专题04 概率初步（考点清单，3考点梳理+11题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

专题04 概率初步（考点清单，3考点梳理+11题型解读） 清单01 确定事件与随机事件 必然事件：在一定条件下必定出现的现象，叫做必然事件. 不可能事件：在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件. 确定事件：必然事件和不可能事件统称确定事件. 随机事件：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫随机事件. 清单02 事件发生的可能性 事件发生的可能性 清单03 事件的概率 【考点题型一】事件的分类（） 【例1】下列事件中，属于确定事件是（   ） A．郭老师在彩票站买了一张彩票恰好中大奖 B．胡老师打开微信时恰好有一条未读信息 C．小张同学在篮球比赛时第一次投篮刚好打进 D．小杨同学从装满红球的袋子里随机摸出一个球恰好是黄球 【变式1-1】（23-24八年级下·上海·期末）下列事件中，说法正确的是（   ） A．“明天本地不会下雨”是必然事件 B．“从地面往上抛出的排球会下落”是随机事件 C．“抛掷一枚硬币，落地后反面朝上”是不可能事件 D．“汽车行驶到十字路口时恰好遇到红灯”是随机事件 【变式1-2】（22-23八年级下·上海宝山·期末）北京时间2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号运载火箭发射成功．某校六年级航天兴趣小组共16人，随机调查了六年级的部分学生对中国航天事业的关注程度，发现很多同学心中都有一个伟大的航天梦，那么“在该校六年级所有学生中随机抽取一人参加中国航天主题分享活动，抽中的学生一定来自航天兴趣小组”是（   ） A．随机事件 B．确定事件 C．必然事件 D．不可能事件 【考点题型二】判断事件发生的可能性的大小（） 【例2】（23-24八年级下·上海长宁·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．必然事件的概率为1 B．随机事件的概率为0.5 C．概率很小的事件不可能发生 D．概率很大的事件一定发生 【变式2-1】抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面的情况如下，则下列选项中的说法正确的是（　　） ①全是正面；②一正一反；③全是反面． A．事件①发生的可能性最大 B．事件②发生的可能性最大 C．事件③发生的可能性最大 D．事件①②③发生的可能性相等 【变式2-2】（22-23八年级下·上海青浦·期末）下列事件中是必然事件的是（    ） A．投掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数为5次 B．任取一个实数，它的平方大于零 C．两位同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，一个回合定出胜负 D．某兴趣小组由13名同学组成，其中至少有两名同学的生日在同一个月 【考点题型三】列举随机实验的所有可能结果（） 【例3】在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式3-1】现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为 ． 4 【变式3-2】求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 【考点题型四】概率的意义理解（） 【例4】（20-21六年级上·上海静安）气象预报员报道：“本市明天降水的概率是90％”，这句话的意思是（    ） A．明天一定会下雨 B．明天90％的时间在下雨 C．明天本市有90％的地方要下雨，另外10％的地方不下雨 D．明天下雨的可能性是90％，但也有可能不下雨 【变式4-1】甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是 ． （填“甲、乙或丙”） 【变式4-2】小丽在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中一等奖的概率为1？为什么？ 【考点题型五】根据概率公式计算概率（） 【例5】（2022六年级下·上海·专题练习）女生莉莉所在班有男生26人，女生24人．现在要选择1位女生和2位男生参加科普知识竞赛，莉莉被选中参加竞赛的可能性是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23八年级下·上海宝山·期末）七巧板游戏是中国人的智慧结晶．如图，七巧板是由个几何图形组成的正方形，其中、、、、是等腰直角三角形，是正方形，是平行四边形。一只蚂蚁在七巧板上随机停留，刚巧停在号板区域的概率是 ．    【变式5-2】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）井字棋是老少皆宜的游戏，规则是：两个游戏者轮流在的格子里留下标记，任意三个标记形成一条直线即为获胜，小张是班里的井字棋高手，每步均为最佳着法． (1)小吴执先手去挑战小张，若无论小张如何落子，小吴前两步都会将两个子放在一条直线上，求：小吴输棋的概率； (2)小吴不服，让小张执先手，小张第一步选择下中间，若小吴除了第一步均不会犯错，求：小吴和棋的概率． 