2.2.1直线的点斜式方程 教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.1《直线的点斜式方程》教学设计 一、教学目标 （一）新课标要求 理解直线的点斜式方程的推导过程，掌握点斜式方程的形式，能根据已知条件写出直线的点斜式方程；了解斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，掌握斜截式方程及其几何意义。 （二）核心素养 1. 数学抽象：通过直线上点的坐标与斜率关系的研究，抽象出直线的点斜式方程，提升数学抽象能力。 1. 逻辑推理：在点斜式方程的推导及特殊情况（倾斜角为和）的讨论中，培养逻辑推理能力。 1. 数学运算：能根据给定条件准确计算直线的斜率，进而写出直线的点斜式方程，提高数学运算能力。 二、教学重难点 （一）教学重点 直线点斜式方程的推导及应用，斜截式方程的形式与几何意义。 （二）教学难点 直线点斜式方程的推导过程理解，倾斜角为时直线方程的表示。 三、教学方法 讲授法、启发式教学法、练习法 四、教学过程 （一）导入（3分钟） 同学们，我们知道在平面直角坐标系中，给定一点和一个方向就能唯一确定一条直线, 如图 2.2 - 1. 就像在这个图里，已知点，再知道直线的斜率（或者倾斜角），这条直线就确定下来了. 那么直线上任意一点的坐标与点的坐标以及斜率 之间存在怎样的关系呢？这就是我们今天要探究的直线的点斜式方程. （二）新课讲授（15 分钟） 1. 直线点斜式方程推导（8分钟） 设直线经过点 ，且斜率为 ，是直线上 不同于点的任意一点. 根据斜率公式，变形可得. 引导学生思考：直线上每一个点的坐标 都满足关系式吗？反过来，坐标满足关系式 的每一个点都在直线上吗？（结合教材分析过程讲解） 得出结论：坐标满足关系式的点一定在直线上；直线上任意一点的坐标一定满足关系式. 当时，，这时点与重合，显然有点在直线上； 当时，有，这表明过点，的直线的斜率为. 因为，的斜率都为且都过点，所以它们重合．所以点在直线上． 综上，我们把方程称为过点，斜率为的直线的点斜式方程. 特殊情况讨论（3 分钟） 倾斜角为时：此时 ，即 ，直线与轴平行或重合. 直线的方程是，即. 倾斜角为时：由于 无意义，直线没有斜率，直线 与轴平行或重合. 直线上每一点的横坐标都等于，它的方程是 ，即. 1. 斜截式方程（4 分钟） 如果斜率为 的直线过点 ，这是点斜式方程的特殊情形. 把 代入点斜式方程 ，得到，即我们把直线 与轴的交点 的纵坐标 叫做直线 在轴上的截距. 方程 由直线的斜率 与它在轴上的截距 确定，称为直线的斜截式方程. 引导学生思考截距是不是距离（截距可正可负可为0 ，不是距离），并思考方程与一次函数表达式的联系. （三）例题讲解（10 分钟） 例 1：直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线. 解： 首先求斜率，因为，已知 ，所以. 已知直线过点 ，斜率 ，根据点斜式方程，可得. 画图时，再找直线 上另一点, 取， 代入点斜式方程，可得，得点的坐标为. 过， 两点的直线即为所求. 例 2：已知直线，，试讨论： (1)的条件是什么？ (2)的条件是什么？ 解： 回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论. 对于，若两直线平行，斜率相等（前提是斜率都存在），且在轴上截距不同。所以若 ，则 ，此时与轴的交点不同，即；反之，若，且 ，则. 对于 ，若两直线垂直，斜率之积为-1（前提是斜率都存在）. 所以若，则；反之，若，则. 得出结论：对于直线，， , 且； . （四）课堂练习（10 分钟） 1. 写出下列直线的点斜式方程： （1）经过点，斜率是； （2）经过点，倾斜角是； （3）经过点，倾斜角是； （4）经过点，倾斜角是． 2. 填空 （1）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是_____，倾斜角是_____； （2）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是___倾斜角是_____． 3．写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率是，在轴上的截距是； （2）斜率是，在轴上的截距是. 4．判断下列各对直线是否平行或垂直： （1），； （2），． 让学生在练习本上完成，教师巡视，及时纠正学生出现的问题，之后进行讲解. （五）课堂小结（2 分钟） 回顾直线点斜式方程 的推导过程，强调其适用条件（直线存在斜率）. 总结特殊情况下直线的方程：倾斜角为时，倾斜角为时. 回顾斜截式方程及其几何意义：为斜率，为直线 在轴上的截距. （六）布置作业 书面作业：教材课后习题3、9. 思考作业：思考如何用点斜式方程解决实际生活中确定直线位置的问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$