精品解析：2025年山东省威海乳山市中考一模数学试题

初四数学 注意事项： 1．本试卷共8页，分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题． 2．答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将姓名、准考证号、座号等信息填写在答题纸规定的位置上，并用2B铅笔规范涂黑． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题纸对应题目的答案选项涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项． 4．非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 5．考试时间120分钟，不允许使用计算器． 6．本次考试满分120分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列运算结果，得数最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图案中，是中心对称图形的有（ ） ①②③④ A. ①②③ B. ①②④ C. ②③ D. ①② 3. 下列运算正确的是（       ） A. B. C. D. 4. 学校在开展“节约每一滴水”活动中，从九年级的100名同学中任选出20名同学调查了各自家庭一个月的节水情况，将数据（每人上报节水量都是正整数）整理如下表： 节水量x/t 人数/人 6 4 8 2 估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，平分，则（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的袋中装有红色、白色、蓝色、黄色小球各1个，四个小球除颜色外其它均完全相同．从袋中一次性随机取出2个小球，它们的颜色恰好为一红一蓝的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点，，在上，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形 中， ，，，动点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点P，M在运动中会存在一个时刻，使得，正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ③ 10. 一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果） 11. 据研究，一块废旧手机电池可以使800吨水受到污染．1250块这样的废旧手机电池可以使a吨水受到污染，a用科学记数法可以表示为____． 12. 函数y=中，自变量x的取值范围是_____________． 13. 如图，中，，作图如下：（1）以点B为圆心，以的长为半径画弧交于点D；（2）分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E；（3）作射线，交于点F；（4）连接．若，则_____°． 14. 在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为，则点表示的数是________． 15. 如图，矩形的顶点，在轴的负半轴上，，，反比例函数的图象经过的中点，交于点，，则的值为____． 16. 如图，在矩形中，，，E为的中点，F为平面内一点，，连接．以为腰作等腰，则底边的最大值为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程） 17. 解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上． 18. 甲、乙两地相距，新修建的公路开通后，在甲、乙两地间行驶的客车平均车速提高了，从而使甲地到乙地的时间缩短了2h，求客车现在的平均车速． 19. 为了提高市民骑电瓶车戴头盔的意识，交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴头盔的情况进行问卷调查，将调查的数据制成如下统计图表： 活动前骑电瓶车戴头盔情况统计表 类别 人数/人 A 68 B 275 C 480 D 177 合计 1000 依据上述信息，解决问题： （1）若绘制活动前骑电瓶车戴头盔情况的扇形统计图，则类别C对应的扇形圆心角度数为 °； （2）若全市约有20万人使用电瓶车，通过计算估计活动后全市骑电瓶车在戴头盔方面具备“每次戴”和“经常戴”习惯的总人数有多少万人； （3）对比统计图表，小明认为：宣传活动后骑电瓶车“均不戴”头盔的人数，仅比活动前减少了1人，因此认为交警部门开展的宣传活动效果不理想．小明的观点合理吗？请利用数据从两个方面评价小明的观点． 20. 数学综合实践小组的同学把“测量塔的高度”作为实践活动课题进行研究，他们设计了如下两种测量方案．已知测角仪的高度为1.5米． 实践课题 测 量 塔 的 高 度 测量方案 方案一：如图1，先将测角仪垂直放置在与塔底座水平的A处，测得塔顶P的仰角为，再向前走10米到达点C处，测得塔顶P的仰角为． 方案二：如图2，将测角仪垂直放置在与塔底座水平的A处，测得塔顶P的仰角为，塔底座G处的俯角为，塔底座的高度为4米． 示意图 几何图形 依据上述信息解决问题： （1）测量方案合理的是： ；（填写序号） A．方案一 B．方案二 C．两种方案都合理 （2）请你从中选取一种方案，求塔的高度．（参考数据：，，；，，；，，） 21. 如图，公园管理处计划在人工湖里安装一个喷泉，在湖的中心点O处竖直安装喷水管，在喷水管的顶端A处安装喷水头，水柱从喷水头喷出到落入湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．水柱上某一位置与喷水管的水平距离为x米，与湖面对应的垂直高度为y米，下表记录了x与y的五组数据： x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2 3 2 根据上述信息，解决问题： （1）求水柱抛物线的表达式； （2）公园管理处想通过喷泉设立游船娱乐项目．为避免游客被喷泉淋湿，游船需安装水平顶棚，同时要求游船从水柱最高点的正下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米．已知顶棚的宽度为3米，求顶棚到湖面的最大高度． 22. 如图，是的外接圆，，点F在上，与的延长线交于点D，与交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 23. 