甘肃省白银市普通高中改革与发展共同体2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二数学期中考试试卷 参考答案 1.B函数y=x2-x在区间[1,2]上的平均变化率为4-2)二1-D-=2. 2-1 2.A因为AB=(x十2,2,0)，所以AB=√(x+2)+4,所以AB的最小值为2. 3.B因为当x∈(x3,xs)时，f'(x)<0.当x∈（一∞，x3)时，f'(x)>0,所以f(x)在(x3xs) 上单调递减，在（一∞，x)上单调递增，故f(x)的极大值点为x 4.A因为A店=(，7,4)，所以点B到平面a的距离为A.a_18=65。 a 3 5.D因为铁片的四角被截去四个边长均为x的小正方形，所以无盖方盒的底面积为(20一 2x)2,高为.x.设方盒的容积为V(x).则V(x)=4x3一80x2+400.x(0<x<10).令V(x)= 12r-160x+400=40x-10)(3x-10)=0,得x-或x=10(会去).易知当x-9时，方 盒的容积最大 6.C因为A,C,D三点共线，所以AC/Ci.因为AC=a+3)e,十4e,+u+1)e,所以A十3 3 =2中1得X=-9=-3放X-=-6 7.A设g)=f巴则g')=f）f@,因为x-fx<0,所以gr)在0. 十∞)上单调递减 因为f(3)=0,所以g(3)=0,所以当0<x<3时，f(x)>0,当x>3时，f(x)<0,故不等式 (x一1)f(x)>0的解集为(1,3) 8.B因为9PM=8PA+Pi+5M心=8PA+Pi+5(PC-PM),所以14PM=8PA+Pi +5心，即Pi-号+P+P心.因为M是平面ABC内-点，所以号++是-1 所以t=1. 9.BCD因为MN=(1,3,9),所以MN1=√+9+8I=√，故B正确：若a⊥MN,则MN·a =x+3十27=0，得=-30，故C正确：若a/M不.则片-号号得x=号故D正确 l0.AB因为xe+x+lnx>ln(a.x)+a.x,所以e+mr+x+lnx>e+ln(ax). 令f(.x)=e'十x,则f(x)在R上单调递增，所以f(x+lnx)>f(ln(a.x), 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 等价于x+lnx>ln(a.x)恒成立，所以lna<x,即a<e.因为x∈(0，+oo),所以e>1,所 以0<a≤1，即a∈(0,1]. 11.BC由题意可知，DA⊥AB,CB⊥AB,则AD,BC所成角的大小等于水库底面与水坝斜面所 成的二面角的大小.因为DC-DA+AB+BC,所以DC1P=DA+AB+BC1?=DA1?+ AB12+BC12+2DA·BC.因为1DA1=12,1AB1=10,BC1=12,1DC1=10V5,所以 500=144+100+144+2×12×12×cos(DA,BC), 解得cs〈D,B心)=及所以水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为一区 7 过点C向水库底面作垂线，垂足为M,连接DM,BM(图略)，则∠CDM即为直线CD与水 库底面所成角的平面角， 因为BC=12,cos∠CBM=,所以CM=BC·sin∠CBM=12×5_10T,所 18 3 以直线CD与水库底面所成角的正弦值为 CM_10T_55 CD3×105 15 f(5+3△)-f(5) 12.-35因为f'(x)=-2sin2a,所以f(5）=-3,所以im △x f(3+3△x)-f(5) 3 lim 34 3△x =3f(5)=-33. 13.52 因为向量a=(9,1,1),b=(1,1,0),所以向量a在向量b上的投影为a|cos〈a,b〉= a·b_10=52. b2 14.V2:27令f(x)=e2-x,则f(x)=2e2-1,(x)=4e.因为f(0)=1f(0)=4, 所以曲线y=e一x在点(0，f(0)处的曲率为广'(0l 4 =√2. (1+(f'(0)2)(1+1) 1 令gx)=lnx,则g'(x)-是g'()=- 之，所以K: (1+) (1+x2)3 令h)=a千则h(x)2z2_ (1+x2) (1+x2) 一.因为x>0, 所以h(r在0，号)上单洞递增在（受+）上单调递减，所以极大值为6（侵）-品 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 15.解：取BC的中点O,连接OA,以O为坐标原点，OB,OA所在直线分别为x,z轴，建立如图 所示的空间直角坐标系O-xy2, 由AB=2,知A(0,03),B(1,0,0),B1(1,6,0),A (0,6,5),D(-1,3,0).…3分 (1)设点B到直线A,D的距离为d,因为BD=(一2，号 3,0),A1D=(-1,-3,-√5)，…5分 所以d= BD?- BD·AD2 492/390 /13 13 13 …8分 ADI (2)因为AB=(1,6,-3).BD=(-2,3,0), 9分 所以cos(AB,BD)= AB,·BD 16 4/130 ,…12分 |ABBD√13X210 65 w/130 所以异面直线AB,与BD所成角的余弦值为 65 13分 16.解：(1)因为f(x)=x3十m.x2十m.x,所以f(x)=3.x2十2m.x十.…2分 因为f(x)在R上单调递增，所以f'(x)≥0恒成立，…4分 则△=(2m)2一12m≤0，解得0≤m≤3，即实数m的取值范围是[0,3].…7分 (2)因为m=-1,所以f(x)=x3-x2-x,所以f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1). …9分 由fx)>0,得r<-3或x>l:由了x)<0,得-3<r<1, 可知fx)在[-2，-），1,2]上单调递增，在[-子，]上单调递减 .……12分 因为f(-2)=-10f(-号）-27f0=-1f2)=2,…14分 所以f(.x)在[-2,2]上的值域为[-10,2]. …15分 17.解：(1)因为f(x)=2e-a.x2,所以f'(x)=2e-2a.x.… …1分 2e-a=-a-b, a=0, 因为f(1)=2e-a,f'(1)=2e-2a,所以 解得 …4分 2e-2a=-b. b=-2e. (2)因为了(x)在(0，十∞)上有两个零点，所以关于x的方程二-a=0有两个不同的根， 等价于直线y=0与曲线)y-二有两个交点。 …5分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 令g)琴则g)2 2,由g'(x)>0,得x>2,由g'(x)<0,得0<x<2, 所以g(x)在(0,2)上单调递减，在[2，十o∞)上单调递增.…7分 因为g(x)=g(2)=号，且当x→0时，g(x)→+o∞，当x+oo时，g(x)+o,= …8分 所以a的取值范围是（号，十∞）。 …9分 (3)因为a=2,所以f(x)=2e-2x2,f'(x)=2e-4.x.…10分 设切点为(xa,2e-2x),则切线方程为y-(2e°-2.x)=(2e一4xo)(x-x), 将点(0,2)代人，整理得(x0一1)(xo十1一e0)=0.…11分 令h(x)=x十1-e,则h'(x)=1一e',所以h(x)在(-o∞，0)上单调递增，在(0，十∞)上单 调递减，所以h(x)mx=h(0)=0.…12分 因为方程x十1一e=0有唯一的根0，所以方程(x。一1)(xo十1一e)=0的根为xo=1或 0=0.…13分 当x0=1时，切线方程为(2e一4)x一y十2=0；… 14分 当x。=0时，切线方程为2x一y十2=0. 15分 18.(1)证明：由题可知△ABC为等边三角形， 因为∠BAD-经，所以∠CAD= …1分 在△ACD中，因为AD=2AC,∠CAD=5,所以CD1AC.… 2分 因为CD⊥PC,且AC∩PC=C,所以CD⊥平面PAC.…4分 因为PAC平面PAC,所以CD⊥PA.… …5分 (2)证明：连接BD,交AC于点N,连接MN.·6分 因为BC∥AD,所以△BCNC△DAN.…7分 因为AD=2BC,所5祭-子 …8分 因为币-Pi,所以瑞N-,所以MN/PB. …9分 因为MVC平面MAC,PB￠平面MAC,所以PB∥平面MAC. …10分 (3)解：由(1)可知PA⊥平面ABCD.