【精准提分】专题01 相交线解答题中相关计算 （5个基础题+2个压轴题+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（人教2024版）（原卷+解析版）
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内容正文：
【精准提分】专题01 相交线解答题中相关计算（人教2024）
【5个基础题型+2个压轴题型】
【基础题型一】相交线解答题综合之比值问题 1
【基础题型二】相交线解答题综合之倍数问题 9
【基础题型三】相交线解答题综合之和差问题 19
【基础题型四】相交线解答题综合之用字母表示角度 29
【基础题型五】相交线解答题综合之其他类问题 43
【压轴题型六】相交线解答题综合与三角板结合 54
【压轴题型七】相交线解答题综合中动点问题 64
【基础题型一】相交线解答题综合之比值问题
例题1 （24-25七年级·广东广州）直线上有点，平分，，且，求的度数．
【答案】
【详解】解：平分，
，
，
不妨设，，
，
，
解得，
，
，
，
，
的度数为．
【变式1-1】（24-25七年级·湖北孝感）如图，直线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解；∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【变式1-2】（24-25七年级·陕西渭南）如图，直线AB，CD相交于点O，，垂足为O，，求的度数．
【答案】
【详解】解：，
，
，，
，
．
【变式1-3】（24-25七年级·河南郑州）如图，直线，相交于点，平分，于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1），
．
平分，
．
．
．
（2），
．
，
，
．
平分，
．
【变式1-4】（24-25七年级·浙江杭州）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解： ∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴可设
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
即的度数为．
【变式1-5】（24-25七年级·河南平顶山）如图，直线相交于点O，，平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析(2)
【详解】（1）解；，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，即；
（2）解；∵，，
∴，
∴．
【变式1-6】（24-25七年级·辽宁大连）如图，直线、相交于点，平分，平分．
(1)判断与的位置关系并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析(2)
【详解】（1）解；，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴．
【变式1-7】（24-25七年级·辽宁沈阳）直线相交于点O，且，平分．
(1)如图1，①的余角有_______．（填写所有符合情况的角）
②若，求的度数．
(2)如图2，请直接写出与的数量关系为________．
【答案】(1)①；②(2)
【详解】（1）解：①，
，
，
，
，
的余角有，
故答案为：；
②，，
，
，
，
平分，
，
设，则，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，即，
平分，
，
，即，
，
．
【变式1-8】（2025七年级·湖南）如图，直线相交于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵平分，
∴．
【变式1-9】（24-25七年级·吉林四平）如图，直线与相交于点O，是的平分线，如果．求和的度数．
【答案】，．
【详解】解：设，则，
由题意得：
，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴．
【变式1-10】（24-25七年级·吉林松原）如图，直线相交于点O，，垂足为O．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【基础题型二】相交线解答题综合之倍数问题
例题2 （24-25七年级·广西河池）如图，直线、相交于点O，，且平分．
(1)【探究发现】若时，则的度数是 ；
(2)【类比延伸】若时，求的度数 ；
(3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明．
【答案】(1)(2)(3)，证明见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的角的计算，垂直的定义，对顶角性质，熟练掌握角平分线定义和角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键．
（1）先根据垂直定义，求得，根据从而可求得，，继而求得，然后根据角平分线定义与对顶角性质求出，即可由求解；
（2）设，由，根据角平分线定义与对顶角性质求得，根据，即，求解即可；
（3）设，则，根据角平分线定义与对顶角性质求得，再根据 ，得出，解得，即可得出结论
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴ ，
又∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
即，
解之得：，
即．
（3）解：猜想：
理由：设
∵
∴
∵
∴
又∵平分，
∴，
∴
∴ ，
则，
解之得，
即．
【变式2-1】（24-25七年级·陕西渭南）如图，直线，交于点，过点作，在内作射线，．
(1)的补角是___________；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵直线，交于点，
∴，
∴的补角是；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【变式2-2】（24-25七年级·云南曲靖）如图，直线，相交于点，，．
(1)图中与互补的角有______；（将符合条件的角都写出来）
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，补角的概念，角的计算，需要注意根据对顶角相等的性质找出相等的角，避免漏解而导致出错．
（1）根据互补的两个角的和等于，结合图形找出与的和等于的角即可；
（2）设，可以得到，根据对顶角相等得到，然后根据列式求解即可．
【详解】（1）∵，
∴与互补，
∵，
∴
，
又，
与互补，
与互补，
∴与互补的角是：，
（2）设，则，
∵(对顶角相等)，
又
∴
∴
∴
又，
即，
解得
∴．
【变式2-3】（24-25七年级·湖北宜昌）如图，直线、相交于点O，，垂足为，直线平分．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用；
（1）先求解，结合，即可得到答案；
（2）设，可得 ，，，结合，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，直线平分，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
【变式2-4】（24-25七年级·湖北襄阳）如图，相交于点平分．若，求的度数．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【变式2-5】（24-25七年级·陕西铜川）如图，直线，相交于点，和互余，．
(1)和垂直吗？为什么？
(2)若，求的度数．
【答案】(1)和垂直，理由见解析(2)
【分析】本题考查了余角和补角，角的计算，垂直的定义及一元一次方程的应用，关键是掌握余角定义，理清图形中角的关系．
（1）根据余角的定义可得，再根据平角的定义可求出，即可得出结论；
（2）设，则，结合可求解x值，进而可求解的度数．
【详解】（1）解：和垂直，理由如下：
∵和互余，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【变式2-6】（24-25七年级·湖北黄石）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，．
(1)求的度数；
(2)写出一个与 互为同位角的角；
(3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据对顶角相等和角平分线的定义即可求解；
