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十八号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　) A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可 B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可 C．飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可 D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可 “越高越慢”的三种表现形式 (1)单一椭圆轨道(图甲),表现为开普勒第二定律。即行星在椭圆轨道运动过程中,在离太阳位置越远时,速度越小。 (2)同一中心天体的多个环绕天体运动比较(图乙)。 (3)既有圆轨道又有椭圆轨道(图丙),表现为开普勒第三定律。通俗理解为,平均高度越高,运动一周时间越长,就是越慢。 25.023年5月30日，神舟十六号在酒泉卫星发射中心发射升空，成功将航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮顺利送入太空.发射入轨后，神舟十六号与天宫空间站进行交会对接，停靠于空间站核心舱的径向端口，对接后的组合体仍在空间站原轨道上运行.对接前，天宫空间站与神舟十六号的轨道如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.对接前，神舟十六号与天宫空间站绕地球做圆周运动的方向相反 B.对接前，神舟十六号绕地球做圆周运动的线速度大小比天宫空间站的大 C.神舟十六号需要运动到天宫空间站后下方变轨才能实现对接 D.神舟十六号需要运动到天宫空间站正下方变轨才能实现对接 26.如图为我国发射北斗卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道上做匀速圆周运动.已知卫星在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球质量为M，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为（不计卫星的质量变化）（　　） A.mv2＋ B.mv2－ C.mv2＋ D.mv2－ 27.最近几十年，人们对探测火星十分感兴趣，先后发射过许多探测飞船，且计划在火星建立人类聚居基地。登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A．飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ B．飞船在轨道Ⅰ上P点的加速度大于在轨道Ⅱ上P点的加速度 C．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度反方向喷气 D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的平均密度 考点6　双星及多星模型 1．双星模型(模型图见“探寻规律”图) (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即=m1r1,=m2r2。 (2)两星的周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2。 (3)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。 (4)两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即=。 (5)双星的运动周期T=2π。 (6)双星的总质量m1+m2=。 [讨论] (1)当m1=m2时,r1=r2=,ω=。 (2)当m1≪m2时,r1≈L,r2≈0,ω=,这正是我们已熟知的行星绕恒星的运转模型。 2．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同。 常见 的三 星模型 +=man ×cos 30°×2=man 常见 的四 星模型 ×cos 45°×2+=man ×cos 30°×2+=man 28.(2025广东深圳中学质检)有一对相互环绕旋转的超大质量的双黑洞系统，如图所示。若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，根据所学知识，下列说法中正确的是(　　) A．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1 B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1 C．双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2 D．双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1 (1)用类比法快速解决双星问题。 ①开普勒第三定律=k对双星系统仍然适用,这里的a即为双星中心间的距离,k与双星总质量有关。所以[例3]选项C中总质量M一定,则不变,L越大,T越大,ω越小;[变式](1)中,不变,故=1;[变式](2)中周期不变。 ②若mA≪mB,则可将此双星系统看作是A绕中心天体B的匀速圆周运动模型,直接根据卫星运行的周期公式即可确定[例3]选项A正确。 (2)等效双星模型。 具有与双星模型相同受力和运动特点的情形均可等效为双星模型处理。例如:小球A和B用细线连接,可在光滑水平杆上无摩擦滑动,装置绕竖直轴转动且两球与杆相对静止时(如图),两球的运动可等效为双星模型;两个异种电荷仅在库仑力作用下,绕连线上的一点做匀速圆周运动的情形,也是等效双星模型。 29.如图所示，恒星A、B构成的双星系统绕点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB,RA<RB。