【精准提分】专题03 平行线的性质和判定解答题（5个基础题+4个压轴题+课后巩固）-2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（人教2024版）（原卷+解析版）

【精准提分】专题03 平行线的性质和判定解答题（人教2024） 【5个基础题型+4个压轴题型】 【基础题型一】利用平行线的性质和判定求证 1 【基础题型二】根据平行线的性质与判定求角度 9 【基础题型三】根据平行线的性质与判定填空 19 【基础题型四】平行线的性质与判定在生活的应用 31 【基础题型五】平行线之间的距离相关计算 41 【压轴题型六】根据平行线的性质与判定探究角之间的关系 45 【压轴题型七】根据平行线的性质与判定中“折点”问题 65 【压轴题型八】根据平行线的性质与判定中三角板问题 89 【压轴题型九】根据平行线的性质与判定中“猪蹄”问题 104 【基础题型一】利用平行线的性质和判定求证 例题1（24-25七年级·浙江温州）如图，已知，与互补． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）解：， ， ， , 又， ， ． （2）解：平分， ， 又， ， ， , , , ， ． 【变式1-1】（24-25七年级·福建福州）如图，在△ABC中，，，．请证明：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-2】（24-25七年级·浙江金华）如图，在△ABC中，点D，E分别在，上，且，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1-3】（24-25七年级·山东日照）如图，已知，于点，． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：， ， ， ， （2）解：由（1）得， ， ∵， ∴ ， 即 ∴． 【变式1-4】（24-25七年级·北京）如图，，和相交于点，是上一点，是上一点，且．    (1)求证：； (2)若比大，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵比大，即， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【变式1-5】（24-25七年级下·陕西榆林）如图，在三角形中，平分交于点，点在上，过点的直线与的延长线交于点，与交于点，过点作交于点，． (1)求证：； (2)若，，则平分吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)平分，理由见解析 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ． （2）解：平分，理由如下： ， ，， ， ，， ， ， 又， ， ， 平分． 【变式1-6】（24-25七年级下·天津）如图，已知，． (1)和平行吗？为什么？ (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)证明，见解析(2) 【详解】（1）解：．理由如下， ∵，且， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-7】如图，△ABC中，点E在边上，，垂足分别是D，F，． (1)与平行吗？请写出证明过程； (2)若，求的度数． 【答案】(1)与平行，证明见解析(2) 【详解】（1）解：与平行，理由如下： ∵，， ， ， ∵， ， ∴． （2）如图，过点C作， ∵， ， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【变式1-8】（24-25七年级下·陕西）如图，在三角形中，、分别是、边上的点，点在边上，连接，已知，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析(2) 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1-9】（24-25七年级·广东广州）如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析(2) 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【基础题型二】根据平行线的性质与判定求角度 例题2（24-25七年级下·广东深圳）如图，，平分，平分，的反向延长线交于点，过点作． (1)若∠ABE=150°，，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，， 平分，平分， ，， ， ，， （2）解：设，， ，， 由（1）知：， ， ， ， ； 【变式2-1】（24-25七年级下·陕西西安）如图，，连接，平分交于点，点在上，连接，过点作交于点，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴． 【变式2-2】（24-25七年级下·陕西咸阳）如图，直线，与交于点，与交于点，过点分别作，，使得平分，平分． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析(2) 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】（2025七年级下·贵州）如图，在中，，垂足为，点在上，在在上． (1)若，，与平行吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，平分，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解(2) 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 【变式2-4】（24-25七年级下·辽宁盘锦）已知，，点在上方，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点作交的延长线于点，写出和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；(2)，理由见解析． 【详解】（1）解：过点作，如图1： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【变式2-5】（24-25七年级下·江西南昌）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中． (1)若，，求的度数． (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；(2)，理由见解析． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， . ， ， ， ． （2）解： 理由：∵， ， . ， ， ， ， ． 【变式2-6】（2025七年级下·全国）已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，过作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：过点作，过点作，设， ，， ， ， ，， ， 平分，平分， ， 即， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【变式2-7】（24-25七年级下·四川自贡）如图，直线，直线与，分别相交于点，，，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)若，，，则点到直线的距离是 ；点A到直线的距离是 ． 【答案】(1)(2)4， 【详解】（1）解：如图， ∵直线，， ∴， 又∵， ∴， ∴ （2）解：点B到直线的距离即的值为4， 根据等面积可知：点A到直线的距离． 【变式2-8】（24-25七年级下·江西上饶）如图，已知，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2-9】（24-25七年级下·陕西榆林）如图，点在上，点在上，连接，，，与交于点，． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-10】（2025七年级下·全国）如图，已知，．当，且时，求的度数． 【答案】 【详解】解：延长交于点，延长交的延长线于点，如图． 因为， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以． 又因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 同上可知， ． 【基础题型三】根据平行线的性质与判定填空 例题3（24-25七年级下·四川南充）如图，和相交于点，，，．试说明：． 解：∵，（________）， 又∵（________________）， ∴________（________________）． ∴（________________）． ∴________（________________）． ∵（已知）， ∴________（________________）． ∴（________________）． 【答案】已知，对顶角相等，，等量代换，内错角相等，两直线平行，，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，等量代换 【详解】解：∵，（已知）， 又∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∴（等量代换）． 故答案为：已知，对顶角相等，，等量代换，内错角相等，两直线平行，，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，等量代换． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东广州）完成下面的证明并填上推理的根据． 如图，已知，，求证：． 证明：（______）． （邻补角的定义）， （______）， ____________（______）， （______）， （已知）， （______）， （______）． 【答案】已知；同角的补角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【详解】解：（已知）， （邻补角的定义）， （同角的补角相等）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 【变式3-2】如图所示，已知直线，点，在直线上，点在直线上，平分，，求的度数．（补充完整解题过程） 解：因为（已知）， 所以______，（____________） 因为（已知）， 所以（__________________） 因为（__________________）， 所以______． 因为平分， 所以______ 因为 ______（____________）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；等式的基本事实；平角的定义；130；65；115；两直线平行，同旁内角互补； 【详解】解：因为（已知）， 所以，（两直线平行，同位角相等） 因为（已知）， 所以（等式的基本事实）， 因为（平角的定义）， 所以． 因为平分， 所以 因为 （两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；等式的基本事实；平角的定义；130；65；115；两直线平行，同旁内角互补． 【变式3-3】（24-25七年级下·湖北武汉）完成下面的推理：已知，如图，试说明：． 解： （  ） ___________（  ） 又（已知） ___________（  ） ___________（  ） （  ） 即． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等式的性质 【详解】解： （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 又（已知） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （等式的性质） 即． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等式的性质． 【变式3-4】（24-25七年级下·陕西榆林）完成下面的证明． 如图，在四边形中，点，分别是，上的点，连接，．若，，分别平分，，．求证：． 证明：，分别平分，， ，____________． ， _______________． 又， ______________， ___________________________（_____________________）， ____________，______________（_________________）， ． 【答案】见解析 【详解】证明：，分别平分，， ，； ， ， 又， ， （内错角相等，两直线平行）， ，（两直线平行，同旁内角互补）， ． 【变式3-5】（24-25七年级下·上海）将下面证明过程补充完整． 如图，已知，、分别平分、且． 求证：． 证明：、分别平分、 ， ______=______ ____________ ______∥______（______） ______，______（______） 【答案】1；；2；3；；；内错角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补 【详解】证明：、分别平分、 ， ， ， ， （内错角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同旁内角互补） ． 【变式3-6】（24-25七年级下·山东烟台）仔细阅读题目，在括号内横线处填写每一步推理的理由．如图，，相交于点E，，，过A作，垂足为F．求证：． 证明：∵，． 又，（① ） ∴．（② ） ∴．（③ ） ∴．（④ ） ∵，∴．∴．（⑤ ） ∴．（⑥ ） 【答案】①对顶角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，内错角相等；⑤等量代换；⑥垂直的定义 【详解】证明：∵，． 又，（①对顶角相等） ∴．（②等量代换） ∴．（③内错角相等，两直线平行） ∴．（④两直线平行，内错角相等） ∵， ∴． ∴．（⑤等量代换） ∴．（⑥垂直的定义） 故答案为：①对顶角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，内错角相等；⑤等量代换；⑥垂直的定义． 【变式3-7】（24-25七年级下·山东菏泽）完成下面的推理填空：科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，平分平分． 试说明：． 下面是解答过程，阅读并填空（理由或数学式）． 解：理由如下：（已知）， ________（_______________）． 平分（已知）， _______（角平分线的定义）． 同理，． ______（_______________）， _______（_______________）， （_______________）． 【答案】见解析 【详解】解：理由如下：（已知）， _____（_两直线平行，内错角相等）． 平分（已知）， _____（角平分线的定义）． 同理，． ____（_等量代换_）， _（内错角相等，两直线平行）， （_两直线平行，同旁内角互补）． 【变式3-8】（24-25七年级下·河南郑州）如图，，，，，试说明：． 解：，（已知）， （垂直定义）， （_______________）， ________（_______________）， （已知）， _________（等量代换）， （_______________）， ________（_______________）， （已知）， （_______________）， （_______________）， ． 【答案】见解析 【详解】证明：，（已知） （垂直定义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （已知） （垂直定义） （等量代换） ． 【变式3-9】（24-25六年级下·山东烟台）完成下列推理过程，在序号处填写相应的内容． 如图，点E在线段上，点B在线段上， 若与互补，，说明： 解：因为与互补， 根据“ ① ”，所以 ② ∥ ③ ， 根据“两直线平行，同位角相等”，所以 ④ 又因为，所以 ⑤ ， 根据 ⑥ ，所以， 根据 ⑦ ，所以 【答案】①同旁内角互补，两直线平行，②，③，④，⑤，⑥内错角相等，两直线平行，⑦两直线平行，内错角相等 【详解】解：因为与互补， 根据“同旁内角互补，两直线平行，”，所以 根据“两直线平行，同位角相等”，所以 又因为，所以， 根据内错角相等，两直线平行，所以， 根据两直线平行，内错角相等，所以． 故答案为：①同旁内角互补，两直线平行，②，③，④，⑤，⑥内错角相等，两直线平行，⑦两直线平行，内错角相等． 【变式3-10】（24-25七年级下·广西南宁）如图，已知，，，，求证：．（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由．注：填到相应的序号内） 证明：，，（已知） （①________） ②________（③________） ④________（两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） ⑤________（⑥________） ⑦________（⑧________） ． （已知） （等量代换） ⑨________， （⑩________）． 【答案】①垂直的定义；②；③内错角相等，两直线平行；④；⑤；⑥同位角相等，两直线平行；⑦；⑧两直线平行，同旁内角互补；⑨；⑩同旁内角互补，两直线平行 【详解】证明：，，（已知） （①垂直的定义） ②（③内错角相等，两直线平行） ④（两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） ⑤（⑥同位角相等，两直线平行） ⑦（⑧两直线平行，同旁内角互补） ． （已知） （等量代换） ⑨， （⑩同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：①垂直的定义；②；③内错角相等，两直线平行；④；⑤；⑥同位角相等，两直线平行；⑦；⑧两直线平行，同旁内角互补；⑨；⑩同旁内角互补，两直线平行． 【变式3-11】（24-25七年级下·陕西西安）如图，，于点． (1)若，则_______； (2)若与互为余角．试说明：． 以下是小明的解答过程，请你将小明的解答过程和推理依据补充完整． 解：因为（已知）， 所以_______． 因为， 所以（   ）， 所以（   ）， 所以， 因为与互为余角（已知）， 所以_______． 所以_______（等量代换）， 所以（   ）． 【答案】(1) (2)；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：因为（已知）， 所以． 因为， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 所以， 因为与互为余角（已知）， 所以． 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行． 【基础题型四】平行线的性质与判定在生活的应用 例题4（24-25七年级下·河南驻马店）2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【答案】 【详解】解：∵都与地面平行， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式4-1】（2025七年级下·全国）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 【变式4-2】（2024七年级上·全国）“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1)(2)30或110秒 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）设灯A转t秒时，两灯的光束互相平行， 或， 所以或． 答：灯A转动30或110秒，两灯的光束互相平行． 【变式4-3】（23-24七年级下·全国）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【变式4-4】（23-24七年级下·广西南宁）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 【变式4-5】（23-24七年级下·山西晋城）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 【答案】(1)；(2)；(3)当或两探照灯的光束互相平行． 【详解】（1）解：∵． ∴，． ∴； （2）解：作， ∵， ∴， 设A灯转动时间为t秒， 则，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． ①当时， 由题意得， 解得； ②当时， 解得； ③当时， ， 解得（不合题意） 综上所述，当或两探照灯的光束互相平行． 【变式4-6】（23-24七年级下·山西晋中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【答案】 【详解】解：如图：延长到点C，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式4-7】（23-24七年级下·辽宁沈阳）为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接． (1)若，求的度数； (2)若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行． 【答案】(1)；(2)或． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当与相遇前，设灯的光线转动秒，两灯的光线，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 当与相遇后，灯的光线转动秒，为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线，如图， 同理可得：， ∴，解得，不合题意，舍去； 当与相遇后，灯的光线转动秒时，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线，如图， 同理可得：， ∴， 解得； 综上，或时，两灯的光线互相平行， 故答案为：或． 【变式4-8】（24-25七年级下·山东济南）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)100°(2)见解析(3)的值或或． 【详解】（1）解：∵， ，． ， ． 平分， ． ． 故答案为：． （2）∵， ． ， ． 平分， ． ． ． ， ． ． ， ． ， ． ∴． （3）． 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． ． 当回转时，时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． 当时，，如图，   ． ． ， ． ． 综上，的值或或． 【基础题型五】平行线之间的距离相关计算 例题5（24-25七年级下·广西来宾）如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 【答案】(1)平行，见解析(2)8 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 设，所在的直线之间的距离为， ， 即， ， 即，所在的直线之间的距离为． 【变式5-1】（24-25七年级下·湖南株洲）如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证：． (2)若，且．求与之间的距离． (3)若．试求点到直线的距离的取值范围． 【答案】(1)见解析(2)(3)大于0小于等于5 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解：由知：与之间的距离等于点到直线的距离， 即设三角形的边上的高为， 由三角形的面积计算公式可得： ，即， 解得：， 与之间的距离为2.4； （3）解：过点作于，连接，   ， 当与重合时，， 当无限接近时，无限接近0， ， 点到直线的距离的取值范围为大于0小于等于5． 