第二章 §2.10 函数的图象（新高考通用）-2026年高考数学一轮备考·学霸专练

第二章函数 §2.10　函数的图象 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 函数图象 2024·全国甲卷 2023·天津卷 2022·全国乙卷 2022·全国甲卷 2022·天津卷 2021·浙江卷 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；会画简单的函数图象；会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题。 【知识梳理】 1.利用描点法作函数的图象的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)； (4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象 y＝logax(a>0，且a≠1)的图象. (3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax). y＝f(x)y＝Af(x). (4)翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象. 【名师点拨】 1.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换. 2.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行。 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到.(　　) (3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　　) (4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 【解析】(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误. (2)y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]，所以可由y＝f(－x)向右平移1个单位长度得到， (2)错误. (3)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到，两图象不同，(3)错误. (4)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(4)错误. 2.函数y＝21－x的大致图象为(　　) 【答案】A 3.函数f(x)＝的大致图象为(　　) 【答案】D 【解析】要使函数f(x)有意义,即x2＋1≠1,所以x≠0,故f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称.因为f(－x)＝＝－f(x),所以f(x)为奇函数,排除选项B,C； 当x>0时,－x<0,ln(x2＋1)>ln 1＝0,所以f(x)<0,排除选项A. 4.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称,再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象,则g(x)＝　　　　.  【答案】e－x＋1 【解析】由题意可知f(x)＝e－x,把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1的图象. 【解题技巧】 谨记三个图象变换的注意点 (1)“左加右减”只针对x本身,与x的系数没有关系,如从y＝f(－2x)的图象到y＝f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位长度,即将x变成x－. (2)“上加下减”只针对函数值f(x). (3)对称变换的对称是指两个函数的图象特征,而与奇偶性有关的对称,是指一个函数图象自身的特征. 【必练核心题型】 题型一　作函数的图象 例1.作出下列各函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－4x－5|； (3)y＝－1. 【解析】(1)原函数解析式可化为y＝2＋故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图所示. (2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变,将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到,如图所示. (3)y＝－1,其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到, 而y＝其图象可由y＝的图象保留x≥0时的图象,然 后将该部分关于y轴对称得到, 则y＝－1的图象如图所示. 【解题技巧】函数图象的常见画法及注意事项 (1)直接法：对于熟悉的基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图. (2)转化法：含有绝对值符号的,去掉绝对值符号,转化为分段函数来画. (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图. (4)画函数的图象一定要注意定义域. 【变式训练】 1.作出下列各函数的图象： (1)y＝x2－2|x|－3； (2)y＝|log2(x＋1)|. 【解析】(1)y＝x2－2|x|－3＝其图象如图所示. (2)y＝|log2(x＋1)|,其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度, 再保留x轴上方部分不变,将x轴下方部分翻折到x轴上方得到,如图所示. 题型二　函数图象的识别 例1.函数f(x)＝cos x图象的大致形状是(　　) 【答案】B 【解析】依题意,函数f(x)＝·cos x的定义域为R,f(－x)＝·cos(－x)＝·cos x＝－f(x), 即函数f(x)是R上的奇函数,其图象关于原点对称,选项A,C不满足； 当x∈时<0,cos x>0,即f(x)<0,选项D不满足,B符合题意. 例2.已知某函数图象如图所示,则该函数解析式可能为(　　) A.f(x)＝ln|x|－ B.f(x)＝ln|x|＋ C.f(x)＝＋ln|x| D.f(x)＝－ln|x| 【答案】D 【解析】对于A,f(1)＝ln 1－＝－1,显然不满足图象,故A错误； 对于B,f(－1)＝ln|－1|＋＝1,显然不满足图象,故B错误； 对于C,当x→＋∞时,f(x)→＋∞,故C错误； 对于D,经检验,f(x)＝－ln|x|满足对应图象,故D正确. 【解题技巧】识别函数的图象的主要方法 (1)利用函数的性质,如奇偶性、单调性、定义域等判断. (2)利用函数的零点、极值点等判断. (3)利用特殊函数值判断. 【变式训练】 变式1.函数f(x)＝的图象大致为(　　) 【答案】A 【解析】由函数f(x)＝可得函数的定义域为{x|x≠0}, 由f(－x)＝＝－＝－f(x),可知函数f(x)为奇函数,其图象关于坐标原点对称,故排除B,D两项； 又由f(2)＝<0可得C项不合题意,故A项正确. 变式2.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)＝ex－e－x B.f(x)＝1－ C.f(x)＝x D.f(x)＝ 【答案】D 【解析】根据函数f(x)的图象,知f(1)≈1,而对A选项,f(1)＝e－e－1>2,排除A； 对B选项,f(x)＝1－因为ex＋1>1,则∈(0,2),则f(x)＝1－∈(－1,1),但图象中函数值可以大于1,排除B； 根据C选项的解析式,f(2)＝2≈2.8,而根据函数f(x)的图象,知f(2)≈1,排除C. 题型三　函数图象的应用 命题点1　利用图象研究函数的性质 例1.(多选)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}＝若f(x)＝2－x2,g(x)＝x2,下列关于函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的说法正确的是(　　) A.函数F(x)是偶函数 B.方程F(x)＝0有三个解 C.函数F(x)在区间[－1,1]上单调递增 D.函数F(x)有4个单调区间 【答案】ABD 【解析】根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2,画出函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的图象,如图. 