第四章 因式分解单元巩固提升训练2024-2025学年北师大版八年级数学下册

2025年北师版八年级数学下册第四章因式分解巩固提升训练题 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） ①mx+my+2＝m（x+y）+2； ②2x2+1＝2x2（1+）； ③x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 ； ④x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x；⑤8a2b＝2a•4ab； ⑥4my﹣2y＝2y（2m﹣1） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.下列多项式因式分解：①x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2；②16+a4＝（4+a2）（4﹣a2）； ③25ab2+10ab+5b＝5b（5ab﹣2a）；④x2﹣（2y）2＝（x﹣2y）（x+2y），其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（　　） ①x2+4x+4；②4x2﹣4x﹣1；③x2+x+；④4m2+2mn+n2；⑤1+16a2；⑥（x﹣2y）2﹣2x+4y+1． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．已知248﹣1可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（　　） A．64，63 B．61，65 C．61，67 D．63，65 5．若A＝x2+6y+4，B＝﹣y2+2x﹣6，则A，B的大小关系为（　　） A．A≥B B．A＜B C．A＞B D．A＝B 6．若3x3﹣x＝1，则9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001的值等于（　　） A．1999 B．2001 C．2003 D．2005 7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，所以4，12，20都是“神秘数”．下面各个数中，是“神秘数”的是（　　） A．60 B．62 C．66 D．88 8．多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是　 　 ． 9．化简：（﹣2）2025+（﹣2）2026＝　 　 ． 10．若9x2﹣3（k﹣1）xy+4y2是一个完全平方式，则k的值为 　 　 ． 11．a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a、b满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则△ABC的周长为　 　 12．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足+|a﹣b|＝0，则△ABC的形状为 　 　 ． 13．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 　 　 ． 14．因式分解：（1）（2x+y）2﹣（x+2y）2； （2）（m+3n）（4m﹣n）﹣（m+3n）（m﹣7n）． （3）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2； （4）（y2﹣1）2﹣6（y2﹣1）+9； （5）（m﹣n）3﹣m（m﹣n）2﹣n（n﹣m）2； （6）2（x2+4）2﹣32x2． 15．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法． 例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法． 例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）（Ⅰ）4x2+4x﹣y2+1；（Ⅱ）a3﹣3a2﹣9a+27； ②（拆项法）（Ⅰ）x2﹣6x+8；（Ⅱ）m2﹣6mn﹣7n2； （2）已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长； （3）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由． 16．阅读以下材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　 　 ； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4； （3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数． 17．阅读材料：十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子x2+3x+2和2x2+x﹣3分解因式，如图：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；2x2+x﹣3＝（x﹣1）（2x+3） 请你仿照以上方法，探索解决下列问题： （1）分解因式：y2﹣7y+12；（2）分解因式：①3x2﹣2x﹣1；②2x2﹣7x+3；③4x2+x﹣3 18.问题一：从边长为a的正方形中剪掉一边长为b的正方形（图1），再将剩余部分拼成一长方形（图2）． （1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是 　；（选择） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2 （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值； ②计算：20222﹣2024×2020； ③计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12 ④计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）． ⑤（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为　 　. 问题二：图3是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形， 然后按图4的形状拼成一下正方形． （1）观察图，写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，4mn之间的等量关系：　 　； （2）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若|a+b﹣7|+|ab﹣6|＝0，求（a﹣b）2的值． （3）已知a+＝2，求①a2+＝2；②a4+的值； （4）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值． （5）如图5，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H，四边形DCBH为长方形，设AB＝10，图中阴影部分面积为24，求两个正方形的面积和S1+S2． 19．问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有： x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a） 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：a2﹣8a+15＝　 　 ； （2）若△ABC的三边长是a，b，c，且满足a2+b2﹣14a﹣8b+65＝0，c边的长为奇数，求△ABC的周长的最小值； （3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值． （4）当m，n为何值时，代数式m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030有最小值，并求出这个最小值． 20．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8，16，24都是“正巧数”． （1）写出一个30到50之间的“正巧数”； （2）设两个连续正奇数为2k﹣1和2k+1（其中k是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． （3）m，n为正整数，且m＞n，若（m﹣7）（m+7）+n2﹣2mn是“正巧数”． ①求m﹣n的值；②若m+n+1是“正巧数”，请说明10m﹣8n是“正巧数”． 21．完全平方公式是初中数学的重要公式之一：（a+b）2＝a2+2ab+b2，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式．发现：3+2＝2+2+1＝（）2+2+12＝（+1）2； 应用： （1）写出一个能用上面方法进行因式分解的式子，并进行因式分解； （2）若a+b＝（m+n）2，请用m，n表示a，b． 拓展：如图在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝，∠C＝90°，延长CA至点D，使AD＝AB，求BD的长．（参考上面提供的方法把结果进行化简） 学科网（北京）股份有限公司 $$