第二章 §2.12 函数与方程的综合应用（新高考通用）-2026年高考数学一轮备考·学霸专练

第二章函数 §2.12　函数与方程的综合应用 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 函数与方程的综合应用 2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国甲卷、 2024·天津卷、 2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷、 2022·天津卷、2022·北京卷 2021·北京卷、2021·天津卷 函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，考查函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等。 【名师点拨】函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置。 题型一　由零点分布求值(范围) 命题点1　二次函数的零点分布 例1.(多选)已知函数f(x)＝x2＋(m－3)x＋m的两个零点分别为x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A.当x1>0且x2>0时，0<m<1 B.当x1<1且x2>1时，m<1 C.当－2<x1<0且0<x2<4时，m<－ D.当x1<2且x2>4时，m<－ 命题点2　其他函数的零点分布 例2.已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0，1]时，f(x)＝－log2x，若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值范围是(　　) A.[3.5，4) B.(3.5，4] C.(5，5.5] D.[5，5.5) 【变式训练】 变式1.设方程x2－2ax－a＝0的两实根满足x1<x2<1，则实数a的取值范围为(　　) A. B.∪(0，1) C.(－∞，－1)∪ D. 变式2.已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－m恰有3个零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是(　　) A. B. C.(－∞，0] D.(－∞，0) 题型二　复合函数的零点 命题点1　复合函数的零点个数判定 例1.(多选)已知函数f(x)＝下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的说法中，正确的是(　　) A.当k>1时，有1个零点 B.当k>1时，有3个零点 C.当k<0时，有9个零点 D.当k＝－4时，有7个零点 命题点2　根据复合函数零点求参数 例2.(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m有5个不同的零点，则实数m的值可能是(　　) A.－5 B.－6 C.－7 D.－8 【变式训练】 变式1.若函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))的零点的个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 变式2.函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个零点，则实数a的取值范围是　　　　.  【限时训练】（45分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则 a的取值范围是(　　) A.(0，3) B.[0，3] C.(－3，0) D.(－∞，1)∪(3，＋∞) 2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，且x1≠x2≠x3≠x4，则实数t的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(0，2) C.(0，3) D.(1，3) 3.已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－m有三个零点x1，x2，x3，则x1·x2·x3的取值范围是(　　) A. B. C. D.[0，e] 4.(2025·汕头模拟)已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋a·f(x)＋b＝0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　) A. B.(－2，－1) C. D. 5.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)，对于任意x∈R＝3x恒成立，若函数y＝3f(x)＋2g(x)＋m有且仅有两个零点，则实数m的取值范围为(　　) A.(－∞，－2) B.(0，2) C.(22) D.(2＋∞) 6.已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知x1，x2是关于x的方程x2－2ax＋2＝0(a∈R)的两个不相等的实数根，则下列说法正确的有(　　) A.若＝2，则a＝2 B.若x1<1<x2，则a> C.若0<α<β<且x1＝tan α，x2＝tan β，则α＋β为锐角 D.若x1，x2均小于2，则a∈(－∞，－)∪ 8.已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A.函数y＝f(x)－x有2个零点 B.若函数y＝f(x)－t有4个零点，则t的取值范围为(1，2) C.若关于x的方程f(x)＝t有4个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝1 D.若关于x的方程[f(x)]2－3f(x)＋α＝0有8个不相等的实根，则α的取值范围为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.若方程x2－mx－m＋3＝0满足一个根在(0，1)之间，一个根在(1，2)之间，则实数m的取值范围为　　　　　.  10.