2.2.1 直线的点斜式方程（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

2.2.1 直线的点斜式方程 导学案 1、 教学目标 1. 掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程 2. 了解直线的斜截式方程与一次函数的关系 3. 会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 2、 教学重难点 重点：掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程． 难点：会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 3、 教学过程 1． 复习回顾，引入新知 问题1：在“直线的倾斜角与斜率”的学习中我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.“直线确定”意味着直线上任意一点的坐标与定点的坐标、斜率两个要素之间的关系是完全确定的. 那么，这个关系如何表示呢？ 2． 新课探究 下面我们就来研究这个问题. 我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线这样，在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线．也就是说，这条直线上任意一点的坐标与点的坐标和斜率之间的关系是完全确定的．那么，这一关系如何表示呢？下面我们就来研究这个问题． 问题2：点的坐标满足关系式吗？ 问题3：直线上每一个点的坐标都满足关系式吗？ 问题4：若点的坐标，满足关系式，则． ① 当时，点在直线上？ ② 当时，点在直线上？ 定义：直线上任意一点的坐标一定满足关系式． 我们把方程称为过点，斜率为的直线的方程． 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定， 我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(pointslopeform)． 问题5：如何建立直线的方程？ 问题6：当直线的倾斜角为时，直线的方程是什么？为什么？ 问题7：当直线的倾斜角为时，直线的方程如何表示？为什么？ 3． 应用新知 例题1：直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线． 追问：例1中当倾斜角时，直线方程是什么？当倾斜角时，则直线方程是什么？ 变式练习：求下列直线的点斜式方程： (1) 经过点D(－1，1)，倾斜角为0°； (2) 经过点B(4，2)，倾斜角为90°； (3) 经过点D(－1，1)，与x轴平行； (4) 经过点B(4，2)，与y轴平行； (5) 经过原点，倾斜角为60°. 4． 新课探究 问题8：如果斜率为k的直线l过点，这时直线的点斜式方程是什么? 定义：我们把直线l与y轴的交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 这样，方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 其中，k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距. 追问：截距是距离吗？ 问题8：方程与我们学过的一次函数表达式类似． 我们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度问题：你如何从直线方程的角度认识一次函数 ？你能说出一次函数，及图象的特点吗？ 5． 应用新知 例题2：已知直线，，试讨论： （1）的条件是什么? （2）的条件是什么？ 变式练习：写出下列两组直线的斜截式方程，并判断位置关系： (1) 直线斜率是，在y轴上的截距是－3； 直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5. (2) 直线斜率是，在y轴上的截距是－2； 直线倾斜角是30°，在y轴上的截距是－2. 6． 能力提升 题型一：利用点斜式（斜截式）求直线斜率和倾斜角 例题1：（1）已知直线的方程是，求该直线的倾斜角； （2）求直线的倾斜角. 题型二：直线图象的辨析 例题2：已知直线的方程为，其图象不经过第三象限，则（ ） A． B． C． D． 题型三：借助直线斜截式，利用平行与垂直关系求参数值 例题3：当a为何值时， (1) 两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？ (2) 两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？ 7． 课堂小结 8． 随堂限时小练 1. 若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程： (1)倾斜角为135°；(2)平行于x轴；(3)平行于y轴； (4)过原点． 2. 写出下列直线的斜截式方程： (1) 直线斜率是6，在y轴上的截距是－3； (2) 直线倾斜角是45°，在y轴上的截距是4； (3) 直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2. 3.当a为何值时， (1)两直线y＝(a＋3)x－2与y＝(a＋1)x＋1互相垂直？ (2)两直线y＝－x＋4a－4与y＝(a2－2a－1)x＋4互相平行？ 9． 课后作业布置 作业1：完成教材：第61页 练习 作业2：配套辅导资料对应的《直线的点斜式方程》 10． 课后作业 1．写出下列直线的点斜式方程： （1）经过点，斜率是； （2）经过点，倾斜角是； （3）经过点，倾斜角是； （4）经过点，倾斜角是． 2． 填空题． （1）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是_____，倾斜角是_____； （2）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是___，倾斜角是_____． 3．写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率是，在轴上的截距是；（2）斜率是，在轴上的截距是． 4．判断下列各对直线是否平行或垂直： （1），；（2），． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1 直线的点斜式方程 导学案 1、 教学目标 1. 掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程 2. 了解直线的斜截式方程与一次函数的关系 3. 会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 2、 教学重难点 重点：掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程． 难点：会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 3、 教学过程 1． 复习回顾，引入新知 问题1：在“直线的倾斜角与斜率”的学习中我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.“直线确定”意味着直线上任意一点的坐标与定点的坐标、斜率两个要素之间的关系是完全确定的. 那么，这个关系如何表示呢？ 2． 新课探究 下面我们就来研究这个问题. 我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线这样，在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线．也就是说，这条直线上任意一点的坐标与点的坐标和斜率之间的关系是完全确定的．那么，这一关系如何表示呢？下面我们就来研究这个问题． 画出如图2.2-1的图示，回顾已学知识，学生在独立思考的基础上进行交流解决问题， 设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得 问题2：点的坐标满足关系式吗？ 将代入关系式 ，关系式恒成立，所以满足. 问题3：直线上每一个点的坐标都满足关系式吗？ 由于点是直线上异于点的任意一点，所以当时，一定满足，特别的，当时也满足上式，所以直线l上的每一点的坐标都满足上式. 问题4：若点的坐标，满足关系式，则． ① 当时，点在直线上？ ② 当时，点在直线上？ 当时，，这时点与重合，显然有点在直线上； 当时，有，这表明过点，的直线的斜率为．因为，的斜率都为且都过点，所以它们重合．所以，点在直线上． 总结：两个重要结论 （1）直线上每一个点的坐标都满足关系式； （2）坐标满足关系式的每一个点都在直线上． 定义：直线上任意一点的坐标一定满足关系式． 我们把方程称为过点，斜率为的直线的方程． 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定， 我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(pointslopeform)． 问题5：如何建立直线的方程？ 建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标x，纵坐标y所满足的关系式：即关于的二元一次方程． 归纳总结，辨析如下： ① 点斜式方程由直线的斜率和直线上定点确定； ② 结构特点：等号左边为，右边外为斜率； ③ 不能表示斜率不存在的直线，可以表示斜率为0的直线； ④ 方程与不等价，虽然都表示直线l，但前者表示整条直线l，后者表示剔除点的直线l. 问题6：当直线的倾斜角为时，直线的方程是什么？为什么？ 当直线的倾斜角为时，，即， 这时直线与轴平行或重合，直线的方程是，即． 问题7：当直线的倾斜角为时，直线的方程如何表示？为什么？ 当直线的倾斜角为时，由于无意义，直线没有斜率，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，即． 3． 应用新知 例题1：直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线． 详解：直线经过点，斜率， 代入点斜式方程得． 画图时，只需再找出直线上的另一点， 例如，取，则，得点的坐标为， 过，两点的直线即为所求， 追问：例1中当倾斜角时，直线方程是什么？当倾斜角时，则直线方程是什么？ ；. 变式练习：求下列直线的点斜式方程： (1) 经过点D(－1，1)，倾斜角为0°； (2) 经过点B(4，2)，倾斜角为90°； (3) 经过点D(－1，1)，与x轴平行； (4) 经过点B(4，2)，与y轴平行； (5) 经过原点，倾斜角为60°. (1) ，(2) ，(3) ，(4) ， (5) 过原点，斜率，代入点斜式方程得. 归纳总结：1、如何利用直线上一定点和斜率k 求直线点斜式方程？ 第1步：求斜率：利用已知条件求出直线斜率； 第2步：写方程：① 若斜率为0，直线方程为：； ②若斜率不存在，直线方程为：； ③若斜率为其他值，直线方程为： 注意：若题中要求求直线的点斜式，因此不用去括号移项等操作. 2、如何在坐标系上画直线的图象？ 第1步：描点：描直线上两个点，优先选择与坐标轴的交点； 第2步：连线得图象. 4． 新课探究 问题8：如果斜率为k的直线l过点，这时直线的点斜式方程是什么? ，即. 定义：我们把直线l与y轴的交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 这样，方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 其中，k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距. 追问：截距是距离吗？ 截距不是距离，截距可正可负可为零，本质是一个实数. 归纳总结，辨析如下： ① 斜截式方程由直线的斜率和在y轴上的截距确定； ② 结构特点：等号左边为y的系数为1，右边的系数为斜率，b为截距； ③ 与的几何意义：为直线的斜率，为纵截距； ④ 不能表示斜率不存在的直线. 问题8：方程与我们学过的一次函数表达式类似． 我们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度问题：你如何从直线方程的角度认识一次函数 ？你能说出一次函数，及图象的特点吗？ 一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数. 对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0. 例如: 对于直线斜截式方程y=kx+b, 当k≠0时, 这个直线方程就是一次函数, 当k=0(即斜率为0)时，y=b就不能称一次函数了，是常函数了. 