如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P在下方的抛物线上，连接，与交于点E．和的面积分别记为，，令．若的值最大，求证：． 24. 在中，．点D（与点B，C不重合）为边上一动点，连结，以为边在的右侧作正方形，连接． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，（1）中的结论是否成立？补全图形并说明理由； （3）如图3，若，正方形ADEF的边与相交于点P，，，，，求y与x间的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学 注意事项： 1．本试卷共8页，分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题． 2．答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将姓名、准考证号、座号等信息填写在答题纸规定的位置上，并用2B铅笔规范涂黑． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题纸对应题目的答案选项涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项． 4．非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 5．考试时间120分钟，不允许使用计算器． 6．本次考试满分120分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列运算结果，得数最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的平方，立方根等知识把各项的得数计算出来，然后进行比较，找出得数最大的选项即可． 【详解】解：，，，， ， 得数最大的是， 故选：C． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的平方，立方根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图案中，是中心对称图形的有（ ） ①②③④ A. ①②③ B. ①②④ C. ②③ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：①是中心对称图形； ②是中心对称图形； ③不是中心对称图形； ④不是中心对称图形； 即是中心对称图形的有①②， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，单项式除以单项式，掌握运算法则和计算公式是解题的关键． 分别利用合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的、积的乘方和单项式除以单项式运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，写法正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 4. 学校在开展“节约每一滴水”活动中，从九年级的100名同学中任选出20名同学调查了各自家庭一个月的节水情况，将数据（每人上报节水量都是正整数）整理如下表： 节水量x/t 人数/人 6 4 8 2 估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了加权平均数，根据表格计算出20个家庭中平均每个同学的家庭一个月的节水量，即可解答． 【详解】解：根据题意，可得平均每个同学的家庭一个月节约用水的量为：， 所以估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是， 故选：D． 5. 如图，，，平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由得，由平分得，由得，最后根据即可求解． 【详解】解：， , 平分， ， ， ， ， 故选：A． 6. 不透明的袋中装有红色、白色、蓝色、黄色小球各1个，四个小球除颜色外其它均完全相同．从袋中一次性随机取出2个小球，它们的颜色恰好为一红一蓝的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，概率=所求情况数与总情况数的比；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．熟练掌握概率公式是解题关键． 画树状图得出所有等可能结果，从中找到取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的有2种结果， ∴取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率为， 故答案为B． 7. 如图，点，，在上，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由圆周角定理得，设与相交于点，由三角形的内角和定理和对顶角相等得，求出的度数即可． 【详解】解：由题意得， 设与相交于点， ，， ， 又，， ， 故选：C． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设木长尺，根据题意得， ， 故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 9. 如图，在四边形 中， ，，，动点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点P，M在运动中会存在一个时刻，使得，正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含t的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 根据题意，表示出和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可；根据梯形的面积确定出，列方程即可判断． 【详解】解：根据题意，可得， ， ， 当四边形为矩形时，， 即， 解得：，故①不正确； 当四边形为平行四边形时，则， 即， 解得：，故②不正确； 当时，四边形是平行四边形，； 或四边形是等腰梯形，此时， 过点作于点，过点作于点，如图所示， 则， ， ， ， ， 又， ， 又， 解得：， 综上可得，当时，或，故③正确； ∵， 当时，， 此时，无解， 故，④错误， 故选：D． 10. 