专题02 圆周运动（考题猜想）-2024-2025学年高一物理下学期期末考点大串讲（粤教版2019）

专题02 圆周运动 考点1　圆周运动的运动学问题 考点2　圆周运动的动力学问题 考点3 离心运动 考点4 生活中的圆周运动 考向1 转弯问题 考向2 汽车过桥问题与航天器中的失重现象 考点5　水平面内圆周运动的临界问题 考向1 与摩擦力有关的临界极值问题 考向2 与弹力有关的临界极值问题 考点6　竖直面内圆周运动的临界问题 考向1 轻绳型 考向2 轻杆型 考点7 平抛与圆周运动的结合 考点8 实验:探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 考向1　基础性实验 考向2 创新性实验 考点1　圆周运动的运动学问题 1．圆周运动各物理量间的关系 2．常见的传动方式及特点 项目 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接,A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合,A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等 转向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比: = 向心加速度与半径成正比: = 角速度与半径成反比: = 向心加速度与半径成反比: = 角速度与半径成反比: = 向心加速度与半径成反比: = 1．实验楼大厅里科普器材中有如图所示的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮，若齿轮的齿很小，大齿轮半径（内径）是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是（　　） A. 小齿轮逆时针匀速转动 B. 小齿轮每个齿边缘的线速度均一样 C. 小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍 D. 小齿轮的周期为大齿轮周期的3倍 2．无级变速箱是自动挡车型变速箱的一种，比普通的自动变速箱换挡更平顺，没有冲击感．如图为其原理图，通过改变滚轮位置实现在变速范围内任意连续变换速度．A、B为滚轮轴上两点，变速过程中主动轮转速不变，各轮间不打滑，则(　　) A．从动轮和主动轮转动方向始终相反 B．滚轮在B处时，从动轮角速度小于主动轮角速度 C．滚轮从A到B，从动轮线速度先增大后减小 D．滚轮从A到B，从动轮转速先增大后减小 3． 机动车检测站进行车辆尾气检测原理如下：车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚动圆筒上，可在原地沿前进方向加速，然后把检测传感器放入尾气出口，操作员把车加速到一定程度，持续一定时间，在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数。现有如下检测过程简图：车轴A的半径为ra，车轮B的半径为rb，滚动圆筒C的半径为rc，车轮与滚动圆筒间不打滑，当车轮以恒定转速n(每秒钟n转)运行时，下列说法正确的是(　　) A．C的边缘线速度为2πnrc B．A、B的角速度大小相等，均为2πn，且A、B沿顺时针方向转动，C沿逆时针方向转动 C．A、B、C的角速度大小相等，均为2πn，且均沿顺时针方向转动 D．B、C的角速度之比为 4．(多选)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接，如图乙所示，现玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是(　 ) A．P、Q的线速度相同 B．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反 C．P点的线速度大小约为1.6 m/s D．摇把的转速约为400 r/min 考点2　圆周运动的动力学问题 1．向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面,确定圆心的位置。 (2)分析物体的受力情况,沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。 2．匀速圆周运动的实例 运动模型 向心力的来源图示 飞机水平转弯 火车转弯 圆锥摆 飞车走壁 汽车在水平 路面转弯 水平转台 3．变速圆周运动 如图所示,当小球在竖直面内摆动时,沿半径方向的合力提供向心力,F=FT-mgcos θ=m,如图所示。 5．游乐场有一种叫做“快乐飞机”的游乐项目，其简化模型如图所示，已知模型飞机质量为m，固定在长为L的旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为θ(0＜θ≤)，当模型飞机以角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是(　　) A.模型飞机受到重力、旋臂的作用力和向心力 B.旋臂对模型飞机的作用力方向一定与旋臂垂直 C.旋臂对模型飞机的作用力大小为m D.若夹角θ增大，则旋臂对模型飞机的作用力减小 6． 如图为自行车气嘴灯及其结构图,弹簧一端固定在A端,另一端拴接重物,当车轮高速旋转时,LED灯就会发光。下列说法正确的是(　　) A. B端比A端的线速度小,安装时应该让B比A更靠近车轮的圆心 B.旋转时,重物受到重力、弹力和向心力作用 C. 增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光 D. 匀速行驶时,若LED灯转到最低点时能发光,则在最高点时也一定能发光 解决圆周运动的动力学问题的一般思路 7．如图所示，内壁光滑的空心圆柱体竖直固定在水平地面上，圆柱体的内径为R.沿着水平切向给贴在内壁左侧O点的小滑块一个初速度v0，小滑块将沿着柱体的内壁旋转向下运动，最终落在柱体的底面上．已知小滑块可看成质点，质量为m，重力加速度为g，O点距柱体的底面距离为h.下列判断正确的是(　　) A．v0越大，小滑块在圆柱体中运动时间越短 B．小滑块运动中的加速度越来越大 C．小滑块运动中对圆柱体内表面的压力越来越大 D．小滑块落至底面时的速度大小为 8．(2024广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　) A．r B．l C．r D．l 考点3 离心运动 1．物体做离心运动的原因：提供向心力的合外力突然消失，或者合外力不能提供足够的向心力。 注意：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”实际上并不存在。 2．合外力与向心力的关系（如图所示） （1）若 或 ，则物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。 （2）若 或 ，则物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”。 （3）若 或 ，则合外力不足以将物体拉回到原轨道上，物体做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”。 （4）若 ，则物体做直线运动。 9．如图所示，一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，角速度恒定，则( ) A. 杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用 B. 杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心 C. 杯子离转盘中心越近越容易做离心运动 D. 若给杯子中加水，则杯子更容易做离心运动 10.运动员以速度 在倾角为 的倾斜赛道上做匀速圆周运动。已知运动员及自行车的总质量为 ，做圆周运动的半径为 ，重力加速度为 ，将运动员和自行车看作一个整体，则下列说法正确的是( ) A. 整体受重力、支持力、摩擦力、向心力作用 B. 整体受到的合力大小为 C. 若运动员加速，则一定沿斜面上滑 D. 若运动员减速，则一定加速沿斜面下滑 11.如图所示，滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴匀速转动，滚筒上有很多漏水孔，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的效果，下列说法正确的是(　　) A．脱水过程中滚筒对衣物的摩擦力始终充当向心力 B．衣物在最低点B时脱水效果最好 C．衣物在A、B两点时的加速度相同 D．衣物在A、B两点时所受筒壁的力大小相等 12.离心沉淀器可以加速物质的沉淀，它的示意图如图所示，试管中先装水，再加入粉笔末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔末沉淀在试管的底端，则( ) A. 旋转越快，试管的高度越低 B. 粉笔末向试管底部运动是一种离心现象 C. 旋转越快，粉笔末的沉淀现象越明显 D. 旋转越快，粉笔末的沉淀现象越不明显 考点4 生活中的圆周运动 考向1 转弯问题 1．火车转弯问题 （1）火车在弯道上的运动特点 火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力。 （2）转弯轨道受力与火车速度的关系 甲 ①若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，如图甲所示，有 ，则 ，其中 为弯道半径， 为轨道平面与水平面的夹角， 为转弯处的规定速度。此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用。 ②若火车行驶速度 ，则外轨对轮缘有侧压力。 ③若火车行驶速度 ，则内轨对轮缘有侧压力。 2．汽车转弯问题 （1）水平地面上转弯 乙 汽车、摩托车和自行车在水平地面上转弯，其向心力都是由地面的摩擦力提供的，受力分析如图乙所示，这时重力和地面对车的支持力平衡，当 达到最大时，即有 ,所以车辆转弯的安全速度 。 （2）外高内低斜面式弯道转弯 此种情况与火车垫高外轨的情境类似，车辆转弯时所需向心力由重力 和支持力 的合力 提供，如图丙所示。由 可得规定速度 。若车速 ，车轮受到沿斜面向下的摩擦力作用；若车速 ,车轮受到沿斜面向上的摩擦力作用。 丙 13.如图所示为我国某平原地区从P市到Q市之间的高铁线路,线路上T1、T2、T3位置处的圆弧半径分别为r、r、2r。若列车在P市到Q市之间匀速率运行,列车在经过T1、T2、T3位置处与铁轨都没有发生侧向挤压,三处铁轨平面与水平面间的夹角分别为α、β、γ。下列说法正确的是(　　) A 列车依次通过3个位置的角速度之比为1∶1∶2 B 列车依次通过3个位置的向心加速度之比为1∶1∶2 C 3个位置的tan α∶tan β∶tan γ=2∶2∶1 D 3个位置的内、外轨道的高度差之比为1∶1∶2 14.