专题07 成对数据的统计分析（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题07 成对数据的统计分析 题型概览 题型01 线性回归方程 题型02 残差、相关系数、决定系数问题 题型03 等高堆积条形图问题 题型04 独立性检验 题型05 非线性回归方程 线性回归方程题型01 1．（24-25高二上·山东日照·期末）已知之间的一组数据： 1 2 3 4 5.5 4 3.5 3 若与满足回归方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山东威海·期末）由样本数据点的散点图可知，变量与线性相关，求得的回归直线方程为，且.若去除两个数据点和，则剩余样本数据点纵坐标的平均值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（22-23高二下·山东威海·期末）某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前年的数据为，    ，，，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第年的生产利润为（    ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 4．（22-23高二下·山东青岛·期末）某工厂经过节能降耗技术改造后，在生产其产品的过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的一些数据如下表所示： x 2 3 4 5 6 y 5 6 m 19 25 已知根据所给数据得到的y关于x的经验回归方程为，对应的经验回归直线为l.现发现表中有个数据看不清，且用m来表示，则下列说法正确的为（    ） A．看不清的数据 B．l过点 C．据该模型可以预测：产量为8吨时，相应的生产能耗为33.2吨 D．l的斜率5.3可以解释为：产量每增加1吨，相应的实际生产能耗就一定能增加5.3吨 5．（23-24高二下·山东菏泽·期末）新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分.从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据.由下表可知其线性回归方程为，则表中的值为（    ） 月份代码 1 2 3 4 5 碳酸锂价格（万元/） 0.5 1 1.4 1.5 A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 6．（多选题）（23-24高二下·山东菏泽·期末）假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为（万辆），其中年份对应的代码为，如表， 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万辆） 4 9 14 18 25 根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述 令变量，且变量与变量满足一元线性回归模型则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．2025年的年销售量约为34.4万辆 7．（23-24高二下·山东泰安·期末）2023年全国竞走大奖赛，暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛.重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录.某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 (1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步频为0.30的残差. 参考数据：，.参考公式：，. 题型02 残差、相关系数、决定系数问题 8．（23-24高二下·山东聊城·期末）在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（    ） A．残差图越宽 B．残差平方和越小 C．决定系数越小 D．相关系数越大 9．（23-24高二下·山东枣庄·期末）相关变量，的散点图如下.若剔除点后，剩下数据得到的统计中，较剔除之前值变大的是（    ） A．的平均值 B．相关系数 C．决定系数 D．残差的平方和 10．（23-24高二下·山东东营·期末）已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（    ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A．0.2 B． C．0.4 D． 11．（22-23高二下·山东菏泽·期末）对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 12．（多选题）（22-23高二下·山东济宁·期末）下列结论中正确的是（    ） A．样本相关系数的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强 B．样本相关系数的绝对值越接近0，则成对样本数据的线性相关程度越弱 C．已知变量，具有线性相关关系，在获取的成对样本数据，，…，中，，，…，和，，…，的均值分别为和，则点必在其经验回归直线上 D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好 13．（多选题）（23-24高二下·山东聊城·期末）对具有相关关系的两个变量和进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本数据，则下列说法正确的是（    ） A．若两变量、具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点 B．变量、的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强 C．用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D．用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为 14．（23-24高二下·山东枣庄·期末）近年来骑行成为热门的户外运动方式之一.某同学近来5次骑行期间的身体运动参数评分与骑行距离（单位：公里）的数据统计如下表： 身体运动参数评分 2 4 6 8 10 骑行距离（公里） 38 37 32 33 30 (1)根据上表的样本数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并推断身体运动参数评分和骑行距离的相关程度； (2)根据这些成对数据，建立骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程.并估计当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离. 参考数据和参考公式： ①； ②对于一组数据（），样本相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 15．（23-24高二下·山东淄博·期末）随机选取变量和变量的对观测数据，选取的第对观测数据记为，其数值对应如下表所示： 编号 计算得：，，，，． (1)求变量和变量的样本相关系数（小数点后保留位），判断这两个变量是正相关还是负相关，并推断它们的线性相关程度； (2)假设变量关于的一元线性回归模型为. （ⅰ）求关于的经验回归方程，并预测当时的值； （ⅱ）设为时该回归模型的残差，求、、、、的方差． 参考公式：，，． 16．（23-24高二上·山东日照·期末）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点6天的使用单车用户的数据如下，用两种模型①；②分别进行拟合，得到相应的回归方程，，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值： 日期x（天） 1 2 3 4 5 6 用户y（人） 13 22 43 45 55 68 模型①的残差值 －1.1 －2.8 7.5 －1.2 －1.9 0.4 模型②的残差值 0.3 －5.4 4.3 －3.2 －1.6 3.8 (1)残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由； (2)残差绝对值大于3的数据认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后，重新求出（1）中所选模型的回归方程. （参考公式：，） 等高堆积条形图问题题型03 17．