【精准提分】专题02 平行线的性质和判定选填题（6个基础题+3个压轴题+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（人教2024版）（原卷+解析版）
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内容正文：
【精准提分】专题02 平行线的性质和判定选填题（人教2024）
【6个基础题型+3个压轴题型】
【基础题型一】利用平行线的判定判断结论是否正确 1
【基础题型二】平行线公理以及推理 6
【基础题型三】添加一个条件使得两直线平行 9
【基础题型四】根据平行线的性质求角度 12
【基础题型五】平行线的性质与判定实际应用 18
【基础题型六】平行线综合之三角板与直角板综合 26
【压轴题型七】平行线综合之折点问题（压轴题） 34
【压轴题型八】平行线综合之多结论问题（压轴题） 41
【基础题型一】利用平行线的判定判断结论是否正确
例题1（24-25七年级·山东烟台）如图，在下列条件中，能说明的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、当时，则，不合题意；
B、当时，不能说明，不合题意；
C、当时，则，符合题意；
D、当时，则，不合题意；
故选：C．
【变式1-1】（24-25七年级·北京）如图，下列四个条件中能判定的有（ ）
①；②；③；④
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【详解】解：，
；
，
；
，
；
，
；
综上所述，能判定的有②③，
故选：B．
【变式1-2】（23-24七年级·新疆吐鲁番）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．∵，
∴，故A不符合题意；
B．，不能判断，故B符合题意；
C．∵，
∴，故C不符合题意；
D．∵，
∴，故D不符合题意；
故选：B．
【变式1-3】（24-25七年级·陕西）如图，直线被直线所截，为上一点，连接，交于点，则下列条件不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，
，能判定，不符合题意；
B、，
，能判定，不符合题意；
C、，
，不能判定，符合题意；
D、，
，能判定，不符合题意；
故选：C．
【变式1-4】（24-25七年级·浙江金华）如图，下列推理中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】解：A、由只能推出，故错误，不符合题意；
B、由，只能推出，故错误，不符合题意；
C、，根据同旁内角互补，两直线平行，可以推出，故正确；
D、由，只能推出，故错误，不符合题意．
故选：C．
【变式1-5】（2025·湖南永州·一模）如图，下列条件：①；②；③；④；其中能判断的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①④ D．①②③
【答案】C
【详解】解：①，根据内错角相等，两直线平行，可判断；
②，根据同位角相等，两直线平行，可判断，不能判断；
③，不能判断；
④∵，，
∴，
根据同旁内角互补，两直线平行，可判断；
综上，能判断的是①④，
故选：C．
【变式1-6】（24-25七年级·河南商丘）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④，其中能说明纸条上下两边平行的有 （填序号）
【答案】②③④
【详解】解：（对顶角相等），不能判断纸条两边平行，故①错误；
∵，
∴纸条两边平行（内错角相等，两直线平行），故②正确；
∵，，
∴，
∴纸条两边平行（同位角相等，两直线平行），故③正确；
，
∴纸条两边平行（同旁内角互补，两直线平行），故④正确．
故答案为：②③④．
【变式1-7】（24-25七年级·广东梅州）如图，下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是 （填序号）．
【答案】①②
【详解】∵，
∴（内错角相等，两直线平行）；故①符合题意，
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）；故②符合题意，
，不能判定，故③不符合题意，
∵，
∴（内错角相等，两直线平行）；不能判定，故④不符合题意，
故答案为：①②．
【变式1-8】（24-25七年级·福建漳州）如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）．
【答案】①③④
【详解】解：∵，
∴，故①符合题意；
不能推出，故②不符合题意；
∵，
∴，故③符合题意；
∵，
∴，故④符合题意；
综上所述，能判定的条件是①③④，
故答案为：①③④．
【基础题型二】平行线公理以及推理
例题2（24-25七年级·河北保定）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D．在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行
【答案】D
【详解】解：、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项说法错误，不符合题意；
、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，该选项说法错误，不符合题意；
、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，该选项说法错误，不符合题意；
、在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行，该选项说法正确，符合题意；
故选：．
【变式2-1】（24-25七年级·河北邯郸）如图，在三角形中，已知．，，，，，有下列结论：①与不是同旁内角；②点A到直线的距离为2.4；③过点A仅能作一条直线与垂直；④过B点有且只有一条直线与直线平行．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：与是直线和被直线所截的同旁内角，故①错误；
∵，，，，，
∴三角形的面积，
∴，
∴
∴点到直线的距离，故②正确；
∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴过点仅能作一条直线与垂直，故③正确
∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴过直线外一点有且只有一条直线与直线平行，故④正确
故选：C．
【变式2-2】（24-25七年级·河南郑州）下列说法正确的有（ ）个
①有公共顶点且相等的角是对顶角
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行
③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点
⑤平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交
⑥从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【详解】解：①有公共顶点并且相等的两个角不一定是对顶角，故①说法错误，不符合题意；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②说法错误，不符合题意；
③平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③说法正确，符合题意；
④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线所在的直线都分别交于一点，故④说法错误，不符合题意；
⑤平面内，两条直线的位置关系有两种，平行、相交，故⑤说法错误，不符合题意；
⑥从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，故⑥说法错误，不符合题意．
综上所述，正确的有③，共一个；
故选：A
【变式2-3】（24-25七年级·福建厦门）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等
C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】D
【详解】解：这样判定的依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，
故选：．