如图所示，一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是(　　) A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B.汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N C.汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑 D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2 15.2022年2月12日，在速度滑冰男子500米决赛上，高亭宇以34秒32的成绩刷新奥运纪录．国家速度滑冰队在训练弯道技术时采用人体高速弹射装置，在实际应用中装置在前方通过绳子拉着运动员，使运动员做匀加速直线运动，到达设定速度时，运动员松开绳子，进行高速入弯训练，已知弯道半径为25 m，人体弹射装置可以使运动员在4.5 s内由静止达到入弯速度18 m/s，入弯时冰刀与冰面的接触情况如图所示，运动员质量为50 kg，重力加速度取g＝10 m/s2，忽略弯道内外高度差及绳子与冰面的夹角、冰刀与冰面间的摩擦，下列说法正确的是(　　) A．运动员匀加速运动的距离为81 m B．匀加速过程中，绳子的平均弹力大小为200 N C．运动员入弯时的向心力大小为648 N D．入弯时冰刀与水平冰面的夹角大于45° 考向2 汽车过桥问题与航天器中的失重现象 1．汽车过桥问题 （1）向心力来源 汽车通过拱形桥最高点和凹形路面最低点时，在竖直方向受重力和支持力，其合力提供向心力。 （2）压力的分析与讨论 若汽车质量为 ，桥面圆弧半径为 ，汽车在最高点或最低点速率为 ，则 比较项目 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力分析 指向圆心为正方向 牛顿第三定律 讨论 增大， 减小；当 增大到 时， 增大， 增大 2．航天器中的失重现象 绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站均可看作完全失重状态。 （1）质量为 的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系： ，则 。 （2）质量为 的航天员：航天员所受的重力和座舱对航天员的支持力的合力提供向心力，满足关系： 。当 时， ，即航天员处于完全失重状态。 （3）航天器内的任何物体都处于完全失重状态。 16.用模拟实验来研究汽车通过拱形桥的最高点时对桥面的压力的装置如图所示。在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验，关于实验中电子秤的示数，下列说法正确的是( ) A. 玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些 B. 玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些 C. 玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态 D. 玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大（未离开拱桥），示数越小 17.如图所示,质量为M的赛车,在比赛中要通过一段凹凸起伏路面,若圆弧半径都是R,赛车的速率恒为v=,则下列说法正确的是 (　　) A.在凸起的圆弧路面顶部,赛车对路面的压力大小为Mg B.在凹下的圆弧路面底部,赛车对路面的压力大小为Mg C.在凸起的圆弧路面顶部,赛车的向心力大小为Mg D.在凹下的圆弧路面底部,赛车的向心力大小为Mg 18.如图所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径R＝6 400 km，桥面上行驶的汽车中驾驶员的重力G＝800 N，汽车的速度可以达到需要的任意值，且汽车不离开地面的前提下，下列分析中正确的是(　 ) A．汽车的速度越大，则汽车对桥面的压力也越大 B．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于800 N C．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅的压力大小都小于他自身的重力 D．如果某时刻汽车的速度增大到使汽车对桥面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉 考点5　水平面内圆周运动的临界问题 考向1 与摩擦力有关的临界极值问题 1．题型概述 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 2．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 19.(多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO′转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块A到OO′轴的距离为物块B到OO′轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是(　　) A.B受到的静摩擦力一直增大 B.B受到的静摩擦力是先增大后减小再增大 C.A受到的静摩擦力是先增大后减小 D.A受到的合力一直在增大 20.生产陶瓷的工作台匀速转动,台面上掉有陶屑,陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面够大),则(　　) A 越靠近台面边缘的陶屑质量越大 B 越靠近台面边缘的陶屑质量越小 C 陶屑只能分布在圆台边缘 D 陶屑只能分布在某一半径的圆内 21.如图所示,质量为m的小物块开始静止在一半径为R的球壳内,它和球心O的连线与竖直方向的夹角为θ=37°,现让球壳随转台绕转轴OO′一起转动,小物块在球壳内始终未滑动,重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,下列说法正确的是(　　) A 小物块静止时受到的摩擦力大小为mg B 若转台的角速度为,小物块不受摩擦力 C 若转台的角速度为,小物块受到沿球面向下的摩擦力 D 若转台的角速度为,小物块受到沿球面向下的摩擦力 考向2 与弹力有关的临界极值问题 (1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 22. (多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A.a绳的张力不可能为零 B.a绳的张力随角速度的增大而增大 C.当角速度ω＞，b绳将出现弹力 D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化 23.[多选]如图所示，底角为θ＝的圆锥体静止不动，顶端通过一根长为l＝1 m的细线悬挂一个质量为m＝1 kg的小球，细线处于张紧状态，若小球在水平面内做匀速圆周运动，角速度ω的取值范围介于3 rad/s到4 rad/s之间，不计一切阻力，则细线拉力F可能等于(　　) A．(5－5)N　　　 B．(5＋5)N C．15 N D．20 N 24.如图所示，AB为竖直转轴，细绳AC和BC的结点C系一质量为m的小球，两绳能承受的最大拉力均为2mg。当细绳AC和BC均拉直时∠ABC＝90°，∠ACB＝53°，BC＝1 m。细绳AC和BC能绕竖直轴AB匀速转动，因而小球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断，则最先被拉断的那根绳及另一根绳被拉断时的速度分别为(重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　) A．AC　5 m/s　　　　　　　 B．BC　5 m/s C．AC　5.24 m/s D．BC　5.24 m/s 考点6　竖直面内圆周运动的临界问题 1．竖直面内圆周运动的两类模型 项目 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受力特征 除重力外,物体受到的弹力方向: 向下或等于零 除重力外,物体受到的弹力方向: 向下、等于零或向上 最高点受 力示意图 动力学方程 mg+F弹=m mg±F弹=m 临界特征 F弹=0 mg=m 即vmin= (1)恰好过最高点,v=0,F弹=mg。 (2)恰好无弹力,F弹=0,v= 过最高点的条件 在最高点的速度v≥ 在最高点的速度v≥0 2．解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时,根据合力提供向心力列牛顿第二定律方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中,用动能定理找出两位置间的速度关系。 (3)注意:求对轨道的压力时,转换研究对象,先求物体所受支持力,再根据牛顿第三定律求出压力。 考向1 轻绳型 25如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确的是(　　) A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s B．当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力为15 N C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s 分析竖直面内圆周运动问题的思路 26.长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L，重力加速度大小为g。今使小球在竖直平面内以A、B连线为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小均为(　　) A.mg B.2mg C.3mg D. 27.物体做圆周运动时所需的向心力F需由物体运动情况决定，合力提供的向心力F供由物体受力情况决定．若某时刻F需＝F供，则物体能做圆周运动；若F需>F供，物体将做离心运动；若F需<F供，物体将做近心运动．现有一根长L＝1 m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示．不计空气阻力，g取10 m/s2，则： (1)为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应施加给小球多大的水平速度？ (2)在小球以速度v1＝4 m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为多少？ (3)在小球以速度v2＝1 m/s水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间． 考向2 轻杆型 28.(多选)如图甲，固定在竖直平面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处装有力的传感器M，可测出球经过M点时对管道作用力F(竖直向上为正)，用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与vN2的关系图像如图乙，c为图像与横轴交点坐标，b为图像延长线与纵轴交点坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　 ) A．若小球经过N点时满足vN2＝c，则经过M点时对轨道无压力 B．当小球经过N点时满足vN2＝c，则经过M点时对内管道壁有压力 C．小球做圆周运动的半径为 D．F＝－b表示小球经过N点时速度等于0 解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。 29.如图甲所示，陀螺在圆轨道外侧运动而不脱离，好像被施加了魔法一样。该陀螺可等效成一质点在圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示，在竖直面内固定的强磁性圆轨道上，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点。已知该陀螺的质量为m，强磁性圆轨道半径为R，重力加速度为g，陀螺沿轨道外侧做完整的圆周运动，受到的轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F。当陀螺以速率通过A点时，对轨道的压力为7mg。不计一切摩擦和空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．强磁性引力F大小为8mg B．陀螺在B点的速率为 C．陀螺在B点对轨道压力为6mg D．要使陀螺不脱离强磁性圆轨道，它在B点的速率不能超过 30.一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示.小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为FN，小球的速度大小为v，其FN－v2图像如图乙所示.已知重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力.则下列说法正确的是（　　） A.小球的质量为 B.圆形管道内侧壁半径为－r C.当v2＝d时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为－b D.小球在最低点的最小速度为2 考点7 平抛与圆周运动的结合 31. 如图所示，一个质量为 的滑板运动员，以 的初速度从某一高台的 点水平飞出，恰好从圆轨道的 点的切线方向进入圆弧（不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失），最终滑板运动员刚好到达圆轨道的最高点 。已知圆弧的半径 ， ， 取 。 （1） 求 距 点的高度和滑板运动员在 点的速度大小。 （2） 若滑板运动员运动到圆弧轨道点 时的速度大小为 ，则滑板运动员对轨道的压力大小为多少？ 32.某人站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为1 kg的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动,其简化示意图如图。握绳的手离地面高度为1.0 m且保持不变,现不断改变绳长使球重复上述运动,每次绳在球运动到最低点时都恰好达到最大拉力被拉断,球以绳断时的速度水平飞出,通过水平距离x后落地。已知绳能承受的最大拉力为15 N,重力加速度g取10 m/s2,忽略手的运动半径和空气阻力,则x的最大值为(　　) A 0.4 m B 0.5 m C 1.0 m D 1.2 m 33．如图甲是某游乐场中水上过山车的实物图片，图乙是其原理示意图。在原理图中半径为R＝8 m的圆形轨道固定在离水面高h＝3.2 m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆形轨道的最低点和最高点。过山车(实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点)高速行驶，先后会通过多个圆形轨道，然后从A点离开圆轨道而进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s＝12 m，假设运动中不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，结果可保留根号。 (1)若过山车恰好能通过圆形轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？ (2)为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？ (3)某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，则过山车落入水中时的速度大小是多少？ 考点8 实验:探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 一、装置与器材 质量相同及不同的小球若干、向心力演示器。 二、实验步骤 1．把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上,使它们的转动半径相同;调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度不一样,探究向心力的大小与角速度的关系。 2．保持两个小球质量不变,增大长槽上小球的转动半径;调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度相同,探究向心力的大小与半径的关系。 3．换成质量不同的小球,使两球的转动半径相同;调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度也相同,探究向心力的大小与质量的关系。 4．重复几次以上实验。 三、数据处理 分别作出F-ω2、F-r、F-m的图像,分析向心力大小与角速度、半径、质量之间的关系,并得出结论。 四、注意事项 1．将横臂紧固螺钉旋紧,以防小球和其他部件飞出而造成事故。 2．摇动手柄时应力求缓慢加速,注意观察其中一个标尺上的格数。达到预定格数时,即保持转速均匀恒定。 考向1　基础性实验 34.如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间动摩擦因数的大小设计了该装置．已知固定于转轴上的角速度传感器和力传感器与电脑连接，通过一不可伸长的细绳连接物块，细绳刚好拉直，物块随转盘缓慢加速．在电脑上记录如图乙所示图像．换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验，得到物块a、b、c分别对应的三条直线，发现a与c的纵截距相同，b与c的横截距相同，且符合一定的数量关系．回答下列问题： (1)物块没有看作质点对实验是否有影响？______(选填“是”或“否”) (2)物块a、b、c的密度之比为________． (3)物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为________． 35. 某同学用如图(a)所示装置探究钢质小球自由摆动至最低点时的速度大小与此时细线拉力的关系．其中力传感器显示的是小球自由摆动过程中各个时刻细线拉力FT的大小，光电门测量的是钢球通过光电门的挡光时间Δt. (1)调整细线长度，使细线悬垂时，钢球中心恰好位于光电门中心． (2)要测量小球通过光电门的速度，还需测出__________(写出需要测量的物理量及其表示符号)，小球通过光电门的速度表达式为v＝__________.(用题中所给字母和测出的物理量符号表示) (3)由于光电门位于细线悬点的正下方，此时细线的拉力就是力传感器显示的各个时刻的拉力FT中的______________(选填“最大值”“最小值”或“平均值”)． (4)改变小球通过光电门的速度，重复实验，测出多组速度v和对应拉力FT的数据，作出FT－v2图像如图(b)所示．已知当地重力加速度g＝9.7 m/s2，则由图像可知，小球的质量为________ kg，光电门到悬点的距离为__________ m. 考向2 创新性实验 36.某同学用如图所示装置探究物体做圆周运动时向心力与角速度的关系，力传感器固定在竖直杆上的A点，质量为m的磁性小球用细线a、b连接，细线a的另一端连接在竖直杆上的O点，细线b的另一端连接在力传感器上，拉动小球，当a、b两细线都伸直时，细线b水平，测得OA间的距离为L1，小球到A点距离为L2，磁传感器可以记录接收到n次强磁场信号所用的时间，重力加速度为g. （1）实验时，保持杆竖直，使小球在细线b伸直且水平的条件下绕杆做匀速圆周运动，将接收到的第一个强磁场信号记为1，并开始计时，测得磁传感器接收到n次强磁场信号所用时间为t，则小球做圆周运动的角速度ω＝　　，测得力传感器的示数为F，则小球做圆周运动的向心力Fn＝　　（此空用含F的式子表示）. （2）多次改变小球做圆周运动的角速度（每次细线b均伸直且水平），测得多组力传感器示数F及磁传感器接收到n次强磁场信号所用的时间t，作出F－图像.如果图像是一条倾斜直线，图像与纵轴的截距为　　，图像的斜率为　　，则表明，小球做匀速圆周运动时，在质量、半径一定的条件下，向心力大小与　　（填“角速度”或“角速度的平方”）成正比. 37.某同学用如图(a)所示装置探究钢质小球自由摆动至最低点时的速度大小与此时细线拉力的关系。其中力传感器显示的是小球自由摆动过程中各个时刻细线拉力FT的大小，光电门测量的是钢球通过光电门的挡光时间Δt。 (1)调整细线长度，使细线悬垂时，钢球中心恰好位于光电门中心。 (2)要测量小球通过光电门的速度，还需测出________(写出需要测量的物理量及其表示符号)，小球通过光电门的速度表达式为v＝________(用题中所给字母和测出的物理量符号表示)。 (3)由于光电门位于细线悬点的正下方，此时细线的拉力就是力传感器显示的各个时刻的拉力FT中的________(选填“最大值”“最小值”或“平均值”)。 (4)改变小球通过光电门的速度，重复实验，测出多组速度v和对应拉力FT的数据，作出FT－v2图像如图(b)所示。已知当地重力加速度g＝9.7 m/s2，则由图像可知，小球的质量为________kg，光电门到悬点的距离为________m。 38.某同学设计了用如图所示装置探究向心力与质量、半径关系的实验．