一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的规律，配方法，实数的运算，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 利用题干的规定：设，则，得到，（是正整数）中，每三个为 1 循环，循环的数为，利用此规律对每个说法进行判断即可． 【详解】解：设， 则，，，，，， ∴是正整数）中，每三个为1个循环，循环的数为， ， ， 若， ， ， ， ∴说法①正确； 若，则， ， ， ， ∴说法②正确； ， ， ， ， 解得：，经检验，的值是方程的解， 即， ∴说法③正确． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果） 11. 据研究，一块废旧手机电池可以使800吨水受到污染．1250块这样的废旧手机电池可以使a吨水受到污染，a用科学记数法可以表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，有理数的乘法运算的应用，首先根据有理数的乘法运算法则求解，然后利用科学记数法表示即可． 【详解】． 故答案为：． 12. 函数y=中，自变量x的取值范围是_____________． 【答案】x≥－3且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知：x+3≥且x-1≠0，解得自变量x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：x+3≥0且x-1≠0， 解得：x≥-3且x≠1． 故答案为：x≥-3且x≠1 【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13. 如图，中，，作图如下：（1）以点B为圆心，以的长为半径画弧交于点D；（2）分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E；（3）作射线，交于点F；（4）连接．若，则_____°． 【答案】140 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据作图过程得是的角平分线，再证明，结合代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：根据作图过程得是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴, 故答案为：． 14. 在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为，则点表示的数是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，解题的关键是根据题意列出算式． 先根据题意，列出算式，再计算． 【详解】解：∵在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为， ∴点表示的数是． 故答案为：． 15. 如图，矩形的顶点，在轴的负半轴上，，，反比例函数的图象经过的中点，交于点，，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由矩形的性质得，，设，则，所以，，再根据、两点在反比例函数上得到，解出的值，求出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设，则， ，反比例函数的图象经过的中点， ，， ，， 、两点在反比例函数上， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，E为的中点，F为平面内一点，，连接．以为腰作等腰，则底边的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，连接，由矩形和勾股定理求出，结合，得到，最后根据以为腰作等腰，得到，，即可求出底边的最大值． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∵中，， ∴，即， 当、、三点共线时取等号，即， ∵以为腰作等腰， ∴，， ∴， ∴底边的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程） 17. 解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上． 【答案】， 在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 数轴略， 所以不等式组的解集为：． 18. 甲、乙两地相距，新修建的公路开通后，在甲、乙两地间行驶的客车平均车速提高了，从而使甲地到乙地的时间缩短了2h，求客车现在的平均车速． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程求解，注意解分式方程最后要写检验． 设客车原来的平均车速为，根据“在甲、乙两地间行驶的客车平均车速提高了，从而使甲地到乙地的时间缩短了2h”即可列方程求解． 【详解】解：设客车原来的平均车速为，由题意得： ． 解得． 经检验，是分式方程的解． 所以． 答：客车现在的平均车速为． 19. 为了提高市民骑电瓶车戴头盔的意识，交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴头盔的情况进行问卷调查，将调查的数据制成如下统计图表： 活动前骑电瓶车戴头盔情况统计表 类别 人数/人 A 68 B 275 C 480 D 177 合计 1000 依据上述信息，解决问题： （1）若绘制活动前骑电瓶车戴头盔情况的扇形统计图，则类别C对应的扇形圆心角度数为 °； （2）若全市约有20万人使用电瓶车，通过计算估计活动后全市骑电瓶车在戴头盔方面具备“每次戴”和“经常戴”习惯的总人数有多少万人； （3）对比统计图表，小明认为：宣传活动后骑电瓶车“均不戴”头盔的人数，仅比活动前减少了1人，因此认为交警部门开展的宣传活动效果不理想．小明的观点合理吗？请利用数据从两个方面评价小明的观点． 【答案】（1）172.8 （2）16万人 （3）不合理， 理由一：由于活动前、后抽取的人数不同，所以不能仅依据人数进行分析．活动前抽取了1000人，“均不戴”头盔的人数比为；活动后抽取了2000人，“均不戴”头盔的人数比为．由此可得“均不戴”头盔的人数比明显下降，所以宣传效果明显． 理由二：活动前“每次戴”头盔的人数比为，活动后“每次戴”头盔的人数比为．由此可得“每次戴”头盔的人数比明显上升，所以宣传效果明显． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用乘以C组所占个百分比即可； （2）用20万乘以“每次戴”和“经常戴”所占百分比即可； （3）分别求出宣传活动前后骑电瓶车“均不戴”、 “每次戴”安全头盔所占的百分比，再进行比较，即可得出小明的分析不合理． 