专题04 概率初步（考题猜想，高频重难点11大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

专题04 概率初步（考题猜想，11大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 事件的分类 · 题型二 判断事件发生的可能性的大小 · 题型三 概率的意义理解 · 题型四 根据概率公式计算概率（重点） · 题型五 几何概率 · 题型六 列举法求概率（高频） · 题型七 列表法或树状图法求概率 · 题型八 游戏的公平性（高频） · 题型九 由频率估计概率（高频） · 题型十 用频率估计概率的综合应用（高频） · 题型十一 概率在转盘抽奖中的应用 题型一 事件的分类 1．（跨学科）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．锄禾日当午 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流 2.（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列命题正确的是（    ） A．可能性很小的事件在一次实验中也有可能发生 B．不可能事件在一次实验中也可能发生 C．任何事件发生的概率都为1 D．随机事件发生的概率可以是任意实数 3．（23-24八年级下·上海·期末）下列事件中属于随机事件的是（    ） A．关于的方程有实数解 B．一元二次方程有两个不相等的实数根 C．点（m为实数）落在直线上 D．直线与直线相交 4．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）在一个不透明的袋子中装有3个红球、1个黄球、1个白球，这些球只是颜色不同．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．从袋子中摸出一个球，球的颜色是红色 B．从袋子中摸出两个球，它们的颜色相同 C．从袋子中摸出三个球，有颜色相同的球 D．从袋子中摸出四个球，有颜色相同的球 题型二 判断事件发生的可能性的大小 5．（20-21八年级下·上海崇明·期末）将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中，下列四个选项，不正确的是（    ） A．摸到白球和黑球的可能性相等 B．摸到白球比摸到黑球的可能性大 C．摸到红球是不可能事件 D．摸到黑球或白球是确定事件 6．（20-21八年级下·上海浦东新·期末）下列事件属于必然事件的事（    ） A．某种彩票的中奖概率为，购买张彩票一定能中奖 B．电视打开时正在播放广告 C．任意两个负数的乘积为正数 D．某人手中的玻璃杯不小心掉在水泥地面上会破碎 7．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（ ） A．不确定事件发生的概率为0.5 B．“顺次连接四边形四条边的中点，得到的四边形是正方形”，这是不可能事件 C．随机事件发生的概率大于0且小于1 D．“取两个无理数，它们的和为无理数”，这是必然事件 题型三 概率的意义理解 8.（2024八年级下·上海·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．必然事件发生的概率为1 B．不可能事件发生的概率为0 C．随机事件发生的概率介于0和1之间 D．不确定事件发生的概率为0.5 9．（22-23八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”对这条信息的下列说法中，正确的是（   ） A．仙游明天将有85%的时间下雨 B．仙游明天将有85%的地区下雨 C．仙游明天下雨的可能性较大 D．仙游明天下雨的可能性较小 题型四 根据概率公式计算概率 10.（21-22六年级上·上海宝山·期末）一个布袋中装有20个质地相同的红、黑、黄三种颜色的小球，其中红色球有4个，黑色球有6个，黄色球有10个，从布袋中任意取出一个球，那么取到黄色球的可能性是（   ） A． B． C． D． 11.（24-25六年级下·上海·期中）桌上有6个同样型号的杯子，其中1杯白糖水、2杯盐水、3杯矿泉水．从这6杯中随机抽取1杯，在下列事件中，发生的可能性最大的是 ．（填序号） ①取到盐水；②取到白糖水；③取到矿泉水；④没有取到盐水；⑤没有取到白糖水；⑥没有取到矿泉水 12．（跨学科）（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小奵泡发光．现随机从A，B，C，D中抽取一个字母（每个字母被抽到的可能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为 ． 题型五 几何概率 13.（2024八年级下·上海·专题练习）将一个圆盘分为圆心角相等的8个扇形，各扇形涂有各种颜色，如图．任意转动转盘，停止后指针落在每个扇形内的可能性大小都一样（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）．则指针落在红色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 14.（20-21八年级下·上海·期末）一个可以自由转动的转盘被等分成六个扇形区域，并涂上了相应的颜色，如图所示．随意转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是 ． 题型六 列举法求概率 15.（2022六年级下·上海·专题练习）同时抛出两枚相同的硬币，落地后出现相同面的可能性（ ）出现不同面的可能性 A．小于 B．等于 C．大于 D．不确定 16.（22-23八年级下·上海杨浦·期末）从长度分别为2、3、4、6的四条线段中任取三条，这三条线段能构成三角形的概率是 ． 17.（21-22八年级下·上海·单元测试）某校准备召开一次团代会，七 （1）班共有名团员（男女，其中班长李清为女生），现需要选个代表去参会，其中男生指定选人，若每个团员被选中的机会相等，那么： (1)当为何值时，“选到李清”是必然事件？ (2)当为何值时，“选到李清”是不可能事件？ (3)当为何值时，“选到李清”是随机事件？当指定个男生参会后，求女生中选到李清参会的概率． 