（2）根据同位角的定义即可求解；
（3） 的同旁内角是， 的内错角有，，根据对顶角相等，角平分线的定义，以及角的和差计算即可求解．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
因为 平分 ，
所以 ；
（2）解：与互为同位角的角是；
（3）解： 的同旁内角是，
的内错角有，，
因为，
所以，
因为平分
所以，
所以，
因为，
所以，
所以的所有内错角，同旁内角的度数之和为．
【变式2-7】（24-25七年级·浙江）如图，直线相交于点．
(1)写出的对顶角．
(2)若，试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)的对顶角分别是，．(2)，理由见详解
【详解】（1）解：依题意，的对顶角为，的对顶角为，
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴
∴，
则，
∴．
【变式2-8】（24-25七年级·江苏盐城）如图，直线、相交于点，射线在内部，且．过点作．
(1)若，求的度数；
(2)若，那么平分吗？为什么？
【答案】(1)的度数为(2)平分，理由见解析
【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的有关计算，熟练掌握垂直的性质，根据题意得到角与角之间的数量关系是解题的关键．
（1）根据直角的性质，可得，根据补角的定义得，再由，即可求解；
（2）根据，，可得，再由，可得，从而得到，，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）解：平分，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
平分．
【变式2-9】（24-25七年级·河南商丘）如图，直线，相交于点O，且．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了垂线的定义，平角的定义，解题的关键是：
（1）根据垂线的定义求出，然后结合平角的定义，根据角的和差关系求解即可；
（2）根据并结合平角定义可求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又，
∴．
【基础题型三】相交线解答题综合之和差问题
例题3 （24-25七年级·广东中山）如图，直线相交于点，过点作射线，作射线平分．
(1)若，求的度数；
(2)若的度数比的度数大，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查角平分线的定义，垂直定义，角的和差计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
（1）根据垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据平角的计算得到，由此即可求解；
（2）根据题意得到，根据平角得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：的度数比的度数大，
，
由（1）得，
，
．
【变式3-1】（24-25七年级·山东潍坊）如图，直线、相交于点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)如果，则 （用含的代数式表示）；
(3)若比大，求的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：根据题意，得，
∵平分，
∴；
∵，
∴，
∴．
（2）解：根据题意，得，
∵平分，
∴；
∵，
∴，
∴．
（3）解：根据题意，平分，得；
设，
∵比大，
∴，
∵，
∴，
根据题意，得，
解得
∴．
【变式3-2】（24-25七年级·云南昆明）如图所示，直线相交于点，，垂足为，已知．
(1)若平分，求的度数；
(2)若的度数比的度数的倍多，试判断与垂直吗，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见详解
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
若平分，则，
∴；
（2）解：，理由如下，
设，则，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴．
【变式3-3】（24-25七年级·甘肃定西）如图，直线、交于点O，已知于点O，平分，若，求的度数．
【答案】
【详解】解：设，
∵平分，
，
，
，
∴
，
，
∴，
∵，
∴，
解得，
即．
【变式3-4】（24-25七年级·吉林）已知点O是直线上一点．，射线是的平分线．
【提出问题】
（1）如图①，若，则 度；
【类比分析】
（2）如图②，设，求的度数（用含的代数式表示）；
【变式探索】
（3）如图③，若，求的度数．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】本题考查了邻补角，一元一次方程的几何运用，几何图形的角度运算，与角平分线有关的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用邻补角性质得，结合角平分线的定义得，再运用角的和差关系列式计算，即可作答．
（2）先表示，因为射线是的平分线，故，再根据邻补角性质，即可作答．
（3）设，则，再分别表示，，然后代入，进行计算，即可作答．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵射线是的平分线．
∴，
则；
（2）∵，，
∴
∵射线是的平分线，
∴
∴；
（3）设，
∵射线是的平分线，
∴，
则
∵，
∴
∵，
∴
解得
即．
【变式3-5】（24-25七年级·江苏连云港）如图，直线与相交于．是的平分线，．
(1)若比大，求和的度数；
(2)试问与之间有怎样的大小关系？请说明理由；
(3)的补角是__________．
【答案】(1)，(2)，理由见解析(3)和
【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差、垂线的定义，解题关键是准确识别图形，利用角之间的关系求解；
（1）根据角平分线的性质得出，再根据得出，根据比大即可求解；
（2）根据平角的定义表示出，可得与相等；
（3）根据补角的定义写出的补角是即可．
【详解】（1）解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，即，
∵比大，
∴，
∴，
．
（2）解：，
理由如下：∵，，
∴，，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴的补角是，
∵，，
∴的补角是，
故答案为：和．
【变式3-6】（24-25七年级·江苏盐城）如图，已知于，．
(1)若平分，求的度数；
(2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【详解】（1）解：于，
∴．
∵，，
∴；
∵平分，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵于，
∴．
∵，
∴，
∵的度数比的度数的3倍多，
∴即，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
【变式3-7】（2025七年级·全国）如图①，直线相交于点O．
(1)若，求的度数．
(2)分别作的平分线，如图②，请判断与之间的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【分析】本题考查对顶角，邻补角，角平分线定义，垂线，关键是由对顶角的性质求出，由角平分线定义得到．
（1）由对顶角的性质得到，而，求出，由邻补角的性质得到；
（2）由角平分线定义得到，因此，即可证明．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵的平分线分别是，
∴， ，
∴，
∴，
∴．
【变式3-8】（23-24七年级·河南周口）如图，直线和相交于点，把分成两部分，且，平分．
(1)若，求．
(2)若，求．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了对顶角、角平分线等知识，理解题意，弄清各角的关系是解题关键．
（1）根据对顶角相等，可得的度数，根据，可得的值，根据邻补角，可得答案；
（2）根据角平分线的定义，可得，根据邻补角的关系，可得关于的方程，求出的度数，可得答案．
【详解】（1）解：由对顶角相等，得，
由把分成两部分且，
可得，
由邻补角，得；
（2）由平分，得，
由邻补角，得，即，
解得，
∴，
∴．
