第二章 §2.11 函数的零点与方程的解（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第二章函数 §2.11　函数的零点与方程的解 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 函数的零点与方程的解 2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷 2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国甲卷 2024·天津卷 2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷 2022·天津卷、2022·北京卷 2021·北京卷、2021·天津卷 掌握函数零点的定义，会用零点存在定理判断零点所在区间，会求解零点相关问题，也是高考命题的高频考点。 【知识梳理】 1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解. 2.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【名师点拨】 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根. 2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝2x的零点为0.(　　) (2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(　　) 2.下列函数图象与x轴均有交点,则不能用二分法求图中函数零点近似值的是(　　) 3.函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A. B.(1,2) C.(2,e) D.(2,3) 4.设f(x)＝|x2－2x|,则函数y＝f(x)－2 024的所有零点之和为　　　　　　.  【必练核心题型】 题型一　函数零点所在区间的判定 例1.已知函数f(x)＝(m－2)xm为幂函数,若函数g(x)＝lg x＋x－m,则g(x)的零点所在区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 例2.在用二分法求方程x2＝3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时,若我们选取的初始区间是[1.7,1.8],为达到精确度要求至少需要计算的次数是　　　　　　.  【变式训练】 变式1.函数f(x)＝－2－x－1的零点所在的区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 变式2.用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据：f(1)≈－0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈－0.04,关于下一步的说法正确的是(　　) A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值 B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值 C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.187 5) D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.062 5) 题型二　函数零点个数的判定 例1.函数f(x)＝的零点个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 例2.函数f(x)＝sin －|log3x|的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练】 变式1.(2025·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 变式2.函数f(x)＝·cos x的零点个数为　　　　.  题型三　函数零点的应用 命题点1　根据函数零点个数求参数 例1.已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a,若函数g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[－1,0) B.[1,＋∞) C.(－∞,1] D.[2,＋∞) 命题点2　根据函数零点的范围求参数 例2.已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(－∞,0) D. 【变式训练】 变式1.(2025·镇江模拟)已知a∈R,函数f(x)＝在R上没有零点,则实数a的取值范围为(　　) A.(0,＋∞) B.(1,＋∞) C.[1,＋∞)∪{0} D.(1,＋∞)∪{0} 变式2.(多选)已知函数f(x)＝令h(x)＝f(x)－k,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的单调递增区间为(0,＋∞) B.当h(x)有3个零点时,k∈(－4,－3] C.当k＝－2时,h(x)的所有零点之和为－1 D.当k∈(－∞,－4)时,h(x)有1个零点 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章函数 §2.11　函数的零点与方程的解 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 函数的零点与方程的解 2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷 2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国甲卷 2024·天津卷 2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷 2022·天津卷、2022·北京卷 2021·北京卷、2021·天津卷 掌握函数零点的定义，会用零点存在定理判断零点所在区间，会求解零点相关问题，也是高考命题的高频考点。 【知识梳理】 1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解. 2.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【名师点拨】 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根. 2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝2x的零点为0.(　　) (2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(　　) 【答案】(1)√　(2)×　(3)√ 【解析】(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误. 2.下列函数图象与x轴均有交点,则不能用二分法求图中函数零点近似值的是(　　) 【答案】C 【解析】根据函数零点存在定理可知,函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线,若在区间[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上存在零点；根据二分法概念可知,C选项中的图象在零点附近不满足f(a)f(b)<0,所以C选项不能用二分法求图中函数零点. 3.函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A. B.(1,2) C.(2,e) D.(2,3) 【答案】B 【解析】f(x)＝ln x－的定义域为(0,＋∞), 又y＝ln x与y＝－在(0,＋∞)上单调递增, 所以f(x)＝ln x－在(0,＋∞)上单调递增, 又f(1)＝－1<0,f(2)＝ln 2－>0, 所以f(1)f(2)<0, 根据函数零点存在定理可得函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间为(1,2). 4.设f(x)＝|x2－2x|,则函数y＝f(x)－2 024的所有零点之和为　　　　　　.  【答案】2 【解析】由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x)＝|x2－2x|的图象如图所示, 根据图象可知y＝f(x)－2 024共有2个零点,且2个零点关于直线x＝1对称, 所以零点之和为2. 【解题技巧】 1.谨记三个相关性质 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)＝0的实数解. (2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. 