【变式2-4】（24-25七年级·江西宜春）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号）
【答案】①②④
【详解】①如果，，那么，正确；
②如果，，那么，正确；
③如果，，那么，错误，应该是；
④如果，，那么，正确．
故答案为：①②④．
【变式2-5】（24-25七年级·全国）如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，另一片叶子 （填“能”或“不能”）与地面平行．其判断的依据是 ．
【答案】 不能 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【详解】解：平行公理为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
在本题中，把地面看作一条直线，风车的轴心可看作直线外一点，当叶子旋转到与地面平行时，因为经过风车轴心（直线外一点），有且只有一条直线与地面平行，此时已与平行，所以另一片叶子不能与地面平行．
故答案为：不能；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【变式2-6】（24-25七年级·全国）如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ．
【答案】平行于同一条直线的两条直线平行
【详解】解：∵，，
∴，
理由：平行于同一条直线的两条直线平行，
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行．
【基础题型三】添加一个条件使得两直线平行
例题3（24-25七年级·北京）如图，请添加一个条件，使得，则可以添加的条件是 ．（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：添加的条件是，理由如下：
∵，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：（答案不唯一）．
【变式3-1】（24-25七年级·山东青岛）如图，要使，可以添加的条件是 ．（填写一个你认为正确的即可）
【答案】或或或（任写一个即可）
【详解】解：由图可知：当时，（同位角相等，两直线平行），
当或时，（同旁内角互补，两直线平行）；
当时，（内错角相等，两直线平行）；
故答案为：或或或（任写一个即可）．
【变式3-2】（24-25七年级·湖北省直辖县级单位）如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：①，
（同位角相等，两直线平行）；
②，
（内错角相等，两直线平行）；
③，
（同旁内角互补，两直线平行）；
综上所述，添加条件或或，使得．
故答案为：（答案不唯一）．
【变式3-3】（24-25七年级·陕西西安）如图，添一个条件 ，使得．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：可添加，根据“内错角相等，两直线平行”可得；
也可添加，根据“同位角相等，两直线平行”可得，
故答案为：（答案不唯一）．
【变式3-4】（24-25七年级·河南商丘）如图，在四边形中，点E是延长线上一点，请你添加一个条件，使，那么可以添加的条件是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：使，那么可以添加的条件是，（内错角相等，两直线平行）
故答案为：．（答案不唯一）
【变式3-5】（24-25七年级·全国）如图，已知直线与直线分别交于点，，且．在不加辅助线的基础上，若增加一个条件使得，则这个条件可以是 ．
【答案】
【详解】解：增加一个条件：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行）．
【变式3-6】（24-25七年级·陕西西安）如图，在四边形中，点在的延长线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，若使得，则添加的条件可以是______（填出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：，
（内错角相等，两直线平行），
∵，
（同旁内角互补，两直线平行），
∵，
（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：（答案不唯一）．
【基础题型四】根据平行线的性质求角度
例题4（24-25七年级·北京）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解题思路：本题主要考查了平行线的性质定理和垂直的定义．根据垂直的定义得出，由平行线的性质定理可得，即可得结果．
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式4-1】（2025·北京·一模）如图，直线，直线交于，过点作，交直线于点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B ．
【变式4-2】（24-25七年级·北京）如图，直线，直线l分别与直线a，b相交于点P，Q，于点P．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A
【变式4-3】（24-25七年级·江西南昌）如图，直线，相交于点E，且平分，过点作，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：平分，，
，
，
，
，
．
故选：A．
【变式4-4】（2024七年级·江苏无锡）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，N为、之间一点，连接并延长交的角平分线于点G，且平分，当时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图：令与的交点为，
，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，且，
∴
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式4-5】（24-25七年级·江苏苏州）如图，直线，点E在上，点O、点F在上，的角平分线交于点G，过点F作于点H，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
，
又平分，
，
于点H，
，
故选：A．
【变式4-6】（23-24七年级·云南曲靖）如图，已知，直线分别与直线、交于点，，平分，交于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式4-7】（23-24七年级·重庆江北）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过F作，
∵，
∴，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，
∴可设，，
∴，，
在四边形中，
，
∴，①
又∵，
∴，②
∴，
解得，
故选：C．
【变式4-8】（24-25七年级·山东青岛）如图，已知，，，则的度数为 ．
【答案】/150度
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【基础题型五】平行线的性质与判定实际应用
例题5（2025·山东烟台·一模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），EF为后下叉，已知，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解题思路：【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，，求出，进一步计算即可得到的度数．
【答案】B
【详解】解：∵，
，
，
，
，
，
∵，
，
故选：B．
【变式5-1】（24-25七年级·河南省直辖县级单位）如图，两块平面镜的夹角，两条平行光线和分别射到两块平面镜上，它们的反射光线的反向延长线与的反向延长线的夹角，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
同理：，
由光的反射定律得到：，
∵，
∴，
同理：，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
【变式5-2】（2025·山东聊城·一模）如图，从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】解：如图所示，