【考点题型六】几何概率（） 【例6】（2021九年级·上海·专题练习）如图，飞镖投一个被平均分成6份的圆形靶子，那么飞镖落在阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）一个可以自由转动的转盘被等分成六个扇形区域，并涂上了相应的颜色，如图所示，随意转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是 ．（指针停在扇形边界上时统计在逆时针方向相邻的扇形内）    【变式6-2】欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），那么油滴落入孔中的概率为 ． 【考点题型七】列举法求概率（） 【例7】（22-23八年级下·上海青浦·期末）从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 ． 【变式7-1】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）从1、2、3三个数中任取两个数组成一个没有重复数字的两位数，这个两位数是合数的概率是 ． 【变式7-2】（23-24八年级下·上海·单元测试）在一个盒子中有张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之和是的概率是 ． 【考点题型八】列表法或树状图法求概率（） 【例8】（2023八年级下·上海·专题练习）口袋里装有五个大小形状都相同，所标数字不同的小球，小球所标的数字分别是，，，2，3，先随机抽取一个球得到的数字记为k，放回后再抽一个球得到的数字记为b，则满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在分别标有1、2、3、4、6的五张卡片中随机抽取2张卡片，那么抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数概率是 ． 【变式8-2】（23-24八年级下·上海虹口·期末）一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． (1)如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______； (2)如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率； (3)如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 【考点题型九】游戏的公平性（） 【例9】（20-21六年级上·上海静安）有3个好朋友意外获得一张超级女生演唱会的门票，她们都想去，究竟谁去好呢？小丽对小明和小杰说：“我们来抛硬币，我有两枚硬币，如果两面都朝正就小明去，如果两面都朝反就小杰去，一正一反就我去”你认为这样决定公平吗？为什么？ ，理由： 【变式9-1】（2025六年级下·上海·专题练习）李明和刘军玩一个数字游戏，如果右边的转盘指针指向2的整倍数就是李明获胜，如果指针指向3的整倍数就是刘军获胜，请你在右图填上适当的数字，使这个游戏对双方都公平． 【变式9-2】（2025六年级下·上海·专题练习）如图是一个游戏转盘，明明和亮亮玩转盘游戏． (1)如果指针指向奇数时，明明获胜；指针指向偶数时，亮亮获胜．谁获胜的可能性大？为什么？ (2)如果指针指向质数时，明明获胜；指针指向合数时，亮亮获胜．谁获胜的可能性大？ (3)你能结合图中的游戏转盘设计一个公平的游戏规则吗？写出你的想法． 【考点题型十】用频率估计概率的综合应用（） 【例10】一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共个，它们除颜色外都相同．小明将盒子中的小球搅拌均匀，从中随机摸出一个小球记下它的颜色后放回盒中，重复这一过程，试验发现摸到红色小球的频率稳定在左右，由此估计盒子中红色小球有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式10-1】某口袋里现有12个红球和若干个绿球（两种球除颜色外，其余完全相同），某同学随机的从该口袋里摸出一球，记下颜色后放回，共试验600次，其中有300次是红球，估计绿球个数为（      ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式10-2】一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他都相同的小球，其中有6个红球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3，可以估计 ． 【变式10-3】某市林业局为了解某种花卉的移植成活率，对本市这种花卉的移植情况进行了调查统计，并绘制了统计图（如图）．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在_________附近，估计成活概率为_________（精确到）． (2)已知该林业局已经移植这种花卉20000棵，问： ①这批花卉成活的棵数约为多少？ ②如果根据市政规划，这种花卉需要成活90000棵才能满足需求，那么估计还需要移植多少棵？ 【考点题型十一】概率在转盘抽奖中的应用（） 【例11】如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式11-1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）五一期间，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是________；（填必然事件、不可能事件或随机事件） (2)转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的概率分别是多少？ (3)如果某顾客获得一次转转盘的机会，则得到购物券的概率和得不到购物券的概率哪个大？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 概率初步（考点清单，3考点梳理+11题型解读） 清单01 确定事件与随机事件 必然事件：在一定条件下必定出现的现象，叫做必然事件. 不可能事件：在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件. 确定事件：必然事件和不可能事件统称确定事件. 随机事件：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫随机事件. 清单02 事件发生的可能性 事件发生的可能性 清单03 事件的概率 【考点题型一】事件的分类（） 【例1】下列事件中，属于确定事件是（   ） A．郭老师在彩票站买了一张彩票恰好中大奖 B．胡老师打开微信时恰好有一条未读信息 C．小张同学在篮球比赛时第一次投篮刚好打进 D．小杨同学从装满红球的袋子里随机摸出一个球恰好是黄球 【答案】D 【分析】此题主要考查了随机事件以及确定事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用随机事件以及确定事件的定义分别分析得出答案． 【详解】A．郭老师在彩票站买了一张彩票恰好中大奖，是随机事件，故A不符合题意； B．胡老师打开微信时恰好有一条未读信息，是随机事件，故B不符合题意； C．小张同学在篮球比赛时第一次投篮刚好打进，是随机事件，故C不符合题意； D．小杨同学从装满红球的袋子里随机摸出一个球恰好是黄球，是不可能事件，即是确定事件，故D符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（23-24八年级下·上海·期末）下列事件中，说法正确的是（   ） A．“明天本地不会下雨”是必然事件 B．“从地面往上抛出的排球会下落”是随机事件 C．“抛掷一枚硬币，落地后反面朝上”是不可能事件 D．“汽车行驶到十字路口时恰好遇到红灯”是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念； 必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐项判断即可． 【详解】解：A.“明天本地不会下雨”是随机事件，原说法错误； B.“从地面往上抛出的排球会下落”是必然事件，原说法错误； C.“抛掷一枚硬币，落地后反面朝上”是随机事件，原说法错误； D.“汽车行驶到十字路口时恰好遇到红灯”是随机事件，说法正确； 故选：D． 【变式1-2】（22-23八年级下·上海宝山·期末）北京时间2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号运载火箭发射成功．某校六年级航天兴趣小组共16人，随机调查了六年级的部分学生对中国航天事业的关注程度，发现很多同学心中都有一个伟大的航天梦，那么“在该校六年级所有学生中随机抽取一人参加中国航天主题分享活动，抽中的学生一定来自航天兴趣小组”是（   ） A．随机事件 B．确定事件 C．必然事件 D．不可能事件 【答案】A 【分析】不可能事件：在每一次实验中都一定不会发生的事件；必然事件：是那些无需通过实验就能够预先确定在每一次实验中都一定会发生的事件；随机事件：无法预先确定在一次实验中会不会发生． 【详解】那么“在该校六年级所有学生中随机抽取一人参加中国航天主题分享活动， 抽中的学生一定来自航天兴趣小组”是随机事件． 故选：A． 【点睛】本题考查了事件的分类，熟练掌握各种事件的概念是判断此类问题的关键． 【考点题型二】判断事件发生的可能性的大小（） 【例2】（23-24八年级下·上海长宁·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．必然事件的概率为1 B．随机事件的概率为0.5 C．概率很小的事件不可能发生 D．概率很大的事件一定发生 【答案】A 【分析】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率，记为；概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率；不可能发生事件的概率． 根据概率的意义和必然发生的事件的概率、不可能发生事件的概率对选项进行判断即可． 【详解】解：A、必然事件发生的概率是1，此选项正确； B、随机事件发生的概率在0与1之间，此选项错误； C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，此选项错误； D、概率很大的事件不是一定发生，而是发生的机会较大，此选项错误； 故选：A． 【变式2-1】抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面的情况如下，则下列选项中的说法正确的是（　　） ①全是正面；②一正一反；③全是反面． A．事件①发生的可能性最大 B．事件②发生的可能性最大 C．事件③发生的可能性最大 D．事件①②③发生的可能性相等 【答案】B 【分析】本题考查事件发生的可能性，可得抛掷两枚均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反，然后利用可能性大小的计算方法求解即可求得各个事件发生的可能性，继而求得答案，熟练掌握求可能性的方法分析题目是解决此题的关键． 【详解】抛掷两枚均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反， ∴全是正面的可能性：， 一正一反的可能性：， 全是反面可能性：， ∴“一正一反”发生的可能性大． 故选：B． 【变式2-2】（22-23八年级下·上海青浦·期末）下列事件中是必然事件的是（    ） A．投掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数为5次 B．任取一个实数，它的平方大于零 C．两位同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，一个回合定出胜负 D．某兴趣小组由13名同学组成，其中至少有两名同学的生日在同一个月 【答案】D 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 【详解】A． 投掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数为5次，是随机事件； B． 任取一个实数，它的平方大于零，是随机事件； C． 两位同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，一个回合定出胜负，是随机事件； D． 某兴趣小组由13名同学组成，其中至少有两名同学的生日在同一个月，是必然事件， 故选：D． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件及随机事件的概念．根据事件发生的可能性的大小是判断相应事件类型的关键． 【考点题型三】列举随机实验的所有可能结果（） 【例3】在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可． 【详解】解：由题意可知，一共八张卡片八个数，四个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复． 由甲：12，可知甲手中的数字可能是4和8，5和7； 由乙：11，可知乙手中的数字可能3和8；4和7，5和6； 由丙：9，可知丙手中的数字可能是1和8，2和7，3和6，4和5； 由丁：4，可知丁手中的数字可能是1和3， ∴丁只能是1和3， 因为甲手中的数字可能是4和8，5和7； 所以乙不能是4和7，则只能是5和6， 故选B． 【点睛】本题考查了列举所有可能性，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理． 【变式3-1】现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为 ． 4 【答案】 6 9182 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1，2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182． 【变式3-2】求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）36，见解析 【分析】（1）仔细分析题意，可先取出一个数，根据取出的这个数来确定另一个数的可能取值，取第一个数为10，则第二个数可以为1，2,……，9,同理第一个数取9，可以发现若第一个数为10，则可能的取法有9种，若第一个数取9，则可能的取法有7种，若第一个数取8，可能的取法有5种，……，将所有类别的取法相加，即可求得结果； （2）利用类似于（1）的方法进行分析即可解答； （3）提一个类似于（1）（2）的问题即可； （4）结合（1）、（2）的方法，注意要考虑两边相等的情况 【详解】（1）根据题意每次取的两个数之和大于10，可能取法为： 10+1、10+2、10+3、…10+9，共9种 9+2、 9+3、 9+4、 …9+8，共7种 8+3、8+4、8+5、8+6、8+7，共5种 7+4、7+5、7+6，共3种 6+5，共1种 所以可能的取法共有9+7+5+3+1=（种） （2）同理可得可能的取法的种数为=2500（种） （3）（答案不唯一）在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？ （4）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于11，有10+8+6+4+2=30种不同的取法； ②若另两个数相同，则6+6，7+7，…，11+11，共6种不同的取法；所以各边长都是整数，最大边长为11的三角形有：30+6=36（个）． 它与上述两个问题都类似，区别这个问题要考虑两个数相同时的情况． 【点睛】此题考查分类加法计数原理的运用.分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+……+mn种不同的方法.注意分类后，寻找规律，避免大量运算，其次注意分类讨论要不重不漏 【考点题型四】概率的意义理解（） 【例4】（20-21六年级上·上海静安）气象预报员报道：“本市明天降水的概率是90％”，这句话的意思是（    ） A．明天一定会下雨 B．明天90％的时间在下雨 C．明天本市有90％的地方要下雨，另外10％的地方不下雨 D．明天下雨的可能性是90％，但也有可能不下雨 【答案】D 【分析】由题意根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依次分析选项可得答案． 