浙江省诸暨市2024-2025学年高三下学期适应性考试数学试题

诸暨市2025年5月高三适应性考试试题 学 数 注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.请考生按规定用笔将所有试题的答策涂、写在答题纸上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A={i2,i4}(i为虚数单位)，B={-1,0,1},则A∩B=(▲) A.{-1 B.{1} c.{-1,0} D.{-1,1} 2、(x-2y)?的展开式中第三项的系数是（▲） A.C2 B.-2C C.4C号 D.-4C2 目设精图G:+少=1和双曲战G:y=1a>0)的离心率分别为9名 若6e2=1,则a=(▲) A.5 B.3 D.3 3 cos(a-B)=3 sinasinBsin 2asin28 A D.1 5.设等差数列{an}的公差是d,Sn为{an}的前n项和，则“d=0”是“S3=3a3”的（▲） 各，充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，记圆柱与球的体积之比为入， 表面积之比为“，则（▲） A.2=4 B.元<4 C.元>h D.,山的大小不确定 7.已知函数f(x)=x2+a+a2-4有唯一零点，则a=(▲） A.0 B.-2 C.2 D.±2 8.已知点P在圆x2+y2=π2上运动，若过点P可以作曲线y=six(-π≤x≤π)的切线，则点 P的轨迹长度是（▲） B.2 2 c. D. 3r2 2 高三数学试题第1页（共4页） 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在△ABC中，内角A,B,C的对边的长分别为a,b,c,则下列结论中正确的是（▲） A.c=a.sin B+b.sin A B.c=a.cosB+b.cosA C若a>b,则sin2A>sin2B D.若a>b,则cos2A<cos2B 10.正四棱柱ABCD-ABCD的底面边长为2，侧棱长是3，AB,BC的中点为M,N,过点 D,M,N的平面记为a,则下列说法中正确的是（▲】 A.点A和点C到平面a的距离相等 B.二面角D-N-D的正切值为√2 C.平面a截得的截面形状是五边形 D.平面a截得的截面面积为7√3 11.已知集合Is{a|ā=(x,y),x,y∈R},若对于任意m,i∈I,以及任意九∈[0，l,满 足m+(1-)i∈I,则称集合I为“一字集”，记2=XX为“一字集”}，则下列 说法正确的是t▲) A.{a|a=(xy)小x2+y2≤1}e2 B.{a|a=(xy),y≥xe*}∈2 C.若A∈2，B∈2，且A∩B≠0，则A∩B∈2 D.若Ae2,则{616=2a+(3,4),aeA}e2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若a,a+log23,a+log227成等比数列，则实数a=▲ 13.从编号1,2,3的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片 上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为▲一。 14.已知函数f(x)=siox(@>0),将f(s)的图象向右平移个单位长度后得到函数g() 40) 的图象，点A,B,C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，若△ABC是锐角三角形， 则0的取值范围为▲ 高三数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， PA⊥平面ABCD. (1)证明：BD⊥PC: (2)若E为PD的中点，PA=AB,求直线CE与平面PBD 所成角的正弦值 16.(本题15分)为了研究DeepSeek(AI学习助手)对学生数学成绩的影响，将20名学生均 分为两组，分别为使用组（使用DeepSeek)和非使用组.一段时间后，测得20名学生的 数学成绩变化如下（单位：分）： 使用组 -2 -1 2 3 3 非使用组 -3 3 -2 0 0 (1)从使用组中随机抽取两名学生，设其中成绩进步的人数为X,求X的分布列和数学 期望； (2)求20名学生数学成绩变化的中位数m,并分别统计两组中低于m与不低于m的人数， 完成如下列联表： 低于m 不低于m 总计 使用组 非使用组 总计 (3)根据(2)中的列联表，能否有90%的把握认为使用DeepSeek与数学成绩变化有显著 关联？ n(ad-be)2 附：X-a+bc+aa+cXb+ 其中n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 高三数学试题第3页（共4页） 17.