∵从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
【变式5-3】（24-25七年级·陕西西安）要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，水渠从村沿方向修建到村，已知的方向与的方向一致，工程队从村沿开始施工，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
如图所示，由题可知：，，
，
；
故选：C
【变式5-4】（24-25七年级·山西运城）如图是某超市购物车的侧面示意图，若，，则的度数为（ ）
A．75° B．55° C． D．120°
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A；
【变式5-5】（24-25七年级·山东日照）苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②中，，，则下列选项中，不正确的是（ ）
A． B．的度数不变
C． D．
【答案】A
【详解】解：过A作，
∵，
∴，故C不符合题意；
∴，
∴，，
∴，故D不符合题意；
∵，
∴，
∴，
故A符合题意，B不符合题意；
故选：A．
【变式5-6】（24-25七年级·辽宁沈阳）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，由题意得：，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：C．
【变式5-7】（24-25七年级·重庆）如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，
∵
∵，
∴，
∴
故选：C．
【变式5-8】（24-25七年级·上海）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作，
∵，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
【变式5-9】（24-25七年级·四川成都）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【基础题型六】平行线综合之三角板与直角板综合
例题6（24-25七年级·山东临沂）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵纸条两边平行，
∴，，
∵
∴,
又∵三角板为直角三角形，
∴，则
∴，
由平角定义可知，
故选：D．
【变式6-1】（2025·广东深圳·二模）一个含角和另一个含角的直角三角形，按如图所示叠放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可得，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C
【变式6-2】（24-25七年级·山东潍坊）如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．按住三角板不动，将三角板绕顶点转动，当在直线的上方时，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，
∵，，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
【变式6-3】（24-25七年级·河南商丘）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如下图：
∵直尺的两边平行，
∴，
∴，
故选：A
【变式6-4】（2025·陕西咸阳·一模）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意可知：，
∴，
∵点E，D，B，F在同一条直线上，
∴，
故选：C．
【变式6-5】（24-25七年级·河北石家庄）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：D．
【变式6-6】（2025七年级·全国）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在边上，且，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
【变式6-7】（24-25七年级·江苏盐城）一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当 °时，．
【答案】或
【详解】解：由题意得，，
如图，
当时，可得；
②如图，
当时，可得，
则．
故答案为：或；
【变式6-8】（24-25七年级·全国）如图，将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，两直角三角板的顶点重合，即，已知，，．若将三角板绕点旋转，当时，的度数为 ．
【答案】或
【详解】解：如图1，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图，
∵，
∴，
∴，
综上可得：当时，的度数为或．
故答案为：或．
【变式6-9】（24-25七年级·河南焦作）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放（，，）．三角尺固定不动，将三角尺绕点转动．当时，的度数为 ．
【答案】或
【详解】解：如图①，当时，
∵，
∴，
∴．
如图②，
∵，
∴，
∴
∵
∴
综上，的度数为或，
故答案为：或．
【变式6-10（24-25八年级·山东青岛）小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当且点在直线的上方时，他发现若 ，则三角尺有一条边与斜边平行（写出所有可能）．
【答案】或
【详解】解：①图1，当时，，
理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②图2，当时，，
理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴；
③当时，，
∵，
∴，不符合题意，舍去；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
【压轴题型七】平行线综合之折点问题（压轴题）
例题7（24-25七年级·重庆）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点作，
，
∵，
∴，
∴，，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，
∴，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴由①②可得：，
故选：C．
【变式7-1】（24-25七年级·河南周口）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点C作，
则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式7-2】（24-25七年级·河北廊坊）如图，两条公路和互相平行，之间有三段公路连接，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点，作，过点，作；
根据，，，
则，
，，
，
则，
，
，
，
；
故选：B
【变式7-3】（24-25七年级·河南焦作）已知，，，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，
设，，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴,，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【变式7-4】（24-25七年级·广西来宾）如图，直线，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过点A作的平行线，过点B作的平行线，如图所示．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【变式7-6】（24-25七年级·内蒙古通辽）如图，，E、F分别是、上的点，、分别是和的角平分线．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过点G作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵、分别是和的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【变式7-7】（24-25七年级·广东深圳）如图，，点 E ， F 在直线 上 （F 在 E 的左侧），点 G 在直线上， ，垂足为H ， P 为 线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点 Q ，且点 Q 在直线 之间的区域，则： ．
【答案】/度
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，，
，
，
，
∴，
与的角平分线交于点，
∴，，
∵，
∴
，
∵，
∴，
即，
∴；
故答案为：．
【变式7-8】（24-25七年级·安徽阜阳）如图，已知点，分别在直线，上，且，，．
（1）若，，则的度数为 ；
（2）在（1）的条件下，若，分别平分，，则的度数为 ．
【答案】 /50度
【详解】解：过点作，过点作，
∵，，，
∴，
（1）∵，，，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，，
∵，分别平分，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
【压轴题型八】平行线综合之多结论问题（压轴题）
例题8（2025七年级·湖北）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果，则；
②；
③如果，则；
④如果，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解题思路：本题考查三角板中角度的计算，平行线的判定和性质，角的和差关系，结合三角板中的角度，得到，判断①，角的和差关系判断②，平行线的性质结合角的和差关系求出的度数，判断③，根据三角板中的角度，结合角的和差关系求出的度数，判断④即可．
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④，共3个．
故选：C．
【变式8-1】（23-24七年级·广东江门）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且平分，．有下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：，
，
，
，
，
，，
设，则，，
，
，
解得：，即，故①正确；
，
，故②正确；
，
若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故③不正确；
，
若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故④不正确；
综上所述，正确结论有①②，正确结论的个数是2．
故选：B．
【变式8-2】（24-25七年级·全国）如图，，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．③④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【详解】解：因为，
所以，故①正确；
因为，，
所以，
所以，故②正确；
过点作，如图所示：
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，故③正确；
因为，，
所以，
所以，故④正确．
综上分析可知：正确的是①②③④．
故选：A．
【变式8-3】（24-25七年级·广西玉林）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，故结论①错误；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即平分，故结论②正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故结论③正确；
∵，
又∵，
∴，故结论④错误．
综上所述，结论正确的是②③，共计2个．
故选：B．
【变式8-4】（24-25七年级·江苏泰州）如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：；平分；；；其中正确的有 ．（请填写序号）
【答案】
【详解】解：，
，
，
平分，
，
故错误；
，，
，
，
，
，
，
平分，
故正确；
已知，，
，
故正确；
，，
，
，
，
故正确．
正确的有．
故答案为： ．
【变式8-5】（24-25七年级·陕西安康）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，则下列结论：①；②；③，其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②
【详解】解：∵平分，平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，①正确；
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，②正确；
∴，
∵，
∴，③错误；
综上所述：正确的结论有①②．
故答案为：①②．
【变式8-6】（24-25七年级·辽宁鞍山）如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中结论正确的是 （填序号）．
【答案】①②④
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
∴，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，即，故②正确；
∵与不一定相等，
∴不一定成立，故③错误；
∵
，
∴为定值，故④正确．
综上所述，正确的选项①②④，
故答案为：①②④．
【变式8-7】（24-25七年级·广西玉林）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的是 填序号）．
【答案】①④⑤
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，故结论①正确；
，
，
，故结论⑤正确；
过点E作，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
， ，
，
但不一定等于，
∴不一定成立，故结论③错误；
∵不一定等于，
∴平分不一定正确，则结论②错误；
综上，正确的是①④⑤，
故答案为：①④⑤．
【压轴题型九】平行线综合之动点问题（压轴题）
例题9（24-25七年级·浙江杭州）如图，分别为直线上两点，且射线绕点以3度/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以12度/秒的速度逆时针旋转至射线后立即以8度/秒的速度顺时针返回．当与重合时，两条射线都停止运动，设旋转时间为（秒），当时，的值为 秒．
【答案】12或24
【详解】解：由题意，得：与重合所需时间为，旋转至射线所需时间为：；，
∵，
∴，
当时，如图，
∵，
∴，即：，
解得：；
当时，如图：
同理：，即：，
解得：；
综上：或；
故答案为：12或24．
【变式9-1】（24-25七年级·江苏无锡）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况）， ．
【答案】5秒或15秒或35秒或45秒或50秒
【详解】①当时，
∵，
∴，
∴，
∴（秒）；
②当时，
∵，，
∴
∵，
∴A，D，C共线，
∵，
∴（秒）；
③当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）；
④当时，，；
∵
∴，
∴（秒）；
⑤当时，
∵，
∴，
∴（秒），
综上所述，t的值为5秒或15秒或35秒或45秒或50秒，
故答案为：5秒或15秒或35秒或45秒或50秒．
【变式9-2】（24-25七年级·四川绵阳）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒．若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动 秒时，射线、射线互相平行？
【答案】或
【详解】解： ∵，，
∴，，
设射线再转动秒时，射线、射线互相平行，
如图，射线绕点顺时针先转动18秒后，先转动，
分两种情况：
①当到达前，
，，
，
，
当时，，
此时，，
解得：；
②当到达后，
，，，
，
当时，，
此时，，
解得：；
综上，射线再转动或秒时，射线、射线互相平行．
故答案为：或．