【详解】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得： A、明天一定会下雨，错误； B、明天90％的时间在下雨，错误； C、明天本市有90％的地方要下雨，另外10％的地方不下雨，错误； D、明天下雨的可能性是90％，但也有可能不下雨，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查概率的意义，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小 【变式4-1】甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是 ． （填“甲、乙或丙”） 【答案】丙 【分析】根据概率的意义，概率公式，即可解答．本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 【详解】解：∵甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9，且0.9非常接近， ∴对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”． 即该事件是丙， 故答案为：丙． 【变式4-2】小丽在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中一等奖的概率为1？为什么？ 【答案】不能，概率指在大数次试验中某事件出现的次数，而一次试验不能得到某事件的概率 【分析】此题考查了概率的概念，根据概率指在大数次试验中某事件出现的次数求解即可． 【详解】解：∵只抽了一张， ∴不能说这次抽奖活动的中一等奖的概率为1． 理由是：概率指在大数次试验中某事件出现的次数，而一次试验不能得到某事件的概率 【考点题型五】根据概率公式计算概率（） 【例5】（2022六年级下·上海·专题练习）女生莉莉所在班有男生26人，女生24人．现在要选择1位女生和2位男生参加科普知识竞赛，莉莉被选中参加竞赛的可能性是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为莉莉是女生，又必须选择一个女生，所以莉莉被选中参加竞赛的可能性＝1÷女生总人数，据此解答． 【详解】解：1÷24＝ 答：莉莉被选中参加竞赛的可能性是． 故选：A． 【点睛】本题考查的是用分数表示事件发生的可能性的大小，就是用某种事物的个数除以所有事物总个数，结果用几分之几或百分之几表示．解决本题的关键是根据题意知道必须选择一个女生，所以任何一个女生被选中的可能性都是，跟男生人数无关． 【变式5-1】（22-23八年级下·上海宝山·期末）七巧板游戏是中国人的智慧结晶．如图，七巧板是由个几何图形组成的正方形，其中、、、、是等腰直角三角形，是正方形，是平行四边形。一只蚂蚁在七巧板上随机停留，刚巧停在号板区域的概率是 ．    【答案】 【分析】设号板的边长为，号板的短边长为，号板的直角边为，号板的直角边为，从而得出大正方形边长为，再根据正方形的面积公式求出大正方形的面积和号板的面积，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：设号板的边长为，则号板的短边长为，号板的直角边为，号板的直角边为， 号板的斜边长 大正方形的面积为，号板的面积 刚巧停在号板区域的概率， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何概率问题，勾股定理，熟练掌握概率=相应的面积与总面积之比是解答本题的关键 【变式5-2】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）井字棋是老少皆宜的游戏，规则是：两个游戏者轮流在的格子里留下标记，任意三个标记形成一条直线即为获胜，小张是班里的井字棋高手，每步均为最佳着法． (1)小吴执先手去挑战小张，若无论小张如何落子，小吴前两步都会将两个子放在一条直线上，求：小吴输棋的概率； (2)小吴不服，让小张执先手，小张第一步选择下中间，若小吴除了第一步均不会犯错，求：小吴和棋的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了简单事件的概率，正确找出所求概率对应事件的情形数是解题的关键， （）由小吴落子于中心点不输棋得到，有种会输棋的情形，从而根据概率公式求解即可； （2）由小张执先手，小张第一步选择下中间，此时还有个空位，小吴只有下周围个角处才能和棋，共有种等可能的情形，其中和棋的情形有种，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小吴执先手去挑战小张，小吴只有落子在最中间时才不输棋，共有种等可能的情形，其中有种不会输棋，则有种会输棋的情形， ∴小吴输棋的概率为； （2）解：小张执先手，小张第一步选择下中间，此时还有个空位，小吴只有下周围个角处才能和棋， ∴共有种等可能的情形，其中和棋的情形有种， ∴小吴和棋的概率为． 【考点题型六】几何概率（） 【例6】（2021九年级·上海·专题练习）如图，飞镖投一个被平均分成6份的圆形靶子，那么飞镖落在阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出阴影部分面积占圆形靶子面积的比例，根据这个比例即可求解． 【详解】∵阴影部分面积占圆形靶子面积的 ∴飞镖落在阴影部分的概率是 故选：C． 【点睛】本题主要考查几何概率的计算：解题的关键是正确理解阴影部分面积占圆形靶子面积的比例即为飞镖落在阴影部分的概率 【变式6-1】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）一个可以自由转动的转盘被等分成六个扇形区域，并涂上了相应的颜色，如图所示，随意转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是 ．