第二章 §2.9 指、对、幂的大小比较（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第二章函数 §2.9　指、对、幂的大小比较 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 指对幂函数值大小比较 2024·天津卷 2023·全国甲卷 2023·天津卷 2022·天津卷 2022·全国甲卷 2022·全国新Ⅰ卷 2021·天津卷 2021·全国新Ⅱ卷 函数“比大小”是非常经典的题型，每年高考基本都会出现，高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。考查学生利用函数的性质与图象解答能力。 【名师点拨】 函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐。每年高考基本都会出现，难度逐年上升；高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。 题型一　直接法比较大小 命题点1　利用函数的性质 例1.已知a＝b＝log8c＝则(　　) A.b<a<c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 命题点2　找中间值 例2.设a＝0.20.5，b＝log53，c＝50.2，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 命题点3　特殊值法 例3.已知a>b>1，0<c<则下列结论正确的是(　　) A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc 【变式训练】 变式1.设a＝2－0.5，b＝c＝log0.50.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c D.c<a<b 变式2.(2025·天津模拟)设a＝log2π，b＝loπ，c＝π－2，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 命题点1　作差法 例1.设a＝log62，b＝log123，c＝log405，则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 命题点2　作商法 例2.(2025·成都模拟)若a＝b＝c＝lo则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 命题点3　乘方法 例3.已知a＝log35，b＝log57，c＝则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b 【变式训练】 变式1.已知正数a，b，c满足2 024a＝2 025，2 025b＝2 024，ec＝2，下列说法正确的是(　　) A.logac>logbc B.logca>logcb C.ac<bc D.ca<cb 变式2.若a＝b＝log147，c＝log126，则(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b 【限时训练】（45分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知a＝20.3，b＝30.2，c＝log0.20.3，则(　　) A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 2.(2025·攀枝花模拟)若a＝(b＝log3e，c＝则(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.c>b>a 3.已知a＝ln b＝c＝ln 则a，b，c的大小关系为(　　) A.b>a>c B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 4.已知a＝log32，b＝log43，c＝sin 则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c 5.(2025·沈阳模拟)设a＝b＝ln c＝则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b 6.已知log4m＝log12n＝0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　) A.p>m>n B.m>n>p C.m>p>n D.p>n>m 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知x>y>0，则(　　) A.log2(x2＋1)>log2(y2＋1) B.cos x>cos y C.(x＋1)3>(y＋1)3 D.e－x＋1>e－y＋1 8.设a＝ln 4，b＝lg 4，c＝20.6，则(　　) A.b>a B.c>a C.a－b>ab D.a＋b>ab 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知a＝log20.5，b＝20.5，c＝sin 2，则a，b，c的大小关系为　　　　　.  10.定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)为偶函数，且当x1<x2<2时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0恒成立，a＝f(1)，b＝f(ln 10)，c＝f()，则a，b，c的大小关系为　　　　　　.(从大到小排列)  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章函数 §2.9　指、对、幂的大小比较 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 指对幂函数值大小比较 2024·天津卷 2023·全国甲卷 2023·天津卷 2022·天津卷 2022·全国甲卷 2022·全国新Ⅰ卷 2021·天津卷 2021·全国新Ⅱ卷 函数“比大小”是非常经典的题型，每年高考基本都会出现，高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。考查学生利用函数的性质与图象解答能力。 