C为B的卫星，绕B沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期为T2，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G,以下说法正确的是(　　) A 恒星A的质量MA= B 若已知C的轨道半径,则可求出C的质量 C 设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t,则t= D 若A也有一颗运动周期为T2的卫星,则其轨道半径一定小于C的轨道半径 30．双星系统中两个星球A、B的质量都是m，相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且＝k(k＜1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于A、B的连线正中间，相对A、B静止，则A、B组成的双星系统周期理论值T0及C的质量分别为(　　) A．2π ，m　　　　 B．2π ，m C．2π ，m D．2π ，m 31.宇宙空间有一种由三颗星A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA<rB<rC.忽略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体(　　) A．线速度大小关系是vA>vB>vC B．加速度大小关系是aA>aB>aC C．质量大小关系是mA>mB>mC D．所受万有引力合力的大小关系是FA＝FB＝FC 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 万有引力与宇宙航行 考点1　开普勒定律的应用 考点2 万有引力和重力的关系 考点3　万有引力定律的应用 考向1　天体的质量和密度的估算 考向2　行星(或卫星)运行参数的确定 考向3 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较 考向4 宇宙速度的理解和计算 考点4 卫星或天体的追及和相遇问题 考点5 卫星变轨问题 考点6　双星及多星模型 考点1　开普勒定律的应用 对开普勒定律的三点理解 (1)开普勒定律除了适用于行星绕太阳的运动,同样适用于月球(人造卫星)绕地球的运动等天体系统。行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 ⑵由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 ⑶开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 1．(2024广东一模)如图所示为太阳系主要天体的分布示意图,下列关于太阳系行星运动规律的描述正确的是(　　) A.所有行星均以太阳为中心做匀速圆周运动 B. 地球与太阳的连线、火星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等 C.所有行星运行轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方之比都相等 D.地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆,且这两个椭圆必定有公共的焦点 答案 D 解析 八大行星均在椭圆轨道上运动,太阳处于椭圆其中一个焦点上,故A错误;同一行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等,故B错误;开普勒第三定律的内容为=k(k为常量),故C错误;D项表达了开普勒第一定律(轨道定律)的内容,故D正确。 开普勒定律的适用范围 (1)开普勒第二定律及其引出的推论,不仅适用于绕太阳运转的所有行星,也适用于以行星为中心的卫星,还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。但需要注意的是,不同行星的运行不能套用开普勒第二定律。 (2)开普勒第三定律不仅适用于太阳系,它对具有中心天体的引力系统(如行星-卫星系统)和双星系统[=,L为双星中心的距离]都成立。 2．国产科幻巨作《流浪地球》开创了中国科幻电影的新纪元，引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论．其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系．假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为(　　) A．8年 B．6年 C．4年 D．2年 答案　A 解析　由开普勒第三定律得：＝，解得T1＝8年，选项A正确． 3．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆如图所示。近日点与太阳中心的距离为，远日点到太阳的距离为。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。下列说法中正确的是（　　） A．哈雷彗星在近日点运动的速率与在远日点运动的速率之比为 B．哈雷彗星在近日点运动的速率与在远日点运动的速率之比为 C．哈雷彗星椭圆轨道的半长轴是地球公转轨道半径的倍 D．哈雷彗星椭圆轨道的半长轴是地球公转轨道半径的倍 答案 C 解析 根据开普勒第二定律，取时间微元，结合扇形面积公式，可知 解得 AB错误；地球绕太阳公转的周期为1年，哈雷彗星的周期为 T1=2061-1986 =75（年）根据开普勒第三定律得 解得 C正确，D错误。 4．如图所示，A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，O为地心，在两卫星运行过程中，AB连线和OA连线的夹角最大为θ，则A、B两卫星(　　) A．做圆周运动的周期之比为2 B．做圆周运动的周期之比为 C．与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为 D．与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为 答案　C 解析　夹角最大时，OB与AB垂直，根据几何关系有rB＝rAsin θ，由开普勒第三定律可得＝，则＝，A、B错误；t时间内，卫星与地心连线扫过的面积S＝·πr2，则＝·＝，C正确，D错误 考点2 万有引力和重力的关系 1．