（指针停在扇形边界上时统计在逆时针方向相邻的扇形内）    【答案】/0.5 【分析】本题考查了几何概率，直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：指针指向蓝色区域的概率， 故答案为：． 【变式6-2】欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），那么油滴落入孔中的概率为 ． 【答案】 【分析】分别求出铜钱和中间正方形孔对的面积，然后利用几何概率计算． 【详解】解：∵S正方形＝1，S圆＝， ∴P＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率，解题的关键是：能分别求出满足基本事件和总的基本事件的“几何度量”，最后代入公式求解． 【考点题型七】列举法求概率（） 【例7】（22-23八年级下·上海青浦·期末）从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 ． 【答案】 【分析】根据一对对边平行且相等的四边形、两组对边相等的四边形、两组对边平行的四边形都是平行四边形，逐一判定，而后根据概率的计算方法解答． 【详解】解：①，②，∴四边形ABCD是平行四边形， ①，③，∴四边形ABCD是平行四边形， ①，④，无法判断； ②，③，无法判断； ②，④∴四边形ABCD是平行四边形； ③，④∴四边形ABCD是平行四边形； 故选到能够判定判定四边形有4种结果， ∴选到能够判定是菱形的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，概率等，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，概率的计算方法． 【变式7-1】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）从1、2、3三个数中任取两个数组成一个没有重复数字的两位数，这个两位数是合数的概率是 ． 【答案】/ 【分析】根据列举法可进行求解． 【详解】解：从1、2、3三个数中任取两个数组成一个没有重复数字的两位数有12、13、23、32、31、21，其中两位数是合数的有12、32、21，所以两位数是合数的概率为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键． 【变式7-2】（23-24八年级下·上海·单元测试）在一个盒子中有张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之和是的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，概率公式等知识点，熟练掌握列举法求概率是解题的关键． 列举出所有可能出现的情况，再用所求情况数除以总的情况数即可得解． 【详解】解：从张卡片中随机抽出两张卡片共有种可能的结果，即： ，，，，，， 所得卡片上的两数之和是的情况共有种，即：，， 所得卡片上的两数之和是的概率是， 故答案为：． 【考点题型八】列表法或树状图法求概率（） 【例8】（2023八年级下·上海·专题练习）口袋里装有五个大小形状都相同，所标数字不同的小球，小球所标的数字分别是，，，2，3，先随机抽取一个球得到的数字记为k，放回后再抽一个球得到的数字记为b，则满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了一次函数的性质．画树状图，共有25个等可能的结果，满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的结果有6个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得： 当时，不经过第四象限， 即当时，不经过第四象限， 画树状图如图： 共有25个等可能的结果，满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的结果有6个， ∴满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的概率为， 故选：D． 【变式8-1】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在分别标有1、2、3、4、6的五张卡片中随机抽取2张卡片，那么抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查利用列表法或画树状图法求概率．正确列出表格或画出树状图分析出抽到所有可能结果共有20种，其中一个是素数一个是合数的共有8种是解题的关键． 先画树状图分析出抽到所有可能结果共有20种，其中一个是素数一个是合数的共有8种，然后由概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图为：    由图可得抽到所有可能结果共有20种，其中一个是素数一个是合数的共有8种， ∴抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数概率为， 故答案为：． 