（23-24高二下·山东枣庄·期末）学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、女生各人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（    ） 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A．参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多 B．全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多 C．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 D．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 18．（22-23高二下·山东枣庄·期末）某中学为调查本校学生“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，采用简单随机抽样的方法，从该校分别抽取了男生和女生各50名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图：    (1)根据已知条件，将下列列联表补充完整： 性别 保护动物意识 合计 强 弱 男 50 女 50 合计 100 (2)根据（1）表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生保护动物意识的强弱与性别是否有关． 附：，． 0.005 7.879 题型04 独立性检验 19．（多选题）（22-23高二下·山东聊城·期末）年月日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．某学校调查学生对神舟十六号的关注与性别是否有关，随机抽样调查了名学生，进行独立性检验，计算得到，依据表中给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（    ） 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．零假设对神舟十六号的关注与性别独立 B．根据小概率值的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别无关 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别不独立，此推断犯错误的概率不大于 D．根据小概率值的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别独立 20．（23-24高二下·山东滨州·期末）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 21．（24-25高二上·山东日照·期末）为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 (1)在犯错误概率不超过的前提下，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？ (2)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为，求的分布列． 参考数据：，其中． 附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 22．（23-24高二下·山东青岛·期末）氨基酸在茶叶中约占1%到4%的含量，为研究春夏季节与茶叶氨基酸含量是否有关联，抽取90份样品列表如下： 氨基酸 春季 夏季 含量高 30 20 含量低 15 25 (1)根据小概率值的独立性检验，分析春夏季节对茶叶氨基酸含量是否有影响？ (2)随机抽取1000份茶叶，氨基酸含量近似服从正态分布，其中恰有23份氨基酸含量不小于0.03. ①求； ②如果茶叶中氨基酸含量小于1.5%，则该份茶叶为乙等产品，求这批茶叶中的乙等产品约有多少份. 附：Ⅰ.参考公式：，其中. 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 Ⅱ.对任何一个正态分布服从来说，通过转化为标准正态分布服从，从而查标准正态分布表得到 可供查阅的（部分）标准正态分布表： 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 0.841 0.885 0.919 0.945 0.964 0.977 0.986 0.992 0.995 23．（23-24高二下·山东聊城·期末）某餐馆为了解顾客对某一新菜品的喜好程度是否与年龄有关，随机调查了品尝过该菜品的100位顾客，得到下面列联表： 顾客 对该菜品的喜好程度 合计 喜欢 不喜欢 青年人 35 15 50 中老年人 25 25 50 合计 60 40 100 (1)根据上表，分别估计青年人、中老年人喜欢该菜品的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断顾客对该菜品的喜好程度与年龄是否有关联. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 24．（23-24高二下·山东烟台·期末）某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分100分，得分80及以上者获奖.为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了50名学生作为样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下： 成绩 学生人数 6 10 24 7 3 选修读课程人数 0 3 9 4 4 (1)根据以上统计数据完成下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为学生获奖与选修阅读课程有关联； 获奖 没有获奖 合计 选修阅读课程 不选阅读课程 合计 (2)在上述样本的获奖学生中随机抽取3名学生，设3人中选修阅读课程人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 25．（23-24高二下·山东菏泽·期末）某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的列联表. 性别 就餐人数 合计 南餐厅 北餐厅 男 25 25 50 女 20 30 50 合计 45 55 100 (1)对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？ (2)若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率. 附：； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 题型05 非线性回归方程 26．（22-23高二下·山东枣庄·期末）在对一组成对样本数据进行分析时，从已知数据了解到预报变量随着解释变量的增大而减小，且大致趋于一个确定的值．则下列拟合函数中符合条件的是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二下·山东青岛·期末）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中，均为大于0的常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 28．（23-24高二下·山东泰安·期末）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（℃）有关.现收集了某地关于红蜘蛛的平均产卵数和平均温度的7组数据，得到如下散点图. (1)根据散点图，判断模型与（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数与平均温度的回归分析模型；（给出判断即可，不必说明理由） (2)由（1）的判断结果，求出关于的经验回归方程； (3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在以下的年数占，对柚子的产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在至的年数占，柚子的产量会下降；平均气温在以上的年数占，柚子的产量会下降.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出多种防害措施供果农选择.在每年价格不变且无虫害的情况下，某果园的年产值为万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益=年产值一防害费用）为目标，请为果农从以下个方案中选择最佳防害方案，并说明理由. 