【变式9-3】（24-25七年级·江西南昌）将两块三角板如图放置，其中三角板边，，，，当时，边与重合，将三角板绕点以每秒3度的速度顺时针转动，直到边与第一次重合即停止，在转动的过程中，当两块三角板恰有两边平行时，所需的时间可能是 ．
【答案】10或15或25
【详解】当时，如图，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
∴，
∴，
∴；
综上可知，可能是10或15或25．
故答案为：10或15或25．
【变式9-4】（24-25七年级·福建泉州）如图，，E，F分别为直线上两点，且，射线绕点E以/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以/秒的速度逆时针旋转至射线后立即返回，当与重合时，两条射线都停止运动．若射线先转动秒，射线才开始转动，在旋转过程中，当射线转动 秒时，．
【答案】或20
【详解】解：∵，
∴，
设当射线转动时，，则：
①当未到达时，，，
∴，解得：；
②当从返回时，则：，，
∴，
解得：；
故答案为：或20．
【变式9-5】（24-25七年级·江苏南通）如图，和中，，，，点在边上，将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边恰好与边平行，则t的值为 ．
【答案】或
【详解】
解：①当旋转的角度小于，时，如图，
∵
∴
∴
∴
∴旋转的角
∴（秒）；
②当旋转的角度大于，时，如图，延长交于E，
∵
∴
∴
∴
∴
∴∴旋转的角
∴（秒）．
综上，的值为5.5或14.5．
故答案为：5.5或14.5．
【变式9-6】（24-25七年级·浙江绍兴）如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．将线段沿着直线平移得到线段，连接．若，在整个运动过程中，当，中有一个角是另一个角的倍时，的度数是 ．
【答案】或或
【详解】解：①如图，当点在线段上时，过点作，
，
由平移可得：，
，
，
，
，中有一个角是另一个角的倍，
或，
或；
②如图，当点在射线上时，过点作，
，
由平移可得：，
，
，
，
，中有一个角是另一个角的倍，
，
，
；
综上所述，的度数是或或，
故答案为：或或．
【变式9-7】（24-25七年级·陕西西安）如图，在同一平面内，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以每秒1度和每秒6度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当与平行时，时间t的值为 ．
【答案】6或42秒
【详解】解：由题意得：
如图①，与在的两侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得：；
此时，
；
②旋转到与都在的右侧时，
，，
要使，则，
即，
解得：，
综上所述，当时间的值为6秒或42秒时，与平行．
故答案为：6或42秒
【变式9-8】（24-25七年级·河南郑州）如图，点O为直线上一点，一副三角板如图摆放，其中，，．将直角三角板绕点O旋转一周，当的度数是 时，直线与直线互相平行．
【答案】或
【详解】解：当在右边时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴；
当在左边时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
综上所述，当的度数是或时，直线与直线互相平行，
故答案为：或．
【变式9-9】（24-25七年级·江苏宿迁）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行．
【答案】3或
【详解】解设光速灯A旋转时间为t秒，则C旋转的时间为秒，
当旋转小于时，如图所示：
∵，，
∴，，
∴
∵按每秒的速度顺时针旋转，以每秒的速度顺时针旋转，
∴，，
∴，
解得：；
当旋转大于回转时，如图所示：
∵，，
∴，，
∴
，，
解得：；
综上所述：旋转时间为3秒或秒，
故答案为：3或．
【变式9-10】（23-24七年级·湖南常德）已知直线，点P、Q分别在、上，，如图所示，射线按顺时针方向绕P点以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向绕Q点每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转．若射线先转42秒，射线才开始转动，在到达前，当射线旋转的时间为 秒时，．
【答案】14或63.6或134
【详解】解：设射线旋转的时间为t秒，
∵射线绕Q点每秒旋转，射线先转42秒，射线才开始转动，
∴射线还需旋转138秒到达，
∴．
①如图，当，
，，
∵，
，
∵，
，
，
解得．
②如图，当时，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
解得．
③如图，当时，
，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
解得，
综上，在到达前，当射线旋转的时间为14秒或63.6秒或134秒．
故答案为：14或63.6或134．
1．（2025·河南周口·二模）如图，直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，作，
，
，，
故选：C．
2．（24-25七年级·北京）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】解：A、∵，
∴，
∴，正确，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，正确，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意；
D、∵，
∴，
∵，， ，
∴，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（2025·山西晋中·二模）在凸五边形中，点在边上，点在的延长线上，与平行且相等，不能推出与一定平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
A、∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，故选项A不符合题意；
B、∵，如图：
四边形可能是等腰梯形，
∴不能推出与一定平行，故选项B符合题意；
C、∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，故选项C不符合题意；
D、∵，
∴，
同理C选项，得，
∴，故选项D不符合题意；
故选：B．
4．（24-25七年级·湖北宜昌）如图，四边形中，，平分交于点E，F为线段延长线上一点，且．现以下四个结论中正确的是（ ）
①；②；③④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∵平分交于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴；故④正确
故选：D．
5．（24-25七年级·山东淄博）如图，，平分，，，，下列结论中错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，即A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，即B选项正确，不符合题意；
，
，
，
∴，即C选项正确，不符合题意；
，而，即，即D选项错误，符合题意．
故选D．
6．（24-25七年级·河南郑州）如图，，，则、、之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：作，，如图所示；
，
，
，
，
，
，
，
则；
故选：C
7．（24-25七年级·湖南长沙）如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：如图所示，过B，D，F分别作水平线的垂线，则，
∴，
∴，
根据题意得，
，，
∴
∴，
故选：D．
8．（24-25七年级·四川德阳）如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且，设，则的度数为 ．（用含的式子表示）
【答案】
【详解】解：如图所示，过点A作，过点E作，
∵，
∴，
∵，，
∴设，，
∵，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：．