题型七 列表法或树状图法求概率 18.（21-22八年级下·上海浦东新·期中）甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会接力比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么，其中恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（    ） A． B． C． D． 19.（22-23八年级下·上海浦东新·期末）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球，它们除颜色外其它都相同，那么 （1）从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的概率是 ． （2）从布袋中一次摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是 ． 20.（23-24八年级下·上海·期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4． (1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 ； (2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ； (3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和被3整除的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明） 题型八 游戏的公平性 21.（21-22八年级下·上海·单元测试）小明、小强做游戏，掷两枚均匀的硬币，若出现朝上的两个面都是正面时，小明赢，否则小强赢，该游戏对 有利． 22.（2023八年级下·上海·专题练习）暗箱内有三个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3，甲、乙两人按照下列规则决定胜负． (1)从箱中摸出一个小球，如果上面标注的数是2的倍数，则甲获胜，如果上面标注的数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？为什么？ (2)从箱中连续摸出两个小球（摸出后不放回），并将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，组成一个两位数，如果这个两位数是2的倍数，则甲获胜，如果这个两位数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？请用树状图或表格说明理由． 23．（20-21八年级下·上海虹口·期末）小明和小红玩扑克牌游戏，每次各出一张牌（打出的牌不收回），谁的牌数字大谁赢，同样大就平．现已知小明手中有2、5、8，小红手中有3、5、7． （1）如果小明、小红将手中的牌任出一张，一局定胜负，请用画树状图或列表的方法，说明谁的获胜机会比较大？ （2）如果小明按2、5、8的顺序出牌三次，小红则按随机顺序出牌三次，三局两胜定胜负，那么小红获胜的概率是___________（直接写出结果）． 题型九 由频率估计概率 24.（2024八年级下·上海·专题练习）在抛掷硬币的试验中，连续多次抛掷一枚硬币，每一次都记录出现的“正面”或“反面”．下面的说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越接近0.5 B．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越远离0.5 C．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5 D．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.6 25.（23-24八年级下·上海静安·期末）某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务． (1)求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数； (2)在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求． 下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计： 抽取模型数累计m（件） 50 100 150 200 250 300 400 报废模型数累计n（件） 0 3 4 5 5 6 8 模型报废的频率（精确到0.001） 0 0.03 0.027 0.025 0.02 0.02 0.02 请估计这批物理实验模型成品的报废率约为_______（精确到）；结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产_______件产品才能完成订单的需求． 题型十 用频率估计概率的综合应用 26.袋子中有大小、形状相同的红球、白球、黄球共40个，王光通过多次摸球试验后，发现摸到红球、白球、黄球的频率依次为20%，35%，45%，则红球、白球、黄球分别约有 个， 个， 个． 27.对某篮球运动员进行分球投篮测试，结果如下表： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)计算并直接填写表中投篮次、次相应的命中率； (2)这个运动员投篮命中的概率约是______； (3)估计这个运动员分球投篮次能得多少分． 题型十一 概率在转盘抽奖中的应用 28.在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（    ） A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格 29.一只不透明的袋中装有1个白球和3个红球，每个球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球． (1)能事先确定摸到球的颜色吗？ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率较大？ (3)为了估计摸到白球的概率，小明采用转盘来代替摸球做试验．如图是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上红、白两种颜色，转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在白色区域的概率与摸到白球的概率相同（提示：在转盘上用文字注明颜色和扇形圆心角的度数）． $$专题04 概率初步（考题猜想，11大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 事件的分类 · 题型二 判断事件发生的可能性的大小 · 题型三 概率的意义理解 · 题型四 根据概率公式计算概率（重点） · 题型五 几何概率 · 题型六 列举法求概率（高频） · 题型七 列表法或树状图法求概率 · 题型八 游戏的公平性（高频） · 题型九 由频率估计概率（高频） · 题型十 用频率估计概率的综合应用（高频） · 题型十一 概率在转盘抽奖中的应用 题型一 事件的分类 1．（跨学科）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．锄禾日当午 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、锄禾日当午是随机事件，故选项错误，不符合题意； B、大漠孤烟直是随机事件，故选项错误，不符合题意； C、手可摘星辰是不可能事件，故选项正确，符合题意； D、黄河入海流是必然事件，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2.（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列命题正确的是（    ） A．可能性很小的事件在一次实验中也有可能发生 B．不可能事件在一次实验中也可能发生 C．任何事件发生的概率都为1 D．随机事件发生的概率可以是任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了真命题的定义，事件发生的可能性，根据解题的关键是掌握必然事件发生的概率都为1，不可能事件发生概率为0，随机事件发生概率大于0小于1，结合相关定义逐个判断即可． 【详解】解：A、可能性很小的事件在一次实验中也有可能发生，故A正确，符合题意； B、不可能事件在一次实验中不可能发生，故B错误，不符合题意； C、必然事件发生的概率都为1，不可能事件发生概率为0，随机事件发生概率大于0小于1，故C错误，不符合题意； D、随机事件发生的概率大于0小于1，故D错误，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·上海·期末）下列事件中属于随机事件的是（    ） A．关于的方程有实数解 B．一元二次方程有两个不相等的实数根 C．点（m为实数）落在直线上 D．直线与直线相交 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类，根据不可能事件，随机事件和必然事件的意义进行判断即可 【详解】解：A. 关于的方程没有实数解，故选项A是不可能事件，不符合题意； B. 一元二次方程的判别式，所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，是必然事件，不符合题意； C. 当时，点（m为实数）落在直线上，是随机事件，故符合题意； D. 直线与直线相交，是必然事件，不符合题意； 故选：C 4．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）在一个不透明的袋子中装有3个红球、1个黄球、1个白球，这些球只是颜色不同．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．从袋子中摸出一个球，球的颜色是红色 B．从袋子中摸出两个球，它们的颜色相同 C．从袋子中摸出三个球，有颜色相同的球 D．从袋子中摸出四个球，有颜色相同的球 【答案】D 【分析】在一定条件下，一定会发生的事件为必然事件，据此解答即可． 【详解】解： 总计5个球，其中有3个红球，故从袋子中摸出四个球，必有2个红球颜色相同． 故选：D 【点睛】本题考查必然事件的定义，能够列举出随机实验的所有可能结果是解题的关键． 题型二 判断事件发生的可能性的大小 5．（20-21八年级下·上海崇明·期末）将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中，下列四个选项，不正确的是（    ） A．摸到白球和黑球的可能性相等 B．摸到白球比摸到黑球的可能性大 C．摸到红球是不可能事件 D．摸到黑球或白球是确定事件 【答案】A 【分析】根据随机事件发生的可能性（概率）的计算方法及确定性事件的概念逐一判断即可得． 【详解】解：A、由白球的数量比黑球多知摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项错误，符合题意； B、摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项正确，不符合题意； C、摸到红球是不可能事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意； D、摸到黑球或白球是必然事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法和确定性事件的概念． 6．（20-21八年级下·上海浦东新·期末）下列事件属于必然事件的事（    ） A．某种彩票的中奖概率为，购买张彩票一定能中奖 B．电视打开时正在播放广告 C．任意两个负数的乘积为正数 D．某人手中的玻璃杯不小心掉在水泥地面上会破碎 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】A.某种彩票的中奖概率为，购买1000张彩票能中奖，是随机事件； B.电视打开时正在播放广告，是随机事件； C.任意两个负数的乘积为正数，是必然事件； D.某人手中的玻璃杯不小心掉在水泥地面上会破碎，是随机事件； 故选：C． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件． 7．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（ ） A．不确定事件发生的概率为0.5 B．“顺次连接四边形四条边的中点，得到的四边形是正方形”，这是不可能事件 C．随机事件发生的概率大于0且小于1 D．“取两个无理数，它们的和为无理数”，这是必然事件 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小． 根据随机事件、正方形的判定以及概率的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A. 不确定事件发生的概率大于0且小于1，原说法错误； B. “顺次连接四边形四条边的中点，得到的四边形是正方形”，这是随机事件，原说法错误； C. 随机事件发生的概率大于0且小于1，说法正确； D. “取两个无理数，它们的和为无理数”，这是随机事件，原说法错误； 故选C． 题型三 概率的意义理解 8.（2024八年级下·上海·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．必然事件发生的概率为1 B．不可能事件发生的概率为0 C．随机事件发生的概率介于0和1之间 D．不确定事件发生的概率为0.5 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题关键．概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：．其中必然发生的事件的概率；不可能发生事件的概率；随机事件，发生的概率大于0并且小于1．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．据此分析判断即可． 【详解】解：A.必然事件发生的概率为1，该说法正确，不符合题意； B.不可能事件发生的概率为0，该说法正确，不符合题意； C.随机事件发生的概率介于0和1之间，该说法正确，不符合题意； D.不确定事件发生的概率为大于0且小于1，故说法错误，符合题意． 故选：D． 9．（22-23八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”对这条信息的下列说法中，正确的是（   ） A．仙游明天将有85%的时间下雨 B．仙游明天将有85%的地区下雨 C．仙游明天下雨的可能性较大 D．仙游明天下雨的可能性较小 【答案】C 【分析】根据概率表示事件发生的可能性大小，进行作答即可． 【详解】解：天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”，说明仙游明天下雨的可能性较大； 故选C． 【点睛】本题考查概率的意义．熟练掌握概率表示事件发生的可能性大小，是解题的关键． 题型四 根据概率公式计算概率 10.（21-22六年级上·上海宝山·期末）一个布袋中装有20个质地相同的红、黑、黄三种颜色的小球，其中红色球有4个，黑色球有6个，黄色球有10个，从布袋中任意取出一个球，那么取到黄色球的可能性是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄色球个数和小球的总数，计算概率即可即可． 【详解】解：由题意知，布袋中小球共有20个，黄色球有10个， 因此取到黄色球的可能性是． 故选A． 【点睛】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握概率的公式． 11.（24-25六年级下·上海·期中）桌上有6个同样型号的杯子，其中1杯白糖水、2杯盐水、3杯矿泉水．从这6杯中随机抽取1杯，在下列事件中，发生的可能性最大的是 ．（填序号） ①取到盐水；②取到白糖水；③取到矿泉水；④没有取到盐水；⑤没有取到白糖水；⑥没有取到矿泉水 【答案】⑤ 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，根据概率计算公式分别求出对应的6个事件发生的概率，比较即可得到答案． 【详解】解：取到盐水的概率为，取到白糖水的概率为，取到矿泉水的概率为，没有取到盐水的概率为；没有取到白糖水的概率，没有取到矿泉水， ∴没有取到白糖水的概率最大，即可能性最大， 故答案为：⑤． 12．（跨学科）（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小奵泡发光．现随机从A，B，C，D中抽取一个字母（每个字母被抽到的可能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查用概率公式计算事件发生的概率，熟练掌握概率公式：是解题的关键． 所有可能的结果共有4种可能，而让小灯泡发光的只有抽到D，一种可能，由概率公式即可求解． 【详解】解：小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 题型五 几何概率 13.（2024八年级下·上海·专题练习）将一个圆盘分为圆心角相等的8个扇形，各扇形涂有各种颜色，如图．任意转动转盘，停止后指针落在每个扇形内的可能性大小都一样（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）．则指针落在红色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；此题将概率的求解设置于几何图象或游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性． 首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：圆被等分成8份，其中红色部分占3份， 落在红色区域的概率． 故选：B． 14.（20-21八年级下·上海·期末）一个可以自由转动的转盘被等分成六个扇形区域，并涂上了相应的颜色，如图所示．随意转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】从图形中可以看出蓝色共有3个区域，总共有6个扇形区域，可知指针指向蓝色区域的概率． 【详解】解：∵一个自由转动的转盘被分成6个，面积相等的扇形区域，其中蓝色部分占3份， ∴指针指向蓝色区域的概率．故答案为． 【点睛】本题主要考查的是基础的概率运算，观察图形，并从中得出所求项目所占比例是解题的关键． 题型六 列举法求概率 15.（2022六年级下·上海·专题练习）同时抛出两枚相同的硬币，落地后出现相同面的可能性（ ）出现不同面的可能性 A．小于 B．等于 C．大于 D．不确定 【答案】B 【分析】根据题意分析同时抛出两枚相同的硬币落地后出现的所有可能性，并计算出两面相同的可能性和两面不同的可能性各是多少，据此解答． 【详解】解：①两枚硬币同时为正面；②两枚硬币同时为反面；③一枚硬币为正面，另一枚硬币为反面；④一枚硬币为反面，另一枚硬币为正面； 落地后出现相同面的可能性：2÷4＝ 落地后出现不同面的可能性：2÷4＝ 因为＝，所以落地后出现相同面的可能性和落地后出现不同面的可能性相同． 故选：B 【点睛】所求事件发生的可能性＝所求事件出现的可能结果个数÷所有可能发生的结果个数． 16.（22-23八年级下·上海杨浦·期末）从长度分别为2、3、4、6的四条线段中任取三条，这三条线段能构成三角形的概率是 ． 【答案】/0.5 【分析】先列举出所有可能的情况，再根据三角形的三边关系判断能构成三角形的情况，然后根据概率公式求解． 【详解】解：从长度分别为2、3、4、6的四条线段中任取三条，共有以下四种情况： 2、3、4；2、3、6；2、4、6；3、4、6； 其中，能够构成三角形的是：2、3、4；和3、4、6；有两种情况； 所以这三条线段能构成三角形的概率是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率和三角形的三边关系，列举出所有可能的情况是关键． 17.（21-22八年级下·上海·单元测试）某校准备召开一次团代会，七 （1）班共有名团员（男女，其中班长李清为女生），现需要选个代表去参会，其中男生指定选人，若每个团员被选中的机会相等，那么： (1)当为何值时，“选到李清”是必然事件？ (2)当为何值时，“选到李清”是不可能事件？ (3)当为何值时，“选到李清”是随机事件？当指定个男生参会后，求女生中选到李清参会的概率． 【答案】(1)1 (2)5 (3)为2、3、4； 【分析】（1）根据有5男4女，需要选个代表去参会，李清为女生可以得出m的值； （2）根据有5男4女，需要选个代表去参会，李清为女生可以得出m的值； （3）根据有5男4女，需要选个代表去参会，李清为女生可以得出m的值；再求出李清不被选上的概率即可． 【详解】（1）解：根据有5男4女，需要选个代表去参会，李清为女生可知，当为1时，还要选4个女生，所以“选到李清”是必然事件． （2）解：根据有5男4女，需要选个代表去参会，李清为女生可知，当为5时，不可能选女生，“选到李清”是不可能事件． （3）解：根据有5男4女，需要选个代表去参会，李清为女生可知，当为2、3、4时，“选到李清”是随机事件； 当指定个男生参会后，还需要选3个女生，共有4个女生，李清不被选到的概率是， 女生中选到李清参会的概率是． 【点睛】本题考查了事件发生可能性的大小和利用列举法求概率，解题关键是熟练运用列举法求概率． 题型七 列表法或树状图法求概率 18.（21-22八年级下·上海浦东新·期中）甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会接力比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么，其中恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举出所有情况，让恰好由甲将接力棒交给乙的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】解：根据题意，画树状图得： 所以一共有24种跑步顺序，而恰好由甲将接力棒交给乙的有6种， 所以恰好由甲将接力棒交给乙的概率是：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．还要注意题目是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 19.（22-23八年级下·上海浦东新·期末）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球，它们除颜色外其它都相同，那么 （1）从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的概率是 ． （2）从布袋中一次摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是 ． 【答案】 / / 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有可能出现的结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的结果有3种， 恰好是红球的概率为：， 故答案为：； （2）列表如下： 红 红 红 黄 黄 红 （红，红） （红，红） （黄，红） （黄，红） 红 （红，红） （红，红） （黄，红） （黄，红） 红 （红，红） （红，红） （黄，红） （黄，红） 黄 （红，黄） （红，黄） （红，黄） （黄，黄） 黄 （红，黄） （红，黄） （红，黄） （黄，黄） 由表知，共有20种可能出现的结果，其中另个颜色相同的结果有8种， 所以这两个球颜色相同的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式和利用列表法和画树状图法求概率，注意列表法和画树状图法不要遗漏和重复出现的结果是解题的关键． 20.（23-24八年级下·上海·期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4． (1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 ； (2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ； (3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和被3整除的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率公式，列表法或树状图法求概率； （1）根据概率公式可得答案； （2）根据题意画出树状图，得出所有情况数和所标数字和为偶数的情况数，然后根据概率公式可得答案； （3）根据题意画出树状图，得出所有情况数和所标数字和能被3整除的情况数，然后根据概率公式可得答案． 【详解】（1）解：∵共有4个小球，所标的数字不超过4的有4个， ∴任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是， 故答案为：； （2）根据题意画出树状图为： 由树状图可得：共有12种等可能的情况，其中所标的数字和为偶数的情况有4种， ∴所标的数字和为偶数的概率是， 故答案为：； （3）根据题意画出树状图为： 由树状图可得：共有16种等可能的情况，其中所标数字和能被3整除的情况有5种， ∴所标数字和能被3整除的概率是 题型八 游戏的公平性 21.（21-22八年级下·上海·单元测试）小明、小强做游戏，掷两枚均匀的硬币，若出现朝上的两个面都是正面时，小明赢，否则小强赢，该游戏对 有利． 【答案】小强 【分析】先画出树状图得出所有等可能结果，根据概率公式计算出两人获胜的概率，再比较大小即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由树状图可得共有4种等可能的结果，出现朝上的两个面都是正面的结果数有1种，出现朝上的两个面不都是正面的结果数有3种， ∴小明赢的概率为，小强赢的概率为， ∵， ∴该游戏对小强有利， 故答案为：小强． 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 22.（2023八年级下·上海·专题练习）暗箱内有三个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3，甲、乙两人按照下列规则决定胜负． (1)从箱中摸出一个小球，如果上面标注的数是2的倍数，则甲获胜，如果上面标注的数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？为什么？ (2)从箱中连续摸出两个小球（摸出后不放回），并将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，组成一个两位数，如果这个两位数是2的倍数，则甲获胜，如果这个两位数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？请用树状图或表格说明理由． 【答案】(1)规则公平，见解析 (2)规则公平，见解析 【分析】（1）直接由概率公式求出甲获胜的概率等于乙获胜的概率，即可得出结论； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中这个两位数是2的倍数的结果有2种，这个两位数是3的倍数的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：规则公平，理由如下： 由题意得：甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∴甲获胜的概率等于乙获胜的概率， ∴规则公平； （2）（2）规则公平，理由如下：    共有6种等可能的结果，其中这个两位数是2的倍数的结果有2种，这个两位数是3的倍数的结果有2种， ∴甲获胜的概率，乙获胜的概率， ∴甲获胜的概率等于乙获胜的概率， ∴规则公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 23．（20-21八年级下·上海虹口·期末）小明和小红玩扑克牌游戏，每次各出一张牌（打出的牌不收回），谁的牌数字大谁赢，同样大就平．现已知小明手中有2、5、8，小红手中有3、5、7． （1）如果小明、小红将手中的牌任出一张，一局定胜负，请用画树状图或列表的方法，说明谁的获胜机会比较大？ （2）如果小明按2、5、8的顺序出牌三次，小红则按随机顺序出牌三次，三局两胜定胜负，那么小红获胜的概率是___________（直接写出结果）． 【答案】（1）一样大；（2） 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明、小红本“局”获胜的情况，利用概率公式即可求得答案； （2）据题意，小明出牌顺序为2、5、8时，小红随机出牌的情况有：（7，5，3），（7，3，5），（5，7，3），（5，3，7），（3，7，5），（3，5，7），又由小红获胜的情况有（5，7，3），（3，7，5）两种，利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）画树状图得： ∵每人随机取一张牌共有9种情况，小红获胜的情况有4种，小明获胜的情况有4种，概率都是， ∴小明、小红获胜机会一样； （2）据题意，小明出牌顺序为2、5、8时， 小红随机出牌的情况有6种情况：（7，5，3），（7，3，5），（5，7，3），（5，3，7），（3，7，5），（3，5，7）， ∵小红获胜的情况有（5，7，3），（3，7，5）两种， ∴小红获胜的概率为P=， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与列举法求概率的知识．此题难度适中，注意理解题意是解此题的关键，注意概率=所求情况数与总情况数之比． 题型九 由频率估计概率 24.（2024八年级下·上海·专题练习）在抛掷硬币的试验中，连续多次抛掷一枚硬币，每一次都记录出现的“正面”或“反面”．下面的说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越接近0.5 B．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越远离0.5 C．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5 D．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间． 机会均等就出现的可能性是相同的，但不一定在有限的实验中出现的次数相同，只是在大量实验时，两者出现的次数接近． 【详解】解：“正面”和出现“反面”的机会均等，随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5． 故选：C． 25.（23-24八年级下·上海静安·期末）某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务． (1)求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数； (2)在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求． 下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计： 抽取模型数累计m（件） 50 100 150 200 250 300 400 报废模型数累计n（件） 0 3 4 5 5 6 8 模型报废的频率（精确到0.001） 0 0.03 0.027 0.025 0.02 0.02 0.02 请估计这批物理实验模型成品的报废率约为_______（精确到）；结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产_______件产品才能完成订单的需求． 【答案】(1)工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为80件 (2)；41 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，用频率估计概率，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程． （1）设工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为x件，根据平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务，列出方程，解方程即可； （2）根据频率估计概率即可，设还需生产y件产品才能完成订单的需求，根据题意列出不等式，求出至少还要生产的件数即可． 【详解】（1）解：设工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为x件，根据题意得： ， 解得：，， 经检验是原方程的解， 答：工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为80件； （2）解：根据表格中的数据可知：模型报废的频率稳定在， ∴这批物理实验模型成品的报废率约为， 设还需生产y件产品才能完成订单的需求，根据题意得： ， 解得：， ∵y必须取整数， ∴至少还需生产41件产品才能完成订单的需求． 题型十 用频率估计概率的综合应用 26.袋子中有大小、形状相同的红球、白球、黄球共40个，王光通过多次摸球试验后，发现摸到红球、白球、黄球的频率依次为20%，35%，45%，则红球、白球、黄球分别约有 个， 个， 个． 【答案】 8 14 18 【分析】让球的总数乘以相应的频率即为所求的不同颜色球的数目． 【详解】解：红球的概率为0.2，故红球有（个）； 白球的概率为0.35，故白球有（个）； 黄球的概率为0.45，故黄球有（个）． 故红球、白球、黄球分别约有8个，14个，18个． 故答案为：8；14，18 【点睛】用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． 27.对某篮球运动员进行分球投篮测试，结果如下表： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)计算并直接填写表中投篮次、次相应的命中率； (2)这个运动员投篮命中的概率约是______； (3)估计这个运动员分球投篮次能得多少分． 【答案】(1)， ； (2)； (3)分． 【分析】本题主要考查了用频率估计概率．从表中可以看出：随着投篮次数的增加，命中的频率接近，所以这个运动员分球投篮命中的概率大约是． 根据表中的数据分别求出投篮次、次相应的命中率即可； 用频率估计概率．随着投篮次数的增加，命中的频率接近，所以这个运动员分球投篮命中的概率大约是； 由可知这个运动员分球投篮命中的概率大约是，估计投篮次命中次，共得分． 【详解】（1）解：投篮次的命中率为， 投篮次的命中率为； 故答案为：，； （2）解：这个运动员投篮命中的概率约是， 故答案为：； （3）解：估计这个运动员分球投篮次能得：分， 答：估计这个运动员分球投篮次能得分． 题型十一 概率在转盘抽奖中的应用 28.在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（    ） A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格 【答案】A 【分析】填在最高位即可． 【详解】解：转盘中共有1至9位数，9在第一位时，数最大．故选． 【点睛】解决本题的关键是理解最高位上的数越大，得到的数越大． 29.一只不透明的袋中装有1个白球和3个红球，每个球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球． (1)能事先确定摸到球的颜色吗？ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率较大？ (3)为了估计摸到白球的概率，小明采用转盘来代替摸球做试验．如图是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上红、白两种颜色，转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在白色区域的概率与摸到白球的概率相同（提示：在转盘上用文字注明颜色和扇形圆心角的度数）． 【答案】(1)不能 (2)红球 (3)见解析 【分析】本题考查了概率的意义，概率公式． （1）直接利用随机事件的意义解答即可； （2）根据概率公式分别求出摸到白球的概率和摸到红球的概率，即可得出结论； （3）由（2）可知摸到白球的概率为，则白色区域应占转盘的，据此画图即可． 【详解】（1）解：摸到球的颜色有两种可能性，故不能确定摸到球的颜色； （2）解：∵不透明的袋中装有1个白球和3个红球， ∴摸到白球的概率为，摸到红球的概率为， ∴摸到红球的概率较大； （3）解：如图所示： 白色区域占比， ∴指针落在白色区域的概率与摸到白球的概率相同． $$