由图象可知,函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的图象关于y轴对称,所以A项正确； 函数F(x)的图象与x轴有三个交点,所以方程F(x)＝0有三个解,所以B项正确；函数F(x)在(－∞,－1]上单调递增,在[－1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,在[1,＋∞)上单调递减,所以C项错误,D项正确. 命题点2　利用图象解不等式 例2.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,＋∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A.(－0)∪(2) B.(－∞,－2)∪(2,＋∞) C.(－∞,－2)∪(－0)∪(2) D.(－2,－)∪(0)∪(2,＋∞) 【答案】C 【解析】根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(－∞,0)上的图象,如图所示, 由x2f(x)>2f(x),得(x2－2)f(x)>0, 则或 解得x<－2或<x<2或－<x<0, 故不等式的解集为(－∞,－2)∪(－0)∪(2). 命题点3　利用图象求参数的取值范围 例3.已知函数f(x)＝若实数a,b,c互不相等,且f(a)＝f(b)＝f(c),则a＋b＋c的取值范围是　　　　　　.  【答案】(2,2 025) 【解析】函数f(x)＝的图象如图所示, 不妨令a<b<c,可知a＋b＝1, 而1<c<2 024,所以2<a＋b＋c<2 025. 【解题技巧】 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解. 【变式训练】 变式1.把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度,所得函数在(0,＋∞)上单调递增,则a的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度,得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图象, 则函数g(x)在(a－2,＋∞)上单调递增, 又因为所得函数在(0,＋∞)上单调递增, 所以a－2≤0,即a≤2.所以a的最大值为2. 变式2.已知f(x)＝若存在x1<x2<x3使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝m,则m的取值范围是　　　　　　.  【答案】(2,3] 【解析】作出函数f(x)的图象,如图, 因为存在x1<x2<x3使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝m, 所以f(－1)<m≤f(0),即2<m≤3. 变式3.画出下列函数的大致图象： (1)y＝log2|x|；(6分) (2)y＝－log2(－x).(7分) 【解析】 (1)y＝log2|x|＝易知函数为偶函数,所以函数y＝log2|x|的图象如图1所示. (2)把y＝log2x的图象先关于y轴对称,再关于x轴对称,即可得y＝－log2(－x)的图象,如图2所示. 变式4.已知函数f(x)＝ (1)作出函数f(x)的图象；(6分) (2)讨论方程f(x)－m＝0根的情况.(9分) 【解析】(1)当x≤0时,0<2x≤1,则f(x)＝|2x－2|＝2－2x∈[1,2), 作出函数f(x)的图象,如图所示. (2)由f(x)－m＝0可得m＝f(x), 则方程f(x)－m＝0的根的个数即为直线y＝m与函数y＝f(x)图象的交点个数, 如图所示. 当m≤0时,方程f(x)－m＝0无实根； 当0<m<1或m≥2时,方程f(x)－m＝0只有一个实根； 当1≤m<2时,方程f(x)－m＝0有两个不相等的实根. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章函数 §2.10　函数的图象 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 函数图象 2024·全国甲卷 2023·天津卷 2022·全国乙卷 2022·全国甲卷 2022·天津卷 2021·浙江卷 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；会画简单的函数图象；会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题。 【知识梳理】 1.利用描点法作函数的图象的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)； (4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象 y＝logax(a>0，且a≠1)的图象. (3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax). y＝f(x)y＝Af(x). (4)翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象. 【名师点拨】 1.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换. 2.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行。 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到.(　　) (3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　　) (4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　) 2.函数y＝21－x的大致图象为(　　) 3.函数f(x)＝的大致图象为(　　) 4.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称,再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象,则g(x)＝　　　　.  【必练核心题型】 题型一　作函数的图象 例1.作出下列各函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－4x－5|； (3)y＝－1. 【变式训练】 1.作出下列各函数的图象： (1)y＝x2－2|x|－3； (2)y＝|log2(x＋1)|. 题型二　函数图象的识别 例1.函数f(x)＝cos x图象的大致形状是(　　) 例2.已知某函数图象如图所示,则该函数解析式可能为(　　) A.f(x)＝ln|x|－ B.f(x)＝ln|x|＋ C.f(x)＝＋ln|x| D.f(x)＝－ln|x| 【变式训练】 变式1.函数f(x)＝的图象大致为(　　) 变式2.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)＝ex－e－x B.f(x)＝1－ C.f(x)＝x D.f(x)＝ 题型三　函数图象的应用 命题点1　利用图象研究函数的性质 例1.(多选)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}＝若f(x)＝2－x2,g(x)＝x2,下列关于函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的说法正确的是(　　) A.函数F(x)是偶函数 B.方程F(x)＝0有三个解 C.函数F(x)在区间[－1,1]上单调递增 D.函数F(x)有4个单调区间 命题点2　利用图象解不等式 例2.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,＋∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A.(－0)∪(2) B.(－∞,－2)∪(2,＋∞) C.(－∞,－2)∪(－0)∪(2) D.(－2,－)∪(0)∪(2,＋∞) 命题点3　利用图象求参数的取值范围 例3.已知函数f(x)＝若实数a,b,c互不相等,且f(a)＝f(b)＝f(c),则a＋b＋c的取值范围是　　　　　　.  【变式训练】 变式1.把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度,所得函数在(0,＋∞)上单调递增,则a的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 变式2.已知f(x)＝若存在x1<x2<x3使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝m,则m的取值范围是　　　　　　.  变式3.画出下列函数的大致图象： (1)y＝log2|x|；(6分) (2)y＝－log2(－x).(7分) 变式4.已知函数f(x)＝ (1)作出函数f(x)的图象；(6分) (2)讨论方程f(x)－m＝0根的情况.(9分) 学科网（北京）股份有限公司 $$