9．（24-25七年级·山东临沂）图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图．已知，使用打孔器时，，，分别移动到，，．此时，平分，若，则 ．
【答案】/度
【详解】解：，，
，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
10．（24-25七年级·山东临沂）如图，平分，，，则 ．
【答案】
【详解】解：平分，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11．（24-25七年级·上海杨浦）如图，，平分，平分，如果，那么 ．
【答案】155
【详解】解：∵和互补，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵和互补，
∴．
故答案为：155．
12．（24-25七年级·山东青岛）若两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少10，则这两个角的度数分别为 ．
【答案】，，或，．
【详解】解：如图1，，
，
，
，
．
如图2，，
，
，
，
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
设其中一个角为，则另一个角位
其中一个角比另一个角的3倍少10，
①若这两个角相等，则，
解得：，
这两个角的度数分别为，，
②若这两个角互补，则，
解得：，
这两个角的度数分别为，；
故答案为，，或，．
13．（24-25七年级·湖北襄阳）如图，，和的平分线相交于点F，若，则 ．
【答案】30
【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵和的平分线相交于点F，
∴，
∴，
故答案为：30．
14．（24-25七年级·湖南长沙）如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则 ．
【答案】/40度
【详解】解：过作，交于，
， 四边形是长方形，
，
，
，，
∴
∴，
∵，
∴，
，
，
故答案为：．
15．（24-25七年级·全国）如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则．
【答案】①②③⑤⑦
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；故①正确；
∴；故③正确；
∴；故②正确；
∴；故⑥错误；
∵，，
∴，
∴；故⑤正确；
若，则：，
∴；故⑦正确；
条件不足，无法得到；故④错误；
故答案为：①②③⑤⑦．
16．（24-25七年级·广东珠海）如图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成图2，再沿折叠成图3；用α表示图3中的大小为
【答案】
【详解】图1中，∵四边形为长方形，，
∴，
∴，
∴，
∴图2中，，
∴图3中，，
∴．
故答案为：．
17．（23-24七年级·江苏盐城）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行．
【答案】或或或
【详解】解：设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，
①当时，，
解得：；
②当时，，
解得：；
③当时，此时停止运动，
，解得：；
④当时，此时停止运动，
，解得：，
综上可知，从开始运动经过或或或秒时木棒a、b平行，
故答案为：或或或．
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【精准提分】专题02 平行线的性质和判定选填题（人教2024）
【6个基础题型+3个压轴题型】
【基础题型一】利用平行线的判定判断结论是否正确 1
【基础题型二】平行线公理以及推理 3
【基础题型三】添加一个条件使得两直线平行 5
【基础题型四】根据平行线的性质求角度 6
【基础题型五】平行线的性质与判定实际应用 9
【基础题型六】平行线综合之三角板与直角板综合 12
【压轴题型七】平行线综合之折点问题（压轴题） 15
【压轴题型八】平行线综合之多结论问题（压轴题） 17
【基础题型一】利用平行线的判定判断结论是否正确
例题1（24-25七年级·山东烟台）如图，在下列条件中，能说明的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（24-25七年级·北京）如图，下列四个条件中能判定的有（ ）
①；②；③；④
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【变式1-2】（23-24七年级·新疆吐鲁番）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（24-25七年级·陕西）如图，直线被直线所截，为上一点，连接，交于点，则下列条件不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】（24-25七年级·浙江金华）如图，下列推理中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式1-5】（2025·湖南永州·一模）如图，下列条件：①；②；③；④；其中能判断的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①④ D．①②③
【变式1-6】（24-25七年级·河南商丘）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④，其中能说明纸条上下两边平行的有 （填序号）
【变式1-7】（24-25七年级·广东梅州）如图，下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是 （填序号）．
【变式1-8】（24-25七年级·福建漳州）如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）．
【基础题型二】平行线公理以及推理
例题2（24-25七年级·河北保定）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D．在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行
【变式2-1】（24-25七年级·河北邯郸）如图，在三角形中，已知．，，，，，有下列结论：①与不是同旁内角；②点A到直线的距离为2.4；③过点A仅能作一条直线与垂直；④过B点有且只有一条直线与直线平行．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-2】（24-25七年级·河南郑州）下列说法正确的有（ ）个
①有公共顶点且相等的角是对顶角
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行
③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点
⑤平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交
⑥从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离
A．1 B．2 C．3 D．5
【变式2-3】（24-25七年级·福建厦门）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等
C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【变式2-4】（24-25七年级·江西宜春）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号）
【变式2-5】（24-25七年级·全国）如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，另一片叶子 （填“能”或“不能”）与地面平行．其判断的依据是 ．
【变式2-6】（24-25七年级·全国）如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ．
【基础题型三】添加一个条件使得两直线平行
例题3（24-25七年级·北京）如图，请添加一个条件，使得，则可以添加的条件是 ．（写出一个即可）．
【变式3-1】（24-25七年级·山东青岛）如图，要使，可以添加的条件是 ．（填写一个你认为正确的即可）
【变式3-2】（24-25七年级·湖北省直辖县级单位）如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）
【变式3-3】（24-25七年级·陕西西安）如图，添一个条件 ，使得．
【变式3-4】（24-25七年级·河南商丘）如图，在四边形中，点E是延长线上一点，请你添加一个条件，使，那么可以添加的条件是 ．（写出一个即可）
【变式3-5】（24-25七年级·全国）如图，已知直线与直线分别交于点，，且．在不加辅助线的基础上，若增加一个条件使得，则这个条件可以是 ．
【变式3-6】（24-25七年级·陕西西安）如图，在四边形中，点在的延长线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，若使得，则添加的条件可以是______（填出一个即可）．
【基础题型四】根据平行线的性质求角度
例题4（24-25七年级·北京）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2025·北京·一模）如图，直线，直线交于，过点作，交直线于点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（24-25七年级·北京）如图，直线，直线l分别与直线a，b相交于点P，Q，于点P．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（24-25七年级·江西南昌）如图，直线，相交于点E，且平分，过点作，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2024七年级·江苏无锡）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，N为、之间一点，连接并延长交的角平分线于点G，且平分，当时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】（24-25七年级·江苏苏州）如图，直线，点E在上，点O、点F在上，的角平分线交于点G，过点F作于点H，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-6】（23-24七年级·云南曲靖）如图，已知，直线分别与直线、交于点，，平分，交于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-7】（23-24七年级·重庆江北）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-8】（24-25七年级·山东青岛）如图，已知，，，则的度数为 ．
【基础题型五】平行线的性质与判定实际应用
例题5（2025·山东烟台·一模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），EF为后下叉，已知，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（24-25七年级·河南省直辖县级单位）如图，两块平面镜的夹角，两条平行光线和分别射到两块平面镜上，它们的反射光线的反向延长线与的反向延长线的夹角，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2025·山东聊城·一模）如图，从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式5-3】（24-25七年级·陕西西安）要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，水渠从村沿方向修建到村，已知的方向与的方向一致，工程队从村沿开始施工，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（24-25七年级·山西运城）如图是某超市购物车的侧面示意图，若，，则的度数为（ ）
A．75° B．55° C． D．120°
【变式5-5】（24-25七年级·山东日照）苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②中，，，则下列选项中，不正确的是（ ）
A． B．的度数不变
C． D．
【变式5-6】（24-25七年级·辽宁沈阳）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-7】（24-25七年级·重庆）如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（ ）
A． B． C． D．
【变式5-8】（24-25七年级·上海）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．
【变式5-9】（24-25七年级·四川成都）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为 ．
【基础题型六】平行线综合之三角板与直角板综合
例题6（24-25七年级·山东临沂）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2025·广东深圳·二模）一个含角和另一个含角的直角三角形，按如图所示叠放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（24-25七年级·山东潍坊）如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．按住三角板不动，将三角板绕顶点转动，当在直线的上方时，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（24-25七年级·河南商丘）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2025·陕西咸阳·一模）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-5】（24-25七年级·河北石家庄）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-6】（2025七年级·全国）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在边上，且，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-7】（24-25七年级·江苏盐城）一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当 °时，．
【变式6-8】（24-25七年级·全国）如图，将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，两直角三角板的顶点重合，即，已知，，．若将三角板绕点旋转，当时，的度数为 ．
【变式6-9】（24-25七年级·河南焦作）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放（，，）．三角尺固定不动，将三角尺绕点转动．当时，的度数为 ．
【变式6-10（24-25八年级·山东青岛）小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当且点在直线的上方时，他发现若 ，则三角尺有一条边与斜边平行（写出所有可能）．
【压轴题型七】平行线综合之折点问题（压轴题）
例题7（24-25七年级·重庆）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（24-25七年级·河南周口）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（24-25七年级·河北廊坊）如图，两条公路和互相平行，之间有三段公路连接，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（24-25七年级·河南焦作）已知，，，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（24-25七年级·广西来宾）如图，直线，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-6】（24-25七年级·内蒙古通辽）如图，，E、F分别是、上的点，、分别是和的角平分线．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-7】（24-25七年级·广东深圳）如图，，点 E ， F 在直线 上 （F 在 E 的左侧），点 G 在直线上， ，垂足为H ， P 为 线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点 Q ，且点 Q 在直线 之间的区域，则： ．
