第十章二元一次方程组　同步讲义　2024—2025学年苏科版七年级数学下册

10.5用二元一次方程组解决问题（3） 班级： 姓名： 使用日期： 评价： 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： . 例1.某铁路桥长2120m，现有一列高铁列车从桥上通过.某人测得该列车从开始上桥到完全过桥共用了31s，整列列车完全在桥上的时间共22s.求列车的平均速度和长度. 例2.小明、小亮在400m的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发，如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇.若小明比小亮跑得快，求小明、小亮跑步的平均速度分别是多少？ 1. 小红和姐姐相距1,6km，如果她们同时出发且相向而行，那么经过10min两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发10min，那么在小红出发后15min姐姐追上小红.小红、姐姐的平均速度分别是多少？ 2. A、B两地相距96km，一艘船若从A地出发，则顺水航行4h到达B地；若从B地出发，则逆水航行6h到达A地.求该船在静水中航行的平均速度和水流平均速度. 3. 甲、乙两列火车的长为144m和180m,甲车比乙车每秒多行4m.两列火车相向而行,从相遇到全部错开需9s,问两车的速度各是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.4三元一次方程组 班级： 姓名： 使用日期： 评价： 三元一次方程组: . 《九章算术》“方程”章第一个问题大意是：上等稻三捆，中等稻两捆，下等稻一捆，共收获粮食三十九斗；上等稻两捆，中等稻三捆，下等稻一捆，共收获粮食三十四斗；上等稻一捆，中等稻两捆，下等稻三捆，共收获粮食二十六斗.求上等稻、中等稻、下等稻各一捆，分别收获多少斗粮食.如何解决这个问题？ 像这样，把 联立在一起，就组成了一个三元一次方程组. 例1：解方程组： 方法归纳： 类型一：有表达式，用代入法 类型二：缺某元，消某元 类型三：相同未知数系数相同或相反，加减消元法 1、解下列方程组： 2.解下列方程组： 3.在等式 中，当时，;当时，;当时，. 求的值. 4.拓展练习:已知，，则 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1 二元一次方程 班级： 姓名： 使用日期： 评价： 1、 学习目标 1. 二元一次方程：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数 的方程. 2. 叫做这个二元一次方程的一个解. 某市中学生篮球联赛积分规则规定：赢一场得2分，输一场得1分。某球队本次联赛的目标是积20分。怎样描述该球队恰好完成目标时的输、赢场数与积分之间的关系？你能列出该球队输赢场数的所有可能情况吗? 思考：某球员在一场篮球比赛中共得35分(其中罚球得10分)。怎样描述该球员投中的两分球、三分球与得分之间的相等关系？ 请列出这名球员投中的两分球和三分球的各种可能情况： （1） 这名球员最多投中了多少个三分球？  （2） 这名球员最多投中了多少个球？  （3） 如果这名球员除罚球外投中了10个球，那么他投中了几个两分球？几个三分球？ 二元一次方程定义: . ，叫做这个二元一次方程的一个解. 例1.把方程写成用含的代数式表示的形式，并写出方程的四个解. 例2.在某次中学生环保知识竞赛中，规定抢答题答对一道得5分，必答题答对一道得3分，答错不扣分.小明抢答题答对道，必答题答对道，得了20分.请列出关于,的二元一次方程并写出这个方程符合实际意义的解. 1.已知:是二元一次方程，mn＝ . 2.已知　　 　 是方程2x＋ay＝5的解，则a= . 3.把下列两个二元一次方程分别写成用含y的代数式表示x的形式，并求方程的正整数解. (1) x+3y=7 (2) 4x+3y=32 4.甲种面包每个2元,乙种面包每个3元,现在某人买了x个甲种面包和y个乙种面包共花20元。回答下列问题： ①列出关于x、y的二元一次方程: . ②如果x＝7，那么y的值是多少？ ③如果乙种面包买了4个，那么甲种面包买了多少个？ ④你有几种购买方案？如果两种都要有，那有几种方案呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.5用二元一次方程解决问题（1） 班级： 姓名： 使用日期： 评价： 用二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤: . 归纳用方程组解决问题的一般步骤: （1）审 已知量、未知量 （2）找 表示实际问题意义的两个相等关系 （3）设 两个未知数 （4）列 二元一次方程组 （5）解 这个方程组 （6）检 结果是否与实际相符 （7）答 例1：在班级联欢会筹备工作中，小明负责购买奖品，他用420元购买吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”共10个.已知“冰墩墩”48元/个，“雪容融”38元/个，小明购买两种吉祥物各几个？ 1.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为8元/辆，小型汽车的停车费为6元/辆.现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费360元，中、小型汽车各有多少辆？ 2.为保护环境,某校环保小组成员收集废旧电池.第一天收集5节1号电池,6节5号电池,总质量为500克；第二天收集3节1号电池,4节5号电池,总质量为310克.1节1号电池和1节5号电池的质量分别是多少? 3.一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果把它的个位数字与十位数字对换，那么所得的两位数比原数大45.求这个两位数. 3. 用一根绳子环绕一棵大树，如果环绕大树3周，那么绳子还多4尺；如果环绕大树4周，那么绳子少了3尺.这根绳子有多长？绳子环绕大树1周需要多少尺？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 小结与思考 班级： 姓名： 使用日期： 评价： 1.只有______未知数,并且所含未知数的项的次数都是______,系数都不是________的整式方程,叫做二元一次方程. 2.使二元一次方程两边的值______________的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. 3.由___________________组成,共有两个未知数的方程组,叫做二元一次方程组. 4.方程组的解法__________________、______________________. 5.列二元一次方程解决实际问题的一般步骤________________________________________. 探究（一） 1.若是关于的二元一次方程，则 ， . 2.若和是同类项，则的值分别是________________. 探究（二） 1.已知是关于 的二元一次方程组 的解，求的值. 例1. 解方程组 例2.把一些图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则还缺 25 本. 这个班有多少学生？图书一共多少本？ 1.已知方程组 的解为 , 则的值为(　　) A． 4 B．6 C．－6 D．－4 2.用加减法解方程组时，若要消去y，则应( ) A． ①×3＋②×2 B．①×3－②×2 C．①×5＋②×3 D．①×5－②×3 3.已知方程组则的值为 ______________________ ． 4.解方程组： （1） 5.某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需60元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需156元． (1) 求大、小两种垃圾桶的单价； (2) 该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？ 6.随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按元公里计算，耗时费按元分钟计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 时间（分钟） 里程数（公里） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 12 10 16 （1）求的值； （2）如果小华也用该打车方式，打车行驶了11公里，用了14分钟，那么小华的打车总费用为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3解二元一次方程组（2） 班级： 姓名： 使用日期： 评价： 加减消元法：把方程组的两个方程（或做适当变形）的左、右两边分别 ，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解 . 解方程组： . 变式：解方程组： . 把方程组的两个方程（或先做适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程的方法叫做加减消元法（简称加减法） 例2.解方程组 步骤：1.变形：使其中一个未知数的系数相等或互为相反数 2. 加减：系数相同时相减，互为相反数时相加 3. 解一元一次方程. 4.代入：选择较简单方程求另一个未知数的值 5.写：方程组的解，用｛ 6.检验：代入原方程组 例3.解方程组： 1.解下列方程组: (1) （2） （3） 2.解下列方程组： 3.已知 是二元一次方程组 的解，则 的值为_____ . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3解二元一次方程组（1） 班级： 姓名： 使用日期： 评价： 1、 将方程组中一个方程的 用含有 的代数式表示，并代入另一个方程，消去 ，从而把解二元一次方程组转化为解 ，这种解方程组的方法叫代入消元法. 解二元一次方程组: . 【归纳】 上面解方程组的基本思路是“消元”，把“二元”变为“一元”. 用代入消元法解二元一次方程组的步骤： （1）变形(用代数式表示一个未知数)； （2）代入(消元)； （3）解一元一次方程(求一个未知数值)； （4）(代入求另一个未知数的值)确定方程组的解. （5）检验 例1.解二元一次方程组: . 变式;可以消去未知数，解例1中的方程组吗？ 1.用代入消元法解下列方程组： 2.一个长方形的长是宽的3倍，如果长减少3 cm ，宽增加4cm ,这个长方形就变成了一个正方形.求这个长方形的长和宽. 3. 已知关于x、y的二元一次方程组 的解是则a=____, b=_____. 4.已知关于x、y的方程组 与方程组 有相同的解.求出这个解及a、b的值. 5.已知关于x、y的方程组 与方程组 有相同的解,求出这个解及a、b的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2二元一次方程组 班级： 姓名： 使用日期： 评价： 1. 把含有 的两个二元一次方程 所组成的方程组叫作二元一次方程组． 2. 二元一次方程组的解： . 在某市中学生篮球联赛中，一球队赛了12场，积22分.根据“赢一场得2分，输一场得1分”的积分规则，该球队赢了几场？输了几场？ 二元一次方程组．把含有 的两个二元一次方程 所组成的方程组. 在上述问题中，你能找到同时满足两个方程的的值吗？ 二元一次方程组的解： . 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 你能解决这个有趣的鸡兔同笼问题吗？ 1.下列选项中是二元一次方程组 的解是（ ） 2.某班学生39人，到公园划船，共租用9只船，每只大船可坐5人，每只小船可坐3人，每只船都坐满。问：大船、小船各租了多少只？ 3.小明在做摸球游戏，猜猜看摸到一个红球可以得几分，一个绿球可以得几分？ （1）我摸到1个红球，3个绿球，共得到11分，猜猜看！ (2)我又摸一次，摸到3个红球，2个绿球，共得到12分，再猜猜看！ 问题：有没有哪个解是同时满足这两个方程的？ 4.已知关于 x、y 的二元一次方程组 的解满足 求 的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.5用二元一次方程组解决问题（2） 班级： 姓名： 使用日期： 评价： 复习回顾 ： 1、用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？ 2、用二元一次方程组解决实际问题的关键是什么？ 例1：某市采用价格调控手段引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过180m3时，按基本价格收费；超过180m3时，超过的部分要加价收费.该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示，求该市居民用水的两种水价. 居民 用水量/m³ 水费/元 甲户 190 970 乙户 230 1250 在上题中，如果某户居民去年交水费935元，那么该户居民的用水量为多少立方米？ 例2：劳动周中，某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么可比计划多做9个；如果每人做4个，那么将比计划少做15个.该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？ 1. 班级图书管理员从学校图书馆借来一批图书，如果全班每人分3本，那么剩余20本；如果全班每人分4本，那么还缺25本.这个班有多少名学生？这批图书共有多少本？ 2. 运送两批救灾物资，第一批360t，用6节火车皮和15辆汽车正好装完，第二批440t，用8节火车皮和10辆汽车正好完全装完.每节火车皮和每辆汽车平均能运送多少物资（单位：t）? 3.邮购每册6元的杂志，邮寄费和优惠率如下表： 两次邮购这种杂志共200册，总计金额1140元，两次邮购杂志各多少册？ 4.某厂生产甲、乙两种型号的产品，生产一个甲种产品需时间8s、铜8g，生产一个乙种产品需要时间6s、铜16g，如果生产甲、乙两种产品共用1h，用铜6.4kg，甲、乙两种产品各生产多少个？ 学科网（北京）股份有限公司 $$