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)＝若方程2[f(x)]2－mf(x)＝0有6个不相等的实根，则非零实数m的取值范围为　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章函数 §2.12　函数与方程的综合应用 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 函数与方程的综合应用 2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国甲卷、 2024·天津卷、 2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷、 2022·天津卷、2022·北京卷 2021·北京卷、2021·天津卷 函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，考查函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等。 【名师点拨】函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置。 题型一　由零点分布求值(范围) 命题点1　二次函数的零点分布 例1.(多选)已知函数f(x)＝x2＋(m－3)x＋m的两个零点分别为x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A.当x1>0且x2>0时，0<m<1 B.当x1<1且x2>1时，m<1 C.当－2<x1<0且0<x2<4时，m<－ D.当x1<2且x2>4时，m<－ 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意得解得0<m<1，A正确； 对于B，f(1)＝2m－2<0，解得m<1，B正确； 对于C解得－<m<0，C错误； 对于D解得m<－D正确. 命题点2　其他函数的零点分布 例2.已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0，1]时，f(x)＝－log2x，若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值范围是(　　) A.[3.5，4) B.(3.5，4] C.(5，5.5] D.[5，5.5) 【答案】A 【解析】由f(2－x)＋f(x)＝0⇒f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，得f(x)是一个周期为2的奇函数， 当x∈(0，1]时，f(x)＝－log2x， 因此f＝－log2＝1，f(1)＝0， 所以f(0)＝0，f＝－1，f(－1)＝0， 且g(x)＝sin πx的周期为T＝＝2， 且g(－1)＝0，g＝－1，g(0)＝0，g＝1，g(1)＝0， 求F(x)＝f(x)－sin πx的零点个数， 即求f(x)与g(x)图象的交点个数， 如图为f(x)与g(x)在区间[－1，1]的图象， 因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数， 因此交点也呈周期出现， 若在区间[－1，m]上有10个零点，即两函数图象在[－1，m]上有10个交点， 则第10个交点坐标为(3.5，－1)，第11个交点坐标为(4，0)，因此3.5≤m<4. 【解题技巧】 对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手 (1)开口方向； (2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系； (3)判别式，决定函数与x轴的交点个数； (4)区间端点值. 【变式训练】 变式1.设方程x2－2ax－a＝0的两实根满足x1<x2<1，则实数a的取值范围为(　　) A. B.∪(0，1) C.(－∞，－1)∪ D. 【答案】C 【解析】设f(x)＝x2－2ax－a，则其图象的对称轴方程为x＝a， 由x1<x2<1可得 解得a<－1或0<a<. 变式2.已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－m恰有3个零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是(　　) A. B. C.(－∞，0] D.(－∞，0) 【答案】B 【解析】不妨设x1<x2<x3， 由图可知，当0<m≤6时，直线y＝m与函数f(x)的图象有三个交点， 且有－<x1≤0，0<x2<1<x3， 由f(x2)＝f(x3)，即|ln x2|＝|ln x3|， 得ln x3＝－ln x2， 所以ln x2＋ln x3＝ln(x2x3)＝0， 即x2x3＝1，故x1x2x3＝x1∈. 题型二　复合函数的零点 命题点1　复合函数的零点个数判定 例1.(多选)已知函数f(x)＝下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的说法中，正确的是(　　) A.当k>1时，有1个零点 B.当k>1时，有3个零点 C.当k<0时，有9个零点 D.当k＝－4时，有7个零点 【答案】AD 【解析】由f(f(x))＋1＝0，得f(f(x))＝－1， 则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数即为方程f(f(x))＝－1解的个数， 设t＝f(x)，则f(t)＝－1，二次函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点(0，1)，对称轴为直线x＝ 当k>1时，y＝x2－kx＋1在(－∞，0]上单调递减，且y≥1，如图， 由f(t)＝－1，得log2t＝－1，解得t＝ 由f(x)＝t，得log2x＝解得x＝ 因此当k>1时，函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是1，A正确，B错误； 当k＝－4时，f(x)＝ 作出函数f(x)的图象，如图， 由图象知函数f(x)的值域为R， 令t＝f(x)，则f(t)＝－1有3个根， 当t>0时，log2t＝－1，解得t＝； 当t≤0时，t2＋4t＋1＝－1，解得t＝－2± 当t＝即f(x)＝时， 若x>0，则log2x＝解得x＝ 若x≤0，则x2＋4x＋1＝解得x＝－2±此时共有3个解； 当t＝－2＋即f(x)＝－2＋时，若x>0，则log2x＝－2＋有1个解， 若x≤0，则x2＋4x＋1＝－2＋即(x＋2)2＝1＋有2个解，此时共有3个解； 当t＝－2－即f(x)＝－2－时，若x>0，则log2x＝－2－有1个解， 若x≤0，则x2＋4x＋1＝－2－即(x＋2)2＝1－<0无解，此时共有1个解. 