2.谨防两个易错易混 (1)连续函数f(x)在区间[a,b]上,若满足f(a)f(b)<0,则在区间[a,b]上至少有一个零点,反之不一定. (2)已知二次函数的零点求参数时,不要忽略对二次项系数的讨论. 【必练核心题型】 题型一　函数零点所在区间的判定 例1.已知函数f(x)＝(m－2)xm为幂函数,若函数g(x)＝lg x＋x－m,则g(x)的零点所在区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】C 【解析】由f(x)＝(m－2)xm为幂函数,所以m－2＝1,得m＝3,所以g(x)＝lg x＋x－3,易知g(x)是增函数,则g(x)至多只有一个零点,因为g(2)＝lg 2－1<0,g(3)＝lg 3>0,所以g(x)的零点所在区间为(2,3). 例2.在用二分法求方程x2＝3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时,若我们选取的初始区间是[1.7,1.8],为达到精确度要求至少需要计算的次数是　　　　　　.  【答案】7 【解析】设至少需要计算n次,则n满足<0.001,即2n>100,由于26＝64,27＝128,故要达到精确度要求至少需要计算7次. 【解题技巧】 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,则函数y＝f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 【变式训练】 变式1.函数f(x)＝－2－x－1的零点所在的区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】B 【解析】函数f(x)＝－2－x－1的定义域为[0,＋∞), 函数y＝在[0,＋∞)上单调递增,函数y＝2－x在[0,＋∞)上单调递减, 所以f(x)在[0,＋∞)上单调递增. 由f(1)＝1－－1＝－<0,f(2)＝－1＝－1.25>0, 所以函数f(x)＝－2－x－1的零点所在的区间是(1,2). 变式2.用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据：f(1)≈－0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈－0.04,关于下一步的说法正确的是(　　) A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值 B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值 C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.187 5) D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.062 5) 【答案】C 【解析】由二分法的定义,可得正零点所在区间不断缩小,(1,1.5)→(1,1.25)→(1.125,1.25),因为|1.125－1.25|＝0.125>0.1,故没有达到精确度的要求,应该接着计算f＝f(1.187 5)的值. 题型二　函数零点个数的判定 例1.函数f(x)＝的零点个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【解析】当x≤0时,x2－1＝0,解得x＝－1； 当x>0时,f(x)＝x－2＋ln x在(0,＋∞)上单调递增,并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0, f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0, 即f(1)f(2)<0, 所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点, 综上,函数f(x)的零点个数为2. 例2.函数f(x)＝sin －|log3x|的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】函数f(x)＝sin －|log3x|的零点个数,即函数g(x)＝sin x>0与h(x)＝|log3x|的交点个数, 在同一个坐标平面内画出两个函数的图象,如图所示,则两个图象交点的个数为2,即f(x)的零点个数为2. 【解题技巧】 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点. (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 【变式训练】 变式1.(2025·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点, 即3x|log2x|－1＝0的解,即|log2x|＝的解, 即y＝|log2x|与y＝图象的交点,如图所示, 从函数图象可知,y＝|log2x|与y＝有2个交点,即函数f(x)的零点个数为2. 变式2.函数f(x)＝·cos x的零点个数为　　　　.  【答案】6 【解析】令36－x2≥0,解得－6≤x≤6, 所以f(x)的定义域为[－6,6]. 令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0, 由36－x2＝0得x＝±6, 由cos x＝0得x＝＋kπ,k∈Z, 又x∈[－6,6],所以x的取值为－－. 故f(x)共有6个零点. 题型三　函数零点的应用 命题点1　根据函数零点个数求参数 例1.已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a,若函数g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[－1,0) B.[1,＋∞) C.(－∞,1] D.[2,＋∞) 【答案】D 【解析】由函数f(x)＝ 因为g(x)＝f(x)－x－a,令g(x)＝0,即f(x)＝x＋a, 由函数g(x)有2个零点,即y＝f(x)和y＝x＋a的图象有两个交点, 在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示, 结合函数的图象,要使函数g(x)有2个零点,则a≥2, 所以实数a的取值范围为[2,＋∞). 命题点2　根据函数零点的范围求参数 例2.已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(－∞,0) D. 【答案】B 【解析】由f(x)＝3x－＝0,可得a＝3x－ 令g(x)＝3x－其中x∈(－∞,－1), 由于存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0, 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞,－1)上的值域. 由于函数y＝3x,y＝－在区间(－∞,－1)上均单调递增, 所以函数g(x)在(－∞,－1)上单调递增. 当x∈(－∞,－1)时, g(x)＝3x－<g(－1)＝3－1＋1＝ 又当x∈(－∞,－1)时,g(x)＝3x－>0, 所以函数g(x)在(－∞,－1)上的值域为. 因此实数a的取值范围是. 【解题技巧】 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围. (3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解. 【变式训练】 变式1.(2025·镇江模拟)已知a∈R,函数f(x)＝在R上没有零点,则实数a的取值范围为(　　) A.(0,＋∞) B.(1,＋∞) C.[1,＋∞)∪{0} D.(1,＋∞)∪{0} 【答案】D 【解析】当x≤0时,0<ex≤1, 若关于x的方程ex＝a无解,则a≤0或a>1； 当x>0时,ln(x＋1)>0, 若关于x的方程ln(x＋1)＝－a无解,则a≥0. 综上,a的取值范围为(1,＋∞)∪{0}. 变式2.(多选)已知函数f(x)＝令h(x)＝f(x)－k,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的单调递增区间为(0,＋∞) B.当h(x)有3个零点时,k∈(－4,－3] C.当k＝－2时,h(x)的所有零点之和为－1 D.当k∈(－∞,－4)时,h(x)有1个零点 【答案】BD 【解析】函数f(x)＝ 结合二次函数和对数函数的图象和性质,作函数f(x)的图象如图所示, 由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(0,＋∞),A选项错误； h(x)的零点即函数y＝f(x)的图象和直线y＝k交点的横坐标,由图象可知,当h(x)有3个零点时,k∈(－4,－3],B选项正确； 解方程可知,当k＝－2时,h(x)有两个零点,－1－和1,所有零点之和为－C选项错误； 当k∈(－∞,－4)时,函数y＝f(x)的图象和直线y＝k有1个交点,即h(x)有1个零点,D选项正确. 学科网（北京）股份有限公司 $$