重力为地球引力的分力 如图甲所示，设地球的质量为 、半径为 ， 处物体的质量为 ，则物体受到地球吸引力为 ，方向指向地心 ，由万有引力公式得 。 图中 为物体随地球自转做圆周运动的向心力， 就是物体的重力 ，故一般情况 。 甲 2．重力和万有引力的大小关系 （1）重力与纬度的关系如图乙所示。 乙 ①在赤道： ， ，故 ，由于 最大，则 最小。 ②在两极：由于 ，故 最大。 ③在地面上其他位置， ，向心力 ，随着纬度的增大而减小，重力逐渐增大，直到等于地球对物体的万有引力。 （2）重力、重力加速度与高度的关系。 由于地球的自转角速度很小，所以一般情况下可忽略自转的影响。 ①在地球表面： ， ， 为常数。 ②在距地面 处： ， ，高度 越大，重力越小，重力加速度 越小。 5．如图所示， 、 是质量均为 的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上。如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体， 、 两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( ) A. 、 所受地球引力大小相等 B. 、 做圆周运动的向心力大小相等 C. 、 做圆周运动的线速度大小相等 D. 、 两质点的重力大小相等 答案A 解析 设地球质量为 ，半径为 ， 、 两质点所受地球引力都是 ， 正确； 、 都随地球一起转动，其角速度一样大，但 的轨道半径大于 的轨道半径，根据 ， 可得， ， ， 、 错误；万有引力的一个分力提供物体所受的重力，另外一个分力提供向心力，可得在赤道处重力最小，随着纬度的增加，向心力在减小，重力在增大，可得重力在两极处最大， 错误。 6．中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像．若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是(　　) 答案　D 解析　设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R－h为半径的球体的质量为M′，则根据密度相等有＝，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有G＝mg，联立以上两式并整理可得g＝(R－h)，由该表达式可知D正确，A、B、C错误． 7．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小似近相等，有g＝G.由于地球的质量为M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝＝＝πGρR.质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝；根据万有引力提供向心力有G＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝，所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误． 8．设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F1＝F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝。假设第三次在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F3；第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是(　　) A．F3＝，F4＝ B．F3＝，F4＝0 C．F3＝，F4＝0 D．F3＝4F0，F4＝ 答案 B 解析　设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力F1＝＝F0。由于在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝，则Fn2＝F1－F2＝F0＝mω2R。行星半径以内的部分的质量为M′＝·M＝M，物体在处受到的万有引力F3′＝＝F1＝F0，物体需要的向心力Fn3＝mω2·＝mω2R＝F0，所以在赤道平面内深度为的隧道底部，弹簧测力计的示数为F3＝F3′－Fn3＝F0－F0＝F0，第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧测力计的示数为0。B正确。 考点3　万有引力定律的应用 1．解答人造地球卫星运行问题的策略 (1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 (2)两种关系 ①万有引力提供向心力：G＝ma＝m＝mω2r＝m2r。 ②重力等于万有引力：＝mg(R、g分别是地球的半径、地球表面重力加速度)。 2．天体质量和密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 质 量 的 计 算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ 密 度 的 计 算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ 3．行星(或卫星)运行参数的确定 四字结论：越高越慢 G＝ 4．人造卫星运行轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，其中一种同步卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。 考向1　天体的质量和密度的估算 1．利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg,得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 2．利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G=mr,得M=。 (2)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=,故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。 9．(多选)宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。不考虑月球自转的影响，则下列表述正确的是(　　) A．月球表面的自由落体加速度g月＝ B．月球的质量M＝ C．月球的密度ρ＝ D．月球的密度ρ＝ 答案　ABD 解析　月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2，则月球表面的自由落体加速度g月＝，故A正确；不考虑月球自转的影响，有G＝mg月，得月球的质量M＝，故B正确；月球的密度ρ＝＝＝，故C错误，D正确。 10.若将北斗导航卫星绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动，运行轨道距地面的高度为h，运行周期为T，已知万有引力常量为G，地球半径为R。则地球质量M和地球的平均密度ρ分别为(　 ) A．M＝，ρ＝ B．M＝，ρ＝ C．M＝，ρ＝ D．M＝，ρ＝ 答案　A 解析　将北斗导航卫星绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动，设卫星的质量为m，由万有引力提供向心力有G＝m2(R＋h)，解得M＝，又有M＝ρπR3，解得ρ＝，A正确。 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 11.我国航空航天技术已居于世界前列。如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ。已知万有引力常量G，下列说法正确的是(　　) A.轨道半径越大，周期越小 B.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 C.若测得周期和张角，可得到星球的质量 D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度 答案　B 解析　根据开普勒第三定律可知＝k，轨道半径越大，飞行器的周期越大，故A错误；设星球的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，张角为θ，飞行器的质量为m，轨道半径为r，周期为T。对于飞行器，根据万有引力提供向心力得G＝mr，解得星球质量M＝，由几何关系有R＝rsin ，若测得周期和张角，因为星球的半径和轨道半径均未知，则不能得到星球的质量，星球的平均密度ρ＝＝，即若测得周期和张角，可得到星球的平均密度，故B正确，C错误；由上述分析可知，若测得周期和轨道半径可以得到星球质量，不能得到星球的平均密度，故D错误。 考向2　行星(或卫星)运行参数的确定 12.如图所示的是一张人造地球卫星轨道示意图，其中圆轨道 、 、 的圆心均与地心重合， 与赤道平面重合， 与某一纬线圈共面， 与某一经线圈共面。下列说法正确的是( ) A. 、 、 、 都有可能是卫星的轨道 B. 轨道 上卫星的线速度大于 C. 轨道 上卫星的运行周期可能与地球自转周期相同 D. 仅根据轨道 上卫星的轨道半径、角速度和引力常量，也不能求出地球质量 答案C 解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，地球对卫星的引力提供向心力，可知地心为卫星的圆轨道圆心，故 不可能是卫星的轨道， 错误；第一宇宙速度 是卫星在地球表面绕地球做匀速圆周运动时的线速度，是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，故轨道 上卫星的线速度小于 ， 错误；如果轨道 的半径等于地球同步卫星的轨道半径，则轨道 上卫星的运行周期等于地球同步卫星的周期，即轨道 上卫星的运行周期等于地球自转周期， 正确；根据万有引力提供向心力可得 ，可得 ，根据轨道 上卫星的轨道半径、角速度和引力常量，可以求出地球质量， 错误。 13.有两颗质量相同的人造卫星，其轨道半径分别是 、 ，且 ，那么下列判断正确的是( ) A. 它们的周期之比 B. 它们的线速度之比 C. 它们所受的向心力之比 D. 它们的角速度之比 答案BD 解析 万有引力充当向心力，根据公式 可得 ，故周期之比 ，故 错误；根据公式 可得 ，故线速度之比 ，故 正确；根据公式 可得向心力之比 ，故 错误；根据公式 解得 ，故角速度之比为 ，故 正确。 14.我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高，极大丰富了我国自主对地观测数据源，为现代农业、防灾减灾、环境监测等领域提供了可靠稳定的卫星数据支持。系列卫星中的高分三号的轨道高度约为 ，高分四号的轨道为高度约 的地球同步轨道。若将卫星的运动均看作是绕地球的匀速圆周运动，则( ) A. 高分三号的运行周期大于 B. 高分三号的向心加速度大于 C. 高分四号的运行角速度大于地球自转的角速度 D. 高分三号的运行速度大于高分四号的运行速度 答案D 解析 根据万有引力提供向心力可知 ，解得 ，因此轨道半径越高，周期就越大，故高分三号的运行周期小于高分四号的，即小于 ，故 错误；贴着地球表面运行的人造卫星，有 ，设高分三号的向心加速度为 ，则 ，因为 ，所以 ，即高分三号的向心加速度小于 ，故 错误；高分四号处在地球同步轨道上，因此其运行角速度等于地球自转角速度，故 错误；根据万有引力提供向心力可知 ，解得 ，可知半径越大，速度越小，故高分三号的运行速度大于高分四号的运行速度，故 正确。 考向3 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较 项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上物体 图示 向心力 万有引力 万有 引力 万有引力的 一个分力 轨道 半径 r同>r近=r物 角速度 ω近=,ω同=ω物=, 有ω近>ω同=ω物 线速度 v近=,v同=ω同(R+h)=, v物=ω物R,有v近>v同>v物 向心 加速度 a近=R=,a同=(R+h)= ,a物=R,有a近>a同>a物 注意 事项 忌用“越高越慢”结论比较地面上的物体和地球卫星的运动参量,因为“越高越慢”的结论适用于万有引力全部充当向心力使卫星做匀速圆周运动的情形,而地面上的物体随地球转动,充当向心力的仅是万有引力的一个分力。