18.2.3 正方形（精讲）2024-2025学年人教版数学八年级下册

18.2.3 正方形 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】利用正方形的性质进行计算 3 【题型2】正方形的判定 8 【题型3】正方形的性质与判定的综合应用 12 【题型4】在直角坐标系中解决正方形问题 18 【题型5】正方形中的动点问题 23 1．正方形的定义 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）； ②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）． （3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 2．正方形的性质 （1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等； ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平一组对角． （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 3．正方形的判定 （1）根据正方形的定义． （2）有一组邻边相等的矩形是正方形． （3）有一个角是直角的菱形是正方形． （4）对角线互相垂直的矩形是正方形． （5）对角线相等的菱形是正方形． （6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． （7）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． （8）既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 特殊的平行四边形与平行四边形 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，特殊之处在于矩形是有一个角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；而正方形是兼具菱形、矩形特性的更特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形．它们的关系如图所示． 【题型1】利用正方形的性质进行计算 例1 （2025春•海门区期中）如图，等边△在正方形内，连接，若，则△的面积是　　 A． B．6 C． D．4 【答案】 【分析】过点作于点，根据正方形和等边三角形求得，，即可求出高，即可求解面积． 【解答】解：等边△在正方形内，，如图，过点作于点， ，，， ， ， △的面积为， 故选：． ◄ 点拨 ► 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 【变式1】　（2025春•拱墅区校级期中）如图，在正方形中，，，点是边上的动点，点是线段上的动点，若，则线段的长为　　 A． B．2 C． D． 【变式2】　（2025春•开州区期中）如图，在正方形中，点在边上，是边上的中点，平分．若，则的长为　　 A． B． C．3 D． 【变式3】　（2025春•五华区期中）如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 1．【答案】 【分析】根据，而正方形的边长也为3，于是可在找点关于的对称点，结合正方形的性质可知点在边上，再点作的垂线，即可判断点于点的位置，最后根据勾股定理求出线段的长即可． 【解答】解：如图，在在截取一点，使得，连接交于点，过点作，交于点，的延长线交于点，连接， 则四边形和四边形均为长方形，， 四边形为正方形， ，，， ， △为等腰直角三角形， 又， ，，即垂直平分， ， ， ， 在△中，． 故选：． 2．【答案】 【分析】延长、，相交于点，证明△△，得到，又根据平行线的性质和角平分线的定义可得，即得到，设，则，，利用勾股定理求出，即可求出的长． 【解答】解：在正方形中，，如图，延长、，相交于点， ，，， ， ，， 是边上的中点， ， 在△和△中， ， △△， ， 平分， ， ， ， 设，则，， 在△中，由勾股定理得：， ， 解得， ， 故选：． 3．【答案】 【分析】由正方形的性质并结合题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【解答】解：由条件可知， ， ， ， 故选：． 【题型2】正方形的判定 例2 （2025春•房山区期中）下列思路中不能判定四边形是正方形的是　　 A．先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 B．先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等 C．先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 D．先判定四边形的对角线相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直 【答案】 【分析】因为有一个角是直角的菱形是正方形，所以不符合题意；因为有一组邻边相等的矩形是正方形，所以不符合题意；因为有一个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，所以不符合题意；设四边形的对角线交于点，且，，，则，这个四边形的对角线互相垂直且相等，但它不是正方形，说明对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，可判断符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是菱形，且有一个角是直角， 这个四边形是正方形， 故不符合题意； 四边形是矩形，且且一组邻边相等， 这个四边形是正方形， 故不符合题意； 四边形是平行四边形，且有一个角是直角， 这个四边形是矩形， 它有有一组邻边相等， 这个四边形是正方形， 故不符合题意； 如图，在△中，，，点、分别在、的延长线上，且， ， ， 连接、、、，四边形中，，，但四边形不是正方形， 对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形， 故符合题意， 故选：． ◄ 点拨 ► （1）根据正方形的定义． （2）有一组邻边相等的矩形是正方形． （3）有一个角是直角的菱形是正方形． （4）对角线互相垂直的矩形是正方形． （5）对角线相等的菱形是正方形． （6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． （7）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． （8）既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 【变式4】　（2025春•和县期中）已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是　　 A． B． C． D． 【变式5】　（2025•湖北模拟）如图，在中，两锐角的平分线，相交于点，于点，于点，求证：四边形是正方形． 【变式6】　（2024秋•秦都区期末）如图，在△中，，点是的中点，．过点作且，连接．求证：四边形是正方形． 4．【答案】 【分析】在菱形基础上添加一个内角为直角或者对角线相等即可得到正方形，据此求解即可． 【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等． 、菱形中，， 菱形是正方形， 故该选项不符合题意； 、菱形中，， 菱形是正方形， 故该选项不符合题意； 、菱形中，， ， 菱形是正方形， 故该选项不符合题意； 、菱形中，， 菱形不能确定是正方形， 故该选项符合题意； 故选：． 5． 【分析】根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形是矩形，根据角平分线的性质，可得与，与的关系，根据邻边相等的矩形是正方形，可得答案． 【解答】证明：如图，作与点， 于点，于点， ． ， 四边形是矩形． 平分， ． 平分， ， ， 四边形是正方形． 6．【答案】证明见解答． 【分析】由，且，得，由，且，推导出，且，则四边形是平行四边形，即可由，，证明四边形是正方形． 【解答】证明：点是的中点， ， ， ， ，且， ，， ，且， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 【题型3】正方形的性质与判定的综合应用 例3 （2024秋•水城区期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，过点作于点，连接． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【分析】（1）由矩形的性质得出，，证出四边形是矩形，再证明，即可得出四边形是正方形； （2）根据正方形的性质求出，，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出，据此求解即可． 【解答】（1）证明：四边形是矩形，，， ， ， 四边形是矩形， 平分，， ， ， 四边形是正方形； （2）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ． ◄ 点拨 ► 在判断一个四边形是哪种特殊四边形时，要分层次进行，首先判断该四边形是不是平行四边形，在此基础上，再判断是不是矩形或菱形，最后考虑是不是正方形． 【变式7】　（2025春•淄川区期中）如图，是矩形内一点，于点，于点，． （1）求证：四边形是正方形； （2）连接，延长到点，使，连接交的延长线于点，求的度数． 【变式8】　（2024春•昭通月考）如图，已知四边形和均是正方形，点在上，延长到点，使，连接，，，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若四边形的面积为10，，求点、之间的距离． 【变式9】　（2024春•巴音郭楞州期末）如图所示中，，，的平分线交于点，于点，于点． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，，求的长． 7．【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）由矩形可得，易得，由，可得，易得，由定理可得，由全等三角形的性质可得，易得结论； （2）由易得，又，可得，易得四边形是平行四边形，可得，由四边形是正方形，是对角线，可得． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ． 即， ， ， ． ， ． ， ． ． 四边形是正方形． （2）解：， ． ， ． ，， ， 四边形是平行四边形． ， ． 四边形是正方形， ． 8．【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法证明，由全等三角形的性质可得，同理可证得，再利用正方形的判定方法得出答案； （2）结合正方形的性质利用勾股定理可求解，，再利用勾股定理可求解． 【解答】（1）证明：四边形和都是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ， 同理可得：， ， 四边形是正方形； （2）解：如图，连接， 四边形的面积为10， 又由（1）知四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 故点、之间的距离为5． 9．