新高考中第十九题的常考模型-2025届高三数学二轮复习

新高考中第十九题的常考题型 一、知识讲解 新高考中，由原来的二十二道题变为十九道题后，第十九题有一定的难度，现将常考的模型，立体几何，圆锥曲线，导数，数列和概率做一总结，供大家分析研究。 二、例题精析 知识点一、概率类题型 【例题1】（2025•揭阳模拟）一个质点在数轴上从原点开始运动，每次运动的结果可能是原地不动，也可能是向左或向右运动一个单位．记质点原地不动的概率为 ，向右运动的概率为 ，向左运动的概率为 ，其中 ， ， ． （1）若 ， ，求质点运动3次后停在原点右侧的概率； （2）若 ． ①规定质点只要运动到原点左侧就立即停止运动，求质点运动5次后停在原点右侧的概率； ②设计游戏规则如下：第一轮游戏，质点从原点开始运动，设置质点向右运动的概率 ，若质点运动3次后停在原点右侧，则进入第二轮游戏，否则游戏结束； 第二轮游戏，质点重新从原点开始运动，重新设置质点向右运动的概率 ，运动3次后，若质点停在原点右侧，则以质点停留位置对应数轴上的数值作为两轮游戏的最终得分，若质点停在原点左侧或原点处，则两轮游戏的最终得分为0分（规定游戏一轮结束的得分也是0分）．记两轮游戏最终得分的期望 ，若 存在极大值点，求 的取值范围． 解：（1）质点运动3次后停在原点右侧的情况有4种，分别是：3次向右；1次不动、2次向右；2次向右、1次向左；2次不动、1次向右， 所以质点运动3次后停在原点右侧的概率 ； （2）①质点运动5次后停在原点右侧的情况有4种：5次向右； 第1次向右、后4次有3次向右1次向左； 前2次向右、后3次有1次向右2次向左； 第1次向右、第2次向左、第3次向右、后2次有1次向右1次向左， 所以质点运动5次后停在原点右侧的概率 EMBED Equation.DSMT4 ； ②第一轮游戏结束进入第二轮游戏的情况有2种，分别是3次向右；2次向右，1次向左， 其概率为 ， 设两轮游戏最终得分的随机变量为 ，则 的所有可能取值为0，1，3， 易知 的期望 仅与 ，3的概率只有关， 因为 ， ， 所以最终得分 的期望 ； 因为 ，所以 ，即 ， 所以当 时， ；当 时， ， 记 ，求导得 ， 记 ， 当 时， ， 因为 ， （a） ， （2） ， 所以由零点存在定理，存在 ，使得 ；存在 ，使得 ， 当 时， ；当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减， 所以 是 的极大值点，所以 ， 当 时， ， 因为 ， （1） ， （2） ， 所以由零点存在定理，存在 ，使得 ；存在 ，使得 ， 若要使得 在 上存在极大值点， 则 ， 解得 或 ，因为 ，所以 ， 综上所述， 的取值范围为 ． 【例题2】（2025•淮北模拟）在组合数学、表示论和数学物理中，“ 数”是一种通过引入参数 对经典数学对象进行推广的概念，由物理学家保罗 狄拉克首先使用，对量子力学的发展意义重大．定义“ 数”： ，其中， ，1， ．利用“ 数”可以进一步定义两个概念：“ 阶乘”： （1） （2） （3） ，且 ，“ 组合数”： ， ． （Ⅰ）计算（3） 和 的值； （Ⅱ）证明：对任意 ， ， ， ； （Ⅲ）证明：对任意 ， ， ， ， ． 解：（1）由题意知 ， EMBED Equation.DSMT4 ． （2）证明：因为 ， 所以 ，即 ． （3）证明：由（2）知 ，所以 ， ， ， ， 将上述 个等式左右两边分别相加得 ． 【例题3】．（2025•鹰潭二模）为落实食品安全的“两个贵任”，某市的食品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有6位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议． （1）设参加会议的专家代表共 名，求 的分布列与数学期望． （2）为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见．已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，两个部门都各自邀请了20名代表，假设收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，请利用极大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数． （附：极大似然估计 即最大概率估计，是统计学用于估算模型参数的方法，通过观察数据使样本出现的概率最大化，即当 时，概率 取得最大值，则 的估计值为 解；（1） 的可能取值为2，3，4，则 ， ， ， 则 的分布列为： 2 3 4 ； （2）设食品监督管理部门邀请的代表记为集合 ，卫生监督管理部门邀请的代表为集合 ， 则收到两个部门邀请的代表的集合为 ．设参加会议的群众代表的人数为 ， 则 （元素数量）． 设 ，则 ，设 ，则 ， ， ， 同理： ， 令 ，得 ， 即 ， 解得 ，又 ，所以 ，故由极大似然估计知参加会议的群众代表的人数为36． 【例题4】（2025•重庆模拟）一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有 的概率分裂为两个新细胞， 的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡．新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立，如此繁衍下去．某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过 个生命周期的分裂情况，将第 ，2， ， 个生命周期后的活细胞总数记为随机变量 ． （1）若 ． 求随机变量 的分布列和期望； （Ⅱ）求事件“ ”的概率； （2）已知在 的条件下， 的期望称为条件期望 ，其定义为 ，试求条件期望 和 的期望 ． 解：（1） 依题意， 的所有可能取值为1，2，3，4， ； ； ， ， 所以 的分布列为： 1 2 3 4 的数学期望为 ． （Ⅱ）事件 ，即细胞在 个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞， 且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞， 记事件 ，2， ， 表示“细胞只在第 个周期分裂为2个新细胞”， 则 ， ， ， 两两互斥， 且 ， 而 ， 因此 ， 所以事件“ ”的概率为 ． （2）在 的条件下， 的可能取值为 ， ， ， ， ， 则 ， ，2， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故 ， 由全概率公式得 ， 于是 的期望 ， 则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 又 ，所以 ，即 的期望为 ． 【例题5】（2025•安徽模拟）在博弈论中，如果一个游戏满足：（1）游戏有两个人参与，二者轮流做出决策，双方均知道游戏的完整信息；（2）任意一个游戏者在某一确定状态可以做出的决策集合只与当前的状态有关，而与游戏者无关；（3）游戏中的同一个状态不可能多次抵达，游戏以玩家无法行动为结束，且游戏一定会在有限步后以非平局结束．则称该游戏为公平组合游戏． 现有两堆石子，每堆分别有 颗和 颗石子，其中 ， 为正整数且 ．甲和乙准备用这两堆石子做游戏，规则如下：（1）甲和乙轮流进行游戏，将一定数量的石子取出：（2）每人每次可以从两堆石子中同时取出相同数量的石子（不多于较少一堆石子的数量）或从任意一堆石子取出任意多只石子（均不可以不取）；（3）最先使两堆石子均没有石子的人获胜，游戏结束． （1）试说明该游戏为公平组合游戏； （2）称游戏中最先行动的游戏者为先手，已知公平组合游戏中的任一状态都能确定为先手有必胜策略的状态（记作 状态）或先手无必胜策略的状态（记作 状态）这两种状态中的一个，用 表示两堆石子分别有 颗和 颗石子的状态，试分别判断 ， 为 状态还是 状态并说明理由； （3）试判断当 ， 满足何种数量关系时甲作为先手无必胜策略并说明理由． 附：若 ， 均为正无理数且 ， ， ，则 且 ，其中 表示不超过 的最大整数． 解：（1）该游戏满足公平组合游戏的三个条件： 1．两人参与，轮流决策，完全信息：甲和乙轮流操作，双方均知道两堆石子的数量； 2．决策集合只与当前状态有关：每个玩家在任一状态下的可行操作仅取决于当前两堆石子的数量； 3．状态不重复且有限步结束：两堆石子数目有限，每次操作石子数减少，游戏必然在有限步之内结束，且无平局． 所以，该游戏为公平组合游戏． （2）①状态 此状态下，所有可能操作有以下情况： 若先手从两堆中同时取1颗得到状态 ，对手只需取剩余1颗获胜； 若先手从任一堆中取出可取的任意只石子，对手直接取剩余石子获胜； 故所有可能的操作均导致对手直接获胜，因此 是 状态（先手无必胜策略）； ②状态 此状态下，先手存在如下必胜策略： 先手从两堆中各取5颗得到状态 ，由①可知，先手必胜； 因此 ， 是 状态（先手有必胜策略）． （3）由附结论，设正无理数 ， ， ， ， ， 令 ， ，令 ， 联立 ，由 ． ，解得 ． 由此构造数列 ， ，令 ， ， ， 验证知， ， 即 对任意 成立，且 时，上式也可视为成立． 定义状态 ， 为“ 状态”，如：状态 ， ， ， ， ， ， ，等都是“ 状态”， 由题意可知， ， 与 ， 可视为同一状态，均为“ 状态”， 且任意不同“ 状态”，对应不同的差值 ，即 ，且差值随着 的减小，差值减小． 以下称 ， 为“ 状态”的分量，称分别有 颗和 颗石子的两堆石子记为 堆与 堆． 下面先分别证明“ 状态”具有以下性质： 性质①任何正整数都是某一个“ 状态”的分量，且仅是其中一个“ 状态”的分量． 由 ， ，可知 ， 均为正无理数，且 ， 故满足附结论，设 ， ，则满足 且 ， 即任何正整数都是某一个“ 状态”的分量，且仅是其中一个“ 状态”的分量， 故得证． 性质②任意“ 状态”，若可继续操作，通过任何下一手操作，得到的状态都是非“ 状态”， 设“ 状态” ， ，则下一手取法有以下情况： 若只从其中一堆中取石子，则改变“ 状态”的某一个分量，得 或 ， 而根据性质①可知，另一个分量 或 不可能在其他“ 状态”状态中，所以必不是“ 状态”； 若同时从两堆中取走相同数量个石子， 则“ 状态” ， 的两个分量 ， 同时减少相同的数值， 由 的递增特点，可知新状态不可能是其他“ 状态”分量的差值， 因此也必不是“ 状态”． 故任何下一步取法，得到的状态都不是“ 状态”，得证． 性质③对于任意非“ 状态”，总可以通过一次操作将其变为“ 状态”， 若当前状态 为非“ 状态”，由 ，令 ， ， ， 若 ，即 ，则经过同时从两堆中取走 个石子的一次操作， 得到的状态 ，即“ 状态”； 若 ，则 ， ， ， 由性质①可知正整数 必为某一个“ 状态”的分量，且仅是这一个“ 状态”的分量， 若存在正整数 ，使得 ，由 为非“ 状态”，则 ，分类如下： 若 ， ，则可以从 堆中取走 个石子， 则变为状态 ， ， ，即为“ 状态”； 若 ， ，则可以同时从两堆中取走 个石子， 则变为状态 ， ， ， ，即为“ 状态”； 若不存在正整数 ，使得 ， 则存在唯一正整数 ，使得 ，分类如下： 若 ，则 ，则从两堆中各取 个石子， 则状态变成 ， ， ， ，即为“ 状态”； 若 ，则由性质①可知， 则必存在正整数 ，使得 ，且 ， 则可从 堆里取走 个石子，变为状态 ， ， ， 这与 ， 可视为同一状态，故也为“ 状态”； 综上，对于任意非“ 状态”，总可以通过一次操作将其变为“ 状态”． 由上“ 状态”的性质分析，可以得到： 若先手面对当前状态为非“ 状态”，则总可以有下一步操作， 且先手通过一次操作就可将其变为“ 状态”，而后手又不能通过一步将其变回“ 状态”， 经过一个回合后，先手面对的状态仍为非“ 状态”； 如此下去，在可操作的任意回合后，先手始终面对状态为非“ 状态”， 而后手面对的“ 状态”的分量越来越小，直至游戏结束时其面对“ 状态”为 ； 故后手必败，所以非“ 状态”为先手有必胜策略的状态，即为 状态； 若先手面对当前状态为“ 状态”，则先手无必胜策略，故为 状态． 综上所述，当 ， 满足“ 状态”条件时，甲作为先手无必胜策略， 故当存在正整数 ，使得 ， ， ， 且 时， 即当 时，甲作为先手无必胜策略． 【例题6】（2024•沙河口区校级二模）大连育明高级中学高三学生在交流2016年全国新课标Ⅲ卷单选压轴题时，各抒己见展示各自的解法． 题干：定义“规范01数列” 如下： 共有 项，其中 项为0， 项为1，且对任意 ， ， ， ， ，中0的个数不少于1的个数．若 ，则不同的“规范01数列”共有 个． 同学发现数据较少，可以列出所有情况，得到14个； 同学在组合数学中学过卡特兰数， ，所以此题是 的情况， ． 在一次活动课上，甲、乙俩人设计了一个游戏，抛硬币一次，若正面向上加一分，反面向上减一分．若起始分为零分，出现负分游戏立刻停止． （1）求在一次游戏中，恰好在第十一次后结束，中途只出现过两次零分的概率； （2）如果一个人在一次游戏中，连续抛了十次硬币，求此时积分 的分布列和期望； （3）参与一次游戏，记总共抛硬币次数为 ， 的期望为 ，求满足 的最小正整数 ． 解：（1）对题目中给出的卡特兰数 ， 事实上我们有恒等式 ，先不考虑第11次，考虑前10次， 前10次中我们设第一次零分出现在第 次，第二次零分出现在第10次， ，2，3，4， 那么这种时候可能的情况有 种，所以总共的情况有 种， 所以所求概率 ； （2）由题可知，使得 的情况只有1种， 使得 的情况有9种（反面向上可以出现在除了第1次以外的任意一次）， 使得 的情况有 种（反面向上不能出现在第1次，也不能同时出现在第2次和第3次）， 使得 的情况有 种（反面向上不能出现在第1次，若出现在了第2次，则剩下两次反面向上不能出现在第3次，也不能同时出现在第4次和第5次；若未出现在第2次，则反面向上不能同时出现在第3次、第4次、第5次）， 使得 的情况有 种， 使得 的情况有 种，总的252种， 所以 的分布列为： 0 2 4 6 8 10 且 ； （3）由于 的全部可能值为 ，1，2， ，而 ， 故 ， 但我们有 ， 解得 ，用 替换 ，可得 ， 再求导就得到 ， 代入 可得 ，所以 ， 所以不存在满足条件的正整数 ． 【例题7】（2024•龙岗区校级模拟）某人从 地到 地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有 个路口，第二条路线上有 个路口． （1）若 ， ，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为 ；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为 ，第二个路口遇到红灯的概率为 ，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由． （2）已知：随机变量 服从两点分布，且 ，则 ，且 ， ，2， ， ．若第一条路线的第 个路口遇到红灯的概率为 ，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差． 解：（1）应选择第一条路线，理由如下： 设走第一、二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量 ， ，则 ，1，2； ，1，2； ， ， ，所以 ； 又因为 ， ， ； 所以 ；因为 ，所以应选择第一条路线． （2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为 ， 所以 ， ， ，2， ， ． 设随机变量 ， 取值为 ，2，3， ， ，其概率分别为 ，且 ， ， 所以 ； 又因为 ，所以 ． 【例题8】．（2025•重庆模拟）若抛掷一枚硬币，每次落地后正面向上的概率为 ，张华同学思考了以下抛掷硬币问题： （1）一共抛掷硬币4次，求恰有2次正面朝上且第2次抛掷是反面朝上的概率； （2）如果抛掷硬币前约定“双上 次原则”：即最多抛掷硬币 次，当出现两次正面朝上时就不再抛掷，抛掷硬币 次后即使没有出现两次正面朝上也不再抛掷．设 表示“双上 次原则”中抛掷硬币的次数． ①若 ，求 ； ②若 ， 为整数）表示抛掷硬币 次时恰有2次正面朝上的概率，证明： ． 解：（1）抛掷硬币4次，恰好有2次正面朝上且第2次是反面朝上， 则在1，3，4次中有两次是正面朝上，则概率为 ； （2）①若 ，则 出现的情况有两种， 情况一：前四次抛掷均为反面，第五次无论何种情况均符合题意， ； 情况二：前四次抛掷出现一次正面，第五次无论何种情况均符合题意， ； 所以 ； 证明：②由题意可得 的所有取值有 ， ， ， 所以 ， 因为 ，由于 ，则 ， 所以 ，故 ，得证． 【例题9】．（2025•铜仁市三模）近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注．研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力． （1）某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计． 月份 1 2 3 4 5 睡眠质量显著改善人数 280 250 200 160 110 若睡眠质量显著改善人数 与月份变量 具有线性相关关系（月份变量 依次为1，2，3，4， ，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？ （2）该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为 ，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为 ；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为 ． 经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数 的分布列与数学期望； 定义：已知数列 ，若对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数 ，使得当 时， 是一个确定的实数），则称数列 为“聚点数列”， 称为数列 的聚点．经过 次挑战后，挑战权在甲组的概率为 ，证明数列 为“聚点数列”，并求出聚点 的值． 附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， ． 解：（1） ， ， ， ， ， 所以回归直线方程为 ，当 时， ， 即预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有71人； （2） 的可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 1 2 ； 第 次挑战后挑战权在乙，丙组的概率记为 ， ， 当 时， ， ， ② ③得： ， 由①得： ， ， ， ，其中 ， 是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以 ， ， 由聚点数列的定义知： ， 当 时， ， 所以，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数 ，使得当 时， ， 所以数列 是聚点数列，且聚点 ． 【例题10】．（2025•全国模拟）为加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识挑战赛．该挑战赛共分 ， 关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者 关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为 ，乙每一关挑战成功的概率均为 ，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． （1）已知甲先上场， ， ， ， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设 为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求 ； （2）如果 关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率内是否相同，并说明理由． 解：（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为 ，则 ； ②依题可知， 的可能取值为0，1，2， 则由①知 ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 ； （2）设甲先出场成功概率为 ，乙先出场成功概率为 ， 则 ， ， ， ， ，因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同． 【例题11】．（2025•南岗区二模）某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防治，该地区鼓励个人接种流感疫苗，最后统计表明，该地区整个冬季的流感患病率是 ，至冬季结束仍然有 的居民未接种疫苗，这些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为 ． （1）现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这人患病的概率； （2）已知泊松分布的概率分布列为 ，其中 为自然对数的底数， 是泊松分布的均值．若随机变量 服从二项分布，当 且 时，二项分布近似于泊松分布，其中 ，即 ， ．现从该地区接种疫苗的人群中随机抽取1000人，按上述泊松分布近似计算： ①求1000人中流感的患病率小于 的概率约为多少； ②设1000人中患流感的人数为 ，求使得 最大时的 值． （参考数据： 解：（1）记：事件 “患流感”，事件 “未患流感”， （A） ， 事件 “接种疫苗”，事件 “未接种疫苗”， 则 （B） ， （B） ， ， 由已知可得： ， （A） （B） ， ，所以 ， 即现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，这人患病的概率为0.006． （2）①由已知：当 且 时，二项分布近似于泊松分布 ， ， 设1000人中患流感的人数为 人，则 ，1，2， ， ， ， ； ②由题意得： ， ， 所以， ， 当 时， 随 的增大而增大， 当 时， 随 的增大而减小， 当 时， ， 所以 或 时， 最大． 【例题12】（2025•徐州校级二模）某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客．为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有 的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分．假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率． （1）从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望； （2）2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务．已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为 ，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为 ，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为 ，如此往复． 求甲第二天选择“单车自由行”的概率； 求甲第 ，2， ， 天选择“单车自由行”的概率 ，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数． 解：（1）由题意，每位游客得1分的概率为 ，得2分的概率为 ， 随机抽取三人，用随机变量 表示三人合计得分，则 可能的取值为3，4，5，6， ， ， ， ， 则 ．所以三人合计得分的数学期望为4． （2）第一天选择“单车自由行”的概率为 ，则第一天选择“观光电车行”的概率为 ， 若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为 ， 若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为 ， 则后一天选择“单车自由行”的概率为 ， 甲第二天选择“单车自由行”的概率 ． 甲第 ，2， ， 天选择“单车自由行”的概率 ，有 ， ，3， ， ， ， 又 ， 数列 是以 为首项，以为 公比的等比数列， ， 由题意知， ，即 ， ， 即 ， 显然 必为奇数，当 ，3.5， ，15时，有 即可， 时， 成立； 时， 成立； 时， ，则 时， 不成立， 时， 不成立． 综上，16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数只有2天． 【例题13】（2025•沈阳一模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量 服从参数为 的泊松分布（记作 ，则其概率分布为 ， ，其中 为自然对数的底数． （1）当 时，泊松分布可以用正态分布来近似；当 时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为 ．若 ，求 的值（保留三位小数）； （2）某公司制造微型芯片，次品率为 ，各芯片是否为次品相互独立．以 记产品中的次品数． ①若 ，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若 ， ，求在1000个产品中至少有2个次品的概率． 通过比较计算结果，你发现了什么规律？ （3）若 ，且 ，求 的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若 ，则有 ， ， ； ， ， ． 解：（1）因为当 ，且 时，可认为 ， 即 ， ， ， 所以 ； （2）①若 ，则 ； ②若 ， ， ， 比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的， 说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布； （3）由于 ，所以 ， 由泊松分布概率公式可得 ， ， 故 ， 因为 ，即 ， 构造函数 ， 则 ， 故 在 上单调递减， 由于 ， ，所以 ， 当 时， ， 需要比较 与0.99的大小， 而 ，所以相当于比较 与 的大小， 构造函数 ， 所以 ， 所以当 时， ， 单调递减， 且 ，所以 ，即 ， 当 时， ，需要比较 与0.99的大小，而 ， 所以相当于比较 与 的大小， 构造函数 ，又 ， 造函数 ， 则 ， 由 ，得 在 上恒成立， 所以 ， 即 ，所以 在 上为减函数， 所以 ，即 ， 综上可得 的最大值为0.1． 【例题15】（2025•潍坊模拟） 维空间中点的坐标可以表示为 ， ， ， ， ，其中 ，2，3， ， 为该点的第 个坐标．定义 维空间中任意两点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 之间的平均离差二乘距离 ， ，设 维空间点集 ， ， ， ， 或1，其中 ，2，3， ， ． （1）若 ， ， ，且点 ，1， ， ，写出所有的点 的坐标； （2）任取 维空间中的不同两点 ， ． 若 ，求 的概率； 记随机变量 ，求 的取值范围． 解：（1）由定义可知， ， 即 ，且 ， ， ， ， 所以解得满足方程的 点坐标为： ，0， ， ，0， ， ，1， ； （2） （固定点 ：设点 ， ， ， ， ， ， ， ， 因为 ， 因为 或1， 或1， 所以 ， ， ， 中有两项等于0，两项等于1， 所以满足条件的所有可能情况有 ， 因为两不同点 ， 所有可能情况共有 种， 所以 的概率 ． 设随机变量 ，其中 ，2，3， ， ， 因为 ， 所以 ， 因为 ， 两边同时求导，得 ， 上式两边同乘 ，求导得 ， 令 ，得 ， 所以 ， 因为 ， 所以 单调递减， 因为 ，所以 ． 知识点二、椭圆曲线的类型 【例题1】（2025•安徽模拟）已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为1． （1）求椭圆 的方程； （2）设点 为椭圆上位于第一象限内一动点， ， 分别为椭圆的左顶点和下顶点． 求点 到直线 距离的最大值； 设直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求△ 面积的最大值． 解：（1）把 代入椭圆方程得 ，解得 ， 因为过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为1，所以 ， 又椭圆的离心率为 ，所以 ，解得 ， ，故椭圆 的方程为 ． （2） 由题意知 ， ， 所以直线 的方程为 ，即 ， 设平行于 ，且与椭圆相切于点 的直线方程为 ， 联立 ，消去 得 ， 所以△ ，解得 （舍负）， 所以平行于 ，且与椭圆相切于点 的直线方程为 ，即 ， 该直线与直线 之间的距离为 ， 故点 到直线 距离的最大值为 ． 设 ， ， 则直线 的方程为 ，令 ，则 ， 直线 的方程为 ，令 ，则 ， 所以△ 面积 ， 设 ，则 ， 所以 ， 而 ，当且仅当 时，等号成立， 所以 ，故△ 面积的最大值为 ． 【例题2】（2025•泉州模拟）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ， ． （1）求 的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，当以这两点和椭圆的中心为顶点的三角形面积达到最大值时，称该直线为椭圆的“好直线”． 设 为坐标原点，若斜率存在的直线 是 的“好直线”， 与 交于 ， 两点，求△ 的面积； 已知四边形 为平行四边形，若直线 ， ， ， 均为 的“好直线”，且不与 轴平行，求四边形 的面积的最小值． 解：（1）依题意得， ，解得 ，因此椭圆 的方程为 ． （2） 设直线 ， 与 的交点为 ， ， ， ， 联立 ，消去 得， ， △ 时， 由韦达定理， ， ， 因此 ， 原点 到直线 的距离 ， 因此 ， 当且仅当 ，即 时等号成立所以△ 的面积为 ． 根据（2）中的取等条件，斜率为 的好直线有且仅有两条． 设 ， ， 联立 ， 直线方程： ，消 ，解得 ， 联立 ， 直线方程： ，消 ，解得 ， 因此 ，直线 ， 的距离 ， 因此 ，当且仅当 时，四边形面积的最小值为 ． 【例题3】（2025•广州模拟）已知双曲线 的右焦点 到 的一条渐近线的距离为 ． （1）求 的方程； （2）设点 在 的右支上，过点 作圆 的两条切线，一条与 的左支交于点 ，另一条与 的右支交于点 （异于点 ． 证明： ； 当△ 的面积最小时，求直线 和直线 的方程． 解：（1）由于双曲线 的右焦点为 ，所以 ，双曲线 的渐近线方程为 ，即为 ， 由于点 到 的一条渐近线的距离为 ，则 ，解得 所以 的方程为 ． （2） 证明：显然圆 的切线 的斜率存在，设切线 的方程为 ， 由于切线 不平行 的渐近线，则 ． 由圆心 到切线 的距离 ，得 ， 由 消去 得 ， 由题意知△ ．设 ， ， ， ， 则 ， ， 而 EMBED Equation.DSMT4 ． 则 ，则 ，所以 ，即 ． （ⅱ）由 同理可得 ， 所以 ， ， 三点共线．则△ 的面积 ． 设切线 与圆 的切点为 ，则 ， ． 由 得 ， 又 ， 则 ． 当 时， ， ， 此时，直线 平行 轴，则 ， 的纵坐标绝对值为圆 的半径． 得点 的坐标为 ，所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ． 【例题4】（2025•宜春二模）已知椭圆 ，在椭圆 上取 且 个点，这些点的坐标分别为 ， ，其中 ，1， ， ，连接 ． （1）若直线 的斜率为 ，求椭圆 的离心率； （2）证明△ 的面积为定值，并求多边形 的面积（用 表示）； （3）若 ， ，线段 的中点为 ，求证： ． 解：（1） ， ，则直线 的斜率为 ，所以椭圆的离心率 ． （2）直线 的方程为 ， 化简得： ， 所以原点 到直线 的距离 ， 而 ， 所以 为定值， 同理可得： ， 所以多边形 的面积为 ． （3）设 ， ，所以 所以 ，即 ， 所以点 的轨迹为一个椭圆，且 ， 是该椭圆的焦点， 设 ，则 ， 则点 ， 的坐标可化为 ， 所以 ， 又因为 ； 所以 ， ， 因为 ，所以 ． 【例题5】（2025•山西二模）已知椭圆 的左焦点为 ， ，离心率 ．过点 的直线 交椭圆于 ， 两点，过 且与 垂直的直线交椭圆于 ， 两点，其中 ， 在 轴上方， ， 分别为 ， 的中点． （1）求点 的轨迹方程； （2）证明：直线 过定点； （3）求△ 面积的最大值． 解：（1）因为 ， ，所以 ， ，故椭圆 的方程为： ，点 ． 设点 ， ， ， ， ，则 ， ， 由已知 ， 在 轴上方，所以直线 的斜率存在且不为0， 设直线 ，代入椭圆方程，整理得 ．， 则 ， ， ， 所以 ，由 ，得 ，代入①，得 ， 即 ，所以点 的轨迹方程为 ． （2）证明：由（1）可设垂线 方程为 ， 代入椭圆方程得中点 ．因为 ， 所以直线 的斜率为 ， 直线 的方程为： ， 令 得： ②， 令 得： ③， 联立②③得交点 ，代入①式，该式恒成立， 当 时，直线 方程为 ，也过点 ． 所以直线 过定点 ． （3）由（1）（2）得直线 过定点 ，且 ， 所 ， 令 ，则 ，则 ， 令 ，则 ，所以 在 ， 上单调递增， 当 时， ，即 时， 有最大值 ，△ 面积的最大值为 ． 【例题6】（2025•吕梁二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ．过 作以实轴为直径的圆的切线，在第二象限的切点为 ，直线 与一条渐近线的交点 在第一象限，且 为坐标原点）． （1）求双曲线的离心率． （2）双曲线经过点 ，动点 ， 在双曲线的右支上，且直线 经过右焦点 ，△ ，△ 的内心分别是 ， ． 求证：点 ， 在定直线 上； 求 的取值范围． 解：（1）由题意得， ， ， 所以在 △ 中， ， 所以切点 是渐近线与圆的交点， 又 ， ， 所以 △ 的斜边 ， ， 因为点 在第一象限内（如图1所示），则 ， 渐近线方程为 ，离心率为 ； （2）由（1）得， ， 故双曲线方程为 ， 将点 代入，可得 ， 所以双曲线方程为 ． 证明：令点 在第一象限内，设△ 的内切圆与 ， ， 的切点分别为 ， ， ， 则 ， 因为 ， ， ， 所以 ， 因此，切点 与右顶点 重合，圆心 在直线 （即 上， 同理，圆心 也在直线 （即 上； 如图2，连接 ， ，由 易得 ， 都垂直于 ， 且 ， 平分 ， ， 设 ， ． ①当 时， ．②当 时， 在 △ 和 △ 中，因为 ， ， ， 则 ， ， ． 因为 ， 所以 ， 因为 ，所以 或 ， 所以 的取值范围是 ， ， ， 综上所述，即 的取值范围是 ． 【例题7】（2025•重庆模拟）已知椭圆 的中心为坐标原点，焦点在 轴上，离心率为 ，点 在椭圆 上． （Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）过点 且斜率存在的两条直线 ， 互相垂直，直线 交 于 ， 两点，直线 交 于 ， 两点， ， 分别为弦 和 的中点，直线 交 轴于点 ， ，其中 ． ①求 ； ②设椭圆 的上顶点为 ，记△ 的面积为 ，令 ， ， ，求证： ． 解：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为 ，则依题意有 ，解得 ， 所以椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）①由题意知，直线 ， 的斜率均存在且不为0，设 的方程为 ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 联立 ，消去 得 ， 所以 ，所以 ， ， 同理可得： ， ， 因为 ， ， 三点共线，当 轴时，则 ，所以 ； 当 与 轴不垂直时，因为 ， 所以 ， 所以 ． 综上所述， ． ②证明：因为 ，所以 ， 由 ， 得： ，且 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 【例题8】（2025•武汉模拟）如图，椭圆 ， ，已知 右顶点为 ，且它们的交点分别为 ， ， ， （1）求 与 的标准方程； （2）过点 作直线 ，交 于点 ，交 于点 ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 ；（上述各点均不重合） （3）点 是 上的动点，直线 交 于点 ，直线 交 于点 ，直线 交 于点 ，直线 与直线 交于点 ，求点 坐标，使直线 与直线 的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 解：（1）由题意得， ，又因为 在 上，代入 得 ， 所以 ，则 ， ； （2）设 ， ， ， ， 则 ， 又因为 ， 所以 ， 则 ， 同理可得 ，所以 ； （3）设直线 ， ， ， 分别为 ， ， ， ，其斜率依次为 ， ， ， ， 设直线 ，联立 ， 得 ， 即有 ， 所以 ， 代入直线方程得 ， 则 ， 设 ，则经过 ， 的两直线 ， 之间斜率满足关系： ， 将直线 ， 绕原点顺时针旋转 后也会经过 ， ， 所以两者斜率满足 ， 所以 ， 同理将直线 ， 绕原点顺时针旋转 后也会经过 ， ， 所以两直线斜率满足 ， ， 设 ，则有 ， ， 代入上式得： ， 得到 ， 所以 ， 因此存在定点 ，使直线 和直线 的斜率之积为定值5． 【例题9】（2025•青岛模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，短轴长为 ，离心率为 ． （1）求 的方程； （2）记 的左顶点为 ，直线 与 交于 ， 两点，直线 ， 的斜率之积为 ． 证明：直线 过定点； （ⅱ）若 在 轴上方，直线 与圆 交于点 ，点 在 轴上方．是否存在点 ，使得△ 与△ 的面积之比为 ？若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）因为椭圆 的短轴长为 ，离心率为 ，所以 ， 解得 ， ， ，则椭圆 的方程为 ； （2） 证明：易知 ， 当直线 的斜率不存在时，此时直线 与 交于关于 轴对称的两点， 设 ， ， ， ，此时 ，即 ， 因为 ，所以 ，所以 ，解得 或 ， 当 时， ，此时与 重合， 直线 或直线 的斜率不存在，不符合题意；当 时，直线 方程为 ； 当直线 的斜率存在时， 设直线 的方程为 ， ， ， ， ， 联立 ，消去 并整理得 ， 此时△ ，解得 ， 由韦达定理得 ， ， ， 因为 ，所以 ， 整理得 ，解得 或 ，当 时，直线 的方程为 ， 此时直线 过定点 ，直线 或直线 的斜率不存在，不符合题意； 当 时，直线 的方程为 ， 此时直线 过定点 ，满足△ ， 其中 也过点 ，综上所述，直线 过定点 ； 存在点 ，使得△ 与△ 的面积之比为 ，理由如下： 因为 在 轴上方，所以 在 轴下方，即 ， ， 因为 ， ，由椭圆定义知 ，因为圆 的圆心为 ，半径为4， 所以 ，所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 令 ， 当直线 的斜率不存在时， ， 此时 ，解得 ， 将 代入椭圆 的方程中，解得 ，因为点 在 轴上方， 所以 ，满足要求；当直线 的斜率存在时， 设 ，在△ 中， ， ， ， 由余弦定理得 ， 即 ，解得 ，同理得 ， 因为 ，所以 ， 解得 或 ，均不符合题意． 综上所述，存在点 ，使得△ 与△ 的面积之比为 ． 【例题10】（2025•陕西模拟）已知双曲线 的离心率为 ，直线 与双曲线 相交于 ， 两点． （1）求双曲线 的渐近线方程； （2）若以 为直径的圆过双曲线 的左顶点 ，试判断直线 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； （3）设点 是满足（2）的双曲线 上的一个动点，过 作 的渐近线的两条垂线，垂足分别为 ， ，判断△ 的面积是否为定值；若是，求出该定值并证明；若不是，请说明理由． 解：（1）因为双曲线 的离心率为 ， 则 ，所以 ，即双曲线 的渐近线方程为 ； （2）因为双曲线 的左顶点 ，所以 ，又 ，得 ， 则双曲线 的方程为 ，联立方程组 ， 得 ，△ ， 设 ， ， ， ，则 ， ，则 ， 因为 ，即 ， 展开 ， 即 ， 即 ，即 ，所以 或 ， 当 时，直线 过 ，不符合题意，舍去； 当 时，直线 过定点 ， （3）证明：由（1）知双曲线 的两条渐近线方程为 和 ， 设 ， ，有 ，即 ， 则 ， 设渐近线 的倾斜角为 ， 则 ， 所以△ 的面积 为定值． 【例题11】（2025•金华模拟）如图，双曲线 的虚轴长为2，离心率为 ，斜率为 的直线 过 轴上一点 ． （1）求双曲线 的标准方程； （2）若双曲线 上存在关于直线 对称的不同两点 ， ，直线 与直线 及 轴的交点分别为 ， ． 当 时，求 的取值范围； 当 时，求 的最小值． 解：（1）由题知 ，解得 ，双曲线 的标准方程为 ； （2）令 ， ，设直线 为： ，与 ，联立得 ， 当△ 时， 设 ， ， ， ，则由韦达定理，及题意可得： ， ， 当 时， ， ， 由 ，得 ， 又因为△ ， 即 ， 所以 ； 由题知 ， ， 因为 ， 所以 ， 又 ， ， 则 ， ， ， ， 则 ， 则 ， 当 取得，此时 满足题意． 综上， 的最小值为 ． 【例题12】（2025•泸州模拟）已知双曲线 的右顶点到其渐近线的距离为 ，点 在 上． （Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）过点 的直线 交双曲线 于 ， 两点． 若 与 的渐近线交于点 ， ，且 是坐标原点），求 的方程； 记 ，若点 满足 ，求点 的轨迹方程． 解： 由双曲线 可得右顶点为 ，其中一条渐近线方程为 ， 因为双曲线 经过点 ，可得 ，又因为右顶点到渐近线 的距离为 ， 可得 联立方程组，解得 ， ，所以双曲线 的方程为 ． 由双曲线 ，可得渐近线方程为 ，即 ， 设直线 的方程为 ，且 ， ， ， ， ， ， ， 联立方程组 ，整理得 ，则 ， 且△ ， 解得 ，可得 ， ， 则 ， 即 ，所以 ， 联立方程组 ，解得 ， 所以 ，因为 ，可得 ， 解得 所以直线 的方程为 即 或 ． 设 ，由 ，可得 ， ， ， 可得 因为 ， 在曲线 上，可得 ， 所以 ，解得 ，所以 又由 ． 可得 ， ， ，即 ，即 ． 将 和 ，代入化简得 ，因为 ，可得 ， 所以点 的轨迹方程为 ． 【例题13】（2025•海南模拟）已知上下顶点分别为 ， 的椭圆 经过点 为直线 上的动点，且 不在椭圆 上， 与椭圆 的另一交点为 ， 与椭圆 的另一交点为 ， 均不与椭圆 上下顶点重合）． （1）求椭圆 的方程； （2）证明：直线 过定点； （3）设（2）问中定点为 ，过点 ， 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ， ，记△ ，△ ，△ 的面积分别为 ， ， ，试问：是否存在常数 ，使得 ， ， 总为等比数列？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 解：（1）因为椭圆 经过点 ，代入可得 ，解得 ， 所以椭圆 的方程为 ； （2）证明：由题意，直线 的斜率一定存在，设 ， ， ， ，直线 的方程为 ， 联立椭圆和直线 的方程得 ， 由韦达定理可得 ， ， 由点斜式可知直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， 两式相比得 ，因为点 在直线 上，所以 ， 又点 在椭圆上，所以 ，变形得 ，所以 ， 将直线 方程代入得 ，即 ， 将韦达定理结果代入得 ，解得 或8， 因为 ， 均不与椭圆 上下顶点重合，所以 舍去，即 ， 直线 的方程为 ，过定点 ． （3）由题意可知 ， ，显然 ， 在直线 的两侧，不妨设 ， 则 ， ， ， 设存在常数 ，使得 ， ， 为等比数列，则 ， 即 ， 由（2）可知 ， ， 代入化简可得 ， 由（2）知联立后的方程△ ， 所以 ，解得 ， 所以存在 ，使得 ， ， 总为等比数列． 【例题14】（2025•云南模拟）已知双曲线 的离心率为2，其右焦点 到一条渐近线的距离为 ． （1）求双曲线 的方程； （2）若直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，且以线段 为直径的圆经过点 ． 证明：直线 过定点； 已知点 ，判断双曲线 上是否存在点 ，使 为△ 的重心，若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）因为双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ， 所以右焦点为 到渐近线的距离为 ，因为双曲线的离心率为2， 所以 ，所以 ，解得 ，所以双曲线 的方程为 ． （2） ①证明：设 ， ， ， ，联立 ，得 ， 则 ， ， ， ， ， 因为以线段 为直径的圆经过点 ，所以 ，所以 ， 即 ，所以 ． 化简得 ，即 ，因为 ， ，所以 ， 所以直线 的方程为 ，所以直线 过定点 ； ②假设双曲线 上存在点 ， ，使 为△ 的重心， 则 ，即 ， 由①知 ， ，所以 ， 又 ，所以 ，因为点 ， 在双曲线 上， 所以 ，即 ， 化简得 ，即 ，所以 或 （舍 ， 又因为 ，所以假设不成立，故双曲线 上不存在点 ，使 为△ 的重心． 【例题15】（2025•岳阳模拟）已知双曲线 与抛物线 有公共焦点 ，且 ． （1）若抛物线 的方程为 ． ①求双曲线 的方程； ②设直线 与 轴交于点 ，过点 的直线交 于 ， 两点，点 在直线 上，且直线 轴，证明：直线 恒过定点． （2）过 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，与 的两条渐近线交于 ， 两点（均位于 轴右侧）．若实数 满足 ，求 的取值范围． 解：（1）①设双曲线的焦距为 ，则有 ，又 ，则 ， 所以 ，则 ，所以双曲线 的方程为 ； ②证明：由题意得， 当直线 与 轴不重合时，设直线 的方程为 ， 联立 ，消去 并整理得 ， △ 恒成立， 设 ， ， ， ，则 ， 则有 ， 由 得，直线 的方程为 ， 令 ，则 ， 即直线 恒过点 当直线 与 轴重合时， 设 ， ，点 ，直线 为 轴，也过点 ． 综上，直线 恒过定点 ． （2）由题意知， ，又 ，则 ， ，所以双曲线 的渐近线方程为 ， 易知直线 的斜率不为0，设直线 ， ， ， ， ， 由于 ， 两点且均位于 轴右侧，有 ，由 ， 解得 ， ， 所以 ． 设 ， ， ， ，由 ，消去 得 ，则有 ， 则 ， 由 ， 得， ， 即 ，则 ，所以 ． 故实数 的取值范围为 ． 知识点三、数列的模型 【例题1】（2025•天津模拟）从数列 中选取第 项，第 项， ，第 项 ， ，并按原顺序构成的新数列称为数列 的“ 连续子列”．已知数列 中， ， ，对 ，数列 的“ 连续子列”是公比为 的等比数列． （Ⅰ）求 ， 的值； （Ⅱ）求 ； （Ⅲ）证明： ． 解：（Ⅰ）由题意知 ， ， 是公比为 的等比数列， 则 对 恒成立，所以 ，即 ， ，即 ，且 ； （Ⅱ） ，则 ， 时，适合上式， 因为 ，则 ， （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知 ， 故 ， ． 【例题2】（2025•山东模拟）若存在无穷多组正整数组 ， ， ，满足 ，且对任意正整数 ， ，不存在正数 ，使得 ，则称正整数 是有趣数，称 ， ， 为 的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）． （1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由； ① ， ， ； ② ， ， ，3， ． （2）过点 作斜率为 的直线交圆 于另一点 ，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组 ， ， ； （3）从1，2， ，6中任取两个数，求它们都是有趣数的概率． 解：（1）①不是，因为数组 ， ， 中的任何两个都是比例关系； ②是，因为数组 ， ， ，3， 中的任何两个都不是比例关系． （2）证明：直线 的方程为 ，联立圆 的方程可得 ， 由韦达定理可得 ，即 ， 于是 ，又点 的坐标满足圆 的方程， 于是 ，即 ． 取 ， ， ，其中 ，4， ， 若存在正整数 和 且 ， ，使得 ， 那么 ， 因为 ，则有比例性质 ， 于是 ， ， 故 ，则 ，矛盾 故对任意正整数 ， ，不存在正数 ，使得 ， 则2是有趣数，2的一列有趣数组 ， ， 为 ， ， ． （3）由（1）可知1是有趣数；由（2）可知2是有趣数；当 时，假设方程 有正整数解， 设 ， ， 是所有正整数解中使 最小的一组解．由于 ，故 是3的倍数， 若 ， ， ， 为非负整数，则 不可能是3的倍数，矛盾， 同理可 ， ，或 ， ，或 ， 也不成立． 若 为3的倍数，则 也为3的倍数，设 ， ， 则 ，即 ，故 为3的倍数． 设 ，则有 所以 ， ， 也是原方程的一组正整数解， 且 ，矛盾．因此方程 ，没有正整数解，则3不是有趣数．当 时， 由（1）可知 ，则 ， 此时取 ， ， ，其中 ，3， ，由比例性质同理可知对任意正整数 ， ， 不存在正数 ，使得 ， 则4是有趣数．当 时，过点 作斜率为的直线交圆 ， 于另一点 ，则直线 的方程为 ，联立圆 的方程可得 ， 由韦达定理可得 ，即 ． 于是 ，又点 的坐标满足圆 的方程， 于是 ， 即 取 ， ， 其中 ，3， ，由比例性质同理可知：对任意正整数 ， ，不存在正数 ，使得 ， 则5是有趣数．当 时，假设方程 有正整数解，设 ， ， 是所有正整数解中使 最小的一组解． 由于 ，故 是3的倍数，由 时的分析可知 和 都是3的倍数， 设 ，即 ，故： 为3的倍数．设 ，则有 ， 所以 ， ， 也是原方程的一组正整数解，且 ，矛盾． 因此方程 也没有正整数解，则6不是有趣数．因此1，2， ，6中的有趣数为1，2，4，5， 所求概率为 ． 【例题3】（2025•马鞍山模拟）将数列 中不同的两项 与 交换位置，其余项不变得到的数列称为 的“ 对换数列”，若 时， ，则称 ， 为 一个逆序对，例如：数列2，3，1的逆序对有： ， ．将数列 中逆序对的个数称为 的逆序数，记为 ，记 ． （1）写出数列1，5，2，4，3，6的所有逆序对； （2）求数列1，2，3， ， 的所有“ 对换数列”的逆序数之和 ； （3）定义：将数列1，2，3， ， 的所有项重新排列后得到的数列称为1，2，3， ， 的一个“重排数列”．若 是数列1，2，3， ， 的一个“重排数列”， 是数列1，2，3， ， 的一个“ 对换数列”，证明： ．（注 ． 解：（1）由定义：若 时， ，则称 ， 为 一个逆序对， 可得数列1，5，2，4，3，6的所有逆序对为 ， ， ， ； （2）因为交换 与 后共产生 个逆序数， ， 所以 ； （3）证明：将数列 中逆序对的个数称为 的逆序数，记为 ，且 ． 可得 ， 因为 是将 中 与 两项交换所得， 故 之前的项 ， ， ， 及 之后的项 ， ， ， 逆序数不变， 对于 与 之间的项 ， ， ， ， 只有满足 ， ， 的数 才会发生逆序数的变化， 设这样的数有 个，由于这 个数对 与 的顺序同时发生变化， 产生 个逆序数，又 与 交换产生1个逆序数， 则共产生 个逆序数，设 ， 则 ， 则 ． 【例题4】（2025•浙江模拟）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，当数列 的项数大于2时，将数列 中各项的所有不同排列填入一个 行 列的表格中（每个格中一个数字），使每行均为这 个数的一个排列．将第 行的数字构成的数列记作 ，将数列 中的第 项记作 ．若对 ， ，均有 ，则称数列 为数列 的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为 ． （1）求数列 的通项公式 ； （2）当数列 的项数为4时，求 的值； （3）若数列 为数列 的“异位数列”，试讨论 的最小值． 解：（1）由题 ， ，解得 ，由 ， 得 两式作差得 ， 即 ，所以 ， ， ， ， ， 累乘得： ，即 因为 ， 符合上式，所以 ； （2）由（1）知， ，所以 当数列 的项数为4时， 可知 ， ， ， 若数列 为数列 的“异位数列”，则：当 时， ， ， ；或 ， ， ； 或 ， 共3种情况．同理当 或 时，对应的排列各有3种情况，所以 ． （3）因为数列 为数列 的“异位数列”，所以 ， ， ， ， 即 ，所以 所以 ，当 ， 时，若对任意的 ， 都有 ， 取等号， 此时 ， ， ， ， 所以当 ， 时， 的最小值为 ，当 ， 时， 的不可能取到等号，因为存在 ，使得 ，将1，2，3， ， 分为 组， 【例题5】（2025•福州模拟）将区间 中的全体有理数按一定顺序排列得到数列 ，规则如下： ① ，其中正整数 与 互质，如 ， ； ② ，当且仅当 时， ． （1）写出 的前5项； （2）若 ，求 ； （3）记 的前 项和为 ，证明： ． 解：（1） 的前5项为 ； （2）因为 ， ，所以 ． 又因为 ，故 ， ， 因此 ，当且仅当 时， ．由于 ， 故由 与2025互质可得 既不是3的倍数，也不是5的倍数． 而在1到2024之间的正整数中，是3的倍数的整数有 个， 是5的倍数的整数有 个，是15的倍数的整数有 个． 所以 ． （3）证明：依题意，若正整数 与 互质，则 与 也互质， 记 中分母为正整数 的共有 项， 则 总满足 或 ，其中 ， 为偶数． 因为 ，所以 ，且这 项的平均数为 ． 对于满足 的所有 的前 项和为 ． 当 时，不妨设 ，其中 ． 则 ． ①若 ，则 ，则 ． ②若 ， 则 ， 则 ， 所以 ．综上， ． 【例题6】（2025•浙江二模）对于给定的 项整数数列 ， ， ， ，定义变换 ：①若 ，则 加2， ， 均加1，其余项不变；②若 ，则 加2， ， 均加1，其余项不变；③若 ，则 加2， ， 均加1，其余项不变．例如，对数列： ，0，1做变换 （1）得到1，1，2，即 ，0， ，1，2；而对数列：2，5，7，3先后做变换 （3）， （4）可得到3，6，10，6，即2，5，7， ，6，9， ，6，10，6． （1）找出一系列变换，使得数列：1，2，3经过这系列变换后成为常数列； （2）是否能找出一系列变换，使得数列： ， ，0，2，2经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当 为奇数时，对于任意数列 ，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列（无须证明）． （3）当 为偶数且数列 是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由． 解：（1） ， 此处 （1）， （1）， （2）三个变换顺序可调换，也可得到其他全相等的数． （2）存在， ， 结合上述情况，推断当 为奇数时，对于任意数列 总存在一系列变换能使该数列成为常数列． （3）不存在，理由如下：假设存在 次变换，能使得 ， ， ， 经过这 次变换后， 成为常数列 ， ， ， 其中 注意到每作一次变换 ， 均能使奇数项的和 增加2，偶数项的和 增加2， 因此 次变换后有 ， 由 和 ，所以 ， 而 为递增数列，故 ， ， ， ， 从而得 ，这与 矛盾， 因此假设不成立，即不存在这样的系列变换使得该数列成为常数列． 【例题7】（2025•陕西模拟）在人工智能的训练过程中，数据预处理至关重要．现有一种“数据筛选器”工具，其功能为：对于一个无穷非负正整数数列，通过操作 删去其中除以 余数为 的所有项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非负正整数数列．设数列 的通项公式 ， ，通过“数据筛选器”工具对数列 进行 操作后得到 ，设 前 项和为 ． （1）求 ； （2）是否存在不同的正整数 ， ， ，使得 ， ， 成等差数列？若存在，求出所有的 ， ， ；若不存在，说明理由； （3）若 ， ，对数列 进行 操作得到 ，将数列 中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到 ，再将 的每一项都加上自身项数，最终得到 ，证明：每个大于1的奇平方数都是 中相邻两项的和． 解：（1）由 ， 知： ， ， ， ， ， ， 中除了 除以4余2，其余各项除以4余数均不为2， 故 ， ， ，故 ， 故 ，故 ， 故当 时， ， 当 时， ． 而 ，故 ． （2）存在不同的正实数 ， ， ，使得 ， ， 成等差数列， 不妨设 ， ， ， ， ． 即 ， ， 两边同除以 得， ， 设 ， ， ， ，则 ． 当 时， 为奇数， 为偶数，矛盾； 故不存在这样的正整数组 ， ， ． （3）证明：由题意 ， 则 ， ， ， 所以保留 ， ，则 ， ， ， 又当 ， 代入上式， 得 ， ， ， ， 将 ， 删去，得到 ，则 ， ． ， ， ． 即： ， ，即 ． 对每个大于1的正奇数 ，若存在数列 中相邻两项第 ， 项满足 ， 若 为奇数，则 ，解得 ， 但 不一定为奇数，故分类讨论如下： 记项数 ， 由 ， ， ， 时， ， ； 时， ， ； 时， ， ， ； 时， ， ， ， 综上，对任意的 ，都有 （或 ， 故原命题得证． 【例题8】（2025•河南模拟）对于 ，若数列 满足 ，则称这个数列为“ 数列”． （1）已知数列1， ， 是“ 数列”，求实数 的取值范围． （2）是否存在首项为 的等差数列 为“ 数列”，且其前 项和 使得 恒成立？若存在，求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）已知各项均为正整数的等比数列 是“ 数列”，数列 不是“ 数列”，若 ，试判断数列 是否为“ 数列”，并说明理由． 解：（1）由题意得 ，且 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 ． （2）不存在．理由：假设存在等差数列 符合要求，设公差为 ，则 ， 由 得 ． 由题意，得 对 均成立，即 ． 当 时， ； 当 时， 恒成立， 因为 ，所以 ，与 矛盾， 所以这样的等差数列 不存在． （3）设数列 的公比为 ，则 ． 因为 的每一项均为正整数，且 ， 所以在 中， 为最小项． 同理， 中， 为最小项． 由 为“ 数列”，只需 ，即 ． 又因为 不是“ 数列”，且 为最小项， 所以 ，即 ． 由数列 的每一项均为正整数，可得 ， 所以 ， 或 ， ． 当 ， 时， ，则 ． 令 ，则 ， 又 ， 所以 为递增数列，即 ， 因为 ， 所以对于任意的 ，都有 ，即数列 为“ 数列”． 当 ， 时， ，则 ． 因为 ，所以数列 不是“ 数列”． 综上所述，当 ， 时， ，数列 为“ 数列”； 当 ， 时， ，数列 不是“ 数列”． 【例题9】（2025•江西模拟）数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号 ，用 表示不超过 的最大整数，例如 ， ， ． （1）分别求函数 和 的值域； （2）若 ，求函数 的值； （3）若数列 满足： ， ， 是数列 的前 项和，求 的值． 解：（1）由于 ， ，所以 ，0， ，由于函数 的值域为 ，所以 的值域为整数集 ； （2）令 ，则 ，当 时， ；当 时， ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ， 所以当 时， ，当 时， ． 由于 恒成立，并且当 时， ，当 时， ． 故当 且 时， ， ，当 时， ， 所以 ． （3）令 ，则 在 上单调递减，且 （3） ， ，所以 （3） ， （3） ， 依次可得： ， ， 令 ，则 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增， 故 （3） （3） ， （3） ，又 ， 所以当 为偶数时， ， ，即 ， 故 ； 当 为大于1的奇数时， ， ， 即 ，故 ． 所以 ． 【例题10】（2025•镜湖区校级模拟）已知数列 满足 ，且 ． （1）若 ，求满足条件的 的值； （2）设集合 ， （ⅰ）若 ，4， ，证明： ， ， 成等比数列； （ⅱ）若 ， ， （其中 ，且 ，求 的最大值． 解：（1）由题意可知： 或 ， 且 ， 若 ，则 或 ，显然不合题意； 若 ，则 ，符合题意； 所以 ． （2）（ⅰ）证明：由题知 ，当 ，4，7时， ， 若 ，则与 且 矛盾， 所以 ，所以 ， 若 ，则与 且 矛盾， 所以 ，同理可得 ， 所以 ， ， 成公比为 的等比数列； （ⅱ）由 可推得， 或 ， 对于任意正整数 ， ， 可得 ， 即 ， 所以 ，所以 ， 由题知 ，所以 ， ， ， 所以 ， ， ， 若 ，则与 且 矛盾，所以 ， 因为 且 ，所以 且 ，所以 ， 因为 ， ，所以 ， 又 ， ， ， 所以 为正奇数， 所以 ， 同理， ， ， 所以 ， 当 为 ， ，1， ，0， ， ，0， ， ，0， ， 时，符合题意， 所以 的最大值为 ． 【例题11】（2025•南昌二模）对于共 项的等差数列 （公差不为 各项重新排列得到新数列 ，若 中的任意两项的等差中项都不在这两项所在位置之间，则称数列 是等差数列 的“无均数列”． （1）若 ，写出等差数列 （公差不为 的4个不同的“无均数列”； （2）若 ，写出等差数列 （公差不为 的一个“无均数列”； （3）若 ，判断等差数列 （公差不为 的“无均数列”是否存在，并证明你的结论． 解：（1）根据题目定义：对于共 项的等差数列 （公差不为 各项重新排列得到新数列 ， 若 中的任意两项的等差中项都不在这两项所在位置之间，则称数列 是等差数列 的“无均数列”． 当 时，存在以下“无均数列”： ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ， 总共10种（写出其中的4个即可）． （2）当 时，存在“无均数列”： ， ， ， ， ， ， ， ． （3）证明：存在， 先证明对 时，存在， ①当 时，由①知存在“无均数列”， ②假设 时， 存在“无均数列”， 则 时，数列 分成2组 ，两组分别有 次项， 且从这两组中各任取一项，得到的两项的等差中项不是 的项，由假设， 数列 存在“无均数列”，设为 ， 数列 存在“无均数列”，设为 ， 构造数列： ， 观察 ，每组之间的任意两个数的平均数均不在两数位置之间，故只需要考虑每组内部重新排成“无均数列”， 因此数列： ，中任意两项的等差中项均不在这两项中间， 即 时，数列 存在“无均数列”， 由①②可知， 时，都存在“无均数列”， 所以令 ，即 时，存在“无均数列”， 接下来我们只需要将 ， ， ， 项去掉， 便可得到 时，等差数列 存在“无均数列”． 同样注意到此时每一组是一共8项的等差数列， 令 ，2， ， ，故由第二问知道， 此时只需要把其分为4组 ， ， ， ， ， ， ， 这样排列就能构成“无均”数列， 因此反复执行上述操作能把2048项的等差数列 重新排列成一个“无均”数列， 所以当 时也能重新排列成一个“无均”数列． 【例题12】．（2025•岳阳二模）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0的等差数列 称为“一阶等差数列”，若数列 是“一阶等差数列”，则称数列 是“二阶等差数列”．定义：若数列 是“ 阶等差数列”，则称原数列 为“ 阶等差数列”．例如：数列1，3，6，10，它的后项与前项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4是公差为1的等差数列，则称数列1，3，6，10为二阶等差数列． （1）若数列 满足 ， ，且 ，求证：数列 为二阶等差数列； （2）若三阶等差数列 的前4项依次为1，4，10，20，求 的前 项和 ； （3）若 阶等差数列 的通项公式为 ． ①求 的值； ②求 的前 项和 ． 解：（1）证明：因为 所以 ， 所以 是首项为 公差为2的等差数列，则 是一阶等差数列，数列 为二阶等差数列． （2）因为 是“三阶等差数列”，所以 是“二阶等差数列”，设 ， 所以 是“一阶等差数列”．由题意得 ， ， ，所以 ， ， ， 满足上式，所以 ， ， 因为 满足上式， ． ； （3）① ，设 ，则 ，设 ， 则 ． 设 ，所以 ， 所以 ， 所以数列 是公差为384的等差数列，则数列 是4阶等差数列，即 ． ② ， 所以 ， 又因 ， 所 ， 同理可证 ， 证明如下：设 ，因为 ， 所以 ， 则 ， 所以 ． 【例题13】（2025•南充模拟）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法．如图， 是函数 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近 的实数 ， ， ， ， ，在点 ， 处作 的切线，则 在 处的切线与 轴交点的横坐标是 ，同理 在 ， 处的切线与 轴交点的横坐标是 ，一直继续下去，得到数列 ，从图中可以看到， 较 接近 ， 较 接近 ， ，当 很大时， 很小，我们就可以把 的值作为 的近似值，即把 作为函数 的近似零点．现令 ． （1）当 时，求 的近似解 ， ； （2）在（1）的条件下，求数列 的前 项和 ； （3）当 时，令 ，若 时， 有两个不同实数根 ， ，求证： ． 解（1）由题意得 ，因为 ，所以 （1） ， （1） ，所以过点 的切线方程为 ，令 ， 得 ，又因为 ， ， 所以过点 的切线方程为 ，令 ，得 ， 综上得， ， ； （2）因为 ， ， 则 在点 ， 处的切线方程为： ， 令 ，得 ，即 ， 所以 ，由（1）可知道 ， 所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，所以 ， 所以 ； （3）证明：把 代入得 ． 所以 ，令 得： ；令 得： ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增． 先证左边：由 有两个不同实数根 ， ， ， 可知： ，令 ，则 ， 所以 在 单调递增，在 上单调递减，所以 （1） ，即 ． 所以当 时， 当 时， 显然 有两个不同的实根，记为 ， ，且 ， ， ，又 ， 故 ，所以 ，因为 ， 所以 ，同理可证： ，所以 ， 再证右边：因为 （1） ， （1） ，所以 在 处的切线为： ， 易证 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ， 综上所述， ． 【例题14】（2025•吴忠模拟）已知直线 与 相交于点 ．按照如下方式依次构造点 ，2， ：设直线 与 轴交于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ， 记 的横坐标为 ． （1）求点 的坐标； （2）证明：数列 是公比为 的等比数列； （3）比较 与 的大小． 解：（1）因为直线 与 相交于点 ， 由 ，有 ，即 ，由 ，知 ，得 ， 有 ，故 （2）证明：因为 轴， 的横坐标为 ， ，所以 ， 又因为 轴，所以 ， 又 ，有 ， 得 ，显然 ，有 ， 故数列 是公比为 的等比数列． （3）在 中，令 ， 有 ，得 ， 由（2），知 ， 由 ，知 ， ，有： ， 令 ，有 ， 有 ，进而 ． 当 ，即 或 时， ， ， 有 ； 当 ，即 时， ， ， 有 ； 当 ，即 且 时， ， 而 ， 有 ， 综上所述， 且 时，恒有 ． 知识点四、导数的类型 【例题1】（2025•天津模拟）已知函数 ， ，且曲线 在 处的切线的倾斜角为 ． （Ⅰ）若函数 在区间 ， 上单调递增，求实数 的最大值； （Ⅱ）当 时， ， 为 的导函数），求 的取值范围； （Ⅲ）设函数 ，若 ，证明： ． 解：（Ⅰ） ， ， 所以 ， ， 令 ，解得 ， 所以 在区间 上单调递增，又因为 在区间 ， 上单调递增， 所以实数 的最大值为 ； （Ⅱ） ，令 ， ， ， 则 ， ， ， 令 ，则 ， ①当 时，即 时， 在 ， 上恒成立， 故 在 ， 上单调递增， 因为 ，所以 在 ， 上恒成立， 所以 在 ， 上单调递增，故 ，即 恒成立． ②当 时，即 时，则存在唯一 ，使得 ，且函数 在 上单调递增， 当 时， ，即 在 上单调递减，所以 ， 即 在 上单调递减，所以当 时， ，不符合题意． 综上所述，实数 的取值范围为 ． （Ⅲ）证明：由题意， ， 则 ， 令 ，则 ， 令 可得， ，得 在 上单调递增， 可得 ，得 在 上单调递减， 则 ， 则 ， ，当且仅当 时取等号， 得 在 上单调递增，而 ， ， 则不妨设 ， 令 ，其中 ， 则 令 ， ， 则 ，得 在 上单调递增， 则 ，得 在 上单调递增， 有 ，即 时， ， 因 ，则 ， 又 ，则 ，注意到 在 上单调递增，则 ， 即 ． 【例题2】（2025•安徽模拟）已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （2）讨论函数 极值点的个数； （3）设 ， ，求证： ． 解：（1）当 时， ，于是 ， 求导得 ，于是 ， 所以曲线 在 处的切线方程为 ； （2）函数的定义域为 ，对函数求导得 ， 当 时， ， ， 函数 在 上单调递增，无极值点； 当 时， ， 当 时， ，函数 在 上单调递增； 当 时， ，函数 在 上单调递减； 当 ， 时， ，函数 在 上单调递增， 所以函数 有极大值点0和极小值点 ， 综上所述，当 时，函数 极值点个数为0； 当 时，函数 极值点个数为2； （3）证明：由（2）知，当 时，若 ，则 ，即 ， 当 时，若 ，则 ，即 ， 当 时， ，不等式成立， 假设 ，不等式成立，即 ， 则当 时，由条件知 ， 又函数 与函数 在 上单调递增， 所以 ， ， 即 ，即 时不等式成立， 综上所述，对 ，都有 成立． 【例题3】（2025•南宁模拟）对于正整数 ，定义函数 ，函数 的导函数记为 ． （1）求函数 在区间 ， 上的零点； （2）证明：当 为奇数时，函数 在区间 ， 上至少存在2个极值点； （3）证明：对于任意实数 ，有 ，并指出等号成立时 的取值． 解：（1）依题意 ， 令 ，即 或 或 ， 解得函数 在区间 ， 的零点为 ； 证明：（2）依题意，对函数 求导，得： ， 当 时， ， 当 时，又 为奇数，故 ， 由零点存在性定理，则存在 ，使得 且 为极大值点， 又 ， 函数 在区间 ， 连续且 一个对称中心为 ， 故存在 为 的极小值点，故 在 ， 至少存在2个极值点； 证明：（3）由（2）知 ， 由于 ，可得 ， 等号成立当且仅当所有 的符号一致且 ， 此时 ，2， ．， ，解得 ， 或 ，2， ， ，解得 ， 则 或 ． 【例题4】（2025•广东模拟）已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 有三个零点 ， ， ． ①求 的取值范围； ②判断 与 的大小关系，并给出证明． 解：（1）当 时， ， ， 则 （1） ，又 （1） ，故所求切线方程为 ． （2）①当 时， ，且 （1） ， 若 有三个零点等价于 在 上有且只有一个零点， 令 ，则 ，函数 的零点与 有相同的零点， 又 在 上零点情况等价于 在 上零点情况， ， 当 时， ， 在 上单调递减，所以 （1） ，在 上无零点，不符合题意， 当 时，令 ， ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减， 所以 （1） ， ， ， 所以 在 有唯一零点 ，即 在 有唯一零点 ． 综上所述， 有三个零点时， ，即 的取值范围是 ． ② ，证明如下： 由①知， 时， 有三个零点 （其中 ， 考虑 ， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递减，所以 （2） ，即 ， 所以 ，又函数 在 上为增函数， 所以 ． 【例题5】（2025•辽宁二模）已知函数 ， 为 的导函数． （1）当 时，求曲线 在 ， （1） 处的切线方程； （2）若 的两个极值点分别为 和 ，且 ． 求实数 的取值范围； 证明： ． 解：（1）当 时， ，则 ， （1） ， 求导得 ，则 （1） ， 所以曲线 在 ， （1） 处的切线方程为 ，即 ． （2） ，且定义域 ． 因为若 有两个极值点，所以 ， 是方程 的两个正根， 即 ， ， 令 ，则 ， 所以，当 时， ，当 时， ， 因此，当 时， 单调递减；当 ， 时， 单调递增， 所以当 时， 有最小值 ， 时， ， 又因为 时， ，所以当 时， ， 所以 ． 证明：由 可知 ，且 时， ，又 ，所以 ， 令 ， ， 单调递增，且 （e） ， 所以 时， ， 时， ， 所以 在 单调递减，在 单调递增， 所以 （e） ， 即 ， ， 又因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 【例题6】（2025•吕梁二模）已知函数 ． （1）求函数 的图象在 处的切线方程． （2） 函数 是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由． 证明： （ ，且 ． 解：（1）由题意得， ， （1） ， ， 故切线方程为 ，整理得 ． （2） 函数 在定义域 ， ， 上不存在极值．理由如下： 由（1）得 ，令 ，则 ， 且 ， 在 上恒成立， 所以 在区间 上单调递增，且 ． 因此 在 上恒成立，函数 单调递减，不存在极值． 又 在 上恒成立，所以 单调递减，且 ． 因此 在 上恒成立，函数 单调递减，不存在极值． 综上所述，函数 不存在极值． 证明：由 可知函数 在 上单调递减， 令 ， 当 时， ，显然 ，即 ， 也就是 ． 将 （1） ，即 ， ， ， ， 累加可得 ． 当 时， （1） ，即 ． 综上所述， ，且 ． 【例题7】（2025•重庆模拟）已知函数 ． （Ⅰ）设过点 ， 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线 在点 ， 处的法线．若曲线 在点 处的法线与直线 平行，求实数 的值； （Ⅱ）当 时，若对任意 ，不等式 恒成立，求 的最小值； （Ⅲ）若 存在两个不同的极值点 ， ， 且 ，求实数 取值范围． 解：（Ⅰ）由 ，得 ， 则 ，又由直线 的斜率为 ， 根据题意可知： ． （Ⅱ）当 时，不等式可化为 ， 变形为 ， 同构函数 ，求导得 ， 所以 在 上是增函数，而原不等式可化为 ， 根据单调性可得： ， ， 再构造 ，则 ， ， 当 时， ，则 上单调递增， 当 时， ，则 在 上单调递减， 所以 ，即满足不等式成立的 ，所以 的最小值为 ； （Ⅲ）因为 存在两个不同的极值点 ， ， ， 所以由 可得：△ ， ， 因为 ，而 的对称轴是 ，所以可得 ， 根据对称性可得另一个零点 ，此时有 ， 故 ，又由 可得 ， 而 ， 令 ， ， 则 ， 因为 ，所以 ，即 ， ， 则 ，即 在区间 上单调递减， 所 ， 即 ，所以实数 取值范围 ． 【例题8】．（2025•河南二模）设 ，定义 为 的“ 函数”． （1）设 为 的“ （1）函数”，若 ， ，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程； （2）设 为 的“ 函数”． 若 是 的极小值点，求 的取值范围； 若 ，方程 有两个根 ， ，且 ，求证： ． 解：（1）若 ， ，则 ，则 ， ， ，又 ， 曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． （2）（ⅰ）由题，可得 ，定义域为 ，则 ， 是 的极小值点，则 （1） ， 则 ， 若 ，令 ， ，令 ， ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减， 是 的极大值点，不满足题意； 若 ，令 ，可得 ，令 ，可得 ， ， ， 则 在 ， 上单调递减，在 上单调递增， 是 的极大值点，不满足题意； 若 ，则 ， 在 上单调递减，无极值，不满足题意； 若 ，令 ，可得 ，令 ，可得 ， ， ， 则 在 ， 上单调递减，在 上单调递增， 是 的极小值点，满足题意； 综上， 是 的极小值点时， 的取值范围为 ． （ⅱ）证明：由题 ， 设 ，抛物线 的对称轴为直线 ， 方程 有两个正根 ， ， ，解得 ， 由题意知 ，得 ． （1） ， （2） ， ， ， 令 ， 则 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， ， （1）， （2） ， 由 ， （2） ，得 ， ， ， ，则 ， （2） （1） ， （2） （1）， （1）， （2） （2） ， ，即 ． 【例题9】（2025•晋中模拟）已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 ，求曲线 与曲线 的公切线； （3）已知 ，若 的两个极值点为 ，求 的取值范围． 解：（1） ， 当 时， 在 时恒成立，此时 在 单调递增； 当 时，令 ，当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 综上，当 时， 在 单调递增； 当 时， 在 单调递增，在 单调递减； （2） ，则 ， ， ， 设公切线在 上的切点坐标为 ，则切线的斜率为 ， 此时切线方程为 ， 设公切线在 上的切点坐标为 ，则切线的斜率为 ， 此时切线方程为 ， 所以 ， 时两边都是单调的， 且 时，等号成立，故 ，公切线方程为 ； （3） ， ，即 ， 因为 的两个极值点为 ， ， 所以 有两个不同的正数解，所以 ， 又 ，代入解得 ， ， ， 令 ， ， ， 所以 在 单调递减， ． 故 的取值范围为 ． 【例题10】（2025•湖北模拟）定义： ， 是函数 的两个极值点，若 ，则称 为“ 函数”． （1）若 为“ 函数”，求 的值范围． （2）已知函数 有两个极值点． ①求 的值范围； ②证明： 为“ 函数”． 解：（1）由题可得 ，令 ，可得 ， ． 为“ 函数”， ，则 ． 又 ，化简得 ，解得 ． 的取值范围为 ． （2）①由题可得 ，设 ，则 ， 令 ，解得 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， ． 当 时， ， 函数 在 上单调递增，没有极值点，不符合题意； 当 时， ， ， （a） ， 此时， 有两个零点 ， ，不妨设 ，则 ， 当函数 有2个极值点时， 的值范围是 ． ②证明：由①知， ， 为 的个实数根，不 ，则 ， 在 上单调递减． 下面先证 ，只需证 ，即证 ． ， ， ， 设 ，则 ， 在 上单调递减， ， ， ，即 ， 函数 在 ， 上单调递减， ， 要证 ，只需证 ，即证 ． 设 ， ，则 ． 设 ，则 ， 在 上单调递增， ，即 ， 在 上单调递增， ， 即当 时， ，则 ， ，即 ． 综上， 为“ 函数”． 【例题11】（2025•商洛三模）定义：若函数 与 在公共定义域内存在 ，使得 ，则称 与 为“契合函数”， 为“契合点”． （1）若函数 和 为“契合函数”，求 的取值范围． （2）已知函数 和 为“契合函数”且有两个“契合点” ， ． ①求 的值范围； ②若 ，证明： ． 解：（1）由题意知： 与 的公共定义域为 ， 令 ，即 ， 所以 ， 令 ，若 与 为“契合函数”，则 与 有交点． 因为 ， 所以当 时， ， ，即 ；当 时， ； 当 时， ， ，即 ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，又当 时， ；当 时， ； 所以 大致图象如下图所示， 由图象可知：当 ， 时， 与 有交点， 即当 与 为“契合函数”时， 的取值范围为 ， ． （2）①由题意知： 与 的公共定义域为 ， 令 ， ， 即 ， 令 ，则 ， 当 时， ；当 时， ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，又当 时， ；当 时， ； 所以 大致图象如下图所示， 令 ，则 ， ， 得： ， 因为 在 ， 上单调递增，又 与 为“契合函数”， 与 至少有一个交点， 所以 与 有两个不同交点 ， ，所以 ，所以 ， 所以 ，解得： ，即实数 的取值范围为 ， ． ②证明：由①得： 与 的两个不同交点为 ， ，且 ， 所以 ，即 ，所以 ，所以 ， 令 ，则由 知： ， ， 所以 ，整理可得： ，所以 ， 所以 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，所以 （e） ，所以 ， 所以 在 上单调递增，所以 （e） ， 即 ，所以 在 上单调递增，所以 （e） ， 即 ． 【例题12】（2025•新乡二模）已知函数 ． （1）若 在其定义域内单调递增，求 的取值范围． （2）若 ，证明： ， ． （3）若 在 上有两个极值点，求 的取值范围． 解：（1）因为 在 上单调递增，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立． 设 ，则 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，则 ，即 的取值范围为 ， ． （2）证明：若 ，则 ， 设 ，则 ， “ ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增， 则 ，则 在 上单调递增， 所以 ，即当 时， ， 所以 ，不等式得证． （3） ， 当 时， ，则 在 上单调递减， 无极值点． 当 时，由（1）知 在 上单调递增， 无极值点． 当 时，令 ， 令 ，得 ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增， ， ， 由（2）知 ，则 ， 所以 恰有两个零点 ， 令 ，得 ，令 ，得 或 ， 所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，在 上单调递增， 从而 有两个极值点． 综上， 的取值范围是 ． 【例题13】（2025•河南二模）已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若关于 的方程 有两个不相等的实根 ， ，求证： ． 解：（1）函数 的定义域为 ， ， ， 当 时， 在 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递增， 则当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减， 则当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减； 综上，当 时， 在 单调递增； 当 时， 在 单调递减，在 单调递增； 当 时， 在 单调递增，在 单调递减； （2）证明：令 ，则 ， 是 ，即 的两个实数根，即 的两个实数根， 设 ，则 ， 是函数 的图象与直线 交点所对应的横坐标， ， 由（1）知，函数 在 单调递增，在 单调递减， 作出函数 的图象如下图所示， 过点 作曲线 的切线，则切线斜率为 ，则切线方程为 ， 令 ，解得 ，由图象可知 ； 过点 作曲线 的切线，则切线斜率为 （e） ，则切线方程为 ， 令 ，解得 ，由图象可知 ； ，即 ，即得证． 【例题14】（2025•湖南模拟）已知函数 有三个不同的零点 ， ， ． （1）若 ， ，求 的取值范围； （2）若 ， ， ，且对任意 ， 都有 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若 ， ，比较 的极大值与 的大小． 解：（1） ， 时， ， ， 当 时， ；当 时， ， 所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 故 的极大值是 ， 的极小值是 ， 由 有三个零点知有 解得 ， 即 的取值范围是 ； （2）由 知 ，所以 ， 所以 ， 是方程 的两个根， 即有 ，得 ， ， ， 所以 ， ， 由 得 ， ① 时， ， 则此时 不成立； ② 时， ， 所以只需 ，即 ，解得 ， 综上可知 ，即 的取值范围是 ； （3）当 ， 时， ， ， 由 有三个零点知 有两个不相等的解，记为 ， （设 ， 所以有△ ，得 舍去）， 由求根公式知 ， ， 在 ， ， 上单调递增，在 ， 上单调递减， 所以 的极大值为 ， 由 ，得 ，得 ， 代入得 ， 由 及 知 ， 考虑函数 ， ， ，所以 在 上单调递减， 所以 ， 所以 ，所以 的极大值大于 ． 知识点五、立体几何 【例题1】（2025•海南模拟）如图，正四棱锥 的底面是边长为1的正方形，平面 与底面 平行且与四棱锥的四条侧棱（不含端点）分别交于点 ， ， ， ，四棱台 与四棱锥 的棱长和相等 “棱长和”指多面体的所有棱长之和）． （1）若 是棱 的中点，求四棱台 的体积； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值； （3）已知四棱柱 的底面是边长为 的正方形，侧棱长为 ，且侧棱与底面所在平面所成的角为 ，若平面 任意上下平移时，总存在正数 ， ，使得四棱柱 与四棱台 有相同的体积，也有相同的棱长和，求 的取值范围． 解：（1）由题意知平面 平面 ， 所以四棱锥 也是正四棱锥， 依题意， ， 即 ，故 ， 即四棱锥 和正四棱锥 的侧面都是正三角形， 连接 ，设点 在底面 上的射影为 ，则 为 的中点． 由已知得 ， ， 所以△ 是等腰直角三角形， 所以 上的高 ， 即四棱锥 的高为 ，所以 ， 当 是棱 的中点时， ， 所以四棱台 的体积为 ． （2）设 ， 的中点分别为 ， ，连接 ， ， ， 设平面 与平面 的交线为 ， 易知 平面 ， 又 平面 ，则 ， 因为△ 是等边三角形，所以 ，所以 ，同理可得 ， 所以平面 与平面 的夹角即 （或其补角）， 由已知可得 ， ， 所以 ， 所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ． （3）由题意知四棱柱 的高为 ，体积为 ． 当平面 任意上下平移时，设 ， ， 则 ，四棱台 的体积为 ， 所以 ．① 又四棱柱 与四棱台 的棱长和相等，所以 ， 所以 ， ， 将其代入①，得 ， 令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 在 处取得极大值，也是最大值，最大值为 ， 所以 ，则 ． 又 ，且总存在满足题中条件的 和 ， 所以 ， 故 ，解得 ， 又 ，所以 的取值范围是 ． 【例题2】（2025•鹤壁二模）球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角．如图（1），球 的半径 ， ， ， ， 为球 的球面上的四点． （Ⅰ）若球面三角形 的三条边长均为 ，求此球面三角形一个内角的余弦值． （Ⅱ）在球 的内接三棱锥 中， 平面 ， ，直线 与平面 所成的角为 ． 若 ， 分别为直线 ， 上的动点，求线段 长度的最小值； 如图（2），若 ， 分别为线段 ， 的中点， 为线段 上一点（与点 不重合），当平面 与平面 夹角的余弦值最大时，求线段 的长． 解：（Ⅰ）因为球面三角形 的三条边长均为 ， 所以球面三角形每条边所对的圆心角均为 ，所以四面体 为正四面体， 取 的中点 ，连接 ， ， 则 ， ，且 ， 则 为二面角 的平面角， 由余弦定理可得 ， 所以此球面三角形一个内角的余弦值为 ； （Ⅱ）因为 平面 ，所以 ， ， 设 ，则 ，所以 ， 由勾股定理的逆定理可得 ，又 ， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 ， 因为直线 与平面 所成的角为 ，所以 ， 易知在 △ 和 △ 中，斜边 的中点到点 ， ， ， 的距离相等， 即 为球 的直径，所以 ， 以点 为坐标原点，直线 ， 分别为 ， 轴，过点 且与 平行的直线为 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题可知 ， 则 ， 设与 都垂直的向量为 ， 则由 ， ，可得 令 ，则 ， 所以线段 长度的最小值为 ； 设 ， 由题可知 ， 则 ， 设平面 的一个法向量为 ， 则由 ， ，可得 取 ，可得 ， 设平面 的一个法向量为 ， 则由 ， ，可得 取 ，可得 ， 设平面 与平面 的夹角为 ， 因为 ， 令 ，则 ， 可得 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，此时 取得最大值，故 ． 【例题3】（2025•郑州模拟）若一个四面体三组对棱分别相等，我们称它为“等腰四面体”．已知在等腰四面体 中， ，2，3， ， 分别为所在棱的中点，如图所示． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若 ， ，求二面角 的大小； （Ⅲ）在空间直角坐标系 中， 平面内有椭圆 ，直线 与 交于 ， 两点． 为空间中一点，若四面体 为等腰四面体，求其外接球表面积的最小值． 解：（Ⅰ）证明：因为在等腰四面体 中， ，2，3， ， 分别为所在棱的中点， 连接 ， ， ， ， 因为 ，且 ， ，且 ， 所以 且 ，四边形 为平行四边形， 又 ， ， 所以 ，所以四边形 为菱形， 所以 ，同理，四边形 为菱形， ， 又因为四边形 为菱形， ， 交于一点，所以 平面 ． （Ⅱ）如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系 ， 由 ， ，得 ，0， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，则 ， 令 ，得 ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，则 ， 令 ，得 ， 所以 ． 所以二面角 的大小为 ． （Ⅲ）由（Ⅱ）知可将 补成长方体，设长宽高分别设为 ， ， ， 则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半， 即 ， ， ， ， ， 则 ， 在 平面内设 ， ， ， ， 由 ， 得 ， 显然△ ， ， ， 于是 ， ， 所以 在△ 中， ， 则 为锐角， 因此 ，即 ， ， 解得 ， 又 ， 不妨令 ， 则 ， ， 当 时， ． 此时 ，所以 的最小值为 ，此时直线方程为 ． 【例题4】（2025•武汉模拟）已知四棱锥 的底面 为平行四边形， ， ， ， ， ． （1）求三棱锥 外接球的表面积． （2）设 为线段 上的点． 若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 平面 过点 ， ，且 平面 ，探究：是否存在点 ，使得平面 与平面 之间所成角的正切值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）因为 ， ， ， 故 ， 故△ 为直角三角形，即 ， 而 ， ， ， 平面 ， 则 平面 ．又因为 平面 ， 所以平面 平面 ， 过△ 的外接圆圆心 作直线 垂直于平面 ，过线段 的中点 作直线 垂直于平面 ，其中 ， 则 即为三棱锥 的外接球球心， 则 ， 故 ， 故三棱锥 外接球的表面积 ； （2） 以 的中点 为原点，直线 为 轴，平行 方向为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 而 ，故 ， ， ． 设 ， ， 为平面 的法向量， 则 ，则 ， 令 ，则 为平面 的一个法向量， 而 ， 故直线 与平面 所成角的正弦值 ． （Ⅱ）由 可知 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 令 ，则 ． 如图，建立空间直角坐标系，记直线 平面 ，直线 平面 ，连接 ， 因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ， 不妨设 ，则 ， ， 则 ，故 ， 同理可得， ， 则有 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，则 解得 ，设 ，则 ， 故 ， 所以 ， 化简得 ， 解得 或 ， 设 ，则 ，则 ， 解得 ， 故 ． 当 时， ， 因为 ，所以 ， 化简得 ，解得 ，满足要求； 当 时， ． 因为 ，所以 ， 化简得 ，解得 ，满足要求． 综上所述， 的值为 或 ． 【例题5】（2025•葫芦岛一模）已知函数 ， ， 图像如图1所示， ， 分别为图像的最高点和最低点，过 ， 作 轴的垂线，分别交 轴于 ， ，点 为该部分图像与 轴的交点，且 ， 与 轴的交点为 ．将绘有该图像的纸片沿 轴折成如图2所示的二面角 ．折叠后，当二面角 的值为 时， ． （1）求函数 的解析式； （2）在图2中， 的图像上存在点 ，使得 平面 ，请确定点 的个数，并简要说明理由； （3）如图3，在折叠过程中，若二面角 的范围是 ，求二面角 的余弦值的取值范围． 解：（1）由题意： ， ， 当绘有图像的纸片折叠前，有 ， 于是 ①， 又当二面角 的值为 时，可得 ， ，代入上式： ②， 联立①②，解得： ， ． 所以 ， 又 与 轴的交点为 ，可得 ， 解得 （舍 或 ， 所以 ． （2）①在平面 内，过点 作 图象的切线， 斜率为 ， 又点 ， ， 故 连线的斜率 ， 连线的斜率 ， 于是，过点 作 交 轴于 ，则直线 斜率为 ， 因为 ，故直线 一定交 的图像于 ， ②在平面 上，过 作 平行于 的交 于 ，连接 ． 由 ， ，且 ，可得平面 平面 ， 又 平面 ， 从而 平面 ， 综上，可确定存在两个点 满足条件，即 ， 平面 ． （3）根据题意，依图3，以过 且平行于 的直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 设二面角 ， ， 于是， ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， 所以 ， ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，于是 ， 令 ，得 ， 设平面 的法向量 ， 则 ，于是 ， 令 ，得 ， 结合法向量方向可判断， 二面角 的余弦值为 ， 令 ， 化简得： ， 令 ， ， 于是 ． 易知，该函数为定区间上的单调递增函数， 所以 ， ， 二面角 的余弦值的取值范围是 ． 【例题6】（2025•驻马店模拟）如图，圆台下底面圆 的直径为 ， 是圆 上异于 ， 的点， ， 是圆台上底面圆 上的两点， 是 的中点， ， ． （1）证明： 平面 ． （2）求四面体 的外接球的表面积； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值． 【解答】（1）证明：因为 ， ，所以 ，即 ， 因为 为圆 的一条直径， 是圆 上异于 、 的点，所以 ， 又 、 平面 ， ， 所以 平面 ． （2）解：因为 平面 ，且△ 为正三角形， 所以将三棱锥 补成正三棱柱 ， 设正△ 的中心为点 ，正△ 的中心为 ，则 的中点为外接球球心，记为 ， 在△ 中，由正弦定理知， ，即 ， 而 ， 所以外接球的半径 ， 故四面体 的外接球的表面积为 ． （3）解：因为 平面 ， ， 故以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴，过点 作垂直于底面的垂线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ，1， ， 设 ，连接 、 ，则 ， 因为 ，所以 ， 易知平面 的一个法向量为 ， 设直线 与平面 所成的角为 ， 则 ， 不妨设 ， ， 则 ， 设 ， ，则 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ． 【例题7】（2025•湖南一模）如图1所示，直角梯形 ， ， ，且 ，点 ， 分别在线段 ， 上，且 ，点 为 的中点，将四边形 沿 折起，使二面角 的大小为 ． （1）若 ， （如图2所示），求直线 与平面 所成角的正弦值； （2）若 ，点 为平面 内一点，若 平面 （如图3所示），求 的值； （3）若 ， 时，点 为线段 的中点，将△ 沿 折起，使△ 与四边形 在平面 的同侧且平面 平面 ，点 为四面体 内切球球面上一动点，求 的最小值． 解：（1）如图： 由题 、 、 三线两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，1， ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，令 得 ， 设 与平面 所成角为 ， 则 ， 直线 与平面 所成角的正弦值为 ； （2）如图： 设 、 的中点分别为 、 ，连接 ， 由平面几何知： 、 ， ，且 平面 ， 若 平面 ， 平面 ， ，又 ， 、 平面 ， ， 平面 ， 又 平面 ， ，且 ， 在 △ 中， ， 又 ， ， ； （3）如图：显然， 为棱长为 的正四面体，作 面 ，设内切球球心为 ， 建立如图所示的坐标系，且 ，则 ， ， 设内切球半径为 ，由等体积法知， ， ， 内切球 的方程为 ， 由阿氏球知，空间中必存在一定点 ， ， ，使球 上的点满足 ， 即 ， 则 ， 由球 的方程 ， ，解得 ， ， ， ， 的最小值为 ． 【例题8】（2025•大庆模拟）在四棱锥 中，底面 为正方形， 是 的中点， 平面 ， ， ，平面 平面 ． （1）求证： ； （2）如图， 且 ，求点 到平面 的距离； （3）设四棱锥 的外接球球心为 ，在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ？若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理由． 解：（1）证明： 四边形 为正方形， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 ， 又 平面 ，平面 平面 ， ； （2）取 中点 ，连接 ，则 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， ， 以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ，2， ， ，2， ， ， ，0， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，得 ， 取 ， 点 到平面 的距离为 ． （3）存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ， ，且平面 为正方形， 点 在平面上的射影是 的中心， 可设 ，1， ，则 ， ， 解得 ． 即 ， ， 设 ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，得 ， 取 ， 设直线 与平面 所成的角为 ， ， 化简得 ， 即 ， 或 （舍 ， 存在点 为 上靠近点 的三等分点，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【例题9】（2024•河北模拟）如图，四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ， ， ， ．设 中点为 ，过点 的平面 同时垂直于平面 与平面 ． （1）求 ； （2）求平面 与平面 夹角的正弦值； （3）求平面 截四棱锥 所得多边形的周长． 解：（1）设 ， ， ，则 ， 在 中， ， 整理得 ， 由题意得 ，则 ， 即 ，解得 ， 因此 ，即 ． （2）作 中点 ，连接 ， ，因为 为 中点， ， 所以 ， ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，而 ， ， 平面 ，故 ， ， ， 因为 ， ， 所以四边形 、四边形 都是平行四边形， 故 ， ，而 ，所以 ， 又因为 为 中点，所以 ，在平面 中也有 ， 由于 ，故 ， ， ， ， 由勾股定理得： ， ， 故以 为原点， ， ， 为 ， ， 轴，建立如图空间直角坐标系， 则 ，0， ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， ， 设平面 ，平面 ，平面 ，平面 的法向量分别为 ， ， ， 则 ，即 ，取 ，则 ， 同理可得 ， 因为平面 同时垂直于平面 ，平面 ，所以 ， ， 即 ，取 ，则 ， 平面 的法向量是 ，则 ， 设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，故 ， 因此平面 与平面 夹角的正弦值为 ． （3）设 是平面 上一点，因为平面 过点 ，则可以设 ， 这是因为此时 ，因此可设 ， 因为当平面与平面相交时，其交线必为直线且唯一，故只需讨论平面 与四棱锥 的公共部分， 当 时， 在直线 上，因此平面 过直线 ，故平面 与平面 ，平面 交于直线 ，与棱 ， 分别交于 ， ， 故只需讨论平面 与棱 ， 的交点：设平面 与棱 ， 的交点分别为 ， ， 则设 ， ， 令 ，则 ，解得 ，即 ， 同理可得 ， 故平面 与平面 交于 ，平面 交于 ，因此平面 截四棱锥 所得截面多边形为四边形 ， 故周长为 ． _1234569732.unknow$$新高考中第十九题的常考题型 一、知识讲解 新高考中，由原来的二十二道题变为十九道题后，第十九题有一定的难度，现将常考的模型，立体几何，圆锥曲线，导数，数列和概率做一总结，供大家分析研究。 二、例题精析 知识点一、概率类题型 【例题1】（2025•揭阳模拟）一个质点在数轴上从原点开始运动，每次运动的结果可能是原地不动，也可能是向左或向右运动一个单位．记质点原地不动的概率为 ，向右运动的概率为 ，向左运动的概率为 ，其中 ， ， ． （1）若 ， ，求质点运动3次后停在原点右侧的概率； （2）若 ． ①规定质点只要运动到原点左侧就立即停止运动，求质点运动5次后停在原点右侧的概率； ②设计游戏规则如下：第一轮游戏，质点从原点开始运动，设置质点向右运动的概率 ，若质点运动3次后停在原点右侧，则进入第二轮游戏，否则游戏结束； 第二轮游戏，质点重新从原点开始运动，重新设置质点向右运动的概率 ，运动3次后，若质点停在原点右侧，则以质点停留位置对应数轴上的数值作为两轮游戏的最终得分，若质点停在原点左侧或原点处，则两轮游戏的最终得分为0分（规定游戏一轮结束的得分也是0分）．记两轮游戏最终得分的期望 ，若 存在极大值点，求 的取值范围． 【例题2】（2025•淮北模拟）在组合数学、表示论和数学物理中，“ 数”是一种通过引入参数 对经典数学对象进行推广的概念，由物理学家保罗 狄拉克首先使用，对量子力学的发展意义重大．定义“ 数”： ，其中， ，1， ．利用“ 数”可以进一步定义两个概念：“ 阶乘”： （1） （2） （3） ，且 ，“ 组合数”： ， ． （Ⅰ）计算（3） 和 的值； （Ⅱ）证明：对任意 ， ， ， ； （Ⅲ）证明：对任意 ， ， ， ， ． 【例题3】．（2025•鹰潭二模）为落实食品安全的“两个贵任”，某市的食品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有6位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议． （1）设参加会议的专家代表共 名，求 的分布列与数学期望． （2）为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见．已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，两个部门都各自邀请了20名代表，假设收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，请利用极大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数． （附：极大似然估计 即最大概率估计，是统计学用于估算模型参数的方法，通过观察数据使样本出现的概率最大化，即当 时，概率 取得最大值，则 的估计值为 【例题4】（2025•重庆模拟）一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有 的概率分裂为两个新细胞， 的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡．新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立，如此繁衍下去．某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过 个生命周期的分裂情况，将第 ，2， ， 个生命周期后的活细胞总数记为随机变量 ． （1）若 ． 求随机变量 的分布列和期望； （Ⅱ）求事件“ ”的概率； （2）已知在 的条件下， 的期望称为条件期望 ，其定义为 ，试求条件期望 和 的期望 ． 【例题5】（2025•安徽模拟）在博弈论中，如果一个游戏满足：（1）游戏有两个人参与，二者轮流做出决策，双方均知道游戏的完整信息；（2）任意一个游戏者在某一确定状态可以做出的决策集合只与当前的状态有关，而与游戏者无关；（3）游戏中的同一个状态不可能多次抵达，游戏以玩家无法行动为结束，且游戏一定会在有限步后以非平局结束．则称该游戏为公平组合游戏． 现有两堆石子，每堆分别有 颗和 颗石子，其中 ， 为正整数且 ．甲和乙准备用这两堆石子做游戏，规则如下：（1）甲和乙轮流进行游戏，将一定数量的石子取出：（2）每人每次可以从两堆石子中同时取出相同数量的石子（不多于较少一堆石子的数量）或从任意一堆石子取出任意多只石子（均不可以不取）；（3）最先使两堆石子均没有石子的人获胜，游戏结束． （1）试说明该游戏为公平组合游戏； （2）称游戏中最先行动的游戏者为先手，已知公平组合游戏中的任一状态都能确定为先手有必胜策略的状态（记作 状态）或先手无必胜策略的状态（记作 状态）这两种状态中的一个，用 表示两堆石子分别有 颗和 颗石子的状态，试分别判断 ， 为 状态还是 状态并说明理由； （3）试判断当 ， 满足何种数量关系时甲作为先手无必胜策略并说明理由． 附：若 ， 均为正无理数且 ， ， ，则 且 ，其中 表示不超过 的最大整数． 【例题6】（2024•沙河口区校级二模）大连育明高级中学高三学生在交流2016年全国新课标Ⅲ卷单选压轴题时，各抒己见展示各自的解法． 题干：定义“规范01数列” 如下： 共有 项，其中 项为0， 项为1，且对任意 ， ， ， ， ，中0的个数不少于1的个数．若 ，则不同的“规范01数列”共有 个． 同学发现数据较少，可以列出所有情况，得到14个； 同学在组合数学中学过卡特兰数， ，所以此题是 的情况， ． 在一次活动课上，甲、乙俩人设计了一个游戏，抛硬币一次，若正面向上加一分，反面向上减一分．若起始分为零分，出现负分游戏立刻停止． （1）求在一次游戏中，恰好在第十一次后结束，中途只出现过两次零分的概率； （2）如果一个人在一次游戏中，连续抛了十次硬币，求此时积分 的分布列和期望； （3）参与一次游戏，记总共抛硬币次数为 ， 的期望为 ，求满足 的最小正整数 ． 【例题7】（2024•龙岗区校级模拟）某人从 地到 地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有 个路口，第二条路线上有 个路口． （1）若 ， ，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为 ；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为 ，第二个路口遇到红灯的概率为 ，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由． （2）已知：随机变量 服从两点分布，且 ，则 ，且 ， ，2， ， ．若第一条路线的第 个路口遇到红灯的概率为 ，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差． 【例题8】．（2025•重庆模拟）若抛掷一枚硬币，每次落地后正面向上的概率为 ，张华同学思考了以下抛掷硬币问题： （1）一共抛掷硬币4次，求恰有2次正面朝上且第2次抛掷是反面朝上的概率； （2）如果抛掷硬币前约定“双上 次原则”：即最多抛掷硬币 次，当出现两次正面朝上时就不再抛掷，抛掷硬币 次后即使没有出现两次正面朝上也不再抛掷．设 表示“双上 次原则”中抛掷硬币的次数． ①若 ，求 ； ②若 ， 为整数）表示抛掷硬币 次时恰有2次正面朝上的概率，证明： ． 【例题9】．（2025•铜仁市三模）近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注．研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力． （1）某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计． 月份 1 2 3 4 5 睡眠质量显著改善人数 280 250 200 160 110 若睡眠质量显著改善人数 与月份变量 具有线性相关关系（月份变量 依次为1，2，3，4， ，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？ （2）该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为 ，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为 ；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为 ． 经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数 的分布列与数学期望； 定义：已知数列 ，若对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数 ，使得当 时， 是一个确定的实数），则称数列 为“聚点数列”， 称为数列 的聚点．经过 次挑战后，挑战权在甲组的概率为 ，证明数列 为“聚点数列”，并求出聚点 的值． 附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， ． 【例题10】．（2025•全国模拟）为加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识挑战赛．该挑战赛共分 ， 关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者 关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为 ，乙每一关挑战成功的概率均为 ，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． （1）已知甲先上场， ， ， ， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设 为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求 ； （2）如果 关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率内是否相同，并说明理由． 【例题11】．（2025•南岗区二模）某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防治，该地区鼓励个人接种流感疫苗，最后统计表明，该地区整个冬季的流感患病率是 ，至冬季结束仍然有 的居民未接种疫苗，这些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为 ． （1）现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这人患病的概率； （2）已知泊松分布的概率分布列为 ，其中 为自然对数的底数， 是泊松分布的均值．若随机变量 服从二项分布，当 且 时，二项分布近似于泊松分布，其中 ，即 ， ．现从该地区接种疫苗的人群中随机抽取1000人，按上述泊松分布近似计算： ①求1000人中流感的患病率小于 的概率约为多少； ②设1000人中患流感的人数为 ，求使得 最大时的 值． （参考数据： 【例题12】（2025•徐州校级二模）某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客．为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有 的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分．假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率． （1）从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望； （2）2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务．已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为 ，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为 ，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为 ，如此往复． 求甲第二天选择“单车自由行”的概率； 求甲第 ，2， ， 天选择“单车自由行”的概率 ，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数． 【例题13】（2025•沈阳一模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量 服从参数为 的泊松分布（记作 ，则其概率分布为 ， ，其中 为自然对数的底数． （1）当 时，泊松分布可以用正态分布来近似；当 时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为 ．若 ，求 的值（保留三位小数）； （2）某公司制造微型芯片，次品率为 ，各芯片是否为次品相互独立．以 记产品中的次品数． ①若 ，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若 ， ，求在1000个产品中至少有2个次品的概率． 通过比较计算结果，你发现了什么规律？ （3）若 ，且 ，求 的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若 ，则有 ， ， ； ， ， ． 【例题15】（2025•潍坊模拟） 维空间中点的坐标可以表示为 ， ， ， ， ，其中 ，2，3， ， 为该点的第 个坐标．定义 维空间中任意两点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 之间的平均离差二乘距离 ， ，设 维空间点集 ， ， ， ， 或1，其中 ，2，3， ， ． （1）若 ， ， ，且点 ，1， ， ，写出所有的点 的坐标； （2）任取 维空间中的不同两点 ， ． 若 ，求 的概率； 记随机变量 ，求 的取值范围． 知识点二、椭圆曲线的类型 【例题1】（2025•安徽模拟）已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为1． （1）求椭圆 的方程； （2）设点 为椭圆上位于第一象限内一动点， ， 分别为椭圆的左顶点和下顶点． 求点 到直线 距离的最大值； 设直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求△ 面积的最大值． 【例题2】（2025•泉州模拟）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ， ． （1）求 的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，当以这两点和椭圆的中心为顶点的三角形面积达到最大值时，称该直线为椭圆的“好直线”． 设 为坐标原点，若斜率存在的直线 是 的“好直线”， 与 交于 ， 两点，求△ 的面积； 已知四边形 为平行四边形，若直线 ， ， ， 均为 的“好直线”，且不与 轴平行，求四边形 的面积的最小值． 【例题3】（2025•广州模拟）已知双曲线 的右焦点 到 的一条渐近线的距离为 ． （1）求 的方程； （2）设点 在 的右支上，过点 作圆 的两条切线，一条与 的左支交于点 ，另一条与 的右支交于点 （异于点 ． 证明： ； 当△ 的面积最小时，求直线 和直线 的方程． 【例题4】（2025•宜春二模）已知椭圆 ，在椭圆 上取 且 个点，这些点的坐标分别为 ， ，其中 ，1， ， ，连接 ． （1）若直线 的斜率为 ，求椭圆 的离心率； （2）证明△ 的面积为定值，并求多边形 的面积（用 表示）； （3）若 ， ，线段 的中点为 ，求证： ． 【例题5】（2025•山西二模）已知椭圆 的左焦点为 ， ，离心率 ．过点 的直线 交椭圆于 ， 两点，过 且与 垂直的直线交椭圆于 ， 两点，其中 ， 在 轴上方， ， 分别为 ， 的中点． （1）求点 的轨迹方程； （2）证明：直线 过定点； （3）求△ 面积的最大值． 【例题6】（2025•吕梁二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ．过 作以实轴为直径的圆的切线，在第二象限的切点为 ，直线 与一条渐近线的交点 在第一象限，且 为坐标原点）． （1）求双曲线的离心率． （2）双曲线经过点 ，动点 ， 在双曲线的右支上，且直线 经过右焦点 ，△ ，△ 的内心分别是 ， ． 求证：点 ， 在定直线 上； 求 的取值范围． 【例题7】（2025•重庆模拟）已知椭圆 的中心为坐标原点，焦点在 轴上，离心率为 ，点 在椭圆 上． （Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）过点 且斜率存在的两条直线 ， 互相垂直，直线 交 于 ， 两点，直线 交 于 ， 两点， ， 分别为弦 和 的中点，直线 交 轴于点 ， ，其中 ． ①求 ； ②设椭圆 的上顶点为 ，记△ 的面积为 ，令 ， ， ，求证： ． 【例题8】（2025•武汉模拟）如图，椭圆 ， ，已知 右顶点为 ，且它们的交点分别为 ， ， ， （1）求 与 的标准方程； （2）过点 作直线 ，交 于点 ，交 于点 ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 ；（上述各点均不重合） （3）点 是 上的动点，直线 交 于点 ，直线 交 于点 ，直线 交 于点 ，直线 与直线 交于点 ，求点 坐标，使直线 与直线 的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【例题9】（2025•青岛模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，短轴长为 ，离心率为 ． （1）求 的方程； （2）记 的左顶点为 ，直线 与 交于 ， 两点，直线 ， 的斜率之积为 ． 证明：直线 过定点； （ⅱ）若 在 轴上方，直线 与圆 交于点 ，点 在 轴上方．是否存在点 ，使得△ 与△ 的面积之比为 ？若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由． 【例题10】（2025•陕西模拟）已知双曲线 的离心率为 ，直线 与双曲线 相交于 ， 两点． （1）求双曲线 的渐近线方程； （2）若以 为直径的圆过双曲线 的左顶点 ，试判断直线 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； （3）设点 是满足（2）的双曲线 上的一个动点，过 作 的渐近线的两条垂线，垂足分别为 ， ，判断△ 的面积是否为定值；若是，求出该定值并证明；若不是，请说明理由． 【例题11】（2025•金华模拟）如图，双曲线 的虚轴长为2，离心率为 ，斜率为 的直线 过 轴上一点 ． （1）求双曲线 的标准方程； （2）若双曲线 上存在关于直线 对称的不同两点 ， ，直线 与直线 及 轴的交点分别为 ， ． 当 时，求 的取值范围； 当 时，求 的最小值． 【例题12】（2025•泸州模拟）已知双曲线 的右顶点到其渐近线的距离为 ，点 在 上． （Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）过点 的直线 交双曲线 于 ， 两点． 若 与 的渐近线交于点 ， ，且 是坐标原点），求 的方程； 记 ，若点 满足 ，求点 的轨迹方程． 【例题13】（2025•海南模拟）已知上下顶点分别为 ， 的椭圆 经过点 为直线 上的动点，且 不在椭圆 上， 与椭圆 的另一交点为 ， 与椭圆 的另一交点为 ， 均不与椭圆 上下顶点重合）． （1）求椭圆 的方程； （2）证明：直线 过定点； （3）设（2）问中定点为 ，过点 ， 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ， ，记△ ，△ ，△ 的面积分别为 ， ， ，试问：是否存在常数 ，使得 ， ， 总为等比数列？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 【例题14】（2025•云南模拟）已知双曲线 的离心率为2，其右焦点 到一条渐近线的距离为 ． （1）求双曲线 的方程； （2）若直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，且以线段 为直径的圆经过点 ． 证明：直线 过定点； 已知点 ，判断双曲线 上是否存在点 ，使 为△ 的重心，若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题15】（2025•岳阳模拟）已知双曲线 与抛物线 有公共焦点 ，且 ． （1）若抛物线 的方程为 ． ①求双曲线 的方程； ②设直线 与 轴交于点 ，过点 的直线交 于 ， 两点，点 在直线 上，且直线 轴，证明：直线 恒过定点． （2）过 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，与 的两条渐近线交于 ， 两点（均位于 轴右侧）．若实数 满足 ，求 的取值范围． 知识点三、数列的模型 【例题1】（2025•天津模拟）从数列 中选取第 项，第 项， ，第 项 ， ，并按原顺序构成的新数列称为数列 的“ 连续子列”．已知数列 中， ， ，对 ，数列 的“ 连续子列”是公比为 的等比数列． （Ⅰ）求 ， 的值； （Ⅱ）求 ； （Ⅲ）证明： ． 【例题2】（2025•山东模拟）若存在无穷多组正整数组 ， ， ，满足 ，且对任意正整数 ， ，不存在正数 ，使得 ，则称正整数 是有趣数，称 ， ， 为 的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）． （1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由； ① ， ， ； ② ， ， ，3， ． （2）过点 作斜率为 的直线交圆 于另一点 ，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组 ， ， ； （3）从1，2， ，6中任取两个数，求它们都是有趣数的概率． 【例题3】（2025•马鞍山模拟）将数列 中不同的两项 与 交换位置，其余项不变得到的数列称为 的“ 对换数列”，若 时， ，则称 ， 为 一个逆序对，例如：数列2，3，1的逆序对有： ， ．将数列 中逆序对的个数称为 的逆序数，记为 ，记 ． （1）写出数列1，5，2，4，3，6的所有逆序对； （2）求数列1，2，3， ， 的所有“ 对换数列”的逆序数之和 ； （3）定义：将数列1，2，3， ， 的所有项重新排列后得到的数列称为1，2，3， ， 的一个“重排数列”．若 是数列1，2，3， ， 的一个“重排数列”， 是数列1，2，3， ， 的一个“ 对换数列”，证明： ．（注 ． 【例题4】（2025•浙江模拟）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，当数列 的项数大于2时，将数列 中各项的所有不同排列填入一个 行 列的表格中（每个格中一个数字），使每行均为这 个数的一个排列．将第 行的数字构成的数列记作 ，将数列 中的第 项记作 ．若对 ， ，均有 ，则称数列 为数列 的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为 ． （1）求数列 的通项公式 ； （2）当数列 的项数为4时，求 的值； （3）若数列 为数列 的“异位数列”，试讨论 的最小值． 【例题5】（2025•福州模拟）将区间 中的全体有理数按一定顺序排列得到数列 ，规则如下： ① ，其中正整数 与 互质，如 ， ； ② ，当且仅当 时， ． （1）写出 的前5项； （2）若 ，求 ； （3）记 的前 项和为 ，证明： ． 【例题6】（2025•浙江二模）对于给定的 项整数数列 ， ， ， ，定义变换 ：①若 ，则 加2， ， 均加1，其余项不变；②若 ，则 加2， ， 均加1，其余项不变；③若 ，则 加2， ， 均加1，其余项不变．例如，对数列： ，0，1做变换 （1）得到1，1，2，即 ，0， ，1，2；而对数列：2，5，7，3先后做变换 （3）， （4）可得到3，6，10，6，即2，5，7， ，6，9， ，6，10，6． （1）找出一系列变换，使得数列：1，2，3经过这系列变换后成为常数列； （2）是否能找出一系列变换，使得数列： ， ，0，2，2经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当 为奇数时，对于任意数列 ，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列（无须证明）． （3）当 为偶数且数列 是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由． 【例题7】（2025•陕西模拟）在人工智能的训练过程中，数据预处理至关重要．现有一种“数据筛选器”工具，其功能为：对于一个无穷非负正整数数列，通过操作 删去其中除以 余数为 的所有项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非负正整数数列．设数列 的通项公式 ， ，通过“数据筛选器”工具对数列 进行 操作后得到 ，设 前 项和为 ． （1）求 ； （2）是否存在不同的正整数 ， ， ，使得 ， ， 成等差数列？若存在，求出所有的 ， ， ；若不存在，说明理由； （3）若 ， ，对数列 进行 操作得到 ，将数列 中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到 ，再将 的每一项都加上自身项数，最终得到 ，证明：每个大于1的奇平方数都是 中相邻两项的和． 【例题8】（2025•河南模拟）对于 ，若数列 满足 ，则称这个数列为“ 数列”． （1）已知数列1， ， 是“ 数列”，求实数 的取值范围． （2）是否存在首项为 的等差数列 为“ 数列”，且其前 项和 使得 恒成立？若存在，求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）已知各项均为正整数的等比数列 是“ 数列”，数列 不是“ 数列”，若 ，试判断数列 是否为“ 数列”，并说明理由． 【例题9】（2025•江西模拟）数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号 ，用 表示不超过 的最大整数，例如 ， ， ． （1）分别求函数 和 的值域； （2）若 ，求函数 的值； （3）若数列 满足： ， ， 是数列 的前 项和，求 的值． 【例题10】（2025•镜湖区校级模拟）已知数列 满足 ，且 ． （1）若 ，求满足条件的 的值； （2）设集合 ， （ⅰ）若 ，4， ，证明： ， ， 成等比数列； （ⅱ）若 ， ， （其中 ，且 ，求 的最大值． 【例题11】（2025•南昌二模）对于共 项的等差数列 （公差不为 各项重新排列得到新数列 ，若 中的任意两项的等差中项都不在这两项所在位置之间，则称数列 是等差数列 的“无均数列”． （1）若 ，写出等差数列 （公差不为 的4个不同的“无均数列”； （2）若 ，写出等差数列 （公差不为 的一个“无均数列”； （3）若 ，判断等差数列 （公差不为 的“无均数列”是否存在，并证明你的结论． 【例题12】．（2025•岳阳二模）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0的等差数列 称为“一阶等差数列”，若数列 是“一阶等差数列”，则称数列 是“二阶等差数列”．定义：若数列 是“ 阶等差数列”，则称原数列 为“ 阶等差数列”．例如：数列1，3，6，10，它的后项与前项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4是公差为1的等差数列，则称数列1，3，6，10为二阶等差数列． （1）若数列 满足 ， ，且 ，求证：数列 为二阶等差数列； （2）若三阶等差数列 的前4项依次为1，4，10，20，求 的前 项和 ； （3）若 阶等差数列 的通项公式为 ． ①求 的值； ②求 的前 项和 ． 【例题13】（2025•南充模拟）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法．如图， 是函数 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近 的实数 ， ， ， ， ，在点 ， 处作 的切线，则 在 处的切线与 轴交点的横坐标是 ，同理 在 ， 处的切线与 轴交点的横坐标是 ，一直继续下去，得到数列 ，从图中可以看到， 较 接近 ， 较 接近 ， ，当 很大时， 很小，我们就可以把 的值作为 的近似值，即把 作为函数 的近似零点．现令 ． （1）当 时，求 的近似解 ， ； （2）在（1）的条件下，求数列 的前 项和 ； （3）当 时，令 ，若 时， 有两个不同实数根 ， ，求证： ． 【例题14】（2025•吴忠模拟）已知直线 与 相交于点 ．按照如下方式依次构造点 ，2， ：设直线 与 轴交于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ， 记 的横坐标为 ． （1）求点 的坐标； （2）证明：数列 是公比为 的等比数列； （3）比较 与 的大小． 知识点四、导数的类型 【例题1】（2025•天津模拟）已知函数 ， ，且曲线 在 处的切线的倾斜角为 ． （Ⅰ）若函数 在区间 ， 上单调递增，求实数 的最大值； （Ⅱ）当 时， ， 为 的导函数），求 的取值范围； （Ⅲ）设函数 ，若 ，证明： ． 【例题2】（2025•安徽模拟）已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （2）讨论函数 极值点的个数； （3）设 ， ，求证： ． 【例题3】（2025•南宁模拟）对于正整数 ，定义函数 ，函数 的导函数记为 ． （1）求函数 在区间 ， 上的零点； （2）证明：当 为奇数时，函数 在区间 ， 上至少存在2个极值点； （3）证明：对于任意实数 ，有 ，并指出等号成立时 的取值． 【例题4】（2025•广东模拟）已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 有三个零点 ， ， ． ①求 的取值范围； ②判断 与 的大小关系，并给出证明． 【例题5】（2025•辽宁二模）已知函数 ， 为 的导函数． （1）当 时，求曲线 在 ， （1） 处的切线方程； （2）若 的两个极值点分别为 和 ，且 ． 求实数 的取值范围； 证明： ． 【例题6】（2025•吕梁二模）已知函数 ． （1）求函数 的图象在 处的切线方程． （2） 函数 是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由． 证明： （ ，且 ． 【例题7】（2025•重庆模拟）已知函数 ． （Ⅰ）设过点 ， 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线 在点 ， 处的法线．若曲线 在点 处的法线与直线 平行，求实数 的值； （Ⅱ）当 时，若对任意 ，不等式 恒成立，求 的最小值； （Ⅲ）若 存在两个不同的极值点 ， ， 且 ，求实数 取值范围． 【例题8】．（2025•河南二模）设 ，定义 为 的“ 函数”． （1）设 为 的“ （1）函数”，若 ， ，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程； （2）设 为 的“ 函数”． 若 是 的极小值点，求 的取值范围； 若 ，方程 有两个根 ， ，且 ，求证： ． 【例题9】（2025•晋中模拟）已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 ，求曲线 与曲线 的公切线； （3）已知 ，若 的两个极值点为 ，求 的取值范围． 【例题10】（2025•湖北模拟）定义： ， 是函数 的两个极值点，若 ，则称 为“ 函数”． （1）若 为“ 函数”，求 的值范围． （2）已知函数 有两个极值点． ①求 的值范围； ②证明： 为“ 函数”． 【例题11】（2025•商洛三模）定义：若函数 与 在公共定义域内存在 ，使得 ，则称 与 为“契合函数”， 为“契合点”． （1）若函数 和 为“契合函数”，求 的取值范围． （2）已知函数 和 为“契合函数”且有两个“契合点” ， ． ①求 的值范围； ②若 ，证明： ． 【例题12】（2025•新乡二模）已知函数． （1）若在其定义域内单调递增，求的取值范围． （2）若，证明：，． （3）若在上有两个极值点，求的取值范围． 【例题13】（2025•河南二模）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若关于的方程有两个不相等的实根，，求证：． 【例题14】（2025•湖南模拟）已知函数有三个不同的零点，，． （1）若，，求的取值范围； （2）若，，，且对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，比较的极大值与的大小． 知识点五、立体几何 【例题1】（2025•海南模拟）如图，正四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面与底面平行且与四棱锥的四条侧棱（不含端点）分别交于点，，，，四棱台与四棱锥的棱长和相等 “棱长和”指多面体的所有棱长之和）． （1）若是棱的中点，求四棱台的体积； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）已知四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱长为，且侧棱与底面所在平面所成的角为，若平面任意上下平移时，总存在正数，，使得四棱柱与四棱台有相同的体积，也有相同的棱长和，求的取值范围． 【例题2】（2025•鹤壁二模）球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角．如图（1），球的半径，，，，为球的球面上的四点． （Ⅰ）若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值． （Ⅱ）在球的内接三棱锥中，平面，，直线与平面所成的角为． 若，分别为直线，上的动点，求线段长度的最小值； 如图（2），若，分别为线段，的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长． 【例题3】（2025•郑州模拟）若一个四面体三组对棱分别相等，我们称它为“等腰四面体”．已知在等腰四面体中，，2，3，，分别为所在棱的中点，如图所示． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，，求二面角的大小； （Ⅲ）在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于，两点．为空间中一点，若四面体为等腰四面体，求其外接球表面积的最小值． 【例题4】（2025•武汉模拟）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，，． （1）求三棱锥外接球的表面积． （2）设为线段上的点． 若，求直线与平面所成角的正弦值． 平面过点，，且平面，探究：是否存在点，使得平面与平面之间所成角的正切值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【例题5】（2025•葫芦岛一模）已知函数，，图像如图1所示，，分别为图像的最高点和最低点，过，作轴的垂线，分别交轴于，，点为该部分图像与轴的交点，且，与轴的交点为．将绘有该图像的纸片沿轴折成如图2所示的二面角．折叠后，当二面角的值为时，． （1）求函数的解析式； （2）在图2中，的图像上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由； （3）如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围． 【例题6】（2025•驻马店模拟）如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于，的点，，是圆台上底面圆上的两点，是的中点，，． （1）证明：平面． （2）求四面体的外接球的表面积； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【例题7】（2025•湖南一模）如图1所示，直角梯形，，，且，点，分别在线段，上，且，点为的中点，将四边形沿折起，使二面角的大小为． （1）若，（如图2所示），求直线与平面所成角的正弦值； （2）若，点为平面内一点，若平面（如图3所示），求的值； （3）若，时，点为线段的中点，将△沿折起，使△与四边形在平面的同侧且平面平面，点为四面体内切球球面上一动点，求的最小值． 【例题8】（2025•大庆模拟）在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，平面，，，平面平面． （1）求证：； （2）如图，且，求点到平面的距离； （3）设四棱锥的外接球球心为，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【例题9】（2024•河北模拟）如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，，．设中点为，过点的平面同时垂直于平面与平面． （1）求； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）求平面截四棱锥所得多边形的周长． $$