【名师点拨】 函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐。每年高考基本都会出现，难度逐年上升；高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。 题型一　直接法比较大小 命题点1　利用函数的性质 例1.已知a＝b＝log8c＝则(　　) A.b<a<c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 【答案】A 【解析】由于y＝0.7x是R上的减函数， 则0<<0.70＝1，所以0<a<1， 由于y＝log8x是(0，＋∞)上的增函数， 则log8<log81＝0，所以b<0， 由于y＝4x是R上的增函数， 则>40＝1，所以c>1， 所以b<a<c. 命题点2　找中间值 例2.设a＝0.20.5，b＝log53，c＝50.2，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 【答案】A 【解析】0<a＝0.20.5＝< 1>b＝log53>log5 c＝50.2>50＝1，所以a<b<c. 命题点3　特殊值法 例3.已知a>b>1，0<c<则下列结论正确的是(　　) A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc 【答案】C 【解析】取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝ 则ac＝bc＝∴ac>bc，故A错误； abc＝4×bac＝2× ∴abc>bac，故B错误； logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2， alogbc＝－8，blogac＝－2， ∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误. 【解题技巧】利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1，01”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1~2之间的小数，从而便于比较。 【变式训练】 变式1.设a＝2－0.5，b＝c＝log0.50.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c D.c<a<b 【答案】B 【解析】因为a＝2－0.5，b＝＝2－0.3， 易知函数y＝2x在R上是增函数， 又－0.5<－0.3<0，所以a<b<20＝1， 又易知y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数， 所以c＝log0.50.3>log0.50.5＝1， 综上，a<b<c. 变式2.(2025·天津模拟)设a＝log2π，b＝loπ，c＝π－2，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 【答案】C 【解析】依题意，a＝log2π>log22＝1，b＝loπ<lo1＝0，0<c＝π－2<π0＝1，所以a>c>b. 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 命题点1　作差法 例1.设a＝log62，b＝log123，c＝log405，则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 【答案】D 【解析】∵＝log312＝1＋log34＝1＋ ＝1＋＝log540 ＝1＋log58＝1＋ ＝1＋ ∴ ＝ ＝ ＝<0， ∴< 又b>0，c>0，∴b>c； ∵＝1＋log58<1＋log5 ＝1＋log5∴c> ∵＝log26＝1＋log23>1＋log2 ＝1＋log2∴a< ∴a<c.∴a<c<b. 命题点2　作商法 例2.(2025·成都模拟)若a＝b＝c＝lo则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 【答案】D 【解析】因为0<a＝<30＝1， 0<b＝<＝1， 令×× 而×()12 ＝3×2－4＝<1， 即×<1，所以a<b， 又因为c＝lo＝lo>lo＝lo＝1，所以c>b>a. 命题点3　乘方法 例3.已知a＝log35，b＝log57，c＝则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b 【答案】D 【解析】因为53＝125>＝81，所以5> 所以log35>log3即a>c. 因为73＝343<＝625，所以7< 所以log57<log5即b<c. 所以a>c>b. 【解题技巧】 求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式. 【变式训练】 变式1.已知正数a，b，c满足2 024a＝2 025，2 025b＝2 024，ec＝2，下列说法正确的是(　　) A.logac>logbc B.logca>logcb C.ac<bc D.ca<cb 【答案】D 【解析】∵2 024a＝2 025，2 025b＝2 024，ec＝2， ∴a＝log2 0242 025>1，b＝log2 0252 024<1，c＝ln 2<1， ∴a>1，0<b<1，0<c<1， ∴logac<0，logbc>0，∴logac<logbc，故A错误； ∵0<c<1，a>b，∴logca<logcb，ac>bc，ca<cb，故B，C错误，D正确. 变式2.若a＝b＝log147，c＝log126，则(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b 【答案】A 【解析】a＝ b＝log147＝1－log142＝1－c＝log126＝1－log122＝1－ 因为4log142＝log1424＝log1416>1，则log142> 所以1－log142<1－即b<a； 而ln 2>0，ln 14>ln 12>0，所以< 所以1－>1－即b>c， 综上，a>b>c. 【限时训练】（45分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知a＝20.3，b＝30.2，c＝log0.20.3，则(　　) A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 【答案】D 【解析】依题意，b＝30.2＝90.1>80.1＝20.3＝a>1，c＝log0.20.3<log0.20.2＝1，所以b>a>c. 2.(2025·攀枝花模拟)若a＝(b＝log3e，c＝则(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.c>b>a 【答案】A 【解析】易知y＝在(0，＋∞)上单调递增，则(>即a>c， 而由y＝3x，y＝ex均为增函数，得>30＝1>e0＝1，即a>c>1， 又y＝log3x为增函数，故1＝log33>log3e＝b， 则a>c>1>b. 3.已知a＝ln b＝c＝ln 则a，b，c的大小关系为(　　) A.b>a>c B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 【答案】A 【解析】∵＝27＝π2，27>π2， ∴> ∴0<ln <ln <ln e＝1，即c<a<1， ∵b＝>1， ∴b>a>c. 4.已知a＝log32，b＝log43，c＝sin 则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c 【答案】D 【解析】c＝sin 因为函数y＝log3x，y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增， 则a＝log32>log3 b＝log43>log42＝. a－b＝ 因为ln 2>0，ln 4>0，则ln 2＋ln 4>2⇒ln 2×ln 4<×(ln 8)2<×(ln 9)2＝(ln 3)2. 故a<b，综上，b>a>c. 5.(2025·沈阳模拟)设a＝b＝ln c＝则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b 【答案】B 【解析】a＝>e0＝1，b＝ln <1，c＝<1，故a>b，a>c， 要比较ln 与的大小，即比较ln与ln 2.2的大小， 等价于比较1.110与2.2的大小，等价于比较1.19与2的大小， 又1.19＝1.1×1.18＝1.1×1.214>1.1×1.24＝1.1×1.442>1.1×1.42＝1.1×1.96>2， 故1.19>2，即ln >即b>c， 故c<b<a. 6.已知log4m＝log12n＝0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　) A.p>m>n B.m>n>p C.m>p>n D.p>n>m 【答案】A 【解析】由log4m＝得m＝<2， 由log12n＝得n＝ >1，因此2>m>n； 由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是p>m>n， 所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知x>y>0，则(　　) A.log2(x2＋1)>log2(y2＋1) B.cos x>cos y C.(x＋1)3>(y＋1)3 D.e－x＋1>e－y＋1 【答案】AC 【解析】对于A，由x>y>0，得x2＋1>y2＋1，又f(t)＝log2t是增函数，所以log2(x2＋1)>log2(y2＋1)，故A正确； 对于B，由于g(t)＝cos t在(0，＋∞)上不单调，所以cos x与cos y的大小关系无法确定，故B错误； 对于C，由x>y，得x＋1>y＋1，又h(t)＝t3是增函数，所以(x＋1)3>(y＋1)3，故C正确； 对于D，由x>y，得－x＋1<－y＋1，又φ(t)＝et是增函数，所以e－x＋1<e－y＋1，故D错误. 8.设a＝ln 4，b＝lg 4，c＝20.6，则(　　) A.b>a B.c>a C.a－b>ab D.a＋b>ab 【答案】BD 【解析】因为a＝ln 4>ln e＝1，b＝lg 4<lg 10＝1，所以b<a，故A错误； 因为42<e3，所以ln 42<ln e3，即ln 4<又＝8＝所以<20.6，则ln 4<20.6，即a<c，故B正确； 因为a－b－ab＝ln 4－lg 4－ln 4·lg 4＝－lg 4－而lg(4e)>1，lg 4>0，lg e>0，所以a－b－ab<0，即a－b<ab，故C错误； 由a＋b－ab＝＋lg 4－·lg 4＝lg 4·>0，所以a＋b>ab，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知a＝log20.5，b＝20.5，c＝sin 2，则a，b，c的大小关系为　　　　　.  【答案】a<c<b 【解析】因为函数y＝log2x是增函数，且0.5<1， 则a＝log20.5<log21＝0， 因为函数y＝2x是增函数，且0.5>0， 则b＝20.5>20＝1， 因为正弦函数y＝sin x在区间上单调递减，且<2<π， 所以0＝sin π<c＝sin 2<sin ＝1， 所以a<c<b. 10.定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)为偶函数，且当x1<x2<2时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0恒成立，a＝f(1)，b＝f(ln 10)，c＝f()，则a，b，c的大小关系为　　　　　　.(从大到小排列)  【答案】b>a>c 【解析】因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)， 所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， 当x1<x2<2时，x2－x1>0， 由[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0， 得f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 所以f(x)在(－∞，2)上单调递增， 则f(x)在(2，＋∞)上单调递减， 根据函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，且e2<10<2.53<e3，则2<ln 10<3； 根据函数y＝3x在R上单调递增，且1< 则3< 则有>3>ln 10. 由函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，f(1)＝f(3)， 可知f(ln 10)>f(3)>f()，即b>a>c. 学科网（北京）股份有限公司 $$