【变式7-8】（24-25七年级·安徽阜阳）如图，已知点，分别在直线，上，且，，．
（1）若，，则的度数为 ；
（2）在（1）的条件下，若，分别平分，，则的度数为 ．
【压轴题型八】平行线综合之多结论问题（压轴题）
例题8（2025七年级·湖北）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果，则；
②；
③如果，则；
④如果，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式8-1】（23-24七年级·广东江门）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且平分，．有下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式8-2】（24-25七年级·全国）如图，，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．③④ C．②③④ D．①②③
【变式8-3】（24-25七年级·广西玉林）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式8-4】（24-25七年级·江苏泰州）如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：；平分；；；其中正确的有 ．（请填写序号）
【变式8-5】（24-25七年级·陕西安康）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，则下列结论：①；②；③，其中所有正确结论的序号是 ．
【变式8-6】（24-25七年级·辽宁鞍山）如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中结论正确的是 （填序号）．
【变式8-7】（24-25七年级·广西玉林）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的是 填序号）．
【压轴题型九】平行线综合之动点问题（压轴题）
例题9（24-25七年级·浙江杭州）如图，分别为直线上两点，且射线绕点以3度/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以12度/秒的速度逆时针旋转至射线后立即以8度/秒的速度顺时针返回．当与重合时，两条射线都停止运动，设旋转时间为（秒），当时，的值为 秒．
【变式9-1】（24-25七年级·江苏无锡）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况）， ．
【变式9-2】（24-25七年级·四川绵阳）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒．若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动 秒时，射线、射线互相平行？
【变式9-3】（24-25七年级·江西南昌）将两块三角板如图放置，其中三角板边，，，，当时，边与重合，将三角板绕点以每秒3度的速度顺时针转动，直到边与第一次重合即停止，在转动的过程中，当两块三角板恰有两边平行时，所需的时间可能是 ．
【变式9-4】（24-25七年级·福建泉州）如图，，E，F分别为直线上两点，且，射线绕点E以/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以/秒的速度逆时针旋转至射线后立即返回，当与重合时，两条射线都停止运动．若射线先转动秒，射线才开始转动，在旋转过程中，当射线转动 秒时，．
【变式9-5】（24-25七年级·江苏南通）如图，和中，，，，点在边上，将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边恰好与边平行，则t的值为 ．
【变式9-6】（24-25七年级·浙江绍兴）如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．将线段沿着直线平移得到线段，连接．若，在整个运动过程中，当，中有一个角是另一个角的倍时，的度数是 ．
【变式9-7】（24-25七年级·陕西西安）如图，在同一平面内，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以每秒1度和每秒6度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当与平行时，时间t的值为 ．
【变式9-8】（24-25七年级·河南郑州）如图，点O为直线上一点，一副三角板如图摆放，其中，，．将直角三角板绕点O旋转一周，当的度数是 时，直线与直线互相平行．
【变式9-9】（24-25七年级·江苏宿迁）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行．
【变式9-10】（23-24七年级·湖南常德）已知直线，点P、Q分别在、上，，如图所示，射线按顺时针方向绕P点以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向绕Q点每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转．若射线先转42秒，射线才开始转动，在到达前，当射线旋转的时间为 秒时，．
1．（2025·河南周口·二模）如图，直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级·北京）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2025·山西晋中·二模）在凸五边形中，点在边上，点在的延长线上，与平行且相等，不能推出与一定平行的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25七年级·湖北宜昌）如图，四边形中，，平分交于点E，F为线段延长线上一点，且．现以下四个结论中正确的是（ ）
①；②；③④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．（24-25七年级·山东淄博）如图，，平分，，，，下列结论中错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．
6．（24-25七年级·河南郑州）如图，，，则、、之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级·湖南长沙）如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25七年级·四川德阳）如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且，设，则的度数为 ．（用含的式子表示）
9．（24-25七年级·山东临沂）图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图．已知，使用打孔器时，，，分别移动到，，．此时，平分，若，则 ．
10．（24-25七年级·山东临沂）如图，平分，，，则 ．
11．（24-25七年级·上海杨浦）如图，，平分，平分，如果，那么 ．
12．（24-25七年级·山东青岛）若两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少10，则这两个角的度数分别为 ．
13．（24-25七年级·湖北襄阳）如图，，和的平分线相交于点F，若，则 ．
14．（24-25七年级·湖南长沙）如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则 ．
15．（24-25七年级·全国）如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则．
16．（24-25七年级·广东珠海）如图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成图2，再沿折叠成图3；用α表示图3中的大小为
17．（23-24七年级·江苏盐城）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行．
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