【小问1详解】 解：， 故答案为：172.8； 【小问2详解】 解：（万人）． 所以，估计总人数有16万人． 【小问3详解】 略 20. 数学综合实践小组的同学把“测量塔的高度”作为实践活动课题进行研究，他们设计了如下两种测量方案．已知测角仪的高度为1.5米． 实践课题 测 量 塔 的 高 度 测量方案 方案一：如图1，先将测角仪垂直放置在与塔底座水平的A处，测得塔顶P的仰角为，再向前走10米到达点C处，测得塔顶P的仰角为． 方案二：如图2，将测角仪垂直放置在与塔底座水平的A处，测得塔顶P的仰角为，塔底座G处的俯角为，塔底座的高度为4米． 示意图 几何图形 依据上述信息解决问题： （1）测量方案合理的是： ；（填写序号） A．方案一 B．方案二 C．两种方案都合理 （2）请你从中选取一种方案，求塔的高度．（参考数据：，，；，，；，，） 【答案】（1）A （2）25.5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）方案二还需要测量塔底座的宽度，故方案一更合理； （2）求出和的长度，即可得到塔的高度． 【小问1详解】 解：∵方案二还需要测量塔底座的宽度， ∴方案一更合理， 故选：A； 【小问2详解】 解：延长交于点E，可求得米， 由题意知，米， 在中，由， 得， 在中，由， 得， ∴， 解得米， ∴米， ∴． 所以塔的高度为25.5米． 21. 如图，公园管理处计划在人工湖里安装一个喷泉，在湖的中心点O处竖直安装喷水管，在喷水管的顶端A处安装喷水头，水柱从喷水头喷出到落入湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．水柱上某一位置与喷水管的水平距离为x米，与湖面对应的垂直高度为y米，下表记录了x与y的五组数据： x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2 3 2 根据上述信息，解决问题： （1）求水柱抛物线的表达式； （2）公园管理处想通过喷泉设立游船娱乐项目．为避免游客被喷泉淋湿，游船需安装水平顶棚，同时要求游船从水柱最高点的正下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米．已知顶棚的宽度为3米，求顶棚到湖面的最大高度． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用． （1）抛物线的对称性确定顶点坐标，设出顶点式，用待定系数法求出解析式； （2）过点E作轴，交抛物线于点M，交x轴于点B．由对称轴，再结合顶棚宽度求出对应点的函数值，进而得出顶棚到湖面的最大高度． 【小问1详解】 解：如图，以湖面和喷水管所在的直线为x轴，y轴建立坐标系． 可知抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的表达式为． 把点代入解析式，得，解得， 可求得抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：过点E作轴，交抛物线于点M，交x轴于点B ． ，对称轴为直线， ． ∴点M的横坐标为． 将代入， 得． ∵顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米．即， ∴． 所以顶棚的最大高度为米． 22. 如图，是的外接圆，，点F在上，与的延长线交于点D，与交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接并延长，交于点G，连接． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接并延长，交于点G，连接．证明即可 （2）求出，，．证明，得出，，．再证明即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴, 又， ∴， 又， ∴, 又， ∴． ∴，即． 解得． 23. 如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P在下方的抛物线上，连接，与交于点E．和的面积分别记为，，令．若的值最大，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：中，令，则， ∴， 设直线的表达式为， ∴，解得：， ∴直线的表达式为． 如图，作，交于点F． 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即． ∴当时，w的值最大． 此时点P的坐标为． ∵点C的坐标为， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可． （2）先求出，再求出直线的表达式．如图，作，交于点F．设点P的坐标为，则点F的坐标为，表示出，证明，得出，可得．即．得出当时，w的值最大．此时点P的坐标为．根据点C的坐标为，得出． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及用待定系数法求解抛物线的解析式和一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，面积最值问题等知识内容，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24. 在中，．点D（与点B，C不重合）为边上一动点，连结，以为边在的右侧作正方形，连接． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，（1）中的结论是否成立？补全图形并说明理由； （3）如图3，若，正方形ADEF的边与相交于点P，，，，，求y与x间的关系式． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∴． ∵正方形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）成立，理由如下： 如图，过点A作交于点G． ∵， ∴． ∴． 又， ∴ 又， ∴． ∴． ∴． ∴． （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明． （1）证明，得，进而可以解决问题； （2）过点A作交于点G，同理（1）可证，，得，进而可以解决问题； （3）延长，作，垂足为点Q，作，交的延长线于点G．根据相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长，作，垂足为点Q，作，交的延长线于点G． 同理可求得． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $