18.2.2 菱形（精讲）2024-2025学年人教版八年级数学下册

18.2.2 菱形 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】利用菱形的性质进行计算 2 【题型2】利用菱形的性质进行证明 6 【题型3】菱形的判定 11 【题型4】菱形的性质与判定的综合应用 15 【题型5】菱形中的探究性问题和开放性问题 21 1．菱形的定义： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形． （2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法． 2．菱形的性质： （1）菱形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形的四条边都相等． （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴． 3．菱形的面积： （1）菱形的面积=底×高． （2）菱形的面积=两条对角线乘积的一半． 4．菱形的判定： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边都相等的四边形是菱形． （4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的． 【注意】 菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等． 【题型1】利用菱形的性质进行计算 例1 （2025春•青山区期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，则菱形的周长为　　 A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】 【分析】由菱形的性质推出，，由直角三角形斜边中线的性质得到，求出，即可得到菱形的周长． 【解答】解：四边形是菱形， ，， ， 是的中点， ， ， ， 菱形的周长． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．利用菱形的性质进行计算时，主要应用以下性质： （1）菱形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形的四条边都相等． （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴． 2．菱形的对角线有独有的特征，因此也有独特的面积求法，能够考查学生的几何抽象能力和实际应用能力，是中考考查的热点题型． 【变式1】　（2025春•和平区校级期中）如图，菱形的边长为2，，对角线、交于点，点、分别为、的中点，连接，则的长为　　 A．2 B． C． D． 【变式2】　（2025春•海淀区校级期中）如图，菱形的对角线、相交于点，点是的中点，若菱形的周长为24，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】　（2025春•恩平市期中）已知菱形的对角线，，求菱形的周长和面积． 1．【答案】 【分析】由菱形的性质推出，，，，，由平行线的性质求出，判定△是等边三角形，得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理得到，即可得到． 【解答】解：四边形是边长为2的菱形， ，，，，， ， ， ， △是等边三角形， ， ， ， 点、分别为、的中点， 是△的中位线， ， ． 故选：． 2．【答案】 【分析】由菱形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质得到，求出，即可得到的长． 【解答】解：四边形是菱形， ， ， 是的中点， ， 菱形的周长为24， ， ． 故选：． 3．【答案】周长为20、面积为24． 【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长，由菱形面积公式即可求得面积． 【解答】解：由菱形对角线性质知，，，且， ， 周长； 菱形对角线相互垂直， 菱形面积是． 综上可得菱形的周长为20、面积为24． 【题型2】利用菱形的性质进行证明 例2 如图，在菱形中，，分别是边，上的点，且，连接、相交于点． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）见解析过程； （2）见解析过程． 【分析】（1）由菱形的性质可得，可证，由可证△△，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，可得． 【解答】证明：（1）四边形是菱形， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ； （2）△△， ， 四边形是菱形， ， ． ◄ 点拨 ► 与菱形有关的证明，常利用菱形的边、角之间的等量关系证明三角形全等． 【变式4】　（2025春•宿豫区期中）已知：如图，在菱形中，，点、分别在、上，△是等边三角形．求证：． 【变式5】　（2025春•集美区校级期中）如图，在菱形中，点、分别在、边上，，求证：． 【变式6】　（2025•江口县模拟）如图，在菱形中，，点，分别为线段，上的点，且，连接，相交于点． （1）证明：△△； （2）证明：平分． 4．【答案】见解答． 【分析】由菱形的性质和全等三角形的性质即可证明． 【解答】证明：四边形是菱形，， ，， △是等边三角形， ，， △是等边三角形， ，， ， △△， ． 5．【答案】见解析过程． 【分析】由菱形的性质可得，，由可证△△，可得． 【解答】解：四边形是菱形， ，， 又， △△， ． 6．【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【分析】（1）由菱形的性质得，因为，所以△是等边三角形，则，，而，即可根据“”证明△△； （2）设、交于点，延长、交于点，由，推导出，可证明△是等边三角形，由，，证明△△，得，则，所以△△，得，推导出，而，所以，则平分． 【解答】证明：（1）四边形是菱形， ， ， △是等边三角形， ，， 在△和△中， ， △△． （2）设、交于点，延长、交于点， 由（1）得△△， ， ， ，， △是等边三角形， ，， △△， ， ， △△， ， ， ， ， ， 平分． 【题型3】菱形的判定 例3 （2025•萧县一模）已知四边形的对角线与交于点，．添加下列选项中的条件，仍不能判定四边形是菱形的是　　 A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】 【分析】由菱形的判定依次判断可求解． 【解答】解：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故选项不符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故选项不符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是菱形，故选项不符合题意； 由，，无法证明四边形是平行四边形，故选项符合题意． 故选：． ◄ 点拨 ► 【变式7】　（2025•台州一模）如图，在中，，为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定是菱形，这个条件是　　 A． B． C． D． 【变式8】　（2025•沈阳模拟）如图，在平行四边形中，，，是对角线上的点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． 【变式9】　（2025春•苏州期中）如图，在△中，是△的角平分线，交于点，交于点，求证：四边形是菱形． 7．【答案】 【分析】根据菱形的判定定理判断即可． 【解答】解：、四边形是平行四边形，， 是菱形，故不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是矩形，故符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是菱形，故不符合题意； 、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形，故不符合题意； 故选：． 8．【答案】证明见解析． 