因此当k＝－4时，函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是7，D正确，C错误. 命题点2　根据复合函数零点求参数 例2.(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m有5个不同的零点，则实数m的值可能是(　　) A.－5 B.－6 C.－7 D.－8 【答案】CD 【解析】令g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m＝0， 即[f(x)－1][3f(x)－m]＝0， 解得f(x)＝1或f(x)＝ 如图，画出函数f(x)的图象， 当f(x)＝1时，直线y＝1与y＝f(x)的图象有4个交点， 所以直线y＝与y＝f(x)的图象只能有1个交点， 则<－2，得m<－6， 结合选项可知，m的值可能是－7或－8. 【解题技巧】 对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下： (1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)； (2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1，2，3，…，n)； (3)确定直线u＝ui(i＝1，2，3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an. 【变式训练】 变式1.若函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))的零点的个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】当x>0时，由1＋ln x＝0，得x＝ 当x≤0时，由x2＋4x＋3＝0，得x＝－1或x＝－3， 所以f(x)的零点为－3，－1 令t＝f(x)，则t∈R，f(t)＝0的根分别为t1＝－3，t2＝－1，t3＝ 结合f(x)的图象可知，方程f(x)＝t1，f(x)＝t2，f(x)＝t3的根的个数分别为1，2，3，故g(x)＝f(f(x))的零点个数为6. 变式2.函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个零点，则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】[－1，＋∞) 【解析】设t＝f(x)，则t∈R， 令g(x)＝f(f(x))－a＝0，则a＝f(t). 在同一平面直角坐标系内作出直线y＝a，y＝f(t)的图象，如图所示. ①当a≥－1时，直线y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点， 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)， 则t1<－1，t2≥－1. 当t1<－1时，t1＝f(x)有一个解； 当t2≥－1时，t2＝f(x)有两个解， 此时g(x)＝f(f(x))－a有三个零点，满足题意； ②当a<－1时，直线y＝a与y＝f(t)的图象有一个交点. 设交点的横坐标为t3，则t3<－1， 此时t3＝f(x)有一个解，不满足题意， 综上所述，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个零点. 【限时训练】（45分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则 a的取值范围是(　　) A.(0，3) B.[0，3] C.(－3，0) D.(－∞，1)∪(3，＋∞) 【答案】A 【解析】令f(x)＝－x2＋ax＋4， 则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于－1， 由二次函数的图象可知， 即 解得0<a<3. 2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，且x1≠x2≠x3≠x4，则实数t的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(0，2) C.(0，3) D.(1，3) 【答案】A 【解析】由题意，作出y＝f(x)的大致图象，如图所示， 要使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t， 即函数y＝f(x)与y＝t的图象有4个不同的交点，则0<t<1， 所以实数t的取值范围是(0，1). 3.已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－m有三个零点x1，x2，x3，则x1·x2·x3的取值范围是(　　) A. B. C. D.[0，e] 【答案】C 【解析】作出函数f(x)的图象如图所示， 不妨设x1<x2<x3，则方程f(x)＝m有三个不同的根，则0≤m< 当x≤0时，－x2－x－m＝0，得x2＋x＋m＝0， 则x1·x2＝m； 当x>0时，ln x3＝m，x3＝em， 则x1·x2·x3＝mem， 设h(m)＝mem 则h'(m)＝(m＋1)em>0， 所以h(m)在上单调递增， 所以h(m)∈ 即x1·x2·x3的取值范围是. 4.(2025·汕头模拟)已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋a·f(x)＋b＝0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　) A. B.(－2，－1) C. D. 【答案】A 【解析】由题可画出函数f(x)的大致图象， ∵关于x的方程[f(x)]2＋a·f(x)＋b＝0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根， 设t＝f(x)，则t≥结合函数图象，可知方程t2＋at＋b＝0必有两个根t1，t2， 且t1＝1，t2∈ ∴t1＋t2＝－a∈ 则－2<a<－即a的取值范围是. 