【变式8-2】（23-24八年级下·上海虹口·期末）一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． (1)如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______； (2)如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率； (3)如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 【答案】(1) (2) (3)往箱子里放红球1个，白球1个，摸出白球的概率为 【分析】本题考查了用概率公式求解概率、采用树状图法或列表法列举求解概率以及根据概率求数量的知识，掌握用树状图法或列表法列举求解概率是解答本题的关键． （1）用白球个数除以球的总个数即可； （2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解； （3）设往箱子里放红球x个，白球1个，根据“摸出白球的概率为”建立方程求解检验即可． 【详解】（1）解：摸出的球是白球的概率是； （2）解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为2， 即两次都是摸出白球的概率为：； （3）解：设往箱子里放红球x个，白球1个，根据题意得： ，即 解得：， 经检验，是原方程的解， 往箱子里放红球1个，白球1个，摸出白球的概率为 【考点题型九】游戏的公平性（） 【例9】（20-21六年级上·上海静安）有3个好朋友意外获得一张超级女生演唱会的门票，她们都想去，究竟谁去好呢？小丽对小明和小杰说：“我们来抛硬币，我有两枚硬币，如果两面都朝正就小明去，如果两面都朝反就小杰去，一正一反就我去”你认为这样决定公平吗？为什么？ ，理由： 【答案】 不公平 因为会出现四种结果，而不是两种 【分析】根据同时抛两枚硬币，可能出现四种结果：正正、正反、反正、反反；进而得出三人获胜的可能性，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，会出现四种结果：正正，正反，反正，反反， 小明：1÷4 = ， 小杰：1÷4 = ， 小丽：2÷4 = ∵， ∴不公平； 故答案为：不公平；因为会出现四种结果，而不是两种． 【点睛】此题主要考查了游戏公平性，根据已知得出三人分别获胜的概率是解题关键． 【变式9-1】（2025六年级下·上海·专题练习）李明和刘军玩一个数字游戏，如果右边的转盘指针指向2的整倍数就是李明获胜，如果指针指向3的整倍数就是刘军获胜，请你在右图填上适当的数字，使这个游戏对双方都公平． 【答案】见解析 【分析】此题考查了游戏的公平性，要使这个游戏对双方都公平，那么2的倍数所占的圆的区域就要和3的倍数所占的区域相同，由图可以看出左右的四个面积大小相同，上下的面积大小相同，分别把它们平均分开即可． 【详解】解：2的倍数可填4，8，10；3的倍数可填3，9，15 填法如下： 【变式9-2】（2025六年级下·上海·专题练习）如图是一个游戏转盘，明明和亮亮玩转盘游戏． (1)如果指针指向奇数时，明明获胜；指针指向偶数时，亮亮获胜．谁获胜的可能性大？为什么？ (2)如果指针指向质数时，明明获胜；指针指向合数时，亮亮获胜．谁获胜的可能性大？ (3)你能结合图中的游戏转盘设计一个公平的游戏规则吗？写出你的想法． 【答案】(1)亮亮获胜的可能性大，理由见解析 (2)明明获胜的可能性大，理由见解析 (3)转动转盘，指针指向小于5的数时，明明获胜；指针指向大于5的数时，亮亮获胜；指向5时重新转动 【分析】此题考查了可能性大小的应用、游戏规则的公平性， （1）能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数．在圆盘上2、4、6、8这4个数是偶数，3、5、7这三个数是奇数．偶数的个数大于奇数的个数，则亮亮获胜的可能性大． （2）一个数的因数只有1和它本身，这个数就是质数；一个数的因数除了1和它本身还有其他的数，这个数是合数．圆盘上2、3、5、7是质数，4、6、8是合数，质数的个数比合数多，则明明获胜的可能性大． （3）设计一个公平的游戏就是让数字出现的次数是一样的．则一共有7个数，去掉一个数字是6个数，正好分一半．则可以将5去掉，小于5的数有2、3、4明明获胜，大于5的数有6、7、8亮亮获胜，当出现5的时候重新转动转盘．这样两个人获胜的可能性一样大，就公平了． 【详解】（1）亮亮获胜的可能性大； 因为转盘上奇数有3，5，7共3个，偶数有2，4，6，8共4个，偶数多． （2）明明获胜的可能性大． （3）转动转盘，指针指向小于5的数时，明明获胜；指针指向大于5的数时，亮亮获胜；指向5时重新转动． 【考点题型十】用频率估计概率的综合应用（） 【例10】一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共个，它们除颜色外都相同．小明将盒子中的小球搅拌均匀，从中随机摸出一个小球记下它的颜色后放回盒中，重复这一过程，试验发现摸到红色小球的频率稳定在左右，由此估计盒子中红色小球有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，总个数乘以摸到红色小球的频率稳定值即可．解题的关键是理解：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：由题意知，估计盒子中红色小球有：（个）． 故选：A． 【变式10-1】某口袋里现有12个红球和若干个绿球（两种球除颜色外，其余完全相同），某同学随机的从该口袋里摸出一球，记下颜色后放回，共试验600次，其中有300次是红球，估计绿球个数为（      ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解即可． 