一次函数y=2x-1图象是斜率为2, 在y轴上的截距为-1的直线. 一次函数y=3x图象是斜率为3, 在y轴上的截距为0的直线. 一次函数y=-x+3图象是斜率为-1, 在y轴上的截距为3的直线. 5． 应用新知 例题2：已知直线，，试讨论： （1）的条件是什么? （2）的条件是什么？ 分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现或时，，与应满足的关系． 解：（1）若，则，此时，与轴的交点不同，即；反之，若，且，则． （2）若，则；反之，若，则． 由例2我们得到，对于直线，， ，且；． 归纳总结：如何利用直线的斜截式判断两条直线平行或垂直？ 对于直线， ① ，② 变式练习：写出下列两组直线的斜截式方程，并判断位置关系： (1) 直线斜率是，在y轴上的截距是－3； 直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5. (2) 直线斜率是，在y轴上的截距是－2； 直线倾斜角是30°，在y轴上的截距是－2. 解析：(1) ∵∴的方程： ∵∴的方程： 又因为，所以 (2) ∵∴的方程： ∵∴的方程： 又因为，所以. 6． 能力提升 题型一：利用点斜式（斜截式）求直线斜率和倾斜角 例题1：（1）已知直线的方程是，求该直线的倾斜角； 解析： 已知可得出直线的点斜式方程为， 所以，直斜率为，即，又因为 所以，该直线的倾斜角为： （2）求直线的倾斜角. 解析： 由直线的斜截式方程：， 可得，直斜率为，即，又因为 所以，该直线的倾斜角为： 方法总结：利用点斜式和斜截式的结构特点，求出斜率k，然后利用k=tanα 求出直线的倾斜角. 题型二：直线图象的辨析 例题2：已知直线的方程为，其图象不经过第三象限，则（ ） A． B． C． D． 解析：当时，直线不经过第三象限，，． 当时，直线也不经过第三象限， 综上，．故选：B. 方法总结：根据题意，画出直线图象草图，再结合k，b的几何意义，进行分类讨论分析，即可得出结果. 题型三：借助直线斜截式，利用平行与垂直关系求参数值 例题3：当a为何值时， (1) 两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？ (2) 两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？ 解析：（1）设两直线的斜率分别为k1，k2，纵截距分别为b1，b2 则k1＝－1，k2＝a2－2，b1＝4a，b2＝4 ∵两条直线互相平行，∴ 解得a＝－1. 故当a＝－1时，两条直线互相平行． (2)设两直线的斜率分别为k3，k4，则k3＝a，k4＝a＋2. ∵两直线互相垂直，∴k3k4＝a(a＋2)＝－1，解得a＝－1. 故当a＝－1时，两条直线互相垂直． 方法总结：借助斜率和纵截距，利用与平行或垂直关系等价的斜率或纵截距关系，建立方程，求出参数值，注意平行时防止重合的情况. 7． 课堂小结 8． 随堂限时小练 1. 若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程： (1)倾斜角为135°；(2)平行于x轴；(3)平行于y轴； (4)过原点． 解：(1) 直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以由点斜式方程得y－1＝－1×(x－2)， 即方程为x＋y－3＝0. (2) 平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1. (3) 过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x＝2. (4) 过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k＝，故所求的直线方程为y＝x. 2. 写出下列直线的斜截式方程： (1) 直线斜率是6，在y轴上的截距是－3； (2) 直线倾斜角是45°，在y轴上的截距是4； (3) 直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2. 解：(1) y＝6x－3. (2) ∵k＝tan 45°＝1，∴y＝x－3 (3) ∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)， ∴k＝＝， ∴y＝x－2. 3.当a为何值时， (1)两直线y＝(a＋3)x－2与y＝(a＋1)x＋1互相垂直？ (2)两直线y＝－x＋4a－4与y＝(a2－2a－1)x＋4互相平行？ 解：(1) 设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1＝a+3，k2＝a＋1. ∵两直线互相垂直，∴k1k2＝(a+3)(a＋1)＝－1，解得a＝－2. 故当a＝－2时，两条直线互相垂直． (2) 设两直线的斜率分别为k3，k4，截距分别为b3，b4 则k3＝－1，k4＝a2－2a－1，b3＝4a－4，b4＝4 ∵两条直线互相平行，∴解得a＝0. 故当a＝0时，两条直线互相平行． 9． 课后作业布置 作业1：完成教材：第61页 练习 作业2：配套辅导资料对应的《直线的点斜式方程》 10． 课后作业答案 1．写出下列直线的点斜式方程： （1）经过点，斜率是； （2）经过点，倾斜角是； （3）经过点，倾斜角是； （4）经过点，倾斜角是． 1．解析：（1）；（2），； （3），； （4），． 2． 填空题． （1）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是_____，倾斜角是_____； （2）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是___，倾斜角是_____． 2．答案：（1）1，；（2），． 3．写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率是，在轴上的截距是；（2）斜率是，在轴上的截距是． 3．解析：（1）；（2）． 4．判断下列各对直线是否平行或垂直： （1），；（2），． 4．解析：设与的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，， （1），，，，，，． （2），，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$