(本题15分)已知抛物线C:y2=4x,点T(3,0),A1,),直线1交抛物线C于P,2两点， 满足AP⊥AQ,点A在直线P2上的投影点记为点H, (1)当t=1,PQ⊥x轴时，求TH的值： (2)当t=0时，求点H的轨迹方程， 18.(本题17分)已知函数f)=n2是+r有两个极值点，满足子<名： 2-x (1)求a的取值范围； (2)判断并证明函数f(x)的对称性； (3)若f(:)+k:2>0恒成立，求实数k的取值范围。 19.(本题17分)设矩形ABCD的周长为24cm,记∠ACD=8,把△ABC沿过A的对角线AC 向点D方向折叠，直线AB折过去后交直线DC于点P,并得到矩形AP'PD,记这个过程 为一次折叠操作当两个矩形都在AD的同侧时，称为同侧操作（如图1）：否则称为异侧操 作（如图2），若多次折叠，则每次都为新得到的矩形沿着过A的对角线向点D折叠 (I)若点P在线段DC上，求△ADP的最大面积及此时taB的值： (2)当AB=6cm时，若矩形ABCD是由矩形AT'TD同侧折叠2025次所得，求DT的长度； (3)将矩形ATn'T,D同侧折叠n次得到矩形ABCD,再将矩形ABCD折叠n次得到ASn'SnD. 若存在neN,使得DSn≤DTn(neN)成立.记满足条件的8的取值集合为2. 定义集合2的“长度”记为2，例： kx1≤x≤2=2-1=1，{x1≤x<2或2<x≤3=2-1+3-2=2，{xx=1=0. 证明：受<0<年 D B B B 图1 图2 高三数学试题第4页（共4页） 诸暨市2025年5月高三适应性考试 数学参考答案 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 题号 2 5 6 答案 A A 二、多项选择题（每小题6分，共18分；部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 BD ABC ACD 三、填空题（每小题5分；共15分） 12.log23 14.0> √5 3 四、解答题（共77分；13分+15分+15分+17分+17分） 15.(6分+7分) (I)证明：连接AC,BD, :ABCD是菱形，AC,BD是对角线， AC⊥BD, …2分 又：PA⊥平面ABCD,BDS平面ABCD, ,PA⊥BD, …4分 又：AC∩PA=A,ACs平面PAC,PAS平面PAC, .BD⊥平面PAC, …5分 又PC∈平而PAC,·BD⊥PC. …6分 (2)取BC中点M,连接AM,以AM为x轴，以AD为y轴，以AP为：轴，建立如图空间直角坐标系， …7分 令AB=2,则A0,0,0),C(N3,1,0),P(0,0,2),D0,2,0),B(N3,-1,0),E0,1,), .CE=(3,0,),PD=(0,2,-2),BD=(-3,3,0), …9分 设平面PBD的法向量为n=(x,y,), n.PD=0 f2y-22=0 由 BD=0 得 -5x+3y=0 得n=(5,1,1), …11分 c正 5,0,0(5,1,)5 .'sin= …13分 c 25 5 16.(7分+4分+4分)解： (1)由题意知：X的可能取值为0,1,2， *…2分 ,P(X=0)= 生大 ,Px==cg=16 Px=2)= C28 6451 …5分 45 45 ∴X的分布列为： 0 1 2 1 16 P 28 45 45 45 0=001 +2× 288 455 …7分 (2)由题意知：20名学生成绩变化的中位数为1，m=1 …9分 列联表如下： 低于m 不低于m 总计 使用组 2 8 10 非使用组 6 4 10 总计 P 12 20 …11分 3)x2= 20(2×4-6×8)210 2.706， …13分 8×12×10×103 :.有90%的把掘认为使用DeepSeek与数学成绩变化有显著关联. …15分 17.(6分+9分)解： (1)当t=1且P2⊥x轴时，40，I),T(3,0),H(m1) 设12x=m(m>0),P,乃)，)， x=m 联立=4x每1=2应=2丽.Pm2W而.2m-2厕 …2分 AP=(m-12√m-1),40=(m-1,-2m-1), 由AP1A视，得AP.A0=0,即(m-1Y+(2Nm-1X-2Nm-1)=0,化简得m2-6m=-2: …4分 又xTH=Vm-3y+1-02=Vm2-6m+10=22,即|TH=25 …6分 2 (2)法一： 设l2x=y+c,1gx-1=-y,P65,片Q(623) 当t=0时，41,1)T(3,0),则AP-(-1y,40=(2-1y2): x='+c 联立y=4，得-4切mw-4c=0.