【详解】解：设袋中有绿球x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率是解决本题的关键． 【变式10-2】一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他都相同的小球，其中有6个红球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3，可以估计 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，关键在于理解频率与概率的关系，并通过已知条件建立方程求解未知数．本题通过频率估计概率，核心是将频率等同于概率，代入比例关系求解总球数．最终答案需为整数，计算时需注意单位一致性． 【详解】解：根据频率稳定性的原理，红球出现的概率近似为0.3，   红球的概率计算公式为红球数量除以总球数，即，    解得：．   故答案为：20． 【变式10-3】某市林业局为了解某种花卉的移植成活率，对本市这种花卉的移植情况进行了调查统计，并绘制了统计图（如图）．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在_________附近，估计成活概率为_________（精确到）． (2)已知该林业局已经移植这种花卉20000棵，问： ①这批花卉成活的棵数约为多少？ ②如果根据市政规划，这种花卉需要成活90000棵才能满足需求，那么估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①18000棵  ②80000棵 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用20000乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活的频率稳定在附近，估计成活概率为． 故答案为：； （2）解：①（棵）， 答：这种花卉成活率约18000棵． ②（棵）， 答：估计还要移植80000棵． 【考点题型十一】概率在转盘抽奖中的应用（） 【例11】如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了概率和随机事件的概论，根据已知条件，结合指针停在每个扇形的可能性相同，指针停在哪个扇形区域都是随机事件，即可求解． 【详解】解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次也有可能停在3号，故见解错误； 乙：只要指针连续转六次，不一定会有一次停在6号扇形，故见解错误； 丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等，故见解正确； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性都一样大，故见解错误． 综上所述，正确的见解只有丙． 故选：C． 【变式11-1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）五一期间，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是________；（填必然事件、不可能事件或随机事件） (2)转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的概率分别是多少？ (3)如果某顾客获得一次转转盘的机会，则得到购物券的概率和得不到购物券的概率哪个大？ 【答案】(1)不可能事件 (2)转动一次转盘获得50元购物券的概率为，转动一次转盘获得30元购物券的概率为，转动一次转盘获得20元购物券的概率为 (3)得不到购物券的概率大 【分析】本题考查了不可能事件、简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． （1）根据题意可得转动一次转盘不可能获得100元的购物券，由此即可得； （2）先求出转动一次转盘的所有等可能的结果，再分别找出转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的结果，然后利用概率公式计算即可得； （3）先求出转动一次转盘的所有等可能的结果，再分别找出转动一次转盘得到购物券的结果、转动一次转盘得不到购物券的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：∵如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券， ∴转动一次转盘获得100元的购物券是不可能事件， 故答案为：不可能事件． （2）解：∵转动一次转盘共有16种等可能的结果，其中，转动一次转盘获得50元购物券的结果只有1种，转动一次转盘获得30元购物券的结果有2种，转动一次转盘获得20元购物券的结果有4种， ∴转动一次转盘获得50元购物券的概率为， 转动一次转盘获得30元购物券的概率为， 转动一次转盘获得20元购物券的概率为， 答：转动一次转盘获得50元购物券的概率为，转动一次转盘获得30元购物券的概率为，转动一次转盘获得20元购物券的概率为． （3）解：∵转动一次转盘共有16种等可能的结果，其中，转动一次转盘得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种， ∴转动一次转盘得到购物券的概率为，得不到购物券的概率为， ∵， ∴得不到购物券的概率大． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$