方案1：选择防害措施，可以防治各种气温的红蜘蛛虫害且不减产，费用是18万元； 方案2：选择防害措施，可以防治至的红蜘蛛虫害，但无法防治以上的红蜘蛛虫害，费用是万元； 方案3：不采取防虫害措施. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， lny 5215 17713 714 27 81.3 3.6 29．（23-24高二下·山东威海·期末）某电池厂对新研发的一款电池使用情况进行了9次测试.每使用1小时测量一次剩余电量，得到剩余电量(单位:库仑)与使用时间(单位:小时)的数据如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.77 2 1.92 1.36 1.12 1.09 0.74 0.68 0.53 (1)现从9组数据中选出7组数据作分析，其中剩余电量不足0.8的数据组数记为，求出的分布列和数学期望； (2)由散点图发现关于的回归方程类型为，设，利用表格中的9组数据回答下列问题: (i)计算与之间的相关系数(精确到0.01)； (ii)求关于的回归方程(a，b精确到0.01). 参考数据:. 45 -15.55 1.55 60 12.21 -11.98 2.43 4.38 其中，. 附:对于一组数据，相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:，. 30．（22-23高二下·山东德州·期末）2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021-2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.同时为了推广新能源替代传统非绿色能源，除了财政补贴、税收优惠等激励性政策外，可间接通过前期技术研发支持等政策引导能源发展方向.某企业多年前就开始进行新能源汽车方面的研发，现对近10年的年技术创新投入和每件产品成本（，2，3，…，10）的数据进行分析，得到如下散点图，    并计算得：，，，，. (1)根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程； (2)已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大?（注：年利润年销售额年投入成本） 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 31．（22-23高二下·山东滨州·期末）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1-10分别对应年份2013-2022．    根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中． (1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型？并说明理由； (2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入． 附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 1．（23-24高二下·山东菏泽·期末）关于线性回归的描述，下列命题错误的是（    ） A．回归直线一定经过样本点的中心 B．残差平方和越小，拟合效果越好 C．决定系数越接近1，拟合效果越好 D．残差平方和越小，决定系数越小 2．（多选题）（23-24高二下·山东临沂·期末）下列说法正确的是（    ） A．将一组数据的每一个数据减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 C．设随机变量，，则 D．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 3．（多选题）（23-24高二下·山东烟台·期末）已知某两个变量具有线性相关关系，由样本数据确定的样本经验回归方程为，且.若剔除一个明显偏离直线的异常点后，利用剩余9组数据得到修正后的经验回归方程为，由修正后的方程可推断出（    ） A．变量的样本相关系数为正数 B．经验回归直线恒过 C．每增加1个单位，平均减少1.6个单位 D．样本数据对应的残差的绝对值为0.2 4．（多选题）（23-24高二上·山东日照·期末）下列结论中正确的是（    ） A．若变量与之间的相关系数，则与正相关 B．由样本数据得到的线性回归方程必过点 C．已知，，则 D．已知随机变量，则 5．（多选题）（23-24高二下·山东济南·期末）某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为，计算其相关系数为，决定系数为．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为，相关系数为，决定系数为．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·山东聊城·期末）由数据可得关于的经验回归方程为，若，则 . 7．（22-23高二下·山东菏泽·期末）根据下面的数据： 1 2 3 4 31.6 52.5 72 91.9 求得关于的回归直线方程为，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为 . 8．（22-23高二下·山东枣庄·期末）已知变量x和y的统计数据如下表： 9 9.5 10 10.5 11 11 10 8 6 5 若由表中数据得到经验回归直线方程为，则时的残差为 ． 9．（23-24高二上·山东德州·期末）19世纪中期，英国著名的统计学家弗朗西斯·高尔顿搜集了1078对夫妇及其儿子的身高数据，发现这些数据的散点图大致呈直线状态，即儿子的身高y（单位：cm）与父母平均身高x（单位：cm）具有线性相关关系，通过样本数据，求得回归直线方程，则下列结论中正确的是 ． ①回归直线方程至少过，，…，中的一个点； ②若，，则回归直线过点； ③若父母平均身高增加1cm，则儿子身高估计增加0.516cm； ④若样本数据所构成的点都在回归直线上，则线性相关系数． 10．（23-24高二下·山东临沂·期末）某手机App（应用程序）公司对一大型小区居民开展5个月的调查活动，了解使用这款App的居民的满意度，统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意人数 110 95 90 85 70 (1)求不满意人数与月份之间的经验回归方程，并预测该小区8月份对这款App不满意的人数； (2)公司为了调查对这款App是否满意与性别的关系，工作人员从使用这款App的居民中随机调查60人，得到下表： 性别 满意度 满意 不满意 男性 15 15 女性 21 9 根据小概率值的独立性检验，能否认为对这款App是否满意与性别有关联？ 附： ，． ，． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 11．（23-24高二下·山东济南·期末）长时间近距离看电子产品会影响视力.泉泉调查了某校1000名学生，发现40%的学生近视；而该校20%的学生每天近距离看电子产品时间超过1h，这些人的近视率为50%. (1)请完成下列2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断近视与每天近距离看电子产品时间超过1h是否有关联； 近视 每天近距离看电子产品时间超过1h 合计 是 否 是 否 合计 1000 (2)研究发现，近视儿童每年眼轴的增速要大于非近视儿童，长时间近距离看电子产品会导致眼轴快速增长，最终影响视力.高度近视者的眼轴长度一般大于26mm.下图是每天近距离看电子产品时间超过1h近视儿童和非近视儿童6~16岁的眼轴生长发育散点图. ①根据散点图判断，和哪一个更符合每天近距离看电子产品时间超过1h的近视儿童的眼轴生长发育情况？（给出判断即可，不必说明理由） ②根据①中的判断结果，建立该类近视儿童眼轴长度y（单位：mm）关于年龄x（，且）的经验回归方程； ③根据②中的结果，估计该类近视儿童开始高度近视时的年龄.（结果保留整数） 参考公式及数据：（ⅰ），， α 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 （ⅱ）回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； （ⅲ）散点图1中，；散点图2中，. 12．（23-24高二下·山东滨州·期末）某景点在2024年2月10日至24日(正月初一至正月十五)期间，为吸引游客，共举行了15场精彩的烟花秀节目．前9场的观众人数(单位：万)与场次的统计数据如下表所示： 场次编号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 观众人数y(单位：万) 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 经计算可得：， ，． (1)通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)； (2)若该烟花秀节目分A、B 两个等次的票价，该节目组织者随机调查了某场烟花秀节目100位观众购买A、B 两个等次票的情况，其中 60位男性观众中有 15 位观众购买了 B 等票；40位女性观众中有5位观众购买了 B 等票．请根据以上数据，将2×2列联表补充完整，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为观众的性别与购票情况有关联？ 性别 购买情况 合计 购买 A 等票 购买 B 等票 男性观众 60 女性观众 40 合计 100 附： ①对于一组数据((x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(xₙ，yₙ)，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，； ② 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 13．（23-24高二下·山东青岛·期末）甲、乙两台机床生产同种产品，产品质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床的产品质量，随机抽查了两台机床各生产的100件产品，统计数据如下面的不完整的列联表（单位：台）. 一级品 二级品 合计 甲机床 100 乙机床 合计 60 (1)求的值，完成列联表，试根据小概率的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? (2)分别从样本中筛选出5件甲机床和3件乙机床生产的产品，这8件产品中有2件甲机床生产的一级品和2件乙机床生产的一级品，现从这8件产品中任选3件甲机床生产的产品和2件乙机床生产的产品进行进一步检测，记为这5件产品中一级品的件数，求的分布列及数学期望. 附参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 … 2.706 3.841 6.635 … 14．（23-24高二下·山东淄博·期末）近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为. (1)随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表： 成年男性 成年女性 合计 养宠物 38 60 98 不养宠物 62 40 102 合计 100 100 200 依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关? (2)记2018-2023年的年份代码x依次为中国宠物经济产业年规模为y（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y，关于x的回归方程为，且. 求相关系数r并判断该回归方程是否有价值. 参考公式及数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 回归方程其中，相关系数；若， 则认为y与x有较强的相关性. 其中 . 15．（23-24高二下·山东东营·期末）某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且． (1)求和； (2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并分析能否有的把握认为学生期末统考中数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关； 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格A 建立B 未建立 合计 (3)现从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法抽取6人座谈，再从这6人中随机抽取3人了解建立错题本情况，记建立个性化错题本的学生人数为X，求X的分布列及期望． 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （附：，．） 16．（23-24高二上·山东日照·期末）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战略举措．随着国务院《新能源汽车产业发展规划（2021—2035）》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力．国产某品牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市年前几个月的销售量（单位：辆），用表示第月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格： 1 2 3 4 5 6 7 28 32 37 45 47 52 60 (1)经研究，、满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并根据此方程预测该店月份的成交量（、按四舍五入精确到整数）； (2)该市某店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”、“二等奖”和“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励千元；“二等奖”奖励千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，获得一份纪念品的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望． 参考数据及公式：，，． 17．（22-23高二下·山东聊城·期末）天气越来越热，某冷饮店统计了近六天每天的用电量和对应的销售额，目的是了解二者之间的关系，数据如下表： 用电量（千瓦时） 4 7 8 9 14 12 销售额（百元） (1)该冷饮店做了一次摸奖促销活动，在一个口袋里放有大小、质地完全相同的个红色雪花片和个白色雪花片．若有放回地从口袋中每次摸取个雪花片，连续摸两次，两次摸到的雪花片颜色不同定为一等奖，两次摸到的雪花片颜色相同定为二等奖，试比较中一等奖和中二等奖的概率的大小． (2)已知两个变量与之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，据此能否预测明年同时期用电量为千瓦时的销售额？如果能，计算出结果；如果不能，请说出理由． 参考公式：，． 相关数据：，． 18．（22-23高二下·山东菏泽·期末）电商的兴起，促进了我市经济的发展.已知某电商平台对其牌下一家专营店在2022年3月至7月的营业收入（单位：万元）进行统计，得到以下数据： 月份 3 4 5 6 7 营业收入 10 12 11 12 20 (1)依据表中给出的数据，用样本相关系数说明营业收入与月份的相关程度； (2)试用最小二乘法求出营业收入与月份的一元线性回归方程，并预测当时该专营店的营业收入. （，） ，.以上各式仅供参考） 19．（22-23高二下·山东济宁·期末）为研究在校学生每天玩手机时间是否大于1小时和学生近视之间的关联性，某视力研究机构采取简单随机抽样的方法，调查了2000名在校学生，得到成对样本观测数据，样本中有的学生近视，有的学生每天玩手机超过1小时，而每天玩手机超过1小时的学生近视率为． (1)根据上述成对样本观测数据，完成如下列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析每天玩手机时间是否超过1小时会不会影响视力． 每天玩手机时间 视力情况 合计 近视 不近视 超过1小时 不足1小时 合计 (2)从近视的学生中随机抽取8人，其中每天玩手机时间超过1小时的2人，不超过1小时的6人，现从8人中随机选出3人，设3人中每天玩手机时间超过1小时的学生人数为，求随机变量的分布列． 参考公式： 参考数据：下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20．（22-23高二下·山东青岛·期末）某疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了1800名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的，男性患A型疾病的人数为男性患者人数的，女性患A型疾病的人数是女性患者人数的. (1)根据所给信息完成下列列联表： 性别 疾病类型 合计 A型 B型 男 女 合计 (2)基于（1）中完成的列联表，依据小概率值的独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关? (3)某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为9元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果第一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中1人用于接种疫苗的费用为，求. 附：， 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21．（22-23高二下·山东泰安·期末）攀岩是一项集健身，娱乐，竞技于一身的极限运动，被称为“峭壁上的芭蕾”．某攀岩俱乐部为了解攀岩爱好者对此项运动的了解程度，进行了一次攀岩知识竞赛（满分10分），为得分在6分以上（含6分）的爱好者颁发了荣誉证书．已知参加本次竞赛的攀岩爱好者共有50人，其中获得荣誉证书的女攀岩爱好者有24人，所有男攀岩爱好者的竞赛成绩如下： 10，5，9，8，6，7，4，8，3，4，8，7，5，9，2，10，8，9，7，8，9，10 (1)根据所给数据，完成下面列联表； 性别 荣誉证书 合计 未获得 获得 男 女 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为获得荣誉证书与性别有关联？ (3)如果把（1）中列联表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断获得荣誉证书与性别之间的关联性，结论还一样吗？请说明理由． 附：，其中． α 0.1 0.01 0.001 22．（22-23高二下·山东泰安·期末）某水果店对某个新品种水果进行试销，需了解试销价（单位：元）对销售量y（单位：件）的影响情况，现得到5组销售数据，并对得到的数据进行初步处理，得到下面的散点图．    (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与的关系，请用样本相关系数加以说明；（精确到0.01） (2)求关于的经验回归方程． 参考公式：经验回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，样本相关系数， 参考数据： 23．（22-23高二下·山东青岛·期末）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良，为了检验甲、乙两种疗法的效果差异，采用有放回简单随机抽样的方法抽取了100名患者，部分统计数据如下表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 48 60 乙 18 合计 100 (1)请将上表补充完整，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析疗法与疗效是否有关联？ 附：，其中n＝a＋b＋c＋d. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)从100名患者中按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取10名，从这10人中选取3人参加免费体检，设免费体检者中治愈的人数为X，求X的分布列与数学期望. 24．（22-23高二下·山东青岛·期末）近年来，各种类型的网约车服务在我国各城市迅速发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在某地的发展情况，某调查机构从该地抽取了6个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数x，y，经过统计分析，它们满足最小二乘法，且y关于x的经验回归方程为． (1)预测当A指标数为52时，B指标数的估计值． (2)试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若，则线性相关程度较强）． 附：参考数据：． 相关系数． 25．（22-23高二下·山东滨州·期末）为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 平均每天户外体育锻炼的时间（分钟） 总人数 10 18 22 25 20 5 规定：将平均每天户外体育锻炼时间在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”． (1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？ 户外体育锻炼不达标 户外体育缎练达标 合计 男 女 10 55 合计 (2)从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； (3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率. 参考公式：，其中． 参考数据：（独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 26．（23-24高二下·山东临沂·期末）2022年6月5日是世界环境日，十三届全国人大常委会第三十二次会议表决通过的《中华人民共和国噪声污染防治法》今起施行.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度（单位：）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图： (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归模型？（能给出判断即可，不必说明理由） (2)求声音强度关于声音能量的非线性经验回归方程（请使用题后参考数据作答）； (3)假定当声音强度大于45dB时，会产生噪声污染，城市中某点处共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.已知点处的声音能量等于与之和，请根据（2）中的非线性经验回归方程，判断点处是否受到噪声污染，并说明理由. 参考数据：，，令，有，， ，，， ，，，. 27．（23-24高二下·山东临沂·期末）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京隆重开幕，这大大激发了国人对冰雪运动的关注.为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，现随机抽取该城市50人进行调查统计，得到如下列联表： 关注冰雪运动 不关注冰雪运动 男 20 10 女 10 10 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为性别对关注冰雪运动有明显影响； (2)此次冬奥会共设七个大项，其中滑雪、雪车、雪橇、冬季两项（滑雪加射击两者结合）四大项为雪上运动项目，滑冰、冰球、冰壶三大项为冰上运动项目.小明想从中挑选三个大项观看比赛，设挑选的三个大项中含雪上运动项目的数量为，求的分布列与期望. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 28．（23-24高二下·山东滨州·期末）随着夏季的来临，遮阳帽开始畅销，某商家为了解某种遮阳帽如何定价才可以获得最大利润，现对这种遮阳帽进行试销售.统计后得到其单价（单位：元）与销量（单位：顶）的相关数据如表： 单价（元） 30 35 40 45 50 日销售量（顶） 140 130 110 90 80 (1)已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的经验回归方程； (2)若每顶帽子的成本为10元，试销售结束后，请利用（1）中所求的经验回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大？（结果保留到整数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：，. 29．（23-24高二下·山东济宁·期末）2021年9月，山东省政府办公厅印发《山东省电动自行车管理办法》（以下简称《办法》），自2022年5月1日起施行.《办法》的第十九条第三款规定：驾乘电动自行车人员规范佩戴安全头盔.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的行为.某市为贯彻《办法》精神，加强对市民的安全教育，自2022年5月1日起，在该市某主干路口连续监控5周，每周抓拍到驾乘电动自行车人员未规范佩戴安全头盔的统计数据如下表： 周数 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 周数序号x 1 2 3 4 5 未规范佩戴头盔人数y 1150 1000 900 750 600 (1)请利用所给数据求未规范佩戴头盔人数y与周数序号x之间的经验回归方程； (2)利用（1）中建立的经验回归方程估算该路口第6周未规范佩戴头盔的人数. 参考数据：， 参考公式：，. 30．（23-24高二下·山东枣庄·期末）某公司对其产品研发的年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表： x 1 2 3 4 5 y 1.5 2 3.5 8 15 (1)求变量x和y的样本相关系数r（精确到0.01），并推断变量x和y的线性相关程度（参考：若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；如果，则线性相关程度较弱）； (2)求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程； (3)当公司对其产品研发的年投资额为600万元时，估计产品的年销售量． 参考公式：对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分别为和； 称为变量x和y的样本相关系数； 线性回归方程中，，； 参考数据：． 31．（23-24高二下·山东淄博·期末）对某品牌机电产品进行质量调查，共有“擦伤、凹痕、外观”三类质量投诉问题．其中保质期内的投诉数据如下： 擦伤 凹痕 外观 合计 保质期内 1 保质期后的投诉数据如下： 擦伤 凹痕 外观 合计 保质期内 1 (1)若100项投诉中，保质期内60项，保质期后40项．依据小概率值的独立性检验，能否认为凹痕质量投诉与保质期有关联？ (2)若投诉中，保质期内占64%，保质期后占36%．设事件A：投诉原因是产品外观，事件B：投诉发生在保质期内． （ⅰ）计算，并判断事件A，B是独立事件吗？ （ⅱ）“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率大”，这种说法是否成立？并给出理由． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ，． 32．（23-24高二下·山东青岛·期末）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．统计数据如下面列联表： 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 92 96 188 不合格品 8 4 12 总计 100 100 200 (1)依据的独立性检验，能否认为产品的包装合格与流水线的选择有关联？ 附：，其中． 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)从抽取的200件产品中随机任取两件，记“这两件产品中至少一件为合格品”为事件B，记“这两件产品均来自甲流水线”为事件A，求； (3)公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行不合格品情况检查分析，在x（单位：百件）件产品中，得到不合格品数量y（单位：件）的情况汇总如下表所示： （百件） 1 4 7 8 10 （件） 2 14 24 35 40 求y关于x的经验回归方程，并预测一小时生产2000件时的不合格品数（精确到1）． 附：；． 33．（23-24高二下·山东青岛·期末）为治疗病毒引起的疾病，某医药公司研发了一种新药，为了解的药效，进行“双盲”对比试验，统计得到如下数据列联表： 使用药人数 未使用药 总计 治愈人数 未治愈人数 总计 （1）依据的独立性检验，能否认为使用药与治愈病毒引起的疾病有关联？ （2）假设该药的治愈率为，该公司生产了一批该药共份赠予某医院，该医院对于赠药有这样的接受规定：随机选择份该药给名患者试用，如果治愈患者数量少于名，则拒绝接受整批药物.求该批药物被拒绝的概率； （3）已知该地区某医院收治的（，）名病毒感染者使用该药治疗，需要通过被治疗者血液样本检测后确定是否治愈，若样本为阴性说明已经治愈，若样本为阳性说明未治愈.如果将样本混合后检测为阴性则说明每份均为阴性，如果将样本混合后检测为阳性则说明其中至少一份样本为阳性，样本之间是否呈阳性相互独立.假设该药治愈的概率.现将份样本均分成两组进行检测，若任何一组为阳性则对该组每份逐一检测.当时，预测检测次数是否小于次？ 附：参考公式及数据： ①，. ② 34．（23-24高二下·山东济宁·期末）新冠疫情对人们的生产生活造成了严重的伤害，在国家和人民的共同努力下，疫情得到了有效遏制，人们的生活步入正轨.某企业为了刺激经济复苏､增加经济收益连续对生产增加投入.该企业连续5个月的生产投入(十万元)与收益(十万元)的数据统计如下表： 生产投入 4 6 8 10 12 收益 根据散点图的特点，可认为样本点分布在曲线的周围，据此对数据进行了一些初步处理，如下表： 其中 （1）请根据表中数据，建立关于的回归方程(保留两位小数)； （2）根据所建立的回归方程，若该企业在下一月生产投入15(十万元)，则企业的收益估计有多少？(保留两位小数)附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 35．（23-24高二下·山东枣庄·期末）某高中学校为了解高二年级学生在2021年高考和中考期间居家学习的自制力，随机抽取了100名学生，请他们的家长（每名学生请一位家长）对学生打分，满分为10分．下表是家长所打分数的频数统计： 分数 5 6 7 8 9 10 频数 5 15 20 25 20 15 （1）求家长所打分数的平均值； （2）在抽取的100位学生中，男同学共50人，其中打分不低于8分的男同学为20人，填写列联表．若打分不低于8分认为“自制力强”，打分低于8分认为“自制力一般”，依据小概率值的独立性检验，判断高二年级学生的性别与自制力的强弱是否有关联？如果结论是性别与自制力的强弱有关联，请解释它们如何相互影响． 附： 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 性别 自制力 合计 不小于8分 小于8分 男 20 30 50 女 合计 36．（23-24高二下·山东威海·期末）2021年3月17日，中宣部办公厅印发《关于做好2021年全民阅读工作的通知》，提出了2021年全民阅读工作的总体要求，部署了重点工作及组织保障等措施. 某地为了了解市民的阅读情况，组织相关调查机构围绕“阅读量多少”与“幸福感强弱”进行问卷调查，得到部分调查数据如下： 幸福感强 幸福感弱 总计 阅读量多 54 阅读量少 36 总计 90 60 150 现从被调查的“阅读量多”的人群中任取人，取到“幸福感强”的人的概率为. （Ⅰ）完成上述列联表，并判断：在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关吗？ （Ⅱ）从阅读量多且幸福感强的人群中抽取名男性，名女性组成“阅读推广宣讲团”，在某次活动中，将从这人中随机选取人为宣讲员. （ⅰ）当时，求男性宣讲员人数的分布列； （ⅱ）若男性宣讲员人数的期望至少为2人，求的最小值. 参考公式： 参考数据： 42 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 成对数据的统计分析 题型概览 题型01 线性回归方程 题型02 残差、相关系数、决定系数问题 题型03 等高堆积条形图问题 题型04 独立性检验 题型05 非线性回归方程 线性回归方程题型01 1．（24-25高二上·山东日照·期末）已知之间的一组数据： 1 2 3 4 5.5 4 3.5 3 若与满足回归方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由表可得， 因为线性回归方程过样本中心点， 则，解得. 故选：B. 2．（23-24高二下·山东威海·期末）由样本数据点的散点图可知，变量与线性相关，求得的回归直线方程为，且.若去除两个数据点和，则剩余样本数据点纵坐标的平均值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】， 则除去两个数据点和后的平均值为. 故选：C 3．（22-23高二下·山东威海·期末）某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前年的数据为，    ，，，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第年的生产利润为（    ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【答案】D 【解析】，， 所以，所以， 当时，亿元. 故选：D 4．（22-23高二下·山东青岛·期末）某工厂经过节能降耗技术改造后，在生产其产品的过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的一些数据如下表所示： x 2 3 4 5 6 y 5 6 m 19 25 已知根据所给数据得到的y关于x的经验回归方程为，对应的经验回归直线为l.现发现表中有个数据看不清，且用m来表示，则下列说法正确的为（    ） A．看不清的数据 B．l过点 C．据该模型可以预测：产量为8吨时，相应的生产能耗为33.2吨 D．l的斜率5.3可以解释为：产量每增加1吨，相应的实际生产能耗就一定能增加5.3吨 【答案】B 【解析】对于选项A：由题意可得：，则， 可得，解得，故A错误； 对于选项B：因为经验回归直线l过样本中心点，即，故B正确； 对于选项C：令时，则， 所以据该模型可以预测：产量为8吨时，相应的生产能耗为34.2吨，故C错误； 对于选项D：l的斜率5.3可以解释为：产量每增加1吨，相应的实际生产能耗大约增加5.3吨，并不是一定，故D错误； 故选：B. 5．（23-24高二下·山东菏泽·期末）新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分.从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据.由下表可知其线性回归方程为，则表中的值为（    ） 月份代码 1 2 3 4 5 碳酸锂价格（万元/） 0.5 1 1.4 1.5 A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】B 【解析】由表中数据可得，， 将代入解得. 故选：B. 6．（多选题）（23-24高二下·山东菏泽·期末）假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为（万辆），其中年份对应的代码为，如表， 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万辆） 4 9 14 18 25 根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述 令变量，且变量与变量满足一元线性回归模型则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．2025年的年销售量约为34.4万辆 【答案】AC 【解析】由可得：， 同理由，可得， 根据公式，故A正确；B错误； 由表格中数据可得：， ， ， 所以， 由于，所以与的回归方程必过原点，， 又由于，代入得： ，整理得：，故C正确； 当，即表示2025年，此时， 所以2025年的年销售量约为万辆，故D错误； 故选：AC. 7．（23-24高二下·山东泰安·期末）2023年全国竞走大奖赛，暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛.重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录.某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 (1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步频为0.30的残差. 参考数据：，.参考公式：，. 【解析】（1）依题意可得，， ， ， 所以回归直线方程为， 将代入得，解得，所以当步长为时，步频约是秒. （2）根据（1）得到，； 所以步长为0.30残差和为. 题型02 残差、相关系数、决定系数问题 8．（23-24高二下·山东聊城·期末）在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（    ） A．残差图越宽 B．残差平方和越小 C．决定系数越小 D．相关系数越大 【答案】B 【解析】残差图越宽，模型的拟合效果越差，故A错误； 残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B正确； 决定系数越小，说明模型的拟合效果越差，故C错误； 相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故D错误； 故选：B 9．（23-24高二下·山东枣庄·期末）相关变量，的散点图如下.若剔除点后，剩下数据得到的统计中，较剔除之前值变大的是（    ） A．的平均值 B．相关系数 C．决定系数 D．残差的平方和 【答案】C 【解析】由散点图可知，去掉点后，，的线性相关加强，且是负相关， 故样本的相关系数变小，决定系数变大，残差平方和变小，样本数据y的平均值也变小. 故选：C 10．（23-24高二下·山东东营·期末）已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（    ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A．0.2 B． C．0.4 D． 【答案】D 【解析】因为，， 则样本中心点为，代入可得， 所以回归直线方程为， 当时，， 所以时的残差为. 故选：D 11．（22-23高二下·山东菏泽·期末）对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是正相关，相关系数大于0， 图2和图4是负相关，相关系数小于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于1，接近于， 由此可得． 故选:A. 12．（多选题）（22-23高二下·山东济宁·期末）下列结论中正确的是（    ） A．样本相关系数的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强 B．样本相关系数的绝对值越接近0，则成对样本数据的线性相关程度越弱 C．已知变量，具有线性相关关系，在获取的成对样本数据，，…，中，，，…，和，，…，的均值分别为和，则点必在其经验回归直线上 D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好 【答案】ABC 【解析】选项A，B，由样本相关系数的意义可知， 样本相关系数的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强， 样本相关系数的绝对值越接近0，则成对样本数据的线性相关程度越弱 故选项A，B正确; 点必在其经验回归直线上, 故选项C正确; 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好，故选项D错误； 故选：ABC. 13．（多选题）（23-24高二下·山东聊城·期末）对具有相关关系的两个变量和进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本数据，则下列说法正确的是（    ） A．若两变量、具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点 B．变量、的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强 C．用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D．用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为 【答案】BCD 【解析】对于A选项，若两变量、具有线性相关关系，则回归直线过样本中心点，但不一定过样本点，A错； 对于B选项，若变量、的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强，B对； 对于C选项，用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，C对； 对于D选项，用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为，D对. 故选：BCD. 14．（23-24高二下·山东枣庄·期末）近年来骑行成为热门的户外运动方式之一.某同学近来5次骑行期间的身体运动参数评分与骑行距离（单位：公里）的数据统计如下表： 身体运动参数评分 2 4 6 8 10 骑行距离（公里） 38 37 32 33 30 (1)根据上表的样本数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并推断身体运动参数评分和骑行距离的相关程度； (2)根据这些成对数据，建立骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程.并估计当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离. 参考数据和参考公式： ①； ②对于一组数据（），样本相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【解析】（1）由表中的数据可得，， 所以 ， ， ， 所以， 因为接近于1，所以身体运动参数评分和骑行距离的相关程度很强； （2）由（1）可知， 所以， 所以， 当时，， 所以当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离约为29公里. 15．（23-24高二下·山东淄博·期末）随机选取变量和变量的对观测数据，选取的第对观测数据记为，其数值对应如下表所示： 编号 计算得：，，，，． (1)求变量和变量的样本相关系数（小数点后保留位），判断这两个变量是正相关还是负相关，并推断它们的线性相关程度； (2)假设变量关于的一元线性回归模型为. （ⅰ）求关于的经验回归方程，并预测当时的值； （ⅱ）设为时该回归模型的残差，求、、、、的方差． 参考公式：，，． 