【分析】连接，交于点，证明平行四边形是菱形，得，，，再证明，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【解答】证明：如图，设交于点， ，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， ，，， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形． 9．【答案】见解析． 【分析】先证四边形是平行四边形，，再证，则，即可得出结论． 【解答】证明：，， 四边形是平行四边形，， 是△的角平分线， ， ， ， 平行四边形是菱形． 【题型4】菱形的性质与判定的综合应用 例4 （2025•湖南模拟）如图，在四边形中，．，相互平分且交于点，过点作的垂线交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）64． 【分析】（1）根据平行四边形 的判定定理得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到，，根据梯形的面积公式即可得到四边形的面积． 【解答】（1）证明：，相互平分且交于点， ，， 四边形是平行四边形， ． 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， 四边形是菱形， ，， 四边形的面积． ◄ 点拨 ► 一般是先根据题意得到判定菱形的条件，从而判定菱形，再根据菱形的性质求解． 【变式10】　（2025春•仪征市期中）如图，△中，点，分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为4，求菱形边长． 【变式11】　（2025春•密云区期中）如图，在中，，过点作的平行线与的延长线相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【变式12】　（2025春•海淀区校级期中）如图，在△中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求菱形的面积． 10．【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证； （2）根据菱形的性质可得，，，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式列出等式并作答即可． 【解答】（1）证明：在△中，，分别是，的中点， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于， 四边形是菱形， ，，，， ， 在△中，由勾股定理得：， ， ，即． ． 11．【答案】（1）证明见解答； （2）的长为4． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，而，所以四边形是平行四边形，由，，推导出，则四边形是菱形； （2）设交于点，由菱形的性质得，因为，所以，由，，求得，而，由勾股定理求得． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，交的延长线于点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形． （2）解：设交于点， 四边形是菱形， ， ， ， ，， ，， ， ， 的长为4． 12．【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，得到，利用对角线互相垂直平分的四边形为菱形，即可得证； （2）根据三角形 的内角和定理得到，根据菱形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，求得，，于是得到菱形的面积． 【解答】（1）证明：在△中，，平分，点在线段的延长线上， ，， ， ，互相垂直平分， 四边形是菱形； （2）解：，， ， 四边形是菱形， ， △是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ，， 菱形的面积． 【题型5】菱形中的探究性问题和开放性问题 例5 （2025春•武汉期中）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点与点，且使． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请添加一个与线段相关的条件 　　 ，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】（1）证明见解答； （2）（答案不唯一）． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，由，推导出，即可根据“”证明△△，得，，则，所以四边形是平行四边形； （2）因为四边形是平行四边形，所以当时，四边形是菱形，也可以连接，当时，四边形是菱形，则添加的条件可以是，也可以是连接，． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 四边形是平行四边形． （2）当时，四边形是菱形， 理由：四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． ◄ 点拨 ► 在判定菱形的探究性问题中，常见的题型是补充某个条件，使题目中的四边形为菱形，解决这类问题的常用方法是利用“逆推”的方法，即从问题的结论出发进行逆推，一直逆推到与已知条件有关的结论，这个结论即为所要补充的条件． 近几年中考中出现较多开放性题目，考查学生对基础知识的掌握和探究能力其中对菱形的判定是较为常见的题目，需要引起重视． 【变式13】　（2025•新吴区一模）如图，在平行四边形中，点，在对角线上，且，连接，，，，． （1）求证：△△； （2）请添加一个条件，使得四边形为菱形，则添加的条件是　　（不再添加线条和字母，只要写出一个条件即可，无需证明） 【变式14】　（2025春•中山市期中）如图，四边形是平行四边形，平分交于点，平分交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请添加一个条件，使四边形为菱形，并说明理由． 【变式15】　（2025春•泰兴市期中）如图，在四边形中，点、分别在、上，连接，，相交于点．下列三个条件：①；②垂直平分；③平分．从中选择两个作为条件，使四边形是菱形，并写出你的证明过程． 你选择的条件为 　　 （填序号）． 证明： 13．【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据平行四边形 到现在得到，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）设和相交于点，根据平行四边形 到现在和菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：当时，四边形为菱形， 设和相交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形菱形（对角线平分且垂直的四边形为菱形）， 故答案为：． 14．【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，，证出，由即可得出△△，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可． （2）根据菱形的判定定理，添加即可． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，，，， 平分，平分， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：添加， 由（1）知：四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 15．【答案】①②（答案不唯一），证明见解析． 【分析】由线段垂直平分线的性质得，，，再证明△△，得，则，然后由菱形的判定即可得出结论． 【解答】解：选①②， 故答案为：①②（答案不唯一）； 证明：， ， 垂直平分， ，，， 在△和△中， ， △△， ， ， 四边形是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $$