19.2.1 正比例函数（精讲）2024-2025学年人教版数学八年级下册

19.2.1 正比例函数 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】正比例函数的定义 2 【题型2】正比例函数的图象和性质与符号k的关系 5 【题型3】求正比例函数的解析式 7 正比例函数 （1）正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数． （2）正比例函数的图象和性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）．正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定． ①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 1．正比例函数解析式中右边是自变量的一次单项式． 2．判断两个变量是否成正比例，若是函数解析式，就要绝对符合“y=kx（k是常数，k≠0）”的形式，若是实际问题，可以看“两个变量的比值是否不变”． 3．因为正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条过原点的直线，所以画图象时，通常过点（0，0），（1，k）作直线． 4．k的符号决定函数图象经过的象限和函数的增减性．根据正比例函数图象经过的象限和函数的增减性也可以确定k的符号． 5．|k|越大，直线与x轴的夹角越大，直线越陡峭；k越小，直线与x轴的夹角越小，直线越平缓． 【题型1】正比例函数的定义 例1 （2025春•兴宁区校级期中）下列函数中，是的正比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数的一般形式：为常数且，逐一判断即可解答． 【解答】解：、是反比例函数，故不符合题意； 、是正比例函数，故符合题意； 、是二次函数，故不符合题意； 、是一次函数但不是正比例函数，故不符合题意； 故选：． ◄ 点拨 ► 正比例函数必须符合下列两个条件：一是两个变量的次数都是1；二是比例系数k≠0． 【变式练1】　（2025春•集美区校级期中）下列是正比例函数的是　　 A． B． C． D． 【变式练2】　（2025春•新华区校级月考）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）为常数）中，正比例函数的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式练3】　（2024秋•高碑店市期末）若是关于的正比例函数，则的值为　　 A． B．0 C．1 D．2 1．【答案】 【分析】形如，则该函数就是正比例函数，据此求解即可． 【解答】解：、，不是正比例函数，故不符合题意； 、，是正比例函数，故符合题意； 、，不是正比例函数，故不符合题意； 、，不是正比例函数，故不符合题意； 故选：． 2．【答案】 【分析】根据正比例函数的定义解答即可． 【解答】解：（1）是正比例函数，符合题意； （2），是一次函数，不是正比例函数，不符合题意； （3）不是正比例函数，不符合题意； （4）不是正比例函数，不符合题意； （5）是常数），当时，不是函数，不符合题意； 所以是正比例函数的个数有1个， 故选：． 3．【答案】 【分析】由是关于的正比例函数，可知中，，求解作答即可． 【解答】解：由题意得且， ， ， 故选：． 【题型2】正比例函数的图象和性质与符号k的关系 例2 （2023春•馆陶县期末）正比例函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论． 【解答】解：， 正比例函数的图象经过第一、三象限，且靠近轴， 故选：． ◄ 点拨 ► 正比例函数y=kx（k≠0）中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小． 【变式练4】　（2024•德阳）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是　　 A． B． C． D． 【变式练5】　（2024春•张北县期末）在平面直角坐标系中，函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【变式练6】　（2024•桐柏县二模）正比例函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 4．【答案】 【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论． 【解答】解：由图象知，函数值随的增大而增大， ， 的值可能是， 故选：． 5．【答案】 【分析】根据正比例函数的性质解答即可． 【解答】解：一次函数中，其图象经过一、三象限． 故选：． 6．【答案】 【分析】根据和正比例函数的性质即可得到答案． 【解答】解：， 正比例函数的图象经过二、四象限． 故选：． 【题型3】求正比例函数的解析式 例3 （2024•浦东新区模拟）过，　　． 【答案】2． 【分析】因为点在正比例函数图象上，故直接代入点的坐标，得到的方程，求解即可． 【解答】解：过， ． 故答案为：2． ◄ 点拨 ► （1）设正比例函数的解析式为y=kx； （2）将一组x，y的值代入； （3）解方程，求k的值． 【变式练7】　（2024秋•杨浦区校级月考）如果正比例函数的图象在二、四象限，那么的值是 　　． 【变式练8】　（2024秋•包头期中）正比例函数的图象如图所示，则的值为 　　． 【变式练9】　（2022•云岩区一模）在八年级探究正比例函数为常数，的图象时，小蒋同学列表如表，则表中的值为 　　． 0 1 2 0 12 7．【答案】． 【分析】首先根据正比例函数的定义可得，且，解出的值，再根据图象经过第二、四象限，可得，进而确定． 【解答】解：由题意得：，且，． 解得：． 图象经过第二、四象限， ， 解得， ， 故答案为：． 8．【答案】． 【分析】由函数图象可知点在函数上，因此将此点代入函数解析式即可求得值． 【解答】解：由图知，点在函数上， ， 解得：． 故答案为：． 9． 【分析】先根据对应值求出正比例函数的关系式，再把代入可得的值． 【解答】解：把代入得，， 与的关系式为， 当时，， 故答案为：6． 学科网（北京）股份有限公司 $$