【解析】（1）， 所以，这两个变量负相关，且具有较强的线性相关性. （2）①，则， 所以，关于的经验回归方程为， 当时，则， 所以，当时，的预测值为； ②由，计算得该回归模型的残差如下表所示： 所以，残差的方差为. 16．（23-24高二上·山东日照·期末）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点6天的使用单车用户的数据如下，用两种模型①；②分别进行拟合，得到相应的回归方程，，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值： 日期x（天） 1 2 3 4 5 6 用户y（人） 13 22 43 45 55 68 模型①的残差值 －1.1 －2.8 7.5 －1.2 －1.9 0.4 模型②的残差值 0.3 －5.4 4.3 －3.2 －1.6 3.8 (1)残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由； (2)残差绝对值大于3的数据认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后，重新求出（1）中所选模型的回归方程. （参考公式：，） 【解析】（1）应该选择模型① 模型①的残差值的绝对值之和为1.1+2.8+7.5+1.2+1.9+0.4＝14.9 模型②的残差值的绝对值之和为0.3+5.4+4.3+3.2+1.6+3.8＝18.6. ∵14.9<18.6，∴模型①的拟合效果较好，应该选模型①. （2）剔除异常数据，即剔除第3天的数据后， 得，， ，. ∴， . ∴y关于x的回归方程为. 等高堆积条形图问题题型03 17．（23-24高二下·山东枣庄·期末）学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、女生各人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（    ） 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A．参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多 B．全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多 C．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 D．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 【答案】D 【解析】对于A，由等高堆积条形图可知，参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数少，故A错误； 对于B，全校学生中男生和女生人数比不确定，故不能确定全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多，故B错误； 对于C，结合等高堆积条形图可得： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男生 0.6n 0.4n n 女生 0.4n 0.6n n 合计 n n 2n 故， 若，则， 故依据的独立性检验，不可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故C错误； 对于D，若，则， 依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故D正确. 故选：D 18．（22-23高二下·山东枣庄·期末）某中学为调查本校学生“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，采用简单随机抽样的方法，从该校分别抽取了男生和女生各50名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图：    (1)根据已知条件，将下列列联表补充完整： 性别 保护动物意识 合计 强 弱 男 50 女 50 合计 100 (2)根据（1）表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生保护动物意识的强弱与性别是否有关． 附：，． 0.005 7.879 【解析】（1）由等高堆积条形图知，男生保护动物意识强的有，女生保护动物意识强的有， 于是列联表如下： 性别 保护动物意识 合计 强 弱 男 35 15 50 女 20 30 50 合计 55 45 100 （2）零假设为：该校学生保护动物意识的强弱与性别无关， 根据列联表中的数据，得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错误的概率不大于. 题型04 独立性检验 19．（多选题）（22-23高二下·山东聊城·期末）年月日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．某学校调查学生对神舟十六号的关注与性别是否有关，随机抽样调查了名学生，进行独立性检验，计算得到，依据表中给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（    ） 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．零假设对神舟十六号的关注与性别独立 B．根据小概率值的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别无关 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别不独立，此推断犯错误的概率不大于 D．根据小概率值的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别独立 【答案】ACD 【解析】因为，对于A选项，零假设对神舟十六号的关注与性别独立，A对； 对于B选项，因为， 根据小概率值的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别不独立，此推断犯错误的概率不大于，B错C对； 对于D选项，因为， 根据小概率值的独立性检验，可以认为对神舟十六号的关注与性别独立，D对. 故选：ACD. 20．（23-24高二下·山东滨州·期末）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】根据题意，不妨设， 于是， 由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立， 根据表格可知，解得，于是最小值为. 故选：C 21．（24-25高二上·山东日照·期末）为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 (1)在犯错误概率不超过的前提下，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？ (2)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为，求的分布列． 参考数据：，其中． 附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）零假设：购买电动汽车与车主性别无关， 由表中数据得：， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为购买电动汽车与车主性别有关. （2）按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有人，女性有5人， 则的可能值为，可得： ， 所以的分布列为： 0 1 2 22．（23-24高二下·山东青岛·期末）氨基酸在茶叶中约占1%到4%的含量，为研究春夏季节与茶叶氨基酸含量是否有关联，抽取90份样品列表如下： 氨基酸 春季 夏季 含量高 30 20 含量低 15 25 (1)根据小概率值的独立性检验，分析春夏季节对茶叶氨基酸含量是否有影响？ (2)随机抽取1000份茶叶，氨基酸含量近似服从正态分布，其中恰有23份氨基酸含量不小于0.03. ①求； ②如果茶叶中氨基酸含量小于1.5%，则该份茶叶为乙等产品，求这批茶叶中的乙等产品约有多少份. 附：Ⅰ.参考公式：，其中. 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 Ⅱ.对任何一个正态分布服从来说，通过转化为标准正态分布服从，从而查标准正态分布表得到 可供查阅的（部分）标准正态分布表： 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 0.841 0.885 0.919 0.945 0.964 0.977 0.986 0.992 0.995 【解析】（1）因为 所以，依据的独立性检验，可以认为季节（春夏）对茶叶氨基酸含量有影响. （2）①由题意， 所以 故 因为，所以，. ②茶叶中氨基酸含量小于0.015