第二章 §2.13 函数模型的应用（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第二章函数 §2.13　函数模型的应用 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 函数模型 2024·北京卷 2022·北京卷 2021·全国甲卷 了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异；理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义；能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用。 【知识梳理】 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　　 y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 【名师点拨】 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　) (3)不存在x0，使ax0<x<logax0.(　　) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.(　　) 2.下列函数中，随着x的增长，y的增长速度最快的是(　　) A.y＝50 B.y＝1 000x C.y＝2ln x D.y＝ex 3.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 y －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0 在下列四个函数模型(a，b∈R)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx C.y＝a＋logbx D.y＝a＋ 4.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为(　　) A.26米 B.28米 C.31米 D.33米 【名师点拨】 (1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢. (2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. (3)解题时，易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性. 【必练核心题型】 题型一　用函数图象刻画变化过程 命题点1　函数的增长差异 例1.设f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是(　　) A.f(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢 B.g(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢 C.g(x)的增长速度最快，f(x)的增长速度最慢 D.f(x)的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢 命题点2　用函数图象刻画变化过程 例2.(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是(　　) A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用 B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒 C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒 【变式训练】 变式1.为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是(　　) 题型二　已知函数模型的实际问题 例1.2024年1月5日，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如潮，充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的(　　) A.51.2% B.48.8% C.52% D.48% 变式2.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y＝4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2，要使火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料质量与火箭质量的比值是　　　　　.  【变式训练】 变式1.我国量子计算机“悟空”预计到2025年可以操控的超导量子比特达到1 024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，…，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若N＝a×10k(1≤a<10，k∈N)，则称N为k＋1位数，已知1 024个超导量子比特的叠加态的种数是一个m位的数，则m等于(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A.308 B.309 C.1 023 D.1 024 题型三　构造函数模型的实际问题 例1.汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到如表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9). 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ 【变式训练】 变式1.“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23)(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 变式2.用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时，第一次注射的血药浓度(血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合c1(t)＝N0(1－2－kt)，其函数图象如图所示，其中N0为与环境相关的常数，此种药物在人体内有治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合c2(t)＝c·2－kt，其中c为停药时的人体血药浓度. (1)求出函数c1(t)的解析式；(5分) (2)一病患开始第一次注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？(如果计算结果不是整数，保留小数点后一位，参考数据：lg 3≈0.48，lg 2≈0.30)(9分) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章函数 §2.13　函数模型的应用 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 函数模型 2024·北京卷 2022·北京卷 2021·全国甲卷 了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异；理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义；能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用。 【知识梳理】 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　　 y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 【名师点拨】 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　) (3)不存在x0，使ax0<x<logax0.(　　) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【解析】(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99(元). ∴每件赔1元，(1)错误. (2)当x＝2时，2x＝x2＝4.(2)不正确. (3)如a＝x0＝，n＝，不等式成立，因此(3)错误.　　　　　　　　　　　　　　 2.下列函数中，随着x的增长，y的增长速度最快的是(　　) A.y＝50 B.y＝1 000x C.y＝2ln x D.y＝ex 【答案】D 【解析】依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知随着x的增长，y＝ex的增长速度最快. 3.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 y －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0 在下列四个函数模型(a，b∈R)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx C.y＝a＋logbx D.y＝a＋ 【答案】C 【解析】作出散点图如图所示，由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择y＝a＋logbx反映x，y函数关系. 