【变式5-2】（24-25七年级下·贵州遵义）如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求直线与的距离． 【答案】(1)(2) 【详解】（1） ∵ ∴ 又∵ ∴ （2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离 ∵，， 是直角三角形 ∵ ∴ ∴直线与的距离 【变式5-3】（2025七年级下·全国）如图，，E，F为上的两点，M，N为上的两点，连接，且，则与有怎样的大小关系？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【详解】解：．理由如下： 如图，过点作于点，则． 因为，所以． 【变式5-4】（2025七年级下·全国）几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以平行线与之间的距离为． 【压轴题型六】根据平行线的性质与判定探究角之间的关系 例题6（24-25七年级下·天津南开）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；；②；(2) 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分； ， ∴． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 【变式6-1】（24-25七年级下·北京）如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）． (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说理． (3)当时，若设，，直接写出与之间的数量关系（用等式表示）． 【答案】(1)否(2)图见解析，，理由见解析 (3)与之间的数量关系为或或． 【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧， ∴点P与点Q不共点， ∴和没有公共顶点， ∴和不可能为对顶角， 故答案为：否； （2）解：补全图形，如图， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 综上，与之间的数量关系为或或． 【变式6-2】（24-25七年级下·陕西西安）问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求． （1）按照小明的思路，求度数； 问题迁移： （2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当在延长线时，；当在延长线时，，理由见解析 【详解】解：（1）过点作，如图所示， ， ， ，， ，， ，， ； （2）， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 【变式6-3】（24-25七年级下·河南周口）问题：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角有什么数量关系？探究： （1）如图（1），，，探究与的关系为________． （2）如图（2），，，猜想与的关系，并说明理由； 结论：请用一句话概括上面得到的结论：_________． 运用：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少，求这两个角分别是多少度？     【答案】（1）（2）猜想：（或与互补），理由见解析；结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；运用：这两个角分别是，或，． 【详解】解：（1）．理由如下：如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 结论：请用一句话概括上面得到的结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 运用：设一个角的度数为x，则另一个角的度数为， 当，解得，则这两个角的度数分别为，； 当，解得，则这两个角的度数分别为，． 综上所述：这两个角的度数分别为，或，． 【变式6-4】（24-25七年级下·陕西渭南）【问题背景】 如图，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接，，已知． 【问题探究】 (1)如图1，直线与直线平行吗？为什么？ (2)如图2，点在直线上，且在点的右侧，连接，分别作的平分线和的平分线相交于点，过点作，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）解：平行，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵作的平分线和的平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-5】（24-25七年级下·河南商丘）如图1，2，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即，． [思考]（1）分别猜想图1，图2中与的数量关系，并给予证明； [表达]（2）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的关系为________； [应用]（3）若的两边与的两边分别平行，且，，直接写出的值． 【答案】（1）图①：，图②：，证明见详解；（2）相等或互补； （3）或 【详解】解：（1）如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图②， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的关系为相等或互补． 故答案为：相等或互补； （3）∵，， 若的两边与的两边分别平行， 则当与相等时，可有，解得； 当与互补时，可有，解得． 综上所述，的值为或． 【变式6-6】（24-25七年级下·山东济宁）已知直线 ，，相交于点E． (1)如图①，此时与，有什么数量关系? (2)如图②，此时与，有什么数量关系? (3)直接写出图③、图④中，与，的数量关系．（不需说明理由） (4)如图⑤，点 E，F在上方，平分，平分． ①和有什么数量关系? ②若的倍比大，则 【答案】(1)(2) (3)图③：，图④：(4)①② 【详解】（1）解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ （2）解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ （3）解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ （4）解：①过点E作，过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴． ②由①得， ∵的倍比大， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【变式6-7】（24-25七年级下·全国）如图，若是的角平分线，． (1)若交于点．试问：是否为的角平分线？并说明理由； (2)若是的平分线，试探索qx与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)是的角平分线．理由见解析(2)．理由见解析 【详解】（1）是的角平分线．理由如下： 是的角平分线， ． ， ， ， 是的角平分线； （2）．理由如下： 是的角平分线 ． 又 ． 又是的平分线， ， ， ． 【变式6-8】（2025七年级下·全国）如图，直线，，的角平分线交于点P． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，求的度数． (3)点Q为射线上一点，连接，．若，且，求的度数． 【答案】(1)与相等，理由见解析(2)(3)或 【详解】（1）解：与相等，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵点Q为射线上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； ②当点Q在线段的延长线上时， 过点Q作交的延长线于R，如图2所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：的度数为或． 【变式6-9】（24-25七年级下·辽宁沈阳）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：①如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系； ②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系； (3)问题解决：①图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明 ②连接，与满足______时，． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；    ②当点在的延长线上时，；当点在线段上时， (3)①；② ②过点作交于点得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：如图，过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； ②如图，当点在的延长线上时，， 过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； 如图，当点在线段上时，， 过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． （3）①∵，， 由（2）得：， ∵ ∴， ∴， ②如图所示，过点作交于点 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【压轴题型七】根据平行线的性质与判定中“折点”问题 例题7（24-25七年级下·山东烟台）【问题初探】 在数学课上，王老师出示了这样一道题： 如图1，已知，点E，F分别在上，，求的度数．同学们经过小组讨论后，勤奋小组、创新小组、拼搏小组用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：勤奋小组：“如图2，通过作平行线，发现，由已知，可以求出的度数．”创新小组：“如图3，作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．”拼搏小组：“如图4，也能求出的度数．” 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的同学所画的图形（图2），描述辅助线的做法，辅助线为： ． （2）这三种解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，这种解题思路体现了 数学思想．（从分类讨论、数形结合、转化选一个） （3）请你根据以上创新小组所画的图3或者拼搏小组所画的图4选择其中一种图的方法求出∠2的度数． 【学以致用】 （4）为了帮助同学们更好的感悟其中的思想方法，王老师又提出了一个问题，请你解答：如图5，，，，请探究与的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】（1）过点P作   （2）转化   （3）  （4） 【详解】解：（1）勤奋小组的同学辅助线的做法为：过点作； 故答案为：过点作； （2）三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，它体现了转化数学思想． 故答案为：转化； （3）如图3，过点作， ∵， ∴，即， ∵，， ，， ， ， ， ， 如图4，过点作， 则， ∵，， ，， ， ， ， ； （4）设，， 过点作， ，， ∵， ∴， ， ， 由， ， ， 即． 【变式7-1】（24-25七年级下·山东青岛）【提出问题】 （1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由． 【类比探究】 （2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________． 【综合应用】 （3）如图3，直线，，，，，则_______． （4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1），理由如下： 如图1中，作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）如图2中， 如图2中，作，，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即． 故答案为：． （3）如图3中，作，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，则， ∴． 故答案为：； （4）如图，过点作 ∴即， ∵，即 ∵平分平分， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 由（1）可得 ∴ 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·吉林） 综合与实践： 【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图①，，点在之间且点在点右侧，求证：（提示：过点作）； 【类比探究】 （）小明对王老师给出的问题进行改编：如图②，，点在之间且点在点左侧，猜想，，之间的数量关系： ，并加以证明； 【学以致用】 （）如图③是超市的购物车，图④是其侧面示意图，已知，，测量得知，，直接写出的度数 ． 【答案】（）证明见解析；（），证明见解析；（） 【详解】（）证明：如图①，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （），证明如下： 如图②，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）解：如图③，过点作，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25七年级下·江西宜春）【课本再现】 （1）①如图1，已知，直接写出，和满足的等式关系； ②如图2，已知，写出，和满足的等式关系，并说明理由； 【知识应用】 （2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知，，写出，和满足的等式关系，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2） 【详解】解：（1）①过点作，如图所示： ， ， ，， ，即， ， ； ②， 理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ，， ， ； （2）， 理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ，，，， ，，， ， ． 【变式7-4】（24-25七年级下·陕西西安）如图，平面上有两条直线，，，P是平面上这两直线间的一点． 【问题提出】（1）如图1，若，，则的度数为__________． 【问题探究】（2）如图2，__________，写出推理过程． 【问题解决】（3）如图3，若，，，求的度数．（用含x，y，z的式子表示） 【答案】（1）；（2），过程见解析；（3） 【详解】解：（1）过点作， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图，过点P作，过点Q作， ，，， ， ，，， ， 故答案为：； （3）如图，过点P作，过点Q作， ，，， ， ，，， ， 即， ． 【变式7-5】（24-25七年级下·江西南昌）（1）【问题发现】 ①如图1，直线，，分别在，上，点为其内部一点，求证：． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为其外部一点，猜想，，之间的数量关系是__________．（直接写出结论，不需要证明） （2）【尝试应用】 如图3，直线，点，分别在，上，，的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． （3）【拓展延伸】 如图4，直线，点，分别在，上，点为其内部一点，，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3） 【详解】（1）①证明：过点作，则， ， ， ， ， ． ②过点作，则， ， ， ， ． 故答案为：． （2）如图， 的角平分线与的角平分线交于点 设，， 则，， ， ， ， ， ，即， ， 由（1）知， ． （3）         由（1）可得， ， ， 设，， 则，， ∴，，， ∴， ． 【变式7-6】（24-25七年级下·山东济南）【阅读理解】在平行线的学习中，“两条平行线被第三条直线所截”是一个重要的“基本图形”．在这个“基本图形”中，所有与平行线有关的角都存在其中，并都分布在“第三条直线”的两侧．例如：如图，已知，点在直线、之间，当发现题目的图形“不完整”时，可通过添加适当的辅助线，将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了“转化思想”．请解决下面的问题． 【学以致用】 (1)如图，已知，当，求出的度数． (2)如图1，若，则___________； (3)①如图2，若、分别平分和，直接写出与的数量关系为___________； ②如图3，设，则___________． 【答案】(1)(2)(3)①；② ②利用（1）（2）的结论，结合即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点E作， 则； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点E作， 则， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：； （3）解：①由（2）知，； 由（1）知，； ∵、分别平分和， ∴， ∴， 即， ∴， 即； 故答案为：； ②由（2）知，； 由（1）知，； ∵， ∴， ∴； ∴； ∴； 故答案为：． 【变式7-7】（24-25七年级下·广东汕头）综合与实践： 如图1，，． (1)如图1，设，，求、之间的数量关系； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)不发生变化，(3)或 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的读数为或 【变式7-8】（24-25七年级下·陕西渭南）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为； （2）证明：由（1）得：， 同理：， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴ （3）解：如图3，作的角平分线交于点，    ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 由（2）得：， ． 【变式7-9】（24-25七年级下·河南洛阳）学习《相交线与平行线》一章后，“睿思”小组准备研究如下问题：如图，直线，点，分别是，上的点，是，之间的一条折线，且． (1)【操作发现】如图①，小组成员小兰通过量角器测得，后，直接就得出______；小组成员在探讨交流后，发现，，之间满足数量关系______．（此关系在下面可直接使用，不需证明） (2)【问题探究】小组成员小芳在直线，之间、折线的左侧取一点，并画出，使的一边与平行，另一边与平行，其余条件不变，得到两种情况，如图②和图③所示．请你帮小芳同学探究，，之间满足的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】组内其他同学也都继续探究，若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 【答案】(1)46，(2)或，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：如图，过P作直线a， ， ， ； ， 故答案为：46，； （2）如图，延长交直线b与点E， ， ， ， ； 即或； （3）如图，，， ， ， ， ， ， ， 即或． 【变式7-10】（24-25七年级下·山西晋中）【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①已知，点E在直线之间，则___________． （2）如图②已知，点E在直线之间，请写出与之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，求出身体与水平线的夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3） 【详解】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图②，过作直线， ， ， ， ； （3）解：如图，延长交直线于点， ， ， ， ． 【变式7-11】（24-25七年级下·天津西青）先阅读再解答： (1)如图1，，求证：． （提示：可以考虑把变成两个角的和，过点作一条直线，则有，再设法证明，需证，这可通过已知和得到．） (2)已知：如图2，，求证：． (3)已知：如图3，，，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：过点作直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）证明：过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【压轴题型八】根据平行线的性质与判定中三角板问题 例题8（24-25七年级下·山东临沂）在一次综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（）的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动． 【基础探究】 （1）如图1，三角尺角的顶点在上．若，则的度数为_________． 【巩固提升】 （2）如图2，小夏同学把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，她认为与是互余的，请你判断小夏同学的结论是否正确，并说明理由． 【类比探究】 （3）看到小夏的操作，小强进行了调整，他把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点放在上，如图所示．当，他发现与依然存在某种数量关系，用含的式子表示这种数量关系是_________．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）小夏同学的结论正确，理由见解析（3） 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：，小夏同学的结论正确， 理由如下：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式8-1】（24-25七年级下·贵州贵阳）【基础情境】 如图1，已知直线，将一个含角的直角三角尺ABC中角的顶点B放在PQ上，边AB，AC与MN分别交于点D，E． （1）若，则________； 【探究发现】 （2）如图2，请你写出与之间的数量关系，并说明理由； 【延伸拓展】 （3）把三角尺从图3的位置开始绕点B顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，请直接写出的度数． 【答案】（1），（2），（3）或． 【详解】解：（1）如图1，过点C作， ， ， ， ，， ； （2）如图2，过点C作， ， ， ， ， ， ； （3）①如图3，过点C作， ， ， ， ，， ， 则； ②如图，过点A作，直线与交于点， ∵与交于， ∴， ， ， ， ， ， 故的度数为或． 