【答案】（1）见解析； （2）4． 【分析】（1）直接利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形为正方形； （2）利用三角形面积求法得出的长． 【解答】（1）证明：过点作于点， ，于点，于点， 四边形是矩形， 又，的平分线交于点， ， 矩形是正方形； （2）解：，，， ， 四边形为正方形， ， ， 则， 故． 【题型4】在直角坐标系中解决正方形问题 例4 （2025春•天津期中）如图，在正方形中，点，点，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】通过证明得到，，即可求得点的坐标． 【解答】解：如图所示，过点，作垂直于轴，交轴于点， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 故选：． ◄ 点拨 ► 在直角坐标系中解决正方形问题，基本方法是把线段的长度与线段端点的坐标相互转化，把平行线段与线段端点的坐标的特征相互转化． 【变式10】　（2025春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，一个正方形的两个顶点坐标为、，则下列坐标表示的点不可能成为该正方形顶点的是　　 A． B． C． D． 【变式11】　（2025•花都区一模）如图，正方形的边长为4，点的坐标是，平行于轴，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式12】　（2025•保康县模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则顶点的坐标为　　 A． B． C． D． 10．【答案】 【分析】根据题意画出图形，根据正方形的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，下列坐标表示的点不可能成为该正方形顶点的是， 故选：． 11．【答案】 【分析】设与轴相交于点，的延长线交轴于点，根据正方形性质及平行于轴，得轴，轴，再根据点得，，进而得，由此即可得出点的坐标． 【解答】解：设与轴相交于点，的延长线交轴于点，如图所示： 四边形是正方形，且边长为4， ，，， 平行于轴， ， 轴，轴， 点的坐标是， ，， ， 点的坐标是． 故选：． 12．【答案】 【分析】连接交于点，根据正方形性质及顶点，得，再根据点在第四象限即可得出点的坐标． 【解答】解：连接交于点，如图所示： 点的坐标为，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 点在第四象限， 点的坐标为． 故选：． 【题型5】正方形中的动点问题 例5 （2025•罗湖区二模）边长为4的正方形中，点，分别是，边上的动点，且，与相交于点，当长最小时，的长是　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】根据证明△△得，取的中点，连接，，首先证明点的运动轨迹为以为直径，中点为圆心的圆，当，，共线时，的值最小． 【解答】解：四边形是正方形， ，， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， 取的中点，连接，． 、为定点， 点的运动轨迹为以为直径，中点为圆心的圆，当，，共线时，的值最小， ， ， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． ◄ 点拨 ► 正方形中的动点问题，与其他的动点问题一样，注意动点问题中不变的量、不变的关系，化动为静． 【变式13】　（2024秋•义乌市期末）如图，正方形的边长为4，点是边上的动点，连结，作的中垂线交于点，则的最大值为　　 A． B． C． D．4 【变式14】　（2025春•海淀区校级期中）如图，在边长为2的正方形中，点、分别是边、上的动点，且，连接，，则的最小值为 　　 ． 【变式15】　（2025•雁塔区校级二模）如图，在中，，，，点为边上一个动点，以为边在的上方作正方形，当取得最小值时，的长为 　　． 13．【答案】 【分析】过作于，设，，得，即可最大值，进而得到最大值． 【解答】解：方法一：正方形的边长为4， ，， 如图：过作于，设，， 则，， 的中垂线交， ， ， ， 整理得：， 设，则， ， ， ． 方法二：如图，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 正方形的边长为4， ， 直线解析式为， 设， 为中点， ，， 设直线解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 直线的解析式为， 联立， 解得， ，， ， ， ， ， 最大值为； 故选：． 14．【答案】． 【分析】延长到，使，连接，，先求出，证明△和△全等得，则，由此得当为最小时，则为最小，根据“两点之间线段最短”得，则当，，在同一条直线上时，为最小，最小值为，据此即可得出答案． 【解答】解：延长到，使，连接，，如图所示： 四边形是正方形，且边长为2， ，， ， 在△中，， 由勾股定理得：， 在△和△中， ， △△， ， ， 当为最小时，则为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 当，，在同一条直线上时，为最小，最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 15．【答案】． 【分析】过点作于，由四边形是正方形，得，，可证明，即有，，从而，而，根据二次函数性质可得取得最小值时，，即可得到答案． 【解答】解：过点作于，如图： 四边形是正方形， ，， ，， ，且，， ，， ， ， ， 当时，最小，也最小， 此时， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$