5.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)，对于任意x∈R＝3x恒成立，若函数y＝3f(x)＋2g(x)＋m有且仅有两个零点，则实数m的取值范围为(　　) A.(－∞，－2) B.(0，2) C.(22) D.(2＋∞) 【答案】A 【解析】由＝3x可得f(x)－g(x)＝2×3－x， ① 所以f(－x)－g(－x)＝2×3x， 因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(x)＋g(x)＝2×3x， ② 由①②，可得f(x)＝3x＋3－x，g(x)＝3x－3－x， 所以y＝3f(x)＋2g(x)＋m＝3(3x＋3－x)＋2(3x－3－x)＋m＝5×3x＋3－x＋m， 令y＝0，上式可化为5×32x＋m×3x＋1＝0， 令t＝3x(t>0)，方程可化为5t2＋mt＋1＝0， 因为函数t＝3x是增函数，若函数y＝3f(x)＋2g(x)＋m有且仅有两个零点， 只需要方程5t2＋mt＋1＝0有两个不相等的正实数根，记为t1，t2. 有解得m<－2 故所求实数m的取值范围为(－∞，－2). 6.已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A 【解析】令t＝f(x)，则t≥0， 若F(x)＝0，则f(t)－2t－＝0， 作出y＝f(x)的图象和直线y＝2x＋由图象可得有两个交点，设横坐标分别为t1，t2，t1<t2， ∴t1＝0，t2∈(1，2). 当f(x)＝t1时，有x＝2，即有一解；当f(x)＝t2时，有三个解， 综上，F(x)＝0共有4个解， 即函数F(x)有4个零点. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知x1，x2是关于x的方程x2－2ax＋2＝0(a∈R)的两个不相等的实数根，则下列说法正确的有(　　) A.若＝2，则a＝2 B.若x1<1<x2，则a> C.若0<α<β<且x1＝tan α，x2＝tan β，则α＋β为锐角 D.若x1，x2均小于2，则a∈(－∞，－)∪ 【答案】ABD 【解析】∵x1，x2是关于x的方程x2－2ax＋2＝0(a∈R)的两个不相等的实数根， ∴Δ＝4a2－8>0，∴a>或a<－. 由根与系数的关系得x1＋x2＝2a，x1x2＝2， ∵＝2， 则2x1x2＝x1＋x2，∴4＝2a， ∴a＝2，故A正确； 令f(x)＝x2－2ax＋2，若x1<1<x2， 则f(1)<0，得a>故B正确； 若0<α<β<且x1＝tan α，x2＝tan β，则x1＋x2>0， 由得a> ∵tan(α＋β)＝＝－2a<－2 又∵α＋β∈(0，π)， ∴α＋β为钝角，故C不正确； 若x1，x2均小于2，则 即 ∴a∈(－∞，－)∪故D正确. 8.已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A.函数y＝f(x)－x有2个零点 B.若函数y＝f(x)－t有4个零点，则t的取值范围为(1，2) C.若关于x的方程f(x)＝t有4个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝1 D.若关于x的方程[f(x)]2－3f(x)＋α＝0有8个不相等的实根，则α的取值范围为 【答案】BD 【解析】函数y＝e|x－2|的图象关于直线x＝2对称，函数y＝－x2－2x＋1的图象开口向下，关于直线x＝－1对称， 当x≥2时，f(x)＝ex－2单调递增，当0<x<2时，f(x)＝e2－x单调递减， 当x<－1时，f(x)＝－x2－2x＋1单调递增，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2－2x＋1单调递减， 函数y＝f(x)－x的零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝x交点的横坐标， 在同一直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝x，如图1， 观察图象知，函数y＝f(x)的图象与直线y＝x有3个交点，因此函数y＝f(x)－x有3个零点，A错误； 函数y＝f(x)－t的零点，即方程f(x)＝t的根，亦即函数y＝f(x)的图象与直线y＝t交点的横坐标， 在同一直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝t，如图2， 观察图象知，当1<t<2时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝t有4个交点， 因此函数y＝f(x)－t有4个零点，则t的取值范围为(1，2)，B正确； 若关于x的方程f(x)＝t有4个不相等的实根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4，如图2， 显然有x1＋x2＝－2，x3＋x4＝4，因此x1＋x2＋x3＋x4＝2，C错误； 令f(x)＝m，由选项B知，当且仅当m∈(1，2)时，方程f(x)＝m有4个不相等的实根， 要关于x的方程[f(x)]2－3f(x)＋α＝0有8个不相等的实根， 则当且仅当方程m2－3m＋α＝0在(1，2)上有2个不相等的实根， 则解得2<α< 所以α的取值范围是D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.若方程x2－mx－m＋3＝0满足一个根在(0，1)之间，一个根在(1，2)之间，则实数m的取值范围为　　　　　.  【答案】 【解析】设f(x)＝x2－mx－m＋3， 由题意可得 解得2<m<. 因此，实数m的取值范围是. 10.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)＝若方程2[f(x)]2－mf(x)＝0有6个不相等的实根，则非零实数m的取值范围为　　　.  【答案】[2，16) 【解析】函数f(x)＝的图象如图，且f(2)＝8， 由2[f(x)]2－mf(x)＝0，可得f(x)＝0或f(x)＝ 由图象可知方程f(x)＝0有3个不相等的实根， 又方程2[f(x)]2－mf(x)＝0有6个不相等的实根， 则f(x)＝有3个不相等的实根， 所以∈[1，8)，解得m∈[2，16). 学科网（北京）股份有限公司 $$