…11分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 以A为坐标原点，以AD,A户的方向分别为y,之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系A-xye,不妨设AD=12,则B(33,-3,0),C(3√3,3,0)，P(0,0,6),M(0,4,4). …12分 设平面MAC的法向量为n=(x1,y1,1),因为AC=(33,3,0),AM=(0,4,4), n·AC=3v3x1+3y1=0 所以 令x1=1,得n=(1,一3，w3）.…14分 n·AM=4y1+41=0, 设平面PAB的法向量为m=(x2,y2,2),因为AB=(33,-3,0),A户=(0,0,6)， m·AB=33.x-3y2=0, 所以 令x2=1,得m=(1,w3,0). …16分 m·A户=6x2=0, 设平面MAC与平面PAB的夹角为a, m·n 2 则cosa=|cos(m,n)|= 1mn7x27' 今 所以平面MAC与平面PAB夹角的余弦值为 17分 19.(1)解：因为f(x)与g(x)为“契合函数” 所以存在x∈(0，+∞)，使f(x)十gx)=-nx-1+ax=0,即关于x的方程a=血r+1 无 有根.…2分 设mr)n中，则mc)=三.当xe0.D时，m>0.m)单调递销，当x∈ (1,十o∞)时，m'(x)<0,m(x)单调递减，所以m(x)x=m(1)=1.…4分 因为f(x)与g(x)只有一个“契合点”，且当x>1时，m(x)>0,当x<时，m(x)<0, 所以a∈(—0∞，0]U{1}.…5分 (2)①解：因为p(x)与q(x)为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”x:,x2, 所以存在x1,∈(0，+∞)，使e-xnx十bx-1=0,即关于r的方程b=lnx十1-g 有两个相异正根X1,x2,…6分 设hx)=nx+(x>0.则h)=号eD--1=e 。…7分 因为x>0,所以1-e<0. 当.x∈(0,1)时，h'(x)>0,h(x)单调递增：当x∈(1，十o∞)时，h'(x)<0,h(x)单调递减. 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 故h(x)mmx=h(1)=1一e,即实数b的取值范围为（一o∞，1一e).…10分 ②证明：不妨设<r,则0<x<1<c.设F(x)=h()-h(）,则F'(x)='(x)十 g)==-o+是.a- ）(x-10-e=x+xe） ，…12分 () 令p(x)=1-e-x+xe2,则p'(r)=-e-1+e-1e=-e-1+1e, 当x∈(0,1)时，o'(x)<0,所以o(x)在(0,1)上单调递减， 所以当x∈(0,1)时，9(x)>e(1)=0,所以当x∈(0,1)时，F'(x)<0,所以F(x)在(0,1) 上单调递减. …14分 当x∈(0,1)时，F(x)>F(1)=0,所以当x∈(0,1)时，h(x)>h(),所以h(x1)> 。。。。。。。。。t。。t。。t。。t。。t。。t。。t。。 15分 因为M(x)=n(),所以A(x:)>()】 因为，∈1，十o).且A)在，十∞)上单调递减所以x<即x4.…17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】2.定义在(。→)上的数z7的导涵数为广(x);若zr)一/)./(3.则 高二数学期中考试试卷 第式(r-1f()0的解集% C:(0.a) A.(1,) I.t1.2 D.(3.干) 注意事项: 5.在三校P-ABC中.M是平面ABC内-.且5PM-P+P+. .A B C2 1.答题前,考生务必略自已的姓名,考生号、考场号,座位号填写在答题卡上. n.1 2.答选择题时,选出每小题答奖后,用铅笔起答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改,用橡度擦干净后,再选涂其他答案际号,同答非选择题时,将客案写在 二、选择题:本题共3小题,每小题5分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目 答题卡上,写在本试卷上无效。 求,全解选对的得(分,题分选对的得部分分,有选错的得0分 { 3.考试结声后,将本试卷和答题卡一并交. 9.已向a=(1.3.点M1C.-3)V(23.6.则下列项确是 4.试卷丰要考试内客:阅教贬选择结必修第二析用一,二意 A.. B1M_可 一、选择题;本题共5小题,幅小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合 C.著a1则--30 题目的. D.看./:期:-1 1.孟数y=-'-:在区间[1,2]上的平均变化率为 A 2 : 10.若不等式ze十个lnxnaz)一&r幅成立,则实数a的取慎可能是 是 C2 2.已知空闯中有两个动点A01-:.2-2r),B(3,4-xx),期AB的最小值为 1 D. A.2 B4 D6 。 11.图,甲站在水阵底面上的点D处.乙站在水现料面上的点C处,测得从D.C到水 3.已知涵数)的导涵数了()象如图所示,则/f(r)的段 与水现料面的交线AB的距离分别为DA-12m.CB-12m.又测得AB的长为10m.CD _ 1 大点为 的长为10./5m.期 A.: A.水库容面与水规料面断度的二面角的余兹为--1 1 B.i C. D. 4.已封点A(2.1.1在平面。内,点8(,8.53在平面。外,且面。一个内量为.-(1ì D.直线CD与水库度面新成角的正是值为0 1.题点B到喜。的题离为 A.{ C. D35 且62 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 5.将一个边长为20的正方形铁计的四角数去四个边长均为c的小正方形,成一个无盖方盒. (+)-/(是) 12.已知涵数f(r)-ens2r.则lim 当方盘的容积大..- n0 13.已知高量4-(9.1.13.-(1.1.0.侧向量a在内量上的段影为△ A. 14.量鼓线曲程现的重要指标是在来,曲线的由率定又如下;广(r)是/(r)的导函数. 6不共面,如-+2一B++(--2十看 子)是/(2)的涵数,则线y-f(-)在点(-(-)是的K1(2)1 +”) A.C.D三点共规,期1一” A.; 由线5“一在点(0。f(D))处的些为 △,设图线y-ln:的由率为K,则K B2 C- D.-12 的校大为△: !二学 第1西(共4页】 1高二 第2共4高1 四、解答题:本题共5小题,共77分,答应写出文字说路,证过程或演步 18.(17分) 15.(13分) 如图,在四梳P-ABCD中,PAIAB.PCICD.BC/AD 乙BAD-.PA-AB=BC 如图,在正三梳桂ABC-A.B.C.中.AA.-3AB-6.D为CC.的中点 (1)求点B到直续A.D的距高; -AD.P-Pat (2)求异面直线AB.与BD所或的余夜慎 (1.CDIpA (2)F.PB/图MAC (3)求平面MAC与平面PAB夹角的余弦值 16.(15分) 已知涵数)--+m+nr (1)若f(-)在B上单满增,求实数的取值范图 15.(17分) 1 (2)看““-1.f)在一2.21上的值 定义:若涵数f)与(2)在公其定义境内存在七,使等f(x。)+(2:)一0.则称() r(2)为“含涵数”,上。方“起点” (1)若f(x)一-lnz-1与g(x)一ar为”望合涵数”,且只有一个”契合点”,求实数a的取 范. ) (23r)一一xln:与a(z)-b一1为”漏数”,且有两个不同的”翼合点”、、 ①占的取选围: ②证明xr二1. 善 17.(15分) 已知函数f0r)”-- & (1看线y“f)在点(1.f(1))是的切线方数为h干y+0,求a (2)若/f(x)在(0,+0)上有两个零点,求a的取值范现 (3)著&-2.过点(0.2)向虚线y三f(r)作切线,求线的方程 【高二数 第3页其4页! 1高二8字 第4(4%】