水平杆光滑，竖直杆与水平杆铰合在一起，互相垂直，绕过定滑轮的细线两端分别与物块和力传感器连接． (1)探究向心力与质量关系时，让物块1、2的质量不同，测出物块1、2的质量分别为m1、m2，保持________相同，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，测出多组F1、F2，作出F1－F2图像，如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于________，则表明在此实验过程中向心力与质量成正比． (2)探究向心力与半径关系时，让物块1、2的________相同，测出物块1和物块2到竖直杆的距离分别为r1、r2，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，测出多组F1、F2，作出F1－F2图像，如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于________，则表明在此实验过程中向心力与半径成正比． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆周运动 考点1　圆周运动的运动学问题 考点2　圆周运动的动力学问题 考点3 离心运动 考点4 生活中的圆周运动 考向1 转弯问题 考向2 汽车过桥问题与航天器中的失重现象 考点5　水平面内圆周运动的临界问题 考向1 与摩擦力有关的临界极值问题 考向2 与弹力有关的临界极值问题 考点6　竖直面内圆周运动的临界问题 考向1 轻绳型 考向2 轻杆型 考点7 平抛与圆周运动的结合 考点8 实验:探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 考向1　基础性实验 考向2 创新性实验 考点1　圆周运动的运动学问题 1．圆周运动各物理量间的关系 2．常见的传动方式及特点 项目 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接,A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合,A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等 转向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比: = 向心加速度与半径成正比: = 角速度与半径成反比: = 向心加速度与半径成反比: = 角速度与半径成反比: = 向心加速度与半径成反比: = 1．实验楼大厅里科普器材中有如图所示的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮，若齿轮的齿很小，大齿轮半径（内径）是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是（　　） A. 小齿轮逆时针匀速转动 B. 小齿轮每个齿边缘的线速度均一样 C. 小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍 D. 小齿轮的周期为大齿轮周期的3倍 答案C 解析 小齿轮的运动方向和大齿轮的运动方向相同，所以小齿轮也是顺时针匀速转动，故A错误；当齿轮转动时，每个啮合的齿轮边缘处的线速度大小相等，所以小齿轮每个齿边缘的线速度大小都相等，但方向不同，故B错误；根据线速度和角速度的关系 可知，当大齿轮半径（内径）是小齿轮半径的3倍时，小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍，故 C正确；根据角速度和周倜的关系 可知大齿轮的周期为小齿轮周期的3倍，故D错误。 故选C。 2．无级变速箱是自动挡车型变速箱的一种，比普通的自动变速箱换挡更平顺，没有冲击感．如图为其原理图，通过改变滚轮位置实现在变速范围内任意连续变换速度．A、B为滚轮轴上两点，变速过程中主动轮转速不变，各轮间不打滑，则(　　) A．从动轮和主动轮转动方向始终相反 B．滚轮在B处时，从动轮角速度小于主动轮角速度 C．滚轮从A到B，从动轮线速度先增大后减小 D．滚轮从A到B，从动轮转速先增大后减小 答案　B 解析　因为从动轮和主动轮转动方向都和滚轮的转动方向相反，所以从动轮和主动轮转动方向始终相同，A错误；滚轮在B处时，从动轮和主动轮与滚轮接触点的线速度大小相等，此处从动轮的半径大于主动轮的半径，根据v＝ωr可知，从动轮角速度小于主动轮角速度，B正确；主动轮转速不变，滚轮从A到B，主动轮的半径越来越小，主动轮与滚轮接触点的线速度一直减小，从动轮线速度与滚轮线速度大小相等，故一直减小，C错误；滚轮从A到B，从动轮线速度一直减小，又因为从动轮半径在变大，又v＝ωr＝2πnr，滚轮从A到B，从动轮转速一直减小，D错误． 3． 机动车检测站进行车辆尾气检测原理如下：车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚动圆筒上，可在原地沿前进方向加速，然后把检测传感器放入尾气出口，操作员把车加速到一定程度，持续一定时间，在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数。现有如下检测过程简图：车轴A的半径为ra，车轮B的半径为rb，滚动圆筒C的半径为rc，车轮与滚动圆筒间不打滑，当车轮以恒定转速n(每秒钟n转)运行时，下列说法正确的是(　　) A．C的边缘线速度为2πnrc B．A、B的角速度大小相等，均为2πn，且A、B沿顺时针方向转动，C沿逆时针方向转动 C．A、B、C的角速度大小相等，均为2πn，且均沿顺时针方向转动 D．B、C的角速度之比为 答案 B 解析 B　由v＝2πnR可知，B的线速度为vb＝2πnrb，B、C线速度相同，即C的线速度为vc＝vb＝2πnrb，A错误；B、C线速度相同，B、C角速度比为半径的反比，D错误；A、B为主动轮，且同轴，角速度大小相等，C为从动轮，A、B顺时针转动，C逆时针转动，B正确，C错误。 4．(多选)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接，如图乙所示，现玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是(　 ) A．P、Q的线速度相同 B．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反 C．P点的线速度大小约为1.6 m/s D．摇把的转速约为400 r/min 答案 BC 解析 选BC　线速度的方向沿曲线的切线方向，由题图可知，P、Q两点的线速度的方向一定不同，故A错误；若主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，从动轮逆时针转动，故B正确；玻璃盘的直径是30 cm，转速是100 r/min，所以线速度v＝ωr＝2nπr＝2××π× m/s＝0.5π m/s≈1.6 m/s，故C正确；从动轮边缘的线速度vc＝ωrc＝2××π×0.02 m/s＝π m/s，由于主动轮的边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度的大小相等，即vz＝vc，所以主动轮的转速nz＝＝＝ r/s＝ r/s＝25 r/min，故D错误。 考点2　圆周运动的动力学问题 1．向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面,确定圆心的位置。 (2)分析物体的受力情况,沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。 2．匀速圆周运动的实例 运动模型 向心力的来源图示 飞机水平转弯 火车转弯 圆锥摆 飞车走壁 汽车在水平 路面转弯 水平转台 3．变速圆周运动 如图所示,当小球在竖直面内摆动时,沿半径方向的合力提供向心力,F=FT-mgcos θ=m,如图所示。 5．游乐场有一种叫做“快乐飞机”的游乐项目，其简化模型如图所示，已知模型飞机质量为m，固定在长为L的旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为θ(0＜θ≤)，当模型飞机以角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是(　　) A.模型飞机受到重力、旋臂的作用力和向心力 B.旋臂对模型飞机的作用力方向一定与旋臂垂直 C.旋臂对模型飞机的作用力大小为m D.若夹角θ增大，则旋臂对模型飞机的作用力减小 答案　C 解析　当模型飞机以角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，模型飞机受到重力和旋臂的作用力，它们的合力提供向心力，选项A错误；旋臂对模型飞机的作用力方向可以与旋臂不垂直，这个作用力在水平方向的分力提供向心力，在竖直方向的分力与重力平衡，选项B错误；由力的合成可知，旋臂对模型飞机的作用力大小为F＝m，选项C正确；由C项分析可知，当夹角θ增大时，旋臂对模型飞机的作用力增大，选项D错误。 6． 如图为自行车气嘴灯及其结构图,弹簧一端固定在A端,另一端拴接重物,当车轮高速旋转时,LED灯就会发光。下列说法正确的是(　　) A. B端比A端的线速度小,安装时应该让B比A更靠近车轮的圆心 B.旋转时,重物受到重力、弹力和向心力作用 C. 增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光 D. 匀速行驶时,若LED灯转到最低点时能发光,则在最高点时也一定能发光 答案 C 解析 要使重物做离心运动，M、N接触，则A端应靠近圆心，因此安装时A端比B端更靠近车轮的圆心，A错误；向心力是效果力，它由弹力和物体所受重力的合力提供，B错误；灯在最低点时F-mg=mω2r，解得ω=,，故增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光，C正确；灯在最低点时F-mg=m，灯在最高点时F′+mg=m，匀速行驶时，在最低点时弹簧对重物的弹力大于在最高点时对重物的弹力，因此匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光,则在最高点时不一定能发光，D错误。 解决圆周运动的动力学问题的一般思路 7．如图所示，内壁光滑的空心圆柱体竖直固定在水平地面上，圆柱体的内径为R.沿着水平切向给贴在内壁左侧O点的小滑块一个初速度v0，小滑块将沿着柱体的内壁旋转向下运动，最终落在柱体的底面上．已知小滑块可看成质点，质量为m，重力加速度为g，O点距柱体的底面距离为h.下列判断正确的是(　　) A．v0越大，小滑块在圆柱体中运动时间越短 B．小滑块运动中的加速度越来越大 C．小滑块运动中对圆柱体内表面的压力越来越大 D．小滑块落至底面时的速度大小为 答案　D 解析　小滑块在竖直方向做自由落体运动，加速度恒定不变，根据h＝gt2，可得t＝，可知小滑块在圆柱体中的运动时间与v0无关，小滑块在水平方向的加速度大小也不变，则小滑块的加速度大小不变，故A、B错误；小滑块沿着圆柱体表面切向的速度大小不变，所需向心力不变，则小滑块运动中对圆柱体内表面的压力不变，故C错误；小滑块落至底面时竖直方向的速度vy＝，小滑块落至底面时的速度大小v＝＝，故D正确． 8．(2024广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　) A．r B．l C．r D．l 答案　A 解析　由题意可知当插销刚卡进固定端盖时弹簧的伸长量Δx＝，根据胡克定律可得弹力F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销由弹力提供向心力有F＝mlω2，对卷轴有v＝rω，联立解得v＝r，A正确。 考点3 离心运动 1．物体做离心运动的原因：提供向心力的合外力突然消失，或者合外力不能提供足够的向心力。 注意：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”实际上并不存在。 2．合外力与向心力的关系（如图所示） （1）若 或 ，则物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。 （2）若 或 ，则物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”。 （3）若 或 ，则合外力不足以将物体拉回到原轨道上，物体做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”。 （4）若 ，则物体做直线运动。 9．如图所示，一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，角速度恒定，则( ) A. 杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用 B. 杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心 C. 杯子离转盘中心越近越容易做离心运动 D. 若给杯子中加水，则杯子更容易做离心运动 答案B 解析 杯子受到重力、支持力和摩擦力三个力，向心力不是杯子的实际受力，故 错误；杯子做匀速圆周运动，向心力由摩擦力提供，始终指向转盘中心，故 正确；因杯子做匀速圆周运动，则有 ，杯子离转盘中心越近，所需摩擦力越小，不会达到最大静摩擦力，越不容易做离心运动，故 错误；根据 可知，给杯子中加水，杯子并不会更容易做离心运动，故 错误。 10.运动员以速度 在倾角为 的倾斜赛道上做匀速圆周运动。已知运动员及自行车的总质量为 ，做圆周运动的半径为 ，重力加速度为 ，将运动员和自行车看作一个整体，则下列说法正确的是( ) A. 整体受重力、支持力、摩擦力、向心力作用 B. 整体受到的合力大小为 C. 若运动员加速，则一定沿斜面上滑 D. 若运动员减速，则一定加速沿斜面下滑 答案B 解析 选 。运动员和自行车组成的整体做匀速圆周运动，受重力、支持力、摩擦力作用，靠合力提供向心力，合力方向始终指向圆心，故 错误；整体做匀速圆周运动，合力提供向心力，则合力不为零，合力大小为 ，故 正确；整体做匀速圆周运动，受到的合力提供向心力，合力方向始终指向圆心，当运动员加速时，需要的向心力增大，沿斜面向下的摩擦力以及垂直于斜面向上的支持力可能都增大，运动员不一定沿倾斜赛道上滑，同理若运动员减速，也不一定沿倾斜赛道下滑，故 、 错误。 11.如图所示，滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴匀速转动，滚筒上有很多漏水孔，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的效果，下列说法正确的是(　　) A．脱水过程中滚筒对衣物的摩擦力始终充当向心力 B．衣物在最低点B时脱水效果最好 C．衣物在A、B两点时的加速度相同 D．衣物在A、B两点时所受筒壁的力大小相等 答案　B 解析　脱水过程中滚筒对衣物的摩擦力方向与速度平行，不可能充当向心力，故A错误；对衣物上的某一水滴分析，在A点有N1＋mg＝m，在B点有N2－mg＝m，可知N2>N1，则衣物在最低点B时脱水效果最好，故B正确；由于衣物随着滚筒做匀速转动，根据a＝可知，衣物在A、B两点时的加速度大小相等，方向相反，均指向圆心，故C错误；根据上述分析可知，衣物在A点所受筒壁的力小于在B点所受筒壁的力，故D错误。 12.离心沉淀器可以加速物质的沉淀，它的示意图如图所示，试管中先装水，再加入粉笔末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔末沉淀在试管的底端，则( ) A. 旋转越快，试管的高度越低 B. 粉笔末向试管底部运动是一种离心现象 C. 旋转越快，粉笔末的沉淀现象越明显 D. 旋转越快，粉笔末的沉淀现象越不明显 答案BC 解析 选 。对试管整体分析，整体受到的合力提供向心力，设试管中心线与竖直方向夹角为 ，则提供的向心力为 ，当转速增大时，需要的向心力增大，故角度 增大，管越高， 错误；离心沉淀器是一种离心设备，不同的物质混合，当离心沉淀器工作时，会发生离心现象， 正确；转速越快，离心运动越剧烈，粉笔末分层越明显， 正确， 错误。 考点4 生活中的圆周运动 考向1 转弯问题 1．火车转弯问题 （1）火车在弯道上的运动特点 火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力。 （2）转弯轨道受力与火车速度的关系 甲 ①若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，如图甲所示，有 ，则 ，其中 为弯道半径， 为轨道平面与水平面的夹角， 为转弯处的规定速度。此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用。 ②若火车行驶速度 ，则外轨对轮缘有侧压力。 ③若火车行驶速度 ，则内轨对轮缘有侧压力。 2．汽车转弯问题 （1）水平地面上转弯 乙 汽车、摩托车和自行车在水平地面上转弯，其向心力都是由地面的摩擦力提供的，受力分析如图乙所示，这时重力和地面对车的支持力平衡，当 达到最大时，即有 ,所以车辆转弯的安全速度 。 （2）外高内低斜面式弯道转弯 此种情况与火车垫高外轨的情境类似，车辆转弯时所需向心力由重力 和支持力 的合力 提供，如图丙所示。由 可得规定速度 。若车速 ，车轮受到沿斜面向下的摩擦力作用；若车速 ,车轮受到沿斜面向上的摩擦力作用。 丙 13.如图所示为我国某平原地区从P市到Q市之间的高铁线路,线路上T1、T2、T3位置处的圆弧半径分别为r、r、2r。若列车在P市到Q市之间匀速率运行,列车在经过T1、T2、T3位置处与铁轨都没有发生侧向挤压,三处铁轨平面与水平面间的夹角分别为α、β、γ。下列说法正确的是(　　) A 列车依次通过3个位置的角速度之比为1∶1∶2 B 列车依次通过3个位置的向心加速度之比为1∶1∶2 C 3个位置的tan α∶tan β∶tan γ=2∶2∶1 D 3个位置的内、外轨道的高度差之比为1∶1∶2 答案 C 解析根据ω=可知,列车依次通过3个位置的角速度之比为2∶2∶1,故A错误;根据an=可知,列车依次通过3个位置的向心加速度之比为 2∶2∶1,故B错误;根据火车在转弯处的受力分析,由牛顿第二定律mgtan θ=m,可知tan θ=,故tan α∶tan β∶tan γ=2∶2∶1,故C正确;设内、外轨道间距离为L,则有sin θ=,h和sin θ成正比,故h1∶h2∶h3=∶∶,故D错误。 14.如图所示，一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是(　　) A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B.汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N C.汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑 D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2 答案　D 解析　汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，但向心力是根据力的效果命名的，不是物体实际受到的力，选项A错误；当汽车转弯速度为20 m/s时，根据Fn＝m，得所需的向心力Fn＝1×104 N，没有超过最大静摩擦力，所以车也不会侧滑，所以选项B、C错误；汽车转弯达到最大静摩擦力时，向心加速度最大为an＝＝ m/s2＝7.0 m/s2，选项D正确。 15.2022年2月12日，在速度滑冰男子500米决赛上，高亭宇以34秒32的成绩刷新奥运纪录．国家速度滑冰队在训练弯道技术时采用人体高速弹射装置，在实际应用中装置在前方通过绳子拉着运动员，使运动员做匀加速直线运动，到达设定速度时，运动员松开绳子，进行高速入弯训练，已知弯道半径为25 m，人体弹射装置可以使运动员在4.5 s内由静止达到入弯速度18 m/s，入弯时冰刀与冰面的接触情况如图所示，运动员质量为50 kg，重力加速度取g＝10 m/s2，忽略弯道内外高度差及绳子与冰面的夹角、冰刀与冰面间的摩擦，下列说法正确的是(　　) A．运动员匀加速运动的距离为81 m B．匀加速过程中，绳子的平均弹力大小为200 N C．运动员入弯时的向心力大小为648 N D．入弯时冰刀与水平冰面的夹角大于45° 答案　BC 解析　运动员匀加速运动的距离为x＝t＝×4.5 m＝40.5 m，A错误；在匀加速过程中，加速度a＝＝ m/s 2＝4 m/s2，由牛顿第二定律，绳子的平均弹力大小为F＝ma＝50×4 N＝200 N，B正确；运动员入弯时所需的向心力大小为Fn＝m＝50× N＝648 N，C正确；设入弯时冰刀与水平冰面的夹角为θ，则tan θ＝＝＝<1，得θ<45°，D错误． 考向2 汽车过桥问题与航天器中的失重现象 1．汽车过桥问题 （1）向心力来源 汽车通过拱形桥最高点和凹形路面最低点时，在竖直方向受重力和支持力，其合力提供向心力。 （2）压力的分析与讨论 若汽车质量为 ，桥面圆弧半径为 ，汽车在最高点或最低点速率为 ，则 比较项目 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力分析 指向圆心为正方向 牛顿第三定律 讨论 增大， 减小；当 增大到 时， 增大， 增大 2．航天器中的失重现象 绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站均可看作完全失重状态。 （1）质量为 的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系： ，则 。 （2）质量为 的航天员：航天员所受的重力和座舱对航天员的支持力的合力提供向心力，满足关系： 。当 时， ，即航天员处于完全失重状态。 （3）航天器内的任何物体都处于完全失重状态。 16.用模拟实验来研究汽车通过拱形桥的最高点时对桥面的压力的装置如图所示。