【变式8-2】（24-25七年级上·江苏盐城）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在△ADE中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)，(2)t的值是20或；(3)或． 【详解】（1）解：如图①，，， 如图②，当时，；    故答案为：，； （2）解：分两种情况： ①如图1，当在的左边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； ②如图2，当在的右边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； 综上，t的值是20或； （3）解：如图，由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图：由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，或． 【变式8-3】（24-25七年级上·吉林长春）（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：75； （2），理由如下： ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 【变式8-4】（23-24七年级下·湖北荆门）如图所示的是由一块三角板和一个长方形拼成的图形，在三角板中，，，与相交于点与相交于点N． (1)如图1，当时，求和的度数． (2)如图2，当与不垂直时，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：过点作，如图， ∵ ∴， 所以，， ， ． ， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作， ∴． ，， ， ， ， 即． 【变式8-5】（24-25七年级下·河北石家庄）如图1，直线与直线交于点O，．小明将一个含的直角三角板如图1所示放置，使顶点P落在直线上，过点Q作直线交直线于点H（点H在Q左侧）． (1)若，，则 ． (2)若的角平分线交直线于点E，如图2． ①当，时，求证：． ②小明将三角板保持并向左平移，运动过程中， （用α表示）． 【答案】(1)45；(2)①见解析；② 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）①证明：，， ， ， ，， 的角平分线交直线于点， ， ， ， ， ； ②，， ， ， ， ，， 的角平分线交直线于点， ， ． 【变式8-6】（23-24七年级下·广东汕头）已知：如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点． (1)若与都是锐角，如图1，请直接写出与之间的数量关系； (2)若小明把一块三角板（）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若，求的度数． (3)将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G 在线段上，连接，且有，求的值是否变化？ 如果不变，求出比值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)不变，2 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，过C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴； （3）解：的值不变；理由如下： 设，则， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴． 【变式8-7】（23-24八年级上·四川达州）数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线a，b，再将三角板（）放在黑板上，与直线a相交于点A，转动三角板得到如图所示的两个不同位置的图形． (1)如图1，若点B在直线b上，，则_____°． (2)如图2，若点B在直线a，b之间，则与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【详解】（1）解：设三角板与直线b的交点为N， ， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． （2）与的关系：． 证明：过点B作， ∵，． ∴ 由题意可知，， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-8】（23-24七年级下·湖北黄冈）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)【特例初探】如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，请求的度数． (2)【技能提升】在（1）的条件下，若比的一半多，求的值． (3)【综合运用】如图2，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)40(3)的值为秒或秒 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ； （2）解：∵比的一半多， ， 解得， ∴的值是； （3）解：存在，理由如下： 如图： 则， ∵， ∴， ∴， 解得秒； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得秒， 综上所述，的值为秒或秒． 【压轴题型九】根据平行线的性质与判定中“猪蹄”问题 例题9（24-25七年级下·上海闵行）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值 【答案】（1），理由见解析（2）（3）或或 【详解】解：（1）过点作， ， ， ，， ， 即； （2）如图， 设，则，设，则， 由（1）知，， 同理可得， ， ， ， 由，得， 由，得， 将，代入， 可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，， 则， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， ， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 综上所述，或或． 【变式9-1】（2025七年级下·全国）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 【变式9-2】（23-24七年级下·陕西西安）铁一陆港七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，M是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，直接写出、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 【变式9-3】（23-24七年级下·江西景德镇）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 【答案】(1)，证明见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：， 理由如下： 过E作，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）如图，过作，过作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，分别过作，的垂线，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， 过作的平行线，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式9-4】（23-24七年级上·湖南衡阳）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)等于 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 1．（24-25七年级下·广东广州）如图，，交于点，平分，平分，与互补吗？为什么？ 【答案】与互补，理由见解析 【详解】解：与互补，理由如下： ， ，   平分， ， 同理，， ， ， ． 2．（24-25七年级下·上海）如图，在△ABC中，，点是延长线上一点，过点画直线，过点画射线交于点． (1)按题意画图，将图形补充完整； (2)若比的4倍少，则______． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图所示，直线和射线即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵比的4倍少， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·北京）如图，三角形中，D，E，F三点分别在三边上，过点D的直线和线段的交点为点H，且，． (1)求证：； (2)当为的角平分线时，在备用图中画出符合题意的图形，猜想和的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析(2)作图见解析，，证明见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：画图如下： 猜想：，证明如下： ∵平分， ∴， 由（1）知； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25七年级下·广东广州） 如图，已知，．求证：．      证明：∵（已知）   （ ） ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ） 又∵（已知） ∴ （ ） ∴（ ）． 【答案】平角的定义；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【详解】证明：∵（已知）   （平角的定义） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 5．（24-25七年级下·北京）如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）始终为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为 ； (2)如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，画出相应图形，并求出此时的度数． 【答案】(1)(2)①  ②画图见解析； 【详解】（1）解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过点G作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，若反射光线恰好与平行， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·陕西榆林）如图，直线，点是直线与直线之间一点，点，分别在直线，上，连接，． 【思路梳理】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【类比引申】 （2）如图2，过点作，点是直线上一点（点在点左侧），连接并延长，与的延长线交于点，过点作，已知，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ． （2）证明：，， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即． 7．（2025·江苏无锡·一模）已知直线，点在直线上，点在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． (1)如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 【答案】(1)(2)3)图形见详解， 【详解】（1）解：∵平分，且， ,, ∵， ； （2）解：∵平分，且， ， ∴； （3）解：如图所示，过点作， 又∵， ∴， ， ∵平分，且， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴与的度数差为． 8．（24-25七年级下·云南曲靖）如图所示，将一副三角尺的直角顶点重合． (1)如图1，若，求的度数； (2)当三角尺不动时，将三角尺绕点 C 转动到图2的位置，且，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ∵， ∴ ， ∴ ； （2）解：过点 C 作 ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 9．（24-25七年级下·浙江杭州）如图1，已知，为与之间一点，点，分别在直线上，且平分，连接． (1)求与的数量关系． (2)如图的角平分线分别交直线和线段的延长线于点和． ①已知，求的度数． ②若，且三等分，求的度数． 【答案】(1)(2)①②或 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①∵，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵三等分， ①当时， ∵，由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当时， ∵，由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·北京）如图，点、分别在线段和上，且于，于，． (1)求证：； (2)连接，若，，求． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：，， ， ． ． 又， ， ． （2）解：连接，如图， ， ． ， ． 又， ． 解得 又， ． 11．（24-25七年级下·陕西榆林）如图，已知直线，点在上，连接，，，平分． 【问题提出】 （1）如图1，求的度数； 【问题探究】 （2）点是线段上一点，连接，且． ①如图2，求证：平分； ②如图3，点在线段上，连接并延长交于点，请你判断直线和是否互相垂直，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②，理由见解析 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ； （2）①由（1）可知，， ， ， ， ， 平分； ②如图3，设交于点K， ， ， 由（2）①可知，， ， ， ， 由（1）知， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·广西玉林）【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有． 【初步探究】（1）如图2，已知镜子与镜子互相平行，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； 【深入探究】（2）如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角）； 【拓展探究】（3）如图4，直线上有A、C两点，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点、C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，射线从开始转动到首次与射线重合这个过程中，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出满足条件的时间t． 【答案】（1），理由见解析（2）；（3）存在， 【详解】解：（1），理由如下： 由题意得，，， 镜子与镜子互相平行， ，， ， ， ； （2），， ， ， ， 当平面镜与水平线的夹角为时，可使反射光线正好垂直照射到井底； （3）存在， ， ， ， 解得； 当射线首次与射线重合时，射线转动了， ， ∵，符合题意， 射线从开始转动到首次与射线重合这个过程中，当时，与平行． 1 / 145 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题03 平行线的性质和判定解答题（人教2024） 【5个基础题型+4个压轴题型】 【基础题型一】利用平行线的性质和判定求证 1 【基础题型二】根据平行线的性质与判定求角度 5 【基础题型三】根据平行线的性质与判定填空 8 【基础题型四】平行线的性质与判定在生活的应用 15 【基础题型五】平行线之间的距离相关计算 19 【压轴题型六】根据平行线的性质与判定探究角之间的关系 21 【压轴题型七】根据平行线的性质与判定中“折点”问题 26 【压轴题型八】根据平行线的性质与判定中三角板问题 33 【压轴题型九】根据平行线的性质与判定中“猪蹄”问题 38 【基础题型一】利用平行线的性质和判定求证 例题1（24-25七年级·浙江温州）如图，已知，与互补． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【变式1-1】（24-25七年级·福建福州）如图，在△ABC中，，，．请证明：． 【变式1-2】（24-25七年级·浙江金华）如图，在△ABC中，点D，E分别在，上，且，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【变式1-3】（24-25七年级·山东日照）如图，已知，于点，． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的度数． 【变式1-4】（24-25七年级·北京）如图，，和相交于点，是上一点，是上一点，且．    (1)求证：； (2)若比大，求的度数． 【变式1-5】（24-25七年级下·陕西榆林）如图，在三角形中，平分交于点，点在上，过点的直线与的延长线交于点，与交于点，过点作交于点，． (1)求证：； (2)若，，则平分吗？请说明理由． 【变式1-6】（24-25七年级下·天津）如图，已知，． (1)和平行吗？为什么？ (2)若，且，求的度数． 【变式1-7】如图，△ABC中，点E在边上，，垂足分别是D，F，． (1)与平行吗？请写出证明过程； (2)若，求的度数． 【变式1-8】（24-25七年级下·陕西）如图，在三角形中，、分别是、边上的点，点在边上，连接，已知，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，平分，求的度数． 【变式1-9】（24-25七年级·广东广州）如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 【基础题型二】根据平行线的性质与判定求角度 例题2（24-25七年级下·广东深圳）如图，，平分，平分，的反向延长线交于点，过点作． (1)若∠ABE=150°，，求的度数． (2)若，求的度数． 【变式2-1】（24-25七年级下·陕西西安）如图，，连接，平分交于点，点在上，连接，过点作交于点，，，求的度数． 【变式2-2】（24-25七年级下·陕西咸阳）如图，直线，与交于点，与交于点，过点分别作，，使得平分，平分． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)当时，求的度数． 【变式2-3】（2025七年级下·贵州）如图，在中，，垂足为，点在上，在在上． (1)若，，与平行吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，平分，且，求的度数． 【变式2-4】（24-25七年级下·辽宁盘锦）已知，，点在上方，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点作交的延长线于点，写出和之间的数量关系，并说明理由． 【变式2-5】（24-25七年级下·江西南昌）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中． (1)若，，求的度数． (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式2-6】（2025七年级下·全国）已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 【变式2-7】（24-25七年级下·四川自贡）如图，直线，直线与，分别相交于点，，，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)若，，，则点到直线的距离是 ；点A到直线的距离是 ． 【变式2-8】（24-25七年级下·江西上饶）如图，已知，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式2-9】（24-25七年级下·陕西榆林）如图，点在上，点在上，连接，，，与交于点，． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【变式2-10】（2025七年级下·全国）如图，已知，．当，且时，求的度数． 【基础题型三】根据平行线的性质与判定填空 例题3（24-25七年级下·四川南充）如图，和相交于点，，，．试说明：． 解：∵，（________）， 又∵（________________）， ∴________（________________）． ∴（________________）． ∴________（________________）． ∵（已知）， ∴________（________________）． ∴（________________）． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东广州）完成下面的证明并填上推理的根据． 如图，已知，，求证：． 证明：（______）． （邻补角的定义）， （______）， ____________（______）， （______）， （已知）， （______）， （______）． 【变式3-2】如图所示，已知直线，点，在直线上，点在直线上，平分，，求的度数．（补充完整解题过程） 解：因为（已知）， 所以______，（____________） 因为（已知）， 所以（__________________） 因为（__________________）， 所以______． 因为平分， 所以______ 因为 ______（____________）． 【变式3-3】（24-25七年级下·湖北武汉）完成下面的推理：已知，如图，试说明：． 解： （  ） ___________（  ） 又（已知） ___________（  ） ___________（  ） （  ） 即． 【变式3-4】（24-25七年级下·陕西榆林）完成下面的证明． 如图，在四边形中，点，分别是，上的点，连接，．若，，分别平分，，．求证：． 证明：，分别平分，， ，____________． ， _______________． 又， ______________， ___________________________（_____________________）， ____________，______________（_________________）， ． 【变式3-5】（24-25七年级下·上海）将下面证明过程补充完整． 如图，已知，、分别平分、且． 求证：． 证明：、分别平分、 ， ______=______ ____________ ______∥______（______） ______，______（______） 【变式3-6】（24-25七年级下·山东烟台）仔细阅读题目，在括号内横线处填写每一步推理的理由．如图，，相交于点E，，，过A作，垂足为F．求证：． 证明：∵，． 又，（① ） ∴．（② ） ∴．（③ ） ∴．（④ ） ∵，∴．∴．（⑤ ） ∴．（⑥ ） 【变式3-7】（24-25七年级下·山东菏泽）完成下面的推理填空：科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，平分平分． 试说明：． 下面是解答过程，阅读并填空（理由或数学式）． 解：理由如下：（已知）， ________（_______________）． 平分（已知）， _______（角平分线的定义）． 同理，． ______（_______________）， _______（_______________）， （_______________）． 【变式3-8】（24-25七年级下·河南郑州）如图，，，，，试说明：． 解：，（已知）， （垂直定义）， （_______________）， ________（_______________）， （已知）， _________（等量代换）， （_______________）， ________（_______________）， （已知）， （_______________）， （_______________）， ． 【变式3-9】（24-25六年级下·山东烟台）完成下列推理过程，在序号处填写相应的内容． 如图，点E在线段上，点B在线段上， 若与互补，，说明： 解：因为与互补， 根据“ ① ”，所以 ② ∥ ③ ， 根据“两直线平行，同位角相等”，所以 ④ 又因为，所以 ⑤ ， 根据 ⑥ ，所以， 根据 ⑦ ，所以 【变式3-10】（24-25七年级下·广西南宁）如图，已知，，，，求证：．（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由．注：填到相应的序号内） 证明：，，（已知） （①________） ②________（③________） ④________（两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） ⑤________（⑥________） ⑦________（⑧________） ． （已知） （等量代换） ⑨________， （⑩________）． 【变式3-11】（24-25七年级下·陕西西安）如图，，于点． (1)若，则_______； (2)若与互为余角．试说明：． 以下是小明的解答过程，请你将小明的解答过程和推理依据补充完整． 解：因为（已知）， 所以_______． 因为， 所以（   ）， 所以（   ）， 所以， 因为与互为余角（已知）， 所以_______． 所以_______（等量代换）， 所以（   ）． 【基础题型四】平行线的性质与判定在生活的应用 例题4（24-25七年级下·河南驻马店）2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【变式4-1】（2025七年级下·全国）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 【变式4-2】（2024七年级上·全国）“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【变式4-3】（23-24七年级下·全国）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【变式4-4】（23-24七年级下·广西南宁）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【变式4-5】（23-24七年级下·山西晋城）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 【变式4-6】（23-24七年级下·山西晋中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【变式4-7】（23-24七年级下·辽宁沈阳）为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接． (1)若，求的度数； (2)若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行． 【变式4-8】（24-25七年级下·山东济南）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值． 【基础题型五】平行线之间的距离相关计算 例题5（24-25七年级下·广西来宾）如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 【变式5-1】（24-25七年级下·湖南株洲）如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证：． (2)若，且．求与之间的距离． (3)若．试求点到直线的距离的取值范围． 【变式5-2】（24-25七年级下·贵州遵义）如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求直线与的距离． 【变式5-3】（2025七年级下·全国）如图，，E，F为上的两点，M，N为上的两点，连接，且，则与有怎样的大小关系？请说明理由． 【变式5-4】（2025七年级下·全国）几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 【压轴题型六】根据平行线的性质与判定探究角之间的关系 例题6（24-25七年级下·天津南开）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【变式6-1】（24-25七年级下·北京）如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）． (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说理． (3)当时，若设，，直接写出与之间的数量关系（用等式表示）． 【变式6-2】（24-25七年级下·陕西西安）问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求． （1）按照小明的思路，求度数； 问题迁移： （2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由． 【变式6-3】（24-25七年级下·河南周口）问题：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角有什么数量关系？探究： （1）如图（1），，，探究与的关系为________． （2）如图（2），，，猜想与的关系，并说明理由； 结论：请用一句话概括上面得到的结论：_________． 运用：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少，求这两个角分别是多少度？     【变式6-4】（24-25七年级下·陕西渭南）【问题背景】 如图，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接，，已知． 【问题探究】 (1)如图1，直线与直线平行吗？为什么？ (2)如图2，点在直线上，且在点的右侧，连接，分别作的平分线和的平分线相交于点，过点作，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式6-5】（24-25七年级下·河南商丘）如图1，2，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即，． [思考]（1）分别猜想图1，图2中与的数量关系，并给予证明； [表达]（2）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的关系为________； [应用]（3）若的两边与的两边分别平行，且，，直接写出的值． 【变式6-6】（24-25七年级下·山东济宁）已知直线 ，，相交于点E． (1)如图①，此时与，有什么数量关系? (2)如图②，此时与，有什么数量关系? (3)直接写出图③、图④中，与，的数量关系．（不需说明理由） (4)如图⑤，点 E，F在上方，平分，平分． ①和有什么数量关系? ②若的倍比大，则 【变式6-7】（24-25七年级下·全国）如图，若是的角平分线，． (1)若交于点．试问：是否为的角平分线？并说明理由； (2)若是的平分线，试探索qx与的位置关系，并说明理由． 【变式6-8】（2025七年级下·全国）如图，直线，，的角平分线交于点P． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，求的度数． (3)点Q为射线上一点，连接，．若，且，求的度数． 【变式6-9】（24-25七年级下·辽宁沈阳）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：①如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系； ②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系； (3)问题解决：①图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明 ②连接，与满足______时，． 【压轴题型七】根据平行线的性质与判定中“折点”问题 例题7（24-25七年级下·山东烟台）【问题初探】 在数学课上，王老师出示了这样一道题： 如图1，已知，点E，F分别在上，，求的度数．同学们经过小组讨论后，勤奋小组、创新小组、拼搏小组用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：勤奋小组：“如图2，通过作平行线，发现，由已知，可以求出的度数．”创新小组：“如图3，作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．”拼搏小组：“如图4，也能求出的度数．” 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的同学所画的图形（图2），描述辅助线的做法，辅助线为： ． （2）这三种解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，这种解题思路体现了 数学思想．（从分类讨论、数形结合、转化选一个） （3）请你根据以上创新小组所画的图3或者拼搏小组所画的图4选择其中一种图的方法求出∠2的度数． 【学以致用】 （4）为了帮助同学们更好的感悟其中的思想方法，王老师又提出了一个问题，请你解答：如图5，，，，请探究与的数量关系（用含的式子表示）． 【变式7-1】（24-25七年级下·山东青岛）【提出问题】 （1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由． 【类比探究】 （2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________． 【综合应用】 （3）如图3，直线，，，，，则_______． （4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______． 【变式7-2】（24-25七年级下·吉林） 综合与实践： 【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图①，，点在之间且点在点右侧，求证：（提示：过点作）； 【类比探究】 （）小明对王老师给出的问题进行改编：如图②，，点在之间且点在点左侧，猜想，，之间的数量关系： ，并加以证明； 【学以致用】 （）如图③是超市的购物车，图④是其侧面示意图，已知，，测量得知，，直接写出的度数 ． 【变式7-3】（24-25七年级下·江西宜春）【课本再现】 （1）①如图1，已知，直接写出，和满足的等式关系； ②如图2，已知，写出，和满足的等式关系，并说明理由； 【知识应用】 （2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知，，写出，和满足的等式关系，并说明理由． 【变式7-4】（24-25七年级下·陕西西安）如图，平面上有两条直线，，，P是平面上这两直线间的一点． 【问题提出】（1）如图1，若，，则的度数为__________． 【问题探究】（2）如图2，__________，写出推理过程． 【问题解决】（3）如图3，若，，，求的度数．（用含x，y，z的式子表示） 【变式7-5】（24-25七年级下·江西南昌）（1）【问题发现】 ①如图1，直线，，分别在，上，点为其内部一点，求证：． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为其外部一点，猜想，，之间的数量关系是__________．