由韦达定理得乃+为=4，乃为=c, …8分 AP⊥AQ, 严0=0，即K-1K5-》+=0,化简得-m+为)+2+1=0， 16 代入可得c2-6c+1=4m2; …10分 x=my+c 联立 1.,可得H m+c m-mc ……11分 x-1=-y 、m2+1'm2+1 2 = m2+e3 m-mc (-2m2+c-3)2+(m-c)24m+(c2-6c+13)m2+c2-6c+9 + m2+1 (m2+1 (m2+1) (m2+1) (m2+1(4m2+c2-6c+9_4m2+c2-6c+9_8m+8=8 (m2+1)2 m2+1 m2+1 |TH=2W5, …14分 ∴.H的轨迹方程为（代-3）2+y2=8. …15分 法二： 设直线PD:A(x-1)+y=1,联立抛物线y2=4x-1)+4； 配齐次得y2=4(x-1[A(x-1)+By)+44A(x-1)+y *…8分 得k=4f41,即4+4A+4g=1. *…10分 4B2-1 联立直线AH:B(x-1)-Ay-0与直线PD:A(c-1)+=1, 解得+1”序有山，子即B二一 A B 41 …13分 4x 代入至442+44+4B2=1,解得H的轨迹方程为：x2-6x+1+y2=0. …15分 18.(4分+4分+9分)解： (1)由题意知：x∈(0,2) f=1+1 2 +a= +a有两个变号零点： …2分 x2-xx(2-x) 2 令g(x)= 2-在0，上递减，Q,2)上递增： 又好5<，得2<号，即- 75a<-2: …4分 3 (2),xE(0,2),则对称性有关的横坐标：x=1,且f1)=a, …5分 又f)=n,x+ax,f2-)=h2+a2-g≠f. 2-x 有f09+f02-=n7x.2-+2a=2a, ……7分 2-x x 故f(x)有对称中心0，a),无对称轴： …8分 (3)法一： 有名+=2，Q= 21 2-)'459<1, 酸有D+6=n片+两+222+2- 2- 当x→1时，x)=k-2≥0，故k≥2. …11分 下证充分性： 有f)+≥h2点2子+2X2-名哈 2-2-x 令0=hx-he-的22+22-e 则到=+，1.22-2X--4-6+2 …13分 x2-x(2-x)2 2(2-x)2 令(x)=-x3-4x2-6x+2,有p'(x)=-3x2-8x-6<0, 故p在（子）上递减，又p<0,孕>0， 故存在()，使得)=0，故)在（子）上递增，在代，》上递减 又0=0，M2=-h7+7>0,故的≥0恒成立， …15分 14 若<2.有+<加22+20-4. “2-2-龙 由)>)=0，故存在：<1，使得f出)+<0，故k<2不合题意. …16分 综上，若f(出)+a2>0恒成立，则实数k22. …17分 法二： 21 有5+2=2，a=- (2-)'45<1, 做有=2与属=h2220-0 "2-为 2-n,x 参变分离得k>2-￥， 2-x, …11分 2-x 4 2-In-* 2xln**-6x+4 (x)=2- 令 2-x,有g=2 2-x …12分 2-x x4-6x3+12x2-8x 其中x4-6x3+122-8x=x(x3-6x2+12x-8),令7(x)=x3-6x2+12x-8, 有)=3x2-12x+2>0在xe上成立，故e倒在宁》上速增， 又h1)<0,故h(x)<0,x4-6x3+12x2-8x<0, …13分 令=2xln,心-n,x-6x+4, 2-x 2-x 有p=2h2.2b2420-9加2g4 2-x 2- 在x上，20且单润送减，n产生<0且单调运通。 故p(在（会）上单调递增，又p0)=4<0,故p()<0, 故p在)上单调递减，又0=2h2-2<0,字>0， 故存在∈)使得，)=0， …15分 故g)在)上递减，在，1)上递增， …16分 又g1)=2, 8<2,故k22. …17分 19.(4分+4分+9分)解： (1)设DC=x,PC=a,有DP=x-a,AP=a,AD=l2-x, 在RIMDP中，Q2-+6c-a=a2,解得a=2-12x+2, …1分 故3Map-2-X-o)=6-x-72+185108-725(当且仅当x=6N5时取等号. 1 …3分 此时m9=D12-65=5-1: …4分 DC 62 (②此时矩形ABCD为正方形，0=子 …5分 折叠-次可得4C即PB的角平分线，故∠cD-4PD,故乙AD高∠4cD 2027’…7分 故D7s AD 6 tan∠ATD π …8分 tan 22027 5 20n, 当a,<得时 8)由题意得∠4SD=B,=，2AD=a,则1 ，其中%=0. π-2，当a,<元时 4 要使DS,≤Dr,即∠4D≤∠AD,&,sA= 2 …10分 ①当=1时，月-号 若0<子则4=9号无解：者0子则4=-29号解得受≤0<子 4 4 5 2 符合约束条件的日的区间长度口=刀2=元 …12分 2510 回当州=2时，A=号 若0<及，则a%,=40s9 无解： 8 若刀<日<, 则%=28e 8 4 引%=-24=-0：号解得行0受放行=0 π元 4 若<0<3 4 8 圆4=29（任引%=-24=0-号解得0<0智故经<05智 4 15 若扣<日<T,则4=π-28∈0 8 2 4 Dg=2%=2n-49≤9，解得元≤0<7，故8≤8<” 4 17 17 2 由于孕被n=1时的孕覆盖， 17'2 故符合约束条件的0的区同长度口=号受·智行0骨 …14分 ③当n≥3时，符合约束条件的8的区间长度 日3+倍帝语4+9 255257×4×0+3)++(3012”1) ）×4×1+3+…+(2n-5) 8白8* 8 8*1 6