【变式3-9】（24-25七年级·浙江丽水）如图，直线与直线相交于点O，且平分．
(1)若比大，求的度数．
(2)证明：是的平分线．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了垂线的性质，角平分线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质，角平分线的性质及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键．
（1）根据垂线的性质可得，由，可得，即可算出的度数，再根据角平分线的性质可得的度数，再根据代入计算即可得出答案；
（2）根据角平分线的性质，可得，由垂线的性质可得，即可得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为平分线．
【基础题型四】相交线解答题综合之用字母表示角度
例题4 （24-25七年级·海南）如图，，点A，B分别在射线，上，按下列要求画图，并回答问题．
(1)连接，过点O画线段的垂线，垂足为点D；
(2)画出的平分线，交于点E；
(3)在线段的延长线上取一点F，使得O是线段的中点；
(4)若，则 （用含x的代数式表示）．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，点F即为所求；
（4）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
．
【变式4-1】（24-25七年级·吉林长春）如图，于点，射线，的方向如各图所示，．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，射线平分．若，求，的度数；
(3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数．
【答案】(1)(2)，(3)，
【分析】本题考查了垂直、角平分线，熟练掌握与角平分线有关的运算是解题关键．
（1）先根据垂直的定义可得，再根据可得，最后根据求解即可得；
（2）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据和求解即可得；
（3）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据和求解即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵射线平分，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵射线平分，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【变式4-2】（24-25七年级·全国）如图，相交于点O．
(1)如果，那么__________，__________；
(2)如果，，，求x，y的值．
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）解：∵，且，
∴，
故答案为：，
（2）由，，
得，
解得．
∵，
∴，
∴．
【变式4-3】（24-25七年级·湖北恩施）若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分．
(1)若，求和的度数？
(2)若是任意角，求的度数？
(3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？
【答案】(1)；(2)(3)的度数不变，值为
【详解】（1）解：平分，平分，
，，
，
，
，
，
（2）解：平分，
，
，
，
，
平分，
，
；
（3）解：的度数不变，
平分，平分，
，，
，
．
【变式4-4】（2025七年级·全国）如图，直线、相交于点O，平分，于点O．
(1)若，求和的度数；
(2)若，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：平分，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：平分，，
，
，
，
，
．
【变式4-5】（24-25七年级·浙江杭州）如图，点O在直线上，与互补，
(1)若，，求的度数；
(2)若，求n的值；
(3)若，设，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
，
．
【变式4-6】（23-24七年级·山东淄博）如图，直线，相交于点O，，且平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵直线，相交于点O，
∴，
∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴（对顶角相等）；
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵直线，相交于点O，
∴，
∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴（对顶角相等）；
∵，
∴，
∴，
∴；
【变式4-7】（23-24七年级·河南信阳）如图，直线相交于点平分．
(1)若，求的度数；
(2)如果，则________（用含的代数式表示）；
(3)若比大，求的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）
，
平分
，
，
，
的度数为；
（2）平分，，
，
，
故答案为：；
（3）设，则，
平分
，
，
，
解得：，
，
，
的度数为．
【变式4-8】（24-25七年级·河南洛阳）如图，已知直线相交于点O，平分．
(1)如果，求的度数；
(2)如果，则 （用含n的代数式表示）；
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：直线相交于点O，，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，；
（2）直线相交于点O，，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式4-9】（24-25七年级·全国）已知：是直线上的一点，，平分．
(1)如图1若．求的度数；
(2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）；
(3)将图1中的绕顶点顺时针转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)，理由见解析
【详解】（1）解：
，
，
，
，
平分，
，
（2），
，
，
平分，
，
．
（3）
理由是：
，OE平分，
，
，
，
，
即．
【变式4-10】（24-25七年级·广东清远）如图，已知点O为直线上一点，，平分
(1)若，则＿＿＿°；
(2)若求的度数（用含n的代数式表示）；
(3)在（2）题的基础上，如图2，在的内部作射线，使平分求的度数
【答案】(1)66(2)(3)的度数为50°
【详解】（1）解：∵
∴
故答案为：66；
（2）解：∵
∵平分，
∴，
∴
（3）解：∵，
∵平分，
∴，
∵
∴，
解得：，
∴
故的度数为．
【变式4-11】（23-24七年级·海南海口）如图，直线、相交于点，平分，于点．
(1)若，求和的度数；
(2)若（），直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：∵ 直线、相交于点，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵ 直线、相交于点，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
则．
【变式4-12】（24-25七年级·湖北宜昌）如图，直线、相交于点，过点作，且平分，已知．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
，
．
【变式4-13】（24-25七年级·江西南昌）直线、相交于点，、是两条射线．
(1)如图1，若平分，，，求的度数；
(2)如图2，若平分，，设，求的度数．（用含的式子表示）
【答案】(1)(2)
【详解】（1），
，
平分，
，
，
；
（2）设，
，
，
平分，
，
．
【基础题型五】相交线解答题综合之其他类问题
例题5（24-25七年级·河北邢台）如图，点在直线上，．
(1)若，求的度数．
(2)①点到的距离为 ；
②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由．
【答案】(1)(2)①8；②线段更长，理由见解析
【详解】（1）解： ，
.