在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验，关于实验中电子秤的示数，下列说法正确的是( ) A. 玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些 B. 玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些 C. 玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态 D. 玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大（未离开拱桥），示数越小 答案D 解析 选 。玩具车通过拱桥顶端时处于失重状态，速度越大示数越小，故 正确。 17.如图所示,质量为M的赛车,在比赛中要通过一段凹凸起伏路面,若圆弧半径都是R,赛车的速率恒为v=,则下列说法正确的是 (　　) A.在凸起的圆弧路面顶部,赛车对路面的压力大小为Mg B.在凹下的圆弧路面底部,赛车对路面的压力大小为Mg C.在凸起的圆弧路面顶部,赛车的向心力大小为Mg D.在凹下的圆弧路面底部,赛车的向心力大小为Mg 答案A　 解析 在凸起的圆弧路面顶部,根据牛顿第二定律知Mg-N=M,解得N=Mg,则赛车对路面的压力为Mg,选项A正确;在凹下的圆弧路面底部,根据牛顿第二定律知N'-Mg=M,解得N'=Mg,根据牛顿第三定律知赛车对路面的压力为Mg,选项B错误;在凹下的圆弧路面底部和凸起的圆弧路面顶部,赛车的向心力Fn=M=,选项CD错误。 18.如图所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径R＝6 400 km，桥面上行驶的汽车中驾驶员的重力G＝800 N，汽车的速度可以达到需要的任意值，且汽车不离开地面的前提下，下列分析中正确的是(　 ) A．汽车的速度越大，则汽车对桥面的压力也越大 B．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于800 N C．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅的压力大小都小于他自身的重力 D．如果某时刻汽车的速度增大到使汽车对桥面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉 答案 C 解析 选C　汽车的重力和桥面对汽车的支持力的合力提供汽车的向心力，则有G－FN＝m，v越大，则FN越小，由牛顿第三定律知汽车对桥面的压力越小，故A错误；同理对驾驶员受力分析可知B错误；因为驾驶员的一部分重力用于提供驾驶员做圆周运动所需的向心力，所以驾驶员对座椅的压力小于他自身的重力，故C正确；如果汽车的速度增大到使汽车对桥面的压力为零，说明汽车和驾驶员的重力全部用于提供做圆周运动所需的向心力，处于完全失重状态，此时驾驶员会有失重的感觉，故D错误。 考点5　水平面内圆周运动的临界问题 考向1 与摩擦力有关的临界极值问题 1．题型概述 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 2．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 19.(多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO′转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块A到OO′轴的距离为物块B到OO′轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是(　　) A.B受到的静摩擦力一直增大 B.B受到的静摩擦力是先增大后减小再增大 C.A受到的静摩擦力是先增大后减小 D.A受到的合力一直在增大 答案　BD 解析　开始角速度较小时，两物体均靠静摩擦力提供向心力，角速度增大，静摩擦力增大，根据Ff＝mrω2，知ω＝，随着角速度的增大，A先达到最大静摩擦力，A先使绳子产生拉力，所以当绳子刚好产生拉力时，B受静摩擦力作用且未到最大静摩擦力，随着角速度的增大，对B，拉力和静摩擦力的合力提供向心力，角速度增大，则B的静摩擦力会减小，然后反向增大。对A，拉力和最大静摩擦共同提供向心力，角速度增大，静摩擦力不变，可知A的静摩擦力先增大达到最大静摩擦力后不变，B的静摩擦力先增大后减小，再增大，故A、C错误，B正确；根据向心力公式F＝m，在发生相对滑动前物体的半径是不变的，质量也不变，随着速度的增大，向心力增大，而向心力就是物体受到的合力，故D正确。 20.生产陶瓷的工作台匀速转动,台面上掉有陶屑,陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面够大),则(　　) A 越靠近台面边缘的陶屑质量越大 B 越靠近台面边缘的陶屑质量越小 C 陶屑只能分布在圆台边缘 D 陶屑只能分布在某一半径的圆内 答案 D 解析 同一工作台角速度相同,恰好滑动时最大静摩擦力完全提供向心力,根据牛顿第二定律有μmg=mω2r,解得恰好不滑动时的半径为r=,与质量无关,以此半径画圆,处于此圆以外的陶屑会被甩出去,D正确,A、B、C错误。 21.如图所示,质量为m的小物块开始静止在一半径为R的球壳内,它和球心O的连线与竖直方向的夹角为θ=37°,现让球壳随转台绕转轴OO′一起转动,小物块在球壳内始终未滑动,重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,下列说法正确的是(　　) A 小物块静止时受到的摩擦力大小为mg B 若转台的角速度为,小物块不受摩擦力 C 若转台的角速度为,小物块受到沿球面向下的摩擦力 D 若转台的角速度为,小物块受到沿球面向下的摩擦力 答案 AD 解析 静止时,对小物块受力分析,根据平衡条件有Ff=mgsin θ=mg,故A正确;球壳随转台绕转轴OO′一起转动,小物块做匀速圆周运动,设小物块所受摩擦力为0时的角速度为ω0,对小物块进行受力分析,则有mgtan θ=mRsin θ,解得ω0=,故B错误;因ω0>时,小物块有沿球壳向下运动的趋势,受到沿球面向上的摩擦力,故C错误;因ω0<,故小物块有沿球壳向上运动的趋势,受到沿球面向下的摩擦力,故D正确。 考向2 与弹力有关的临界极值问题 (1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 22. (多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A.a绳的张力不可能为零 B.a绳的张力随角速度的增大而增大 C.当角速度ω＞，b绳将出现弹力 D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化 答案　AC 解析　小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故选项A正确；根据竖直方向上平衡得，Fasin θ＝mg，计算得出Fa＝，可知a绳的拉力不变，故B错误；当b绳拉力为零时，有＝mlω2，计算得出ω2＝，当角速度ω2＞，b绳将出现弹力，故选项C正确；因为b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误。 23.[多选]如图所示，底角为θ＝的圆锥体静止不动，顶端通过一根长为l＝1 m的细线悬挂一个质量为m＝1 kg的小球，细线处于张紧状态，若小球在水平面内做匀速圆周运动，角速度ω的取值范围介于3 rad/s到4 rad/s之间，不计一切阻力，则细线拉力F可能等于(　　) A．(5－5)N　　　 B．(5＋5)N C．15 N D．20 N 答案 BC 解析 选BC　当小球刚好没有脱离圆锥时，小球受重力mg、细线拉力F的作用，它们的合力提供向心力，mgcot θ＝mω02lcos θ，代入数据解得ω0＝ rad/s，此时ω0的取值范围介于3 rad/s到4 rad/s之间，当ω较小时，小球没有脱离圆锥，小球受到重力mg、细线拉力F和光滑圆锥的支持力N的作用，它们在水平方向的合力提供向心力，则Fsin θ＋Ncos θ＝mg，Fcos θ－Nsin θ＝mω2lcos θ，可求得，F＝mgsin θ＋mω2lcos2θ，此时(5＋4.5)N≤F≤10 N，当ω较大时，小球脱离圆锥，小球的重力mg和细线拉力F的合力提供向心力，设细线和水平方向夹角为α，则Fcos α＝mω2lcos α，可求得F＝mω2l,10 N≤F≤16 N，综上分析，选项B、C正确。 24.如图所示，AB为竖直转轴，细绳AC和BC的结点C系一质量为m的小球，两绳能承受的最大拉力均为2mg。当细绳AC和BC均拉直时∠ABC＝90°，∠ACB＝53°，BC＝1 m。细绳AC和BC能绕竖直轴AB匀速转动，因而小球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断，则最先被拉断的那根绳及另一根绳被拉断时的速度分别为(重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　) A．AC　5 m/s　　　　　　　 B．BC　5 m/s C．AC　5.24 m/s D．BC　5.24 m/s 答案 B 解析 选B　当小球线速度增至BC被拉直后，由牛顿第二定律可得，竖直方向上：TAsin∠ACB＝mg①，水平方向上：TAcos∠ACB＋TB＝m②，由①式可得：TA＝mg，小球线速度增大时，TA不变，TB增大，当BC绳刚要被拉断时，TB＝2mg，由②可解得此时，v≈5.24 m/s；BC绳断后，随小球线速度增大，AC线与竖直方向间夹角增大，设AC线被拉断时与竖直方向的夹角为α，由TAC·cos α＝mg，TACsin α＝m，r′＝LAC·sin α，可解得，α＝60°，LAC＝ m，v′＝5 m/s，故B正确。 考点6　竖直面内圆周运动的临界问题 1．竖直面内圆周运动的两类模型 项目 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受力特征 除重力外,物体受到的弹力方向: 向下或等于零 除重力外,物体受到的弹力方向: 向下、等于零或向上 最高点受 力示意图 动力学方程 mg+F弹=m mg±F弹=m 临界特征 F弹=0 mg=m 即vmin= (1)恰好过最高点,v=0,F弹=mg。 (2)恰好无弹力,F弹=0,v= 过最高点的条件 在最高点的速度v≥ 在最高点的速度v≥0 2．解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时,根据合力提供向心力列牛顿第二定律方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中,用动能定理找出两位置间的速度关系。 (3)注意:求对轨道的压力时,转换研究对象,先求物体所受支持力,再根据牛顿第三定律求出压力。 