同样的,若地球卫星是在地球引力和其他星体或飞行器引力共同作用下的匀速圆周运动,此结论也不能直接套用 15. 、 、 、 四颗地球卫星， 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，向心加速度为 ； 处于近地轨道上，运行速度为 ； 是地球同步卫星，到地心距离为 ，运行速度为 ，加速度为 ； 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，已知地球的半径为 ，则有( ) A. 的向心加速度等于重力加速度 B. C. D. 的运动周期不可能是 答案CD 解析 同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知 与 的角速度相同，根据 知， 的向心加速度大于 的向心加速度，由 知，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星的向心加速度小于 的向心加速度，而 的向心加速度约为 ，故知 的向心加速度小于重力加速度 ，故 错误；由 得 ，所以 ， 错误；由 得 ， 正确；由开普勒第三定律 ，卫星的轨道半径越大，周期越大，所以 的运动周期大于 的周期，即大于 ，不可能是 ， 正确。 16.神舟十九号载人飞船与中国空间站完成自主交会对接后形成一个组合体。该组合体在距地面高约400 km(高于近地轨道高度)的轨道上运行，其轨道可近似视为圆。已知地球同步卫星位于地面上方高度约36 000 km处，则该组合体(　　) A．运行速度大于7.9 km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期 B．运行速度大于7.9 km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期 C．运行速度小于7.9 km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期 D．运行速度小于7.9 km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期 答案　C 解析　根据G＝m＝mr，可得v＝，T＝2π，组合体的轨道半径大于地球半径，可知组合体的运行速度小于7.9 km/s；组合体轨道半径小于同步卫星的轨道半径，可知组合体的运行周期小于地球同步卫星的周期。故选C。 17.如图所示，a为静止在地球赤道上的物体，b为近地卫星，c为静止卫星，d为高空探测卫星，a向为他们的向心加速度，r为它们到地心的距离，T为它们的运动周期，l、θ分别为相同时间内转过的弧长和转过的圆心角，则下列图像正确的是(　　) 答案　C 解析　因c为静止卫星，a为静止在赤道上的物体，则Ta＝Tc，ωa＝ωc，由a向＝ω2r可知aa<ac<g，A、B错误；由v＝ωr可知，va<vc，由l＝vt，可知经过相同时间la<lc，D错误；对b、c、d三颗卫星，根据G＝mω2r，可得ω＝，所以ωb>ωc＝ωa>ωd，由θ＝ωt，可知经历相同时间θb>θc＝θa>θd，C正确。 考向4 宇宙速度的理解和计算 1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m，得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。 方法二：由mg＝m得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。 注意：第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度。 2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 18.使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2，v2与v1的关系是v2＝v1，已知某星球半径是地球半径R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则(　 ) A．该星球的平均密度为 B．该星球的质量为 C．该星球上的第二宇宙速度为 D．该星球的自转周期是地球的 答案A 解析 　地球表面上物体所受重力等于其万有引力，即G＝mg，地球的质量为M＝＝ρ·πR3，同理，星球的质量为M′＝＝ρ′·πR′3，联立解得ρ′＝，M′＝，A正确，B错误；该星球表面的重力加速度g′＝，由mg′＝，可得该星球的“第一宇宙速度”v1＝，该星球的“第二宇宙速度”v2＝v1＝，C错误；根据题给信息，不能计算出该星球的自转周期，D错误。 19. 我国执行火星探测任务的“天问一号”探测器成功实现环绕火星运动。如图所示， 为“天问一号”探测器， 到火星表面的高度为 ，环绕周期为 ， 为静止在火星赤道表面的物体， 到火星中心的距离为 ，火星自转周期为 。已知引力常量为 ，则( D ) A. 火星的质量 B. 火星的第一宇宙速度大小 C. 与 的向心加速度大小之比 D. 与 的线速度大小之比 答案 解析 “天问一号”探测器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 ，解得 ，故 错误；根据线速度与周期的关系可得 运动的线速度 ，火星的第一宇宙速度为火星的近地卫星的线速度，而不是火星赤道表面的物体的线速度，故 错误；根据向心加速度的计算公式 , ，得 与 的向心加速度大小之比 ，故 错误；根据线速度与周期的关系得 ， ，所以 与 的线速度大小之比 ，故 正确。 20.卢旺达2023年5月2日至3日遭受强降雨，引发该地区的洪水和山体滑坡等灾害。我国通过风云—2H静止气象卫星提供持续监测。风云—2H卫星于2018年6月5日成功发射到离地面高度约为地球半径5倍的地球静止轨道，可以为亚太空间合作组织成员国和“一带一路”沿线国家提供良好的观测视角和高频次区域观测。