4.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为(　　) A.26米 B.28米 C.31米 D.33米 【答案】C 【解析】h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－5h(t)max＝h≈31. 【名师点拨】 (1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢. (2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. (3)解题时，易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性. 【必练核心题型】 题型一　用函数图象刻画变化过程 命题点1　函数的增长差异 例1.设f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是(　　) A.f(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢 B.g(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢 C.g(x)的增长速度最快，f(x)的增长速度最慢 D.f(x)的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢 【答案】B 【解析】画出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x的图象，如图所示， 结合图象，可得三个函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x中， 当x∈(4，＋∞)时，函数g(x)＝2x增长速度最快，h(x)＝log2x增长速度最慢. 所以选项B正确. 命题点2　用函数图象刻画变化过程 例2.(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是(　　) A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用 B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒 C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒 【答案】ABC 【解析】从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误. 【解题技巧】 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 【变式训练】 变式1.为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是(　　) 【答案】B 【解析】由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足. 题型二　已知函数模型的实际问题 例1.2024年1月5日，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如潮，充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的(　　) A.51.2% B.48.8% C.52% D.48% 【答案】B 【解析】依题意有N0e－2k＝(1－20%)N0， 可得e－2k＝0.8， 当t＝6时，N0e－6k＝N0＝0.512N0＝(1－48.8%)N0， 因此，前6个小时消除了污染物的48.8%. 变式2.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y＝4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2，要使火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料质量与火箭质量的比值是　　　　　.  【答案】e3－1 【解析】根据题意，可得4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2＝12， 所以ln＋ln 4＝12， 即ln＝ln e12， 可得＝e12， 而1＋>0，则1＋＝e3， 所以＝e3－1， 即燃料质量与火箭质量的比值是e3－1. 【解题技巧】 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 【变式训练】 变式1.我国量子计算机“悟空”预计到2025年可以操控的超导量子比特达到1 024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，…，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若N＝a×10k(1≤a<10，k∈N)，则称N为k＋1位数，已知1 024个超导量子比特的叠加态的种数是一个m位的数，则m等于(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A.308 B.309 C.1 023 D.1 024 【答案】B 【解析】根据题意，得n个超导量子比特共有2n种叠加态， 所以当有1 024个超导量子比特时共有N＝21 024(种)叠加态. 两边取以10为底的对数得lg N＝lg 21 024＝1 024lg 2≈1 024×0.301＝308.224， 所以N≈10308.224＝100.224×10308. 由于1<100.224<10， 故N是一个309位的数，即m＝309. 题型三　构造函数模型的实际问题 例1.汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到如表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9). 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ 【解析】(1)根据题意，d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋＝30＋v＋(0≤v≤33.3). (2)根据题意，对任意的k∈[0.5，0.9]，d<90恒成立，即对任意的k∈[0.5，0.9]，30＋v＋<90恒成立. 易知当v＝0时，满足题意； 当0<v≤33.3时，有<对任意的k∈[0.5，0.9]恒成立， 由k∈[0.5，0.9]，得∈ 所以> 即v2＋10v－600<0，解得－30<v<20， 所以0<v<20. 综上，0≤v<20. 所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下. 【解题技巧】 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型. (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解. (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解. 【变式训练】 变式1.“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23)(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】设石片第n次接触水面时的速度为vn， 则vn＝20×0.85n－1， 由题意得20×0.85n－1≥6，即0.85n－1≥0.3， 得n－1≤log0.850.3， 又log0.850.3＝≈7.4， 所以n≤8.4，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8. 变式2.用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时，第一次注射的血药浓度(血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合c1(t)＝N0(1－2－kt)，其函数图象如图所示，其中N0为与环境相关的常数，此种药物在人体内有治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合c2(t)＝c·2－kt，其中c为停药时的人体血药浓度. (1)求出函数c1(t)的解析式；(5分) (2)一病患开始第一次注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？(如果计算结果不是整数，保留小数点后一位，参考数据：lg 3≈0.48，lg 2≈0.30)(9分) 【解析】 (1)由图象可知，图象经过(4，8)，(8，12)两点，将两点坐标代入c1(t)＝N0(1－2－kt)， 则 解得 所以c1(t)＝16×(1－). (2)由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间， 所以浓度为15时为最迟停止注射时间， 由c1(t)＝16×(1－)＝15，解得t＝16， 浓度从15降到4为最长间隔时间， 故c2(t)＝15×＝4， 即 等号两边同时取以2为底的对数， 则log2＝log2 即－＝log24－log215＝2－ ＝2－＝2－ ≈2－≈－1.93， 所以t≈1.93×4≈7.7， 所以开始第一次注射后，最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果， 最多再隔7.7小时开始进行第二次注射. 学科网（北京）股份有限公司 $$