考向1 轻绳型 25如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确的是(　　) A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s B．当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力为15 N C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s 答案　D 解析　设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v0＝2 m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s时，设轻绳拉力大小为FT，根据牛顿第二定律有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N，故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有FTm－mg＝m，解得vm＝4 m/s，故C正确，D错误． 分析竖直面内圆周运动问题的思路 26.长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L，重力加速度大小为g。今使小球在竖直平面内以A、B连线为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小均为(　　) A.mg B.2mg C.3mg D. 答案　A 解析　小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝m；当小球在最高点的速率为2v时，根据牛顿第二定律有mg＋2FTcos 30°＝m，解得FT＝mg，故选项A正确。 27.物体做圆周运动时所需的向心力F需由物体运动情况决定，合力提供的向心力F供由物体受力情况决定．若某时刻F需＝F供，则物体能做圆周运动；若F需>F供，物体将做离心运动；若F需<F供，物体将做近心运动．现有一根长L＝1 m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示．不计空气阻力，g取10 m/s2，则： (1)为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应施加给小球多大的水平速度？ (2)在小球以速度v1＝4 m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为多少？ (3)在小球以速度v2＝1 m/s水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间． 答案　(1) m/s　(2)3 N　(3)无张力，0.6 s 解析　(1)小球做圆周运动的临界条件为重力刚好提供最高点时小球做圆周运动的向心力，即mg＝m，解得v0＝＝ m/s. (2)因为v1>v0，故绳中有张力．根据牛顿第二定律有FT＋mg＝m，代入数据得绳中张力FT＝3 N. (3)因为v2<v0，故绳中无张力，小球将做平抛运动，其运动轨迹如图中实线所示，有L2＝(y－L)2＋x2，x＝v2t，y＝gt2，代入数据联立解得t＝0.6 s． 考向2 轻杆型 28.(多选)如图甲，固定在竖直平面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处装有力的传感器M，可测出球经过M点时对管道作用力F(竖直向上为正)，用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与vN2的关系图像如图乙，c为图像与横轴交点坐标，b为图像延长线与纵轴交点坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　 ) A．若小球经过N点时满足vN2＝c，则经过M点时对轨道无压力 B．当小球经过N点时满足vN2＝c，则经过M点时对内管道壁有压力 C．小球做圆周运动的半径为 D．F＝－b表示小球经过N点时速度等于0 答案 AC 解析　由题图可知，若小球经过N点时满足vN2＝c，则经过M点时对轨道无压力，A正确；当小球经过N点时满足vN2＝c时，则经过M点时对管壁的压力为正值，可知此时小球对管道外壁有压力，B错误；若小球经过N点时满足vN2＝c，则在M点时mg＝m，由机械能守恒可得mvN2＝mg·2R＋mvM2，联立解得R＝，C正确；F＝－b表示小球经过M时对管壁的作用力方向向下，即此时小球能经过M点，经过N点时速度不等于0，D错误。 解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。 29.如图甲所示，陀螺在圆轨道外侧运动而不脱离，好像被施加了魔法一样。该陀螺可等效成一质点在圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示，在竖直面内固定的强磁性圆轨道上，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点。已知该陀螺的质量为m，强磁性圆轨道半径为R，重力加速度为g，陀螺沿轨道外侧做完整的圆周运动，受到的轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F。当陀螺以速率通过A点时，对轨道的压力为7mg。不计一切摩擦和空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．强磁性引力F大小为8mg B．陀螺在B点的速率为 C．陀螺在B点对轨道压力为6mg D．要使陀螺不脱离强磁性圆轨道，它在B点的速率不能超过 答案　ABD 解析　陀螺在A点时，由牛顿第二定律得mg＋F－7mg＝m，解得F＝8mg，A正确；陀螺从A点到B点，由动能定理有mg·2R＝mv－mv，解得vB＝，B正确；陀螺在B点时，由牛顿第二定律有F－FN－mg＝m，解得FN＝mg，陀螺在B点对轨道的压力大小为mg，C错误；陀螺恰好不脱离强磁性圆轨道时，轨道弹力为零，则此时由牛顿第二定律有F－mg＝m，解得vB′＝，D正确。 30.一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示.小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为FN，小球的速度大小为v，其FN－v2图像如图乙所示.已知重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力.则下列说法正确的是（　　） A.小球的质量为 B.圆形管道内侧壁半径为－r C.当v2＝d时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为－b D.小球在最低点的最小速度为2 答案 ABD 解析　设圆形管道内侧壁半径为R，在最高点，当管壁对小球的作用力为零时，重力提供向心力，由牛顿第二定律得mg＝，解得v0＝，当0＜v＜时，在最高点，小球受到管内壁向上的弹力，由牛顿第二定律得mg－FN＝m，整理得FN＝mg－m，结合题图乙可得mg＝b，＝，解得m＝，R＝－r，A、B正确；当v＞时，在最高点，小球受到管外壁向下的弹力，由牛顿第二定律得mg＋FN＝m，整理得FN＝m－mg，当v2＝d时，有FN＝－b，C错误；根据能量守恒定律可知，当小球在最高点具有最小速度(为零)时，其在最低点的速度最小，即m＝2mg(R＋r)，解得vmin＝2，D正确. 考点7 平抛与圆周运动的结合 31. 如图所示，一个质量为 的滑板运动员，以 的初速度从某一高台的 点水平飞出，恰好从圆轨道的 点的切线方向进入圆弧（不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失），最终滑板运动员刚好到达圆轨道的最高点 。已知圆弧的半径 ， ， 取 。 （1） 求 距 点的高度和滑板运动员在 点的速度大小。 （2） 若滑板运动员运动到圆弧轨道点 时的速度大小为 ，则滑板运动员对轨道的压力大小为多少？ 答案 解析⑴运动员在 、 点之间做平抛运动，设 点处运动员的竖直分速度为 ，则有 ，解得 运动员在竖直方向上做自由落体运动，则有 解得 ， 又 所以 距 点的高度 由题意知运动员在 点时所受重力恰好提供向心力，即 解得 。 ⑵运动员在圆弧轨道 点时，重力和支持力的合力提供向心力，即 解得 根据牛顿第三定律可知，运动员对轨道的压力大小 。 32.某人站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为1 kg的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动,其简化示意图如图。握绳的手离地面高度为1.0 m且保持不变,现不断改变绳长使球重复上述运动,每次绳在球运动到最低点时都恰好达到最大拉力被拉断,球以绳断时的速度水平飞出,通过水平距离x后落地。已知绳能承受的最大拉力为15 N,重力加速度g取10 m/s2,忽略手的运动半径和空气阻力,则x的最大值为(　　) A 0.4 m B 0.5 m C 1.0 m D 1.2 m 答案 B 解析 设小球做圆周运动的半径为r,手离地面高度为h,绳的最大拉力为Fmax,绳断后小球做平抛运动,竖直方向做自由落体运动,有h-r=gt2,Fmax-mg=m,x=vmaxt,联立得x=,可知,当r=0.5 m时,xm=0.5 m,故选B。 33．如图甲是某游乐场中水上过山车的实物图片，图乙是其原理示意图。在原理图中半径为R＝8 m的圆形轨道固定在离水面高h＝3.2 m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆形轨道的最低点和最高点。过山车(实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点)高速行驶，先后会通过多个圆形轨道，然后从A点离开圆轨道而进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s＝12 m，假设运动中不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，结果可保留根号。 (1)若过山车恰好能通过圆形轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？ (2)为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？ (3)某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，则过山车落入水中时的速度大小是多少？ 答案　(1)4 m/s　(2)15 m/s(3)4 m/s 解析　(1)过山车恰好过最高点对，只受重力，有mg＝m 则vB＝＝4 m/s。 (2)离开C点后做平抛运动，由h＝gt2 运动时间为t＝0.8 s 故最大速度为vm＝＝15 m/s。 (3)在圆轨道最低点有FN－mg＝m 解得vA＝＝4 m/s 过山车从C处做平抛运动，落水时竖直速度为 vy＝gt＝8 m/s 则落水速度为v＝＝4 m/s。 考点8 实验:探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 一、装置与器材 质量相同及不同的小球若干、向心力演示器。 二、实验步骤 1．把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上,使它们的转动半径相同;调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度不一样,探究向心力的大小与角速度的关系。 2．保持两个小球质量不变,增大长槽上小球的转动半径;调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度相同,探究向心力的大小与半径的关系。 3．换成质量不同的小球,使两球的转动半径相同;调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度也相同,探究向心力的大小与质量的关系。 4．重复几次以上实验。 三、数据处理 分别作出F-ω2、F-r、F-m的图像,分析向心力大小与角速度、半径、质量之间的关系,并得出结论。 四、注意事项 1．将横臂紧固螺钉旋紧,以防小球和其他部件飞出而造成事故。 2．摇动手柄时应力求缓慢加速,注意观察其中一个标尺上的格数。达到预定格数时,即保持转速均匀恒定。 考向1　基础性实验 34.如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间动摩擦因数的大小设计了该装置．已知固定于转轴上的角速度传感器和力传感器与电脑连接，通过一不可伸长的细绳连接物块，细绳刚好拉直，物块随转盘缓慢加速．在电脑上记录如图乙所示图像．换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验，得到物块a、b、c分别对应的三条直线，发现a与c的纵截距相同，b与c的横截距相同，且符合一定的数量关系．回答下列问题： (1)物块没有看作质点对实验是否有影响？______(选填“是”或“否”) (2)物块a、b、c的密度之比为________． (3)物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为________． 答案　(1)否　(2)2∶2∶1　(3)1∶2∶2 解析　(1)物块的形状和大小相同，做圆周运动的半径相同，所以物块没有看作质点对实验没有影响． (2)当物块随转盘缓慢加速过程中，物块所需的向心力先由静摩擦力提供，当达到最大静摩擦力后由绳子的拉力和最大静摩擦力提供，即F向＝F＋μmg＝mrω2，所以有F＝mrω2－μmg，题图乙中图线的斜率为mr，与纵轴的截距为－μmg，根据题图乙知a的斜率ka＝mar＝1 kg·m，b的斜率kb＝mbr＝1 kg·m，c的斜率kc＝mcr＝ kg·m，所以a、b、c的质量之比为2∶2∶1，因为体积相同，所以物块a、b、c的密度之比为2∶2∶1. (3)由题图乙知a的纵轴截距－μamag＝－1 N，b的纵轴截距－μbmbg＝－2 N，c的纵轴截距－μcmcg＝－1 N，结合质量之比得到物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为1∶2∶2. 35. 某同学用如图(a)所示装置探究钢质小球自由摆动至最低点时的速度大小与此时细线拉力的关系．其中力传感器显示的是小球自由摆动过程中各个时刻细线拉力FT的大小，光电门测量的是钢球通过光电门的挡光时间Δt. (1)调整细线长度，使细线悬垂时，钢球中心恰好位于光电门中心． (2)要测量小球通过光电门的速度，还需测出__________(写出需要测量的物理量及其表示符号)，小球通过光电门的速度表达式为v＝__________.(用题中所给字母和测出的物理量符号表示) (3)由于光电门位于细线悬点的正下方，此时细线的拉力就是力传感器显示的各个时刻的拉力FT中的______________(选填“最大值”“最小值”或“平均值”)． (4)改变小球通过光电门的速度，重复实验，测出多组速度v和对应拉力FT的数据，作出FT－v2图像如图(b)所示．已知当地重力加速度g＝9.7 m/s2，则由图像可知，小球的质量为________ kg，光电门到悬点的距离为__________ m. 答案　(2)小球的直径d　　(3)最大值　(4)0.05　1 解析　(2)根据v＝知，要测量速度，需要知道钢球在挡光时间内通过的位移，即小球的直径d，速度表达式为v＝. (3)小球摆动过程中受力分析如图所示，则有FT－F1＝m，F1＝mgcos θ，故FT＝mgcos θ＋m，由于F2始终指向轨迹的最低点，故小球向最低点运动过程中速度增大，到达最低点时速度最大，故在最低点FT最大，所以应选拉力FT的最大值． (4)小球摆至最低点时，由向心力公式得细线的最大拉力FTm＝mg＋v2，当小球速度为零时，此时拉力与重力大小相等，对比图线可知mg＝0.485 N，解得m＝0.05 kg，由斜率k＝＝ kg/m，解得r＝1 m. 考向2 创新性实验 36.某同学用如图所示装置探究物体做圆周运动时向心力与角速度的关系，力传感器固定在竖直杆上的A点，质量为m的磁性小球用细线a、b连接，细线a的另一端连接在竖直杆上的O点，细线b的另一端连接在力传感器上，拉动小球，当a、b两细线都伸直时，细线b水平，测得OA间的距离为L1，小球到A点距离为L2，磁传感器可以记录接收到n次强磁场信号所用的时间，重力加速度为g. （1）实验时，保持杆竖直，使小球在细线b伸直且水平的条件下绕杆做匀速圆周运动，将接收到的第一个强磁场信号记为1，并开始计时，测得磁传感器接收到n次强磁场信号所用时间为t，则小球做圆周运动的角速度ω＝　　，测得力传感器的示数为F，则小球做圆周运动的向心力Fn＝　　（此空用含F的式子表示）. （2）多次改变小球做圆周运动的角速度（每次细线b均伸直且水平），测得多组力传感器示数F及磁传感器接收到n次强磁场信号所用的时间t，作出F－图像.如果图像是一条倾斜直线，图像与纵轴的截距为　　，图像的斜率为　　，则表明，小球做匀速圆周运动时，在质量、半径一定的条件下，向心力大小与　　（填“角速度”或“角速度的平方”）成正比. 答案 ＋F － 4π2（n－1）2mL2 角速度的平方 解析　（1）将接收到的第一个强磁场信号记为1，并开始计时，测得磁传感器接收到n次强磁场信号所用时间为t，则小球做圆周运动的周期为T＝，小球做圆周运动的角速度为ω＝＝.设细线a与竖直方向夹角为θ，则竖直方向上有F1cosθ＝mg，水平方向上有Fn＝F1sinθ＋F，又tanθ＝，联立解得Fn＝＋F. （2）由于Fn＝mω2L2＝mL2，与上式联立解得F＝4π2（n－1）2mL2·－，所以F－图像是一条倾斜直线，图像与纵轴的截距为b＝－，图像的斜率为k＝4π2（n－1）2mL2，可知小球做匀速圆周运动时，在质量、半径一定的条件下，向心力大小与角速度的平方成正比. 37.某同学用如图(a)所示装置探究钢质小球自由摆动至最低点时的速度大小与此时细线拉力的关系。其中力传感器显示的是小球自由摆动过程中各个时刻细线拉力FT的大小，光电门测量的是钢球通过光电门的挡光时间Δt。 (1)调整细线长度，使细线悬垂时，钢球中心恰好位于光电门中心。 (2)要测量小球通过光电门的速度，还需测出________(写出需要测量的物理量及其表示符号)，小球通过光电门的速度表达式为v＝________(用题中所给字母和测出的物理量符号表示)。 (3)由于光电门位于细线悬点的正下方，此时细线的拉力就是力传感器显示的各个时刻的拉力FT中的________(选填“最大值”“最小值”或“平均值”)。 (4)改变小球通过光电门的速度，重复实验，测出多组速度v和对应拉力FT的数据，作出FT－v2图像如图(b)所示。已知当地重力加速度g＝9.7 m/s2，则由图像可知，小球的质量为________kg，光电门到悬点的距离为________m。 答案　(2)小球的直径d　　(3)最大值　(4)0.05　1 解析　(2)根据v＝知，要测量速度，需要知道钢球在挡光时间内通过的位移，即小球的直径d，速度表达式为v＝。 (3)小球摆动过程中受力分析如图所示，则有FT－F1＝m，F1＝mgcos θ，故FT＝mgcos θ＋m，由于F2始终指向轨迹的最低点，故小球向最低点运动过程中速度增大，到达最低点时速度最大，故在最低点FT最大，所以为拉力FT的最大值。 (4)小球摆至最低点时，由向心力公式得细线的最大拉力FTm＝mg＋v2，当小球速度为零时，此时拉力与重力大小相等，对比图线可知mg＝0.485 N，解得m＝0.05 kg，由斜率k＝＝ kg/m，解得r＝1 m。 38.某同学设计了用如图所示装置探究向心力与质量、半径关系的实验．水平杆光滑，竖直杆与水平杆铰合在一起，互相垂直，绕过定滑轮的细线两端分别与物块和力传感器连接． (1)探究向心力与质量关系时，让物块1、2的质量不同，测出物块1、2的质量分别为m1、m2，保持________相同，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，测出多组F1、F2，作出F1－F2图像，如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于________，则表明在此实验过程中向心力与质量成正比． (2)探究向心力与半径关系时，让物块1、2的________相同，测出物块1和物块2到竖直杆的距离分别为r1、r2，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，测出多组F1、F2，作出F1－F2图像，如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于________，则表明在此实验过程中向心力与半径成正比． 答案　(1)物块到竖直杆距离　　(2)质量　 解析　(1)探究向心力与质量关系时，让物块1、2的质量不同，保持物块到竖直杆的距离相同，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，测出多组F1、F2，作出F1－F2图像，由F＝mrω2可知，＝，因此如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于，则表明在此实验过程中向心力与质量成正比． (2)探究向心力与半径关系时，让物块1、2的质量相同，测出物块1和物块2到竖直杆的距离分别为r1、r2，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，测出多组F1、F2，作出F1－F2图像，由F＝mrω2可知，＝，如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于，则表明在此实验过程中向心力与半径成正比． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$