，
；
（2）解：①∵，，
∴点到的距离为，
故答案为：8；
②线段更长，
理由：，
∴，
，
∴，
∴，
在线段中，线段更长．
【变式5-1】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨）如图，已知直线和相交于点，，平分．
(1)的对顶角是_______；的邻补角是_______；
(2)若，求．
【答案】(1)；；(2)．
【详解】（1）解：的对顶角是；的邻补角是；
故答案为：；；
（2），
平分∠，
．
【变式5-2】（24-25七年级·江西南昌）如图，直线、相交于点O，把分成两部分．
(1)直接写出图中的对顶角为______，的邻补角为______；
(2)若，且平分，求的度数．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：的对顶角为，的邻补角为；
故答案为：；．
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
∴
【变式5-3】（2025七年级·全国）如图，直线，相交于点，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵直线，相交于点，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得，
即．
【变式5-4】（24-25七年级·江西上饶）如图，直线，相交于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，过点作，求的度数．
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，当点F在上方时，
∵，
∴，
∴；
如图所示，当点F在下方时，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
【变式5-5】（24-25七年级·江苏泰州）如图，直线，相交于点O，，平分．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【变式5-6】（24-25七年级·江苏南京）如图，直线与直线相交于点平分，
(1)若，则___________；
(2)若平分，的度数为．
①求的度数；
②作射线，请直接写出的度数．
【答案】(1)(2)①；②或
【详解】（1）解：平分，，
，
；
（2）解：①平分，
设，
，
，
平分，
，
，
，
解得，
，
；
②由①知，
时，，
分两种情况：
当在上方时，如图，
；
当在下方时，如图，
；
综上可知，的度数为或．
【变式5-7】（24-25七年级·江西宜春）如图，直线、相交于点，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵直线相交于点，，
∴
∵平分，
∴
∵，
∴
（2）解：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
【变式5-8】（2025七年级·全国）如图，相交于点O，为的平分线，．
(1)试说明：是的平分线；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)详见解析(2)
【详解】（1）证明：为的平分线，
，
，
，
，
，
，
是的平分线；
（2）解：，
，
是的平分线，
，
，
，
，
的度数为．
【变式5-9】（24-25七年级·江苏宿迁）如图所示，已知直线和相交于点．，平分．
(1)与的大小关系是 ．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵与是对顶角，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴,
∵平分，
∴,
∴，
∴．
【变式5-10】（24-25七年级·浙江温州）“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且．
(1)如图2，当时，求的度数．
(2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？
【答案】(1)(2)旋转的最小角度是
【详解】（1）解：因为，
又因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
（2）解：设旋转的最小角度是，则，，
因为与互补，
所以，即，
解得，
所以旋转的最小角度是．
【变式5-11】（24-25七年级·河北唐山）胡同文化是京津冀地区的一大特色，承载着丰富的历史和文化内涵．如图为某胡同的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点G和“丁字路口”点F，经过测量已知．
(1)请说明的理由；
(2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数．
【答案】(1)见解析(2)的同位角，内错角，同旁内角
【详解】（1）解：∵是直线，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴的同位角，内错角，同旁内角．
【压轴题型六】相交线解答题综合与三角板结合
例题6（24-25七年级·江苏连云港）如图，为直线上的一点，在直线的上方，，一直角三角板的直角顶点放在点处，该直角三角板的一边在射线上，另一边在直线的下方．
(1)如图，的度数为 ，的度数为 ．
(2)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且恰好平分时，求的度数．
(3)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且在的内部时，则的度数为 ．
【答案】(1)，；(2)；(3)．
【详解】（1）解：依题得：，
，
，
．
故答案为：，．
（2）解：，恰好平分，
，
．
（3）解：设，则，，
．
故答案为：．
【变式6-1】（24-25七年级·贵州贵阳）将三角板的直角顶点O放置在直线上．
(1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________．
(2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）．
①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值．
②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)①或；②存在，的值为或
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
故答案为：．
（2）解：①（Ⅰ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，
∴，
∵，
∴，
∴；
（Ⅱ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，
∴；
（Ⅲ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，
∴，
∴此时旋转角大于，不符合题意，舍去；
综上，满足要求的所有的值为或．
②（Ⅰ）如图，当时，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，符合题设；
（Ⅱ）如图，当时，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，符合题设；
（Ⅲ）如图，当时，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，不符合题设，舍去；
综上，在旋转过程中存在，此时的值为或．
【变式6-2】（24-25七年级·河北廊坊）如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．
(1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值．
(2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数．
(3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：如图，
∵，（即）恰好与在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故与之间的数量关系为：．
【变式6-3】（23-24七年级·江西吉安）O为直线上一点、过点O作射线，使，一直角三角板的直角顶点放在点O处．
(1)如图①，将三角板的一边与射线重合时，______；
(2)如图②，将图①中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，当恰好是的平分线时．求的度数；
(3)将图①中的三角尺绕点O逆时针旋转，设旋转的角度为，在旋转的过程中，能否使?若能，求出的度数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)能；的度数为或
【详解】（1）解：，与射线重合，
，
，
；
（2）解：由（1）得，，
是的角平分线，
，
，
；
（3）解：能；
①当在内时：
，，
则，
解得：；
②当在外时：
，，
则，
解得：．
综上所述，的度数为或．
【变式6-4】（24-25七年级上·吉林）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，、是三角板的两条直角边，射线是的平分线．
(1)当时，求的度数；
(2)当时，求的度数；
(3)当时，则__________（用含的式子表示）．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：∵是的平分线，，
∴，
∴；
（2）
，
又∵平分，
，
；
（3），
，
又∵平分，
，
．
【变式6-5】（23-24七年级·黑龙江绥化）在下列各图中，点为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点处．
(1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，则的度数为______，的度数为______；
(2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，此时的度数为______；
(3)在图2中，延长线段得到射线，如图3，则的度数为______；与的数量关系是______（填“”、“”或“”）．说明理由．
【答案】(1)120，150(2)30(3)，
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴；
故答案为：120，150；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：30；
（3）解：由（2）知，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【变式6-6】（24-25七年级·河南郑州）直角三角板的直角顶点C在直线上，平分．
(1)如图1，若，则___________；
(2)如图1，若，则___________（用含α的式子表示）；
(3)将图1中的三角板绕点C旋转至图2的位置，若，求出与的度数．
【答案】(1)(2)(3)，
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：如题图②，∵，
∴，
∴，
∴；
∵平分，
∴，
∴．
【变式6-7】（24-25七年级·重庆潼南）如图，点是直线上一点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处（注：），且直角三角板始终保持在直线的上方．
(1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则的度数=______；
(2)如图2，若直角三角板的边在的内部．当平分时，试判断平分吗？并说明理由．
(3)若，求的度数．
【答案】(1)(2)平分，理由见解析(3)的度数为或
【详解】（1）解：∵，
∴
∴
故答案为：
（2）解：∵，平分
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴平分
（3）解：如图
第一种情况，当在的内部时，设
∵，
∴，
∵
∴
∴可得方程：
解得：
∴
第二种情况，当在的外部时，设，则
∴
∵
∴
∵，
∴可得方程：
解得：
∴
综上所述，的度数为或
【压轴题型七】相交线解答题综合中动点问题
例题7（23-24七年级·安徽合肥）已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点旋转的一条动射线，平分．
(1)如图1，射线在的内部．
①求的度数；
②若与互余，求的度数；
(2)若射线在的外部，，求的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)①②(2)
【详解】（1）解：①，射线OC在的内部，，
，
；
②平分，
∴，
，
与互余，
，
，
，
由①得，
，
；
（2）解：如图，
，，由（1）得，
，
平分，
，
．
【变式7-1】（23-24七年级·山东青岛）如图，，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；同时，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；设运动时间为，解答下列问题：
(1)当t为何值时，为平角？
(2)当t为何值时，平分？
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使将分成的两个角的度数之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，或；(4)存在，或．
【详解】（1）根据题意可知，.
当为平角时，，
即，
解得．
答：时为平角；
（2）根据题意可知，.
当OC平分时，，
即，
解得．
答：时OC平分；
（3）根据题意可知，.
第一种：，，
第二种：，．
答：存在，或时，OB将分成的两个角的度数之比为；
（4）根据题意可知，，.
当时，，
解得；
当时，，
解得．
答：存在，或时，．
【变式7-2】（24-25七年级·江西赣州）如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为秒．
(1)当时，求的度数．
(2)在转动过程中，当时，求t的值．
(3)在转动过程中是否存在这样的t，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)或；(3)存在，或
【详解】（1）当时，，，
；
（2）依题意，得：或，
解得：或；
（3）分两种情况：
①当A、B的位置运动到下图时，
根据题意可得，
解得：；
②当A、B的位置运动到下图时，
根据题意可得，
解得：；
答：在旋转过程中存在这样的t，使得射线与射线垂直，t的值为18秒或秒．
【变式7-3】（24-25七年级·江苏扬州）如图1，，射线在平面内．
(1)如图，垂直，平分，则的度数为______；
(2)若与互补，求的大小；
(3)若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______．
【答案】(1)(2)或(3)秒或秒或 秒或秒
【详解】（1）解：如图1
∵垂直，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）解：如图2-1当在的左侧时，设，则，
由题意可知，，
解得；
如图2-2，当在的右侧时，设，则，
由题意可知，，
解得；
综上，符合题意的的度数为或；
（3）解：如图， 为的平分线时，
由题意可知，
解得，
如图（已停止），为的平分线时，
由题意可知，
解得；
如图，为的平分线时，则，
解得；
如图，为的平分线时，则，
解得；
综上，射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间为秒或秒或 秒或秒．
故答案为：秒或秒或 秒或秒．
【变式7-4】（23-24七年级·陕西西安）问题提出
已知一副直角三角尺按如图方式拼接在一起，其中与直线重合，，．
（1）在图中，的度数为______．
问题探究
（2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转，且在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，当平分时，请求出的值．
问题解决
（3）如图，若三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻∠AOD=2∠BOC？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）秒；（3）秒或秒
【详解】解：（1）∵，，
∴,
故答案为：；
（2）当边平分时，
∵，
∴，
∴旋转角为：，
∴（秒）；
（3）存在，理由是：
在旋转过程中，，
当在左侧时，
∵，
∴，
解得：；
当在右侧时，
∴
综上：的值为秒或秒．
【变式7-5】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨）如图1，是直线上的一点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．
①探究和的度数之间的关系，并说明理由；
②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)①，理由见解析；②
【分析】（1）由垂线的定义得，从而得到，由邻补角的定义计算可得，最后由角平分线的性质即可得到答案
（2）①先分别表示出和，再找出其中的关系即可；②根据题意得出，，代入得到，再将，代入进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
平分，
；
（2）解：①，
理由如下：
根据题意可得：，
，
，
平分，
，
，
；
②画出图如图所示：
，
则，，
，
整理得：，
，
，
，
，
，
．
【变式7-6】（24-25七年级·浙江绍兴）张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上．如图①，是量角器的直径，点是圆心，教鞭与重合，直角三角板的一个顶点放在点处，一边与重合，．如图②，现将教鞭绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时将直角三角板绕点逆时针方向以每秒的速度旋转，当与重合时，三角板和教鞭同时停止运动．设旋转时间为秒．
(1)在旋转过程中，求的度数（用含的代数式表示）．
(2)在旋转过程中，当为何值时，．
(3)在旋转过程中，若射线，，中的两条射线组成的角（指大于0°而不超过180°的角）恰好被第三条射线平分，求出此时的值．
【答案】(1)或度或(2)当秒时，
(3)当秒或秒或秒时，射线，，中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分
【详解】（1）解：如图1，∵，．
∴
．
；
（2）如图2，∵当时，，
∴，
解得：（秒）．
∴当秒时，
；
（3）分3种情况：
①如图3，当平分时，．
∴，
解得：（秒）．
②如图4，当平分时，．
∴，即
解得：（秒）．
③如图5，当平分时，．
∴．
解得：（秒）
∴综上所述，当秒或秒或秒时，射线，，中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分
1．（24-25七年级·江苏南京）如图，直线交于点，平分，．
(1)求的度数；
(2)画射线，使，求的度数．
【答案】(1)(2)图形见解析，的度数为或
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：分两种情况：
当在直线的上方时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴；
当在直线的下方时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
综上所述：的度数为或．
2．（24-25七年级·河南周口）在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，请你通过所学习的相关知识说明．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）解：由图1可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即；
（2）解：由图2知：
∵平分，
∴，
设，所以，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴；
3．（24-25七年级·山东临沂）如图，已知直线和相交于点O，，平分．
(1)的对顶角是________；的余角是________；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）的对顶角是；
∵，
∴，
∴，
∴的余角是．
故答案为：；；
（2）由，得．
由对顶角相等得．
由角的和差得．
由平分，得．
由角的和差得．
4．（2025七年级·山西）如图，直线，相交于点，，分别在，中部，，且平分，已知．
(1)求的度数．
(2)的度数为 ．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
又平分，
；
（2）解：，
故答案为：．
5．（24-25七年级·全国）如图，直线和直线相交于点为内部的射线，平分平分．
(1)若，求和的度数；
(2)若的度数为，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：因为平分平分，
所以，
所以，
即．
因为，
所以．
（2）解：因为平分，
所以．
因为，
所以，
所以．
因为平分，
所以．
6．（2025七年级·全国）如图，直线、相交于点O，平分，平分．
(1)、有什么位置关系，请说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析(2)
【详解】（1）解：，
理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
7．（24-25七年级·山西吕梁）如图，直线，相交于点，三角尺的直角顶点与点重合，回答下列问题：
(1)如图，若平分，判断是否平分，请说明理由．
(2)绕点转动三角尺．在三角尺转动的过程中，若，且，求的度数．
【答案】(1)平分，见解析(2)或
【详解】（1）解：平分．理由如下：
，
∴，，
∵平分，
，
∴，
∴平分；
（2）解：分两种情况：①如图1，当在左侧时，
∵，且，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴；
②如图2，当在右侧时，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
综上所述，的度数为或．
8．（2025七年级·全国）如图所示，直线，相交于点，射线、在内，且平分，，已知，求的度数．
【答案】
【详解】解：，，
．
，
，
平分，
，
，
，
．
9．（24-25七年级·全国）如图，直线与相交于点O，是的平分线，，．
(1)图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对．
(2)如果，求的度数．
(3)平分吗？请写出理由．
【答案】(1)，；(2)(3)平分，理由见解析
【详解】（1）∵是的平分线，
∴，
根据对顶角相等得出：；
（2）∵．
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（3）∵，，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
即：，
∴平分．
10．（24-25七年级·四川眉山）如图，直线交于点O，过点O作射线，使平分，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
11．（23-24七年级·浙江温州）如图，直线与直线交于点，射线在 内部，是的平分线，且．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
，
，
，
是的平分线，
，
，
．
（2）解：设，则，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．
12．（24-25七年级·浙江杭州）如图，已知，，平分，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴的度数为．
13．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且．
(1)将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数．
(2)在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由．
(3)将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案）
【答案】(1)(2)射线平分，理由见解析(3)6或15
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：射线平分，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴射线平分；
（3）解：由（1）（2）可知当开始旋转使得到第一次到达图3中的位置时，此时直线恰好平分，
∴旋转角度为，
∴；
当继续旋转到到图3中的位置时，此时直线恰好平分，
∴此时旋转的角度为，
∴；
综上所述，t的值为6或15．
14．（24-25七年级·福建福州）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，．
(1)如图1，若是的平分线，求的度数；
(2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【详解】（1）解：∵是的平分线，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
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【精准提分】专题01 相交线解答题中相关计算（人教2024）
【5个基础题型+2个压轴题型】
【基础题型一】相交线解答题综合之比值问题 1
【基础题型二】相交线解答题综合之倍数问题 5
【基础题型三】相交线解答题综合之和差问题 9
【基础题型四】相交线解答题综合之用字母表示角度 12
【基础题型五】相交线解答题综合之其他类问题 18
【压轴题型六】相交线解答题综合与三角板结合 22
【压轴题型七】相交线解答题综合中动点问题 26
【基础题型一】相交线解答题综合之比值问题
例题1 （24-25七年级·广东广州）直线上有点，平分，，且，求的度数．
【变式1-1】（24-25七年级·湖北孝感）如图，直线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【变式1-2】（24-25七年级·陕西渭南）如图，直线AB，CD相交于点O，，垂足为O，，求的度数．
【变式1-3】（24-25七年级·河南郑州）如图，直线，相交于点，平分，于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【变式1-4】（24-25七年级·浙江杭州）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【变式1-5】（24-25七年级·河南平顶山）如图，直线相交于点O，，平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【变式1-6】（24-25七年级·辽宁大连）如图，直线、相交于点，平分，平分．
(1)判断与的位置关系并说明理由；
(2)若，求的度数．
【变式1-7】（24-25七年级·辽宁沈阳）直线相交于点O，且，平分．
(1)如图1，①的余角有_______．（填写所有符合情况的角）
②若，求的度数．
(2)如图2，请直接写出与的数量关系为________．
【变式1-8】（2025七年级·湖南）如图，直线相交于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【变式1-9】（24-25七年级·吉林四平）如图，直线与相交于点O，是的平分线，如果．求和的度数．
【变式1-10】（24-25七年级·吉林松原）如图，直线相交于点O，，垂足为O．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【基础题型二】相交线解答题综合之倍数问题
例题2 （24-25七年级·广西河池）如图，直线、相交于点O，，且平分．
(1)【探究发现】若时，则的度数是 ；
(2)【类比延伸】若时，求的度数 ；
(3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明．
【变式2-1】（24-25七年级·陕西渭南）如图，直线，交于点，过点作，在内作射线，．
(1)的补角是___________；
(2)若，求的度数．
【变式2-2】（24-25七年级·云南曲靖）如图，直线，相交于点，，．
(1)图中与互补的角有______；（将符合条件的角都写出来）
(2)若，求的度数．
【变式2-3】（24-25七年级·湖北宜昌）如图，直线、相交于点O，，垂足为，直线平分．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【变式2-4】（24-25七年级·湖北襄阳）如图，相交于点平分．若，求的度数．
【变式2-5】（24-25七年级·陕西铜川）如图，直线，相交于点，和互余，．
(1)和垂直吗？为什么？
(2)若，求的度数．
【变式2-6】（24-25七年级·湖北黄石）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，．
(1)求的度数；
(2)写出一个与 互为同位角的角；
(3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和．
【变式2-7】（24-25七年级·浙江）如图，直线相交于点．
(1)写出的对顶角．
(2)若，试判断与的位置关系，并说明理由．
【变式2-8】（24-25七年级·江苏盐城）如图，直线、相交于点，射线在内部，且．过点作．
(1)若，求的度数；
(2)若，那么平分吗？为什么？
【变式2-9】（24-25七年级·河南商丘）如图，直线，相交于点O，且．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【基础题型三】相交线解答题综合之和差问题
例题3 （24-25七年级·广东中山）如图，直线相交于点，过点作射线，作射线平分．
(1)若，求的度数；
(2)若的度数比的度数大，求的度数．
【变式3-1】（24-25七年级·山东潍坊）如图，直线、相交于点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)如果，则 （用含的代数式表示）；
(3)若比大，求的度数．
【变式3-2】（24-25七年级·云南昆明）如图所示，直线相交于点，，垂足为，已知．
(1)若平分，求的度数；
(2)若的度数比的度数的倍多，试判断与垂直吗，并说明理由．
【变式3-3】（24-25七年级·甘肃定西）如图，直线、交于点O，已知于点O，平分，若，求的度数．
【变式3-4】（24-25七年级·吉林）已知点O是直线上一点．，射线是的平分线．
【提出问题】
（1）如图①，若，则 度；
【类比分析】
（2）如图②，设，求的度数（用含的代数式表示）；
【变式探索】
（3）如图③，若，求的度数．
【变式3-5】（24-25七年级·江苏连云港）如图，直线与相交于．是的平分线，．
(1)若比大，求和的度数；
(2)试问与之间有怎样的大小关系？请说明理由；
(3)的补角是__________．
【变式3-6】（24-25七年级·江苏盐城）如图，已知于，．
(1)若平分，求的度数；
(2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由．
【变式3-7】（2025七年级·全国）如图①，直线相交于点O．
(1)若，求的度数．
(2)分别作的平分线，如图②，请判断与之间的位置关系，并说明理由．
【变式3-8】（23-24七年级·河南周口）如图，直线和相交于点，把分成两部分，且，平分．
(1)若，求．
(2)若，求．
【变式3-9】（24-25七年级·浙江丽水）如图，直线与直线相交于点O，且平分．
(1)若比大，求的度数．
(2)证明：是的平分线．
【基础题型四】相交线解答题综合之用字母表示角度
例题4 （24-25七年级·海南）如图，，点A，B分别在射线，上，按下列要求画图，并回答问题．
(1)连接，过点O画线段的垂线，垂足为点D；
(2)画出的平分线，交于点E；
(3)在线段的延长线上取一点F，使得O是线段的中点；
(4)若，则 （用含x的代数式表示）．
【变式4-1】（24-25七年级·吉林长春）如图，于点，射线，的方向如各图所示，．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，射线平分．若，求，的度数；
(3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数．
【变式4-2】（24-25七年级·全国）如图，相交于点O．
(1)如果，那么__________，__________；
(2)如果，，，求x，y的值．
【变式4-3】（24-25七年级·湖北恩施）若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分．
(1)若，求和的度数？
(2)若是任意角，求的度数？
(3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？
【变式4-4】（2025七年级·全国）如图，直线、相交于点O，平分，于点O．
(1)若，求和的度数；
(2)若，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【变式4-5】（24-25七年级·浙江杭州）如图，点O在直线上，与互补，
(1)若，，求的度数；
(2)若，求n的值；
(3)若，设，求的度数（用含的代数式表示）．
【变式4-6】（23-24七年级·山东淄博）如图，直线，相交于点O，，且平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数（用含α的代数式表示）．
【变式4-7】（23-24七年级·河南信阳）如图，直线相交于点平分．
(1)若，求的度数；
(2)如果，则________（用含的代数式表示）；
(3)若比大，求的度数．
【变式4-8】（24-25七年级·河南洛阳）如图，已知直线相交于点O，平分．
(1)如果，求的度数；
(2)如果，则 （用含n的代数式表示）；
【变式4-9】（24-25七年级·全国）已知：是直线上的一点，，平分．
(1)如图1若．求的度数；
(2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）；
(3)将图1中的绕顶点顺时针转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．
【变式4-10】（24-25七年级·广东清远）如图，已知点O为直线上一点，，平分
(1)若，则＿＿＿°；
(2)若求的度数（用含n的代数式表示）；
(3)在（2）题的基础上，如图2，在的内部作射线，使平分求的度数
【变式4-11】（23-24七年级·海南海口）如图，直线、相交于点，平分，于点．
(1)若，求和的度数；
(2)若（），直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【变式4-12】（24-25七年级·湖北宜昌）如图，直线、相交于点，过点作，且平分，已知．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【变式4-13】（24-25七年级·江西南昌）直线、相交于点，、是两条射线．
(1)如图1，若平分，，，求的度数；
(2)如图2，若平分，，设，求的度数．（用含的式子表示）
【基础题型五】相交线解答题综合之其他类问题
例题5（24-25七年级·河北邢台）如图，点在直线上，．
(1)若，求的度数．
(2)①点到的距离为 ；
②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由．
【变式5-1】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨）如图，已知直线和相交于点，，平分．
(1)的对顶角是_______；的邻补角是_______；
(2)若，求．
【变式5-2】（24-25七年级·江西南昌）如图，直线、相交于点O，把分成两部分．
(1)直接写出图中的对顶角为______，的邻补角为______；
(2)若，且平分，求的度数．
【变式5-3】（2025七年级·全国）如图，直线，相交于点，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，，求的度数．
【变式5-4】（24-25七年级·江西上饶）如图，直线，相交于点，平分．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，过点作，求的度数．
【变式5-5】（24-25七年级·江苏泰州）如图，直线，相交于点O，，平分．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
【变式5-6】（24-25七年级·江苏南京）如图，直线与直线相交于点平分，
(1)若，则___________；
(2)若平分，的度数为．
①求的度数；
②作射线，请直接写出的度数．
【变式5-7】（24-25七年级·江西宜春）如图，直线、相交于点，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，，求的度数．
【变式5-8】（2025七年级·全国）如图，相交于点O，为的平分线，．
(1)试说明：是的平分线；
(2)若，求的度数．
【变式5-9】（24-25七年级·江苏宿迁）如图所示，已知直线和相交于点．，平分．
(1)与的大小关系是 ．
(2)若，求的度数．
【变式5-10】（24-25七年级·浙江温州）“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且．
(1)如图2，当时，求的度数．
(2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？
【变式5-11】（24-25七年级·河北唐山）胡同文化是京津冀地区的一大特色，承载着丰富的历史和文化内涵．如图为某胡同的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点G和“丁字路口”点F，经过测量已知．
(1)请说明的理由；
(2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数．
【压轴题型六】相交线解答题综合与三角板结合
例题6（24-25七年级·江苏连云港）如图，为直线上的一点，在直线的上方，，一直角三角板的直角顶点放在点处，该直角三角板的一边在射线上，另一边在直线的下方．
(1)如图，的度数为 ，的度数为 ．
(2)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且恰好平分时，求的度数．
(3)如图，当该直角三角板绕点旋转至，且在的内部时，则的度数为 ．
【变式6-1】（24-25七年级·贵州贵阳）将三角板的直角顶点O放置在直线上．
(1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________．
(2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）．
①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值．
②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（24-25七年级·河北廊坊）如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．
(1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值．
(2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数．
(3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由．
【变式6-3】（23-24七年级·江西吉安）O为直线上一点、过点O作射线，使，一直角三角板的直角顶点放在点O处．
(1)如图①，将三角板的一边与射线重合时，______；
(2)如图②，将图①中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，当恰好是的平分线时．求的度数；
(3)将图①中的三角尺绕点O逆时针旋转，设旋转的角度为，在旋转的过程中，能否使?若能，求出的度数；若不能，请说明理由．
【变式6-4】（24-25七年级上·吉林）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，、是三角板的两条直角边，射线是的平分线．
(1)当时，求的度数；
(2)当时，求的度数；
(3)当时，则__________（用含的式子表示）．
【变式6-5】（23-24七年级·黑龙江绥化）在下列各图中，点为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点处．
(1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，则的度数为______，的度数为______；
(2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，此时的度数为______；
(3)在图2中，延长线段得到射线，如图3，则的度数为______；与的数量关系是______（填“”、“”或“”）．说明理由．
【变式6-6】（24-25七年级·河南郑州）直角三角板的直角顶点C在直线上，平分．
(1)如图1，若，则___________；
(2)如图1，若，则___________（用含α的式子表示）；
(3)将图1中的三角板绕点C旋转至图2的位置，若，求出与的度数．
【变式6-7】（24-25七年级·重庆潼南）如图，点是直线上一点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处（注：），且直角三角板始终保持在直线的上方．
(1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则的度数=______；
(2)如图2，若直角三角板的边在的内部．当平分时，试判断平分吗？并说明理由．
(3)若，求的度数．
【压轴题型七】相交线解答题综合中动点问题
例题7（23-24七年级·安徽合肥）已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点旋转的一条动射线，平分．
(1)如图1，射线在的内部．
①求的度数；
②若与互余，求的度数；
(2)若射线在的外部，，求的度数（用含的式子表示）．
【变式7-1】（23-24七年级·山东青岛）如图，，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；同时，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；设运动时间为，解答下列问题：
(1)当t为何值时，为平角？
(2)当t为何值时，平分？
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使将分成的两个角的度数之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式7-2】（24-25七年级·江西赣州）如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为秒．
(1)当时，求的度数．
(2)在转动过程中，当时，求t的值．
(3)在转动过程中是否存在这样的t，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
【变式7-3】（24-25七年级·江苏扬州）如图1，，射线在平面内．
(1)如图，垂直，平分，则的度数为______；
(2)若与互补，求的大小；
(3)若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______．
【变式7-4】（23-24七年级·陕西西安）问题提出
已知一副直角三角尺按如图方式拼接在一起，其中与直线重合，，．
（1）在图中，的度数为______．
问题探究
（2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转，且在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，当平分时，请求出的值．
问题解决
（3）如图，若三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻∠AOD=2∠BOC？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【变式7-5】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨）如图1，是直线上的一点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．
①探究和的度数之间的关系，并说明理由；
②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．
【变式7-6】（24-25七年级·浙江绍兴）张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上．如图①，是量角器的直径，点是圆心，教鞭与重合，直角三角板的一个顶点放在点处，一边与重合，．如图②，现将教鞭绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时将直角三角板绕点逆时针方向以每秒的速度旋转，当与重合时，三角板和教鞭同时停止运动．设旋转时间为秒．
(1)在旋转过程中，求的度数（用含的代数式表示）．
(2)在旋转过程中，当为何值时，．
(3)在旋转过程中，若射线，，中的两条射线组成的角（指大于0°而不超过180°的角）恰好被第三条射线平分，求出此时的值．
1．（24-25七年级·江苏南京）如图，直线交于点，平分，．
(1)求的度数；
(2)画射线，使，求的度数．
2．（24-25七年级·河南周口）在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，请你通过所学习的相关知识说明．
3．（24-25七年级·山东临沂）如图，已知直线和相交于点O，，平分．
(1)的对顶角是________；的余角是________；
(2)若，求的度数．
4．（2025七年级·山西）如图，直线，相交于点，，分别在，中部，，且平分，已知．
(1)求的度数．
(2)的度数为 ．
5．（24-25七年级·全国）如图，直线和直线相交于点为内部的射线，平分平分．
(1)若，求和的度数；
(2)若的度数为，求的度数．
6．（2025七年级·全国）如图，直线、相交于点O，平分，平分．
(1)、有什么位置关系，请说明理由；
(2)若，求的度数．
7．（24-25七年级·山西吕梁）如图，直线，相交于点，三角尺的直角顶点与点重合，回答下列问题：
(1)如图，若平分，判断是否平分，请说明理由．
(2)绕点转动三角尺．在三角尺转动的过程中，若，且，求的度数．
8．（2025七年级·全国）如图所示，直线，相交于点，射线、在内，且平分，，已知，求的度数．
9．（24-25七年级·全国）如图，直线与相交于点O，是的平分线，，．
(1)图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对．
(2)如果，求的度数．
(3)平分吗？请写出理由．
10．（24-25七年级·四川眉山）如图，直线交于点O，过点O作射线，使平分，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
11．（23-24七年级·浙江温州）如图，直线与直线交于点，射线在 内部，是的平分线，且．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
12．（24-25七年级·浙江杭州）如图，已知，，平分，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
13．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且．
(1)将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数．
(2)在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由．
(3)将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案）
14．（24-25七年级·福建福州）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，．
(1)如图1，若是的平分线，求的度数；
(2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由．
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