则关于风云—2H卫星说法正确的是(　　) A．围绕地球运转的角速度大于地球自转角速度 B．运行速度应是7.9 km/s C．向心加速度约为地面上物体的重力加速度的 D．我国能利用它进行气象观测，是因为它可以经过北京的正上方 答案　C 解析　地球静止卫星围绕地球的角速度与地球自转角速度大小相等，故A错误；第一宇宙速度7.9 km/s是近地卫星的环绕速度，也是地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，而静止卫星的轨道半径要大于近地卫星的轨道半径，其线速度一定小于第一宇宙速度，故B错误；根据万有引力提供向心力，得＝ma，据地球表面万有引力等于重力，得＝mg，由以上两等式得a＝g，所以它的向心加速度约为地面上物体的重力加速度的，故C正确；静止卫星轨道和赤道在同一平面，所以不可能经过北京的正上空，故D错误。故选C。 考点4 卫星或天体的追及和相遇问题 1．问题简述：天体运动中的“相遇”是指两天体运行过程中相距最近，如图甲所示，而图乙时刻，地球和行星相距最远。 2．解题关键：从图甲开始分析两天体转过的角度或圈数。 3．卫星或天体相距最近或相距最远的条件 角度关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1,2,3，…)(同向)，或ω1t＋ω2t＝2nπ(n＝1,2,3，…)(反向) 相距最远 ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)(同向)，或ω1t′＋ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)(反向) 圈数关系 相距最近 －＝n(n＝1,2,3，…)(同向)，或＋＝n(n＝1,2,3，…)(反向) 相距最远 －＝n－(n＝1,2,3，…)(同向)，或＋＝n－(n＝1,2,3，…)(反向) 21.如图，火星与地球近似在同一平面内.绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍.地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行.当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日.忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（　　） A.火星的公转周期大约是地球的倍 B.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行 C.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行 D.在冲日处，火星相对于地球的速度最小 答案 CD 解析　由开普勒第三定律可知，由于火星轨道半径大于地球轨道半径，所以火星公转周期一定大于地球公转周期(也可根据＝，r火≈1.5r地，得出T火＝T地)，A项错误；火星与地球均绕太阳做匀速圆周运动，即G＝m，解得v＝，所以火星公转速度小于地球公转速度，因此在冲日处，地球上的观测者观测到火星相对于地球由东向西运动，为逆行，B项错误、C项正确；火星和地球运行的线速度大小不变，且在冲日处，地球与火星速度方向相同，故此时火星相对于地球的速度最小，D项正确. 22.（多选）赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动，该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度，赤道上一观测者发现，该卫星连续两次出现在观测者正上方的最小时间间隔为 。已知地球自转周期为 ，地球半径为 ，地球表面的重力加速 度为 ，由此可知该卫星绕地球运动的周期 和离地面的高度 为( ) A. B. C. D. 答案AC 解析 设卫星的周期为 ，则有 ,解得 ,由万有引力提供向心力有 ,又在地表处有 ,联立解得 ，故选 。 23.如图所示，有A、B两颗卫星绕地心O做圆周运动，运动方向相反。A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量为G)(　 ) A．两卫星下一次相距最近需经过时间t＝ B．两颗卫星的轨道半径之比为 C．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度 D．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度 答案AB 解析 　两卫星运动方向相反，设经过时间t再次相遇，则有t＋t＝2π，解得t＝，A正确；根据万有引力提供向心力得＝mr，A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，所以两颗卫星的轨道半径之比为，B正确；若已知两颗卫星相距最近时的距离，结合两颗卫星的轨道半径之比可以求出两颗卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力得＝mr，可求出地球的质量，但不知道地球的半径，所以不能求出地球的密度和地球表面的重力加速度，故C、D错误。 考点5 卫星变轨问题 1．变轨问题概述 （1）稳定运行 卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即 。 （2）变轨运行 当卫星由于某种原因，其速度 突然变化时， 和 不再相等，会出现以下两种情况： ①当 时，卫星做近心运动； ②当 时，卫星做离心运动。 2．两种常见形式 （1）渐变 由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动。 ①关键要点：轨道半径 减小（近心运动）。 这种变轨运动的起因是阻力使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做近心运动，即轨道半径 将减小。 ②各个物理参量的变化：当轨道半径 减小时，卫星线速度 、角速度 、向心加速度 增大，周期 减小。 （2）突变 由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的轨道。 