18.2.3 第2课时 正方形的判定　课件　2023—2024学年人教版数学八年级下册

问题 什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. O 复习引入 正方形性质：①四个角都是直角； ②四条边都相等； ③对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。 第十八章 平行四边形 18.2.3 正方形 第2课时 正方形的判定 学习目标 1．探索正方形的判定方法；(重点) 2．会灵活选用正方形的判定方法进行有关的证明和计算 .(难点) 正方形判定的几条途径： 条件(二选一) 平行四边形 正方形 一组邻边相等，且有一个角是直角 正方形 先判定菱形 （1）有一个角是直角 正方形 先判定矩形 （1）一组邻边相等 （2）对角线互相垂直 （2）对角线相等 条件(二选一) 自主学习 5种判定 方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD D．AO = CO，BO = DO，AB = BC 练一练 C A B C D O 活动1：如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当 AB = BC 时，四边形 ABCD 是菱形 B．当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C．当 ∠ABC = 90° 时，四边形 ABCD 是矩形 D．当 AC = BD 时，四边形 ABCD 是正方形 D 合作探究 证明：如图所示，过点 D 作 DG⊥AB 于点 G. ∵ DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC =∠DFC = 90°.∵∠C = 90°， ∴ 四边形 CEDF 是矩形. 又∵ AD 平分∠CAB，BD 平分∠ABC ∴ DE = DG，DG = DF，∴ DE = DF. ∴ 四边形 CEDF 为正方形. 活动2：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠CAB、∠ABC 的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E,DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形. A B C D E F G 活动3：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC ，对角线 BD 平分ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PMAD，PNCD，垂足分别为 M、N.(1) 求证：ADB =CDB； (2) 若ADC = 90°，求证：四边形 MPND 是正方形. C A B D P M N 证明：(1) ∵ BD 平分∠ABC.∴∠1 =∠2. 在△ABD和△CBD中 ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB =∠CDB. 1 2 AB = BC ∠1=∠2 BD=BD （2）由（1）可知∠ADB = ∠CDB， ∵∠ADC = 90°，∴∠ADB = ∠ADC= ×90°=45°. 又∵ PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD = ∠PND = 90°. ∴ 四边形 MPND 是矩形. ∴∠MPD = 45°. ∴ DM = PM. ∴ 四边形 MPND 是正方形. C A B D P M N 1. 下列命题正确的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是正方形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D 当堂检测 2. 如图，四边形 ABCD 中，∠ABC = ∠BCD =∠CDA = 90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB = BC (答案不唯一) A B C D O 3. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB = BC，②∠ABC = 90°，③AC = BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，的是 （只填写序号）． ①②或①③或②④ 6. 如图，△ABC 中，D 是 BC 上任意一点，点 E，F 分别在 AB，AC 上，且 DE∥AC，DF∥AB． （1）试说明四边形 AEDF 的形状，并说明理由； （2）连接 AD，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF 为菱形？为什么？ 解：（1）∵ DE∥AC，DF∥AB， ∴ 四边形 AEDF 为平行四边形. （2）AD 平分∠BAC. 理由如下： 当 AD 平分∠BAC 时，∠EAD =∠FAD. ∵ DE∥AC，∴∠EDA =∠FAD. ∴∠EAD =∠EDA. ∴ EA = ED. ∴ □AEDF 为菱形. （3）在（2）的条件下，当△ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 为正方形？不必说明理由． 解：在（2）的条件下，四边形 AEDF 为菱形， 故只需 △ABC 满足∠BAC 为直角即可使四边形 AEDF 为正方形． 活动3：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，AC=BC，求证：四边形BECF是正方形。 证明：∵EF垂直平分BC ∴BF=CF,BE=CE ∵BE=BF ∴BF=CF=BE=CE 即四边形BECF是菱形 又∵∠ACB=90°，AC=BC, ∴∠ABC=45 °即∠EBF=90° ∴四边形BECF 是正方形。 $$