（直接写出结论，不需要证明） （2）【尝试应用】 如图3，直线，点，分别在，上，，的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． （3）【拓展延伸】 如图4，直线，点，分别在，上，点为其内部一点，，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 【变式7-6】（24-25七年级下·山东济南）【阅读理解】在平行线的学习中，“两条平行线被第三条直线所截”是一个重要的“基本图形”．在这个“基本图形”中，所有与平行线有关的角都存在其中，并都分布在“第三条直线”的两侧．例如：如图，已知，点在直线、之间，当发现题目的图形“不完整”时，可通过添加适当的辅助线，将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了“转化思想”．请解决下面的问题． 【学以致用】 (1)如图，已知，当，求出的度数． (2)如图1，若，则___________； (3)①如图2，若、分别平分和，直接写出与的数量关系为___________； ②如图3，设，则___________． 【变式7-7】（24-25七年级下·广东汕头）综合与实践： 如图1，，． (1)如图1，设，，求、之间的数量关系； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，直接写出的度数． 【变式7-8】（24-25七年级下·陕西渭南）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式7-9】（24-25七年级下·河南洛阳）学习《相交线与平行线》一章后，“睿思”小组准备研究如下问题：如图，直线，点，分别是，上的点，是，之间的一条折线，且． (1)【操作发现】如图①，小组成员小兰通过量角器测得，后，直接就得出______；小组成员在探讨交流后，发现，，之间满足数量关系______．（此关系在下面可直接使用，不需证明） (2)【问题探究】小组成员小芳在直线，之间、折线的左侧取一点，并画出，使的一边与平行，另一边与平行，其余条件不变，得到两种情况，如图②和图③所示．请你帮小芳同学探究，，之间满足的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】组内其他同学也都继续探究，若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 【变式7-10】（24-25七年级下·山西晋中）【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①已知，点E在直线之间，则___________． （2）如图②已知，点E在直线之间，请写出与之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，求出身体与水平线的夹角的度数． 【变式7-11】（24-25七年级下·天津西青）先阅读再解答： (1)如图1，，求证：． （提示：可以考虑把变成两个角的和，过点作一条直线，则有，再设法证明，需证，这可通过已知和得到．） (2)已知：如图2，，求证：． (3)已知：如图3，，，求证：． 【压轴题型八】根据平行线的性质与判定中三角板问题 例题8（24-25七年级下·山东临沂）在一次综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（）的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动． 【基础探究】 （1）如图1，三角尺角的顶点在上．若，则的度数为_________． 【巩固提升】 （2）如图2，小夏同学把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，她认为与是互余的，请你判断小夏同学的结论是否正确，并说明理由． 【类比探究】 （3）看到小夏的操作，小强进行了调整，他把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点放在上，如图所示．当，他发现与依然存在某种数量关系，用含的式子表示这种数量关系是_________．（直接写出结果） 【变式8-1】（24-25七年级下·贵州贵阳）【基础情境】 如图1，已知直线，将一个含角的直角三角尺ABC中角的顶点B放在PQ上，边AB，AC与MN分别交于点D，E． （1）若，则________； 【探究发现】 （2）如图2，请你写出与之间的数量关系，并说明理由； 【延伸拓展】 （3）把三角尺从图3的位置开始绕点B顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，请直接写出的度数． 【变式8-2】（24-25七年级上·江苏盐城）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在△ADE中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【变式8-3】（24-25七年级上·吉林长春）（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 【变式8-4】（23-24七年级下·湖北荆门）如图所示的是由一块三角板和一个长方形拼成的图形，在三角板中，，，与相交于点与相交于点N． (1)如图1，当时，求和的度数． (2)如图2，当与不垂直时，猜想与的数量关系，并说明理由． 【变式8-5】（24-25七年级下·河北石家庄）如图1，直线与直线交于点O，．小明将一个含的直角三角板如图1所示放置，使顶点P落在直线上，过点Q作直线交直线于点H（点H在Q左侧）． (1)若，，则 ． (2)若的角平分线交直线于点E，如图2． ①当，时，求证：． ②小明将三角板保持并向左平移，运动过程中， （用α表示）． 【变式8-6】（23-24七年级下·广东汕头）已知：如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点． (1)若与都是锐角，如图1，请直接写出与之间的数量关系； (2)若小明把一块三角板（）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若，求的度数． (3)将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G 在线段上，连接，且有，求的值是否变化？ 如果不变，求出比值；如果变化，请说明理由． 【变式8-7】（23-24八年级上·四川达州）数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线a，b，再将三角板（）放在黑板上，与直线a相交于点A，转动三角板得到如图所示的两个不同位置的图形． (1)如图1，若点B在直线b上，，则_____°． (2)如图2，若点B在直线a，b之间，则与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 【变式8-8】（23-24七年级下·湖北黄冈）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)【特例初探】如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，请求的度数． (2)【技能提升】在（1）的条件下，若比的一半多，求的值． (3)【综合运用】如图2，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【压轴题型九】根据平行线的性质与判定中“猪蹄”问题 例题9（24-25七年级下·上海闵行）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值 【变式9-1】（2025七年级下·全国）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【变式9-2】（23-24七年级下·陕西西安）铁一陆港七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，M是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，直接写出、、三者之间的数量关系． 【变式9-3】（23-24七年级下·江西景德镇）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 【变式9-4】（23-24七年级上·湖南衡阳）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 1．（24-25七年级下·广东广州）如图，，交于点，平分，平分，与互补吗？为什么？ 2．（24-25七年级下·上海）如图，在△ABC中，，点是延长线上一点，过点画直线，过点画射线交于点． (1)按题意画图，将图形补充完整； (2)若比的4倍少，则______． 3．（24-25七年级下·北京）如图，三角形中，D，E，F三点分别在三边上，过点D的直线和线段的交点为点H，且，． (1)求证：； (2)当为的角平分线时，在备用图中画出符合题意的图形，猜想和的数量关系并证明． 4．（24-25七年级下·广东广州） 如图，已知，．求证：．      证明：∵（已知）   （ ） ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ） 又∵（已知） ∴ （ ） ∴（ ）． 5．（24-25七年级下·北京）如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）始终为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为 ； (2)如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，画出相应图形，并求出此时的度数． 6．（24-25七年级下·陕西榆林）如图，直线，点是直线与直线之间一点，点，分别在直线，上，连接，． 【思路梳理】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【类比引申】 （2）如图2，过点作，点是直线上一点（点在点左侧），连接并延长，与的延长线交于点，过点作，已知，求证：． 7．（2025·江苏无锡·一模）已知直线，点在直线上，点在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． (1)如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 8．（24-25七年级下·云南曲靖）如图所示，将一副三角尺的直角顶点重合． (1)如图1，若，求的度数； (2)当三角尺不动时，将三角尺绕点 C 转动到图2的位置，且，求的度数． 9．（24-25七年级下·浙江杭州）如图1，已知，为与之间一点，点，分别在直线上，且平分，连接． (1)求与的数量关系． (2)如图的角平分线分别交直线和线段的延长线于点和． ①已知，求的度数． ②若，且三等分，求的度数． 10．（24-25七年级下·北京）如图，点、分别在线段和上，且于，于，． (1)求证：； (2)连接，若，，求． 11．（24-25七年级下·陕西榆林）如图，已知直线，点在上，连接，，，平分． 【问题提出】 （1）如图1，求的度数； 【问题探究】 （2）点是线段上一点，连接，且． ①如图2，求证：平分； ②如图3，点在线段上，连接并延长交于点，请你判断直线和是否互相垂直，并说明理由． 12．（24-25七年级下·广西玉林）【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有． 【初步探究】（1）如图2，已知镜子与镜子互相平行，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； 【深入探究】（2）如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角）； 【拓展探究】（3）如图4，直线上有A、C两点，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点、C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，射线从开始转动到首次与射线重合这个过程中，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出满足条件的时间t． 1 / 145 学科网（北京）股份有限公司 $$