发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为 ，在 点第一次点火加速，在短时间内将速率由 增加到 ，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ；卫星运行到远地点 时的速率为 ，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由 增加到 ，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。 24.北京时间2024年4月26日神舟十八号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十八号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　) A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可 B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可 C．飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可 D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可 答案　D 解析　卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。 “越高越慢”的三种表现形式 (1)单一椭圆轨道(图甲),表现为开普勒第二定律。即行星在椭圆轨道运动过程中,在离太阳位置越远时,速度越小。 (2)同一中心天体的多个环绕天体运动比较(图乙)。 (3)既有圆轨道又有椭圆轨道(图丙),表现为开普勒第三定律。通俗理解为,平均高度越高,运动一周时间越长,就是越慢。 25.023年5月30日，神舟十六号在酒泉卫星发射中心发射升空，成功将航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮顺利送入太空.发射入轨后，神舟十六号与天宫空间站进行交会对接，停靠于空间站核心舱的径向端口，对接后的组合体仍在空间站原轨道上运行.对接前，天宫空间站与神舟十六号的轨道如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.对接前，神舟十六号与天宫空间站绕地球做圆周运动的方向相反 B.对接前，神舟十六号绕地球做圆周运动的线速度大小比天宫空间站的大 C.神舟十六号需要运动到天宫空间站后下方变轨才能实现对接 D.神舟十六号需要运动到天宫空间站正下方变轨才能实现对接 答案 BC 解析　对接前，神舟十六号与天宫空间站绕地球做圆周运动的方向相同，选项A错误；由万有引力提供向心力可知G＝m，解得v＝，所以对接前，神舟十六号绕地球做圆周运动的线速度大小比天宫空间站的大，选项B正确；由图可知，对接前，神舟十六号的轨道半径小于天宫空间站的轨道半径，要想完成对接，需要神舟十六号加速做离心运动，则神舟十六号需要运动到天宫空间站后下方变轨才能实现对接，选项C正确，选项D错误. 26.如图为我国发射北斗卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道上做匀速圆周运动.已知卫星在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球质量为M，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为（不计卫星的质量变化）（　　） A.mv2＋ B.mv2－ C.mv2＋ D.mv2－ 答案D 解析　当卫星在r1＝r的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在圆轨道上运行时通过A点的速度为v0＝，所以发动机在A点对卫星做的功为W1＝mv2－m＝mv2－；当卫星在r2＝2r的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在圆轨道上运行时通过B点的速度为v'0＝，而根据题意可知在椭圆轨道上通过B点时的速度为v1＝v＝v，故发动机在B点对卫星做的功为W2＝mv'20－m＝－mv2，所以W1－W2＝mv2－，D正确. 27.最近几十年，人们对探测火星十分感兴趣，先后发射过许多探测飞船，且计划在火星建立人类聚居基地。登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A．飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ B．飞船在轨道Ⅰ上P点的加速度大于在轨道Ⅱ上P点的加速度 C．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度反方向喷气 D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的平均密度 答案　AD 解析　根据开普勒第三定律＝k可知，飞船在轨道上运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ，A正确；飞船在P点，无论在轨道Ⅰ上，还是在轨道Ⅱ上，所受万有引力都相同，加速度都相同，B错误；从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需减速做向心运动，应朝速度方向喷气，C错误；轨道贴近火星表面时，根据万有引力提供飞船做圆周运动的向心力有G＝mRω2，火星的平均密度ρ＝＝，D正确。 考点6　双星及多星模型 1．双星模型(模型图见“探寻规律”图) (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即=m1r1,=m2r2。 (2)两星的周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2。 (3)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。 (4)两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即=。 (5)双星的运动周期T=2π。 (6)双星的总质量m1+m2=。 [讨论] (1)当m1=m2时,r1=r2=,ω=。 (2)当m1≪m2时,r1≈L,r2≈0,ω=,这正是我们已熟知的行星绕恒星的运转模型。 2．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同。 常见 的三 星模型 +=man ×cos 30°×2=man 常见 的四 星模型 ×cos 45°×2+=man ×cos 30°×2+=man 28.(2025广东深圳中学质检)有一对相互环绕旋转的超大质量的双黑洞系统，如图所示。若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，根据所学知识，下列说法中正确的是(　　) A．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1 B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1 C．双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2 D．双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1 答案　BD 解析　双黑洞绕连线的某点做匀速圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，故A错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供，向心力大小相等，由M1ω2r1＝M2ω2r2，得r1∶r2＝M2∶M1，故B正确；由v＝ωr得双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，故C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，故D正确。 (1)用类比法快速解决双星问题。 ①开普勒第三定律=k对双星系统仍然适用,这里的a即为双星中心间的距离,k与双星总质量有关。所以[例3]选项C中总质量M一定,则不变,L越大,T越大,ω越小;[变式](1)中,不变,故=1;[变式](2)中周期不变。 ②若mA≪mB,则可将此双星系统看作是A绕中心天体B的匀速圆周运动模型,直接根据卫星运行的周期公式即可确定[例3]选项A正确。 (2)等效双星模型。 具有与双星模型相同受力和运动特点的情形均可等效为双星模型处理。例如:小球A和B用细线连接,可在光滑水平杆上无摩擦滑动,装置绕竖直轴转动且两球与杆相对静止时(如图),两球的运动可等效为双星模型;两个异种电荷仅在库仑力作用下,绕连线上的一点做匀速圆周运动的情形,也是等效双星模型。 29.如图所示，恒星A、B构成的双星系统绕点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB,RA<RB。C为B的卫星，绕B沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期为T2，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G,以下说法正确的是(　　) A 恒星A的质量MA= B 若已知C的轨道半径,则可求出C的质量 C 设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t,则t= D 若A也有一颗运动周期为T2的卫星,则其轨道半径一定小于C的轨道半径 答案 A 解析 在A、B组成的双星系统中,对B有G=MB() 2RB,解得MA=,故A正确;若已知C的轨道半径和周期,只能求解其中心天体B的质量,无法求解C的质量,故B错误;A、B、C三星由图示位置到再次共线时,有t-t=π,解得t=,故C错误;对A、B组成的双星系统有MA()2RA=MB()2RB,因为RA<RB,所以MA>MB,若A也有一颗运动周期为T2的卫星,有G=m()2r,解得r=,同理可得C的轨道半径RC=,可知r>RC,故D错误。 30．双星系统中两个星球A、B的质量都是m，相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且＝k(k＜1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于A、B的连线正中间，相对A、B静止，则A、B组成的双星系统周期理论值T0及C的质量分别为(　　) A．2π ，m　　　　 B．2π ，m C．2π ，m D．2π ，m 答案 D 解析　由题意知，A、B的运动周期相同，设轨道半径分别为r1、r2，对A有，＝m2r1，对B有，＝m2r2，且r1＋r2＝L，解得T0＝2π ；有C存在时，设C的质量为M，A、B与C之间的距离r1′＝r2′＝，则＋＝m2r1′，＋＝m2r2′，解得T＝2π ，＝ ＝k，得M＝m。故D正确。 31.宇宙空间有一种由三颗星A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA<rB<rC.忽略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体(　　) A．线速度大小关系是vA>vB>vC B．加速度大小关系是aA>aB>aC C．质量大小关系是mA>mB>mC D．所受万有引力合力的大小关系是FA＝FB＝FC 答案　C 解析　三星体系中三颗星的角速度ω相同，轨道半径rA<rB<rC，由v＝rω可知vA<vB<vC，由a＝rω2可知aA<aB<aC，故A、B错误；设等边三角形ABC的边长为L，由题意可知三颗星受到万有引力的合力指向圆心O，以C为研究对象，有G>，得mA>mB，同理可知mB>mC，所以mA>mB>mC，故C正确；由于mA>mB>mC，结合万有引力定律，可知A与B之间的引力大于A与C之间的引力，又大于B与C之间的引力，又知A、B、C受到的两个万有引力之间的夹角都是相等的，根据两个分力的角度一定时，两个力越大，合力越大，可知FA>FB>FC，故D错误． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$