8.5.1 直线与直线平行 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.5.1《直线与直线平行》导学案 一、学习目标 1. 理解并掌握基本事实4及等角定理的内容，能准确运用其进行逻辑推理，判断空间直线平行及角的关系。 1. 通过观察实例与模型，提升直观想象能力，构建空间图形。 1. 运用定理解决几何问题，提高数学运算能力，规范运算步骤。 1. 学会将实际问题抽象为数学模型，运用定理求解，增强数学建模素养。 二、知识回顾 1. 平面的基本事实1 - 3及其推论的内容和作用是什么？ (1) 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。作用是确定平面的依据，比如我们可以用这个事实来确定一个三角形所在的平面。 (2) 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。它用于判断直线是否在平面内，例如已知直线上有两个点在某平面，就能得出该直线在这个平面。 (3) 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。此事实可用于确定两个平面的交线。 (4) 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。例如在确定一个旗杆和地面上一点所确定的平面时可应用。 (5) 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。用于确定两条相交直线所在平面。 (6) 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。能帮助我们确定平行直线所在平面。 1. 空间点、直线、平面之间的位置关系有哪些？直线与直线的位置关系具体是什么？ (1) 空间点、直线、平面之间位置关系有点与平面（点在平面内、点在平面外）、点与直线（点在直线上、点在直线外）、直线与平面（直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交）、平面与平面（平行、相交）。 (2) 直线与直线的位置关系有相交直线（在同一平面内，有且只有一个公共点）、平行直线（在同一平面内，没有公共点）、异面直线（不同在任何一个平面内，没有公共点）。 三、合作探究 （一）基本事实4的探究 1. 思考：在平面几何中，两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行。在空间中，该结论是否成立？ 1. 观察：观察长方体模型，判断若（假设为长方体中某条棱，为与之平行的棱 ，为另一条与平行的棱），时，与是否平行；观察教室中黑板边所在直线和门框所在直线都平行于墙与墙的交线时，直线与是否平行。 1. 归纳：基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行。 (1) 文字语言： (2) 图形语言： (3) 符号语言： 1. 拓展：将一张纸进行折叠，思考各折痕及边之间的关系，得出在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行。 （二）等角定理的探究 1. 思考：平面上，若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。在空间中，该结论还成立吗？ 1. 观察：观察四棱柱模型（底面为菱形），分析与、与的两边分别对应平行时，这两组角的大小关系。 1. 归纳：等角定理：如果空间中两个角和的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 1. 证明：（学生自主完成） 四、学以致用 （一）例题讲解 1. 例1：空间四边形 中, 分别是边 的中点,求证: 四边形 是平行四边形。 分析：要证四边形是平行四边形，需证一组对边平行且相等。利用中位线定理得到且，且，再应用基本事实4证明且。 思考：若加上条件，四边形是什么图形？ 例2：在正方体 中, 分别是棱 和 的中点。 求证: 四边形 为平行四边形。 分析：通过基本事实4证明，且。利用正方形性质及中点条件，在正方形中，因为为中点，可得 ，又且，是中点，所以，从而得出且 ，所以四边形是平行四边形，进而且，又且，所以且，得证。 （二）练习巩固 1. 完成课本135页练习。 1. 补充练习：（学生自主完成） (1) 在三棱柱中，，分别是，的中点，求证：且。 (2) 在正方体中，，分别为棱，的中点，判断与的位置关系，并证明。 (3) 已知空间四边形，、分别是、上的点，、分别是、上的点，且，，判断四边形的形状并证明。 五、课堂小结 1. 回顾基本事实4的内容、作用，等角定理的内容及证明两角相等的方法。 1. 梳理典型例题的解题思路，总结运用定理解决问题的要点。 六、作业布置 1. 必做题：完成课本135页练习；完成对应课时作业中的基础和综合部分。 1. 选做题：思考在空间中，若三条直线，，，与异面，与异面，那么与的位置关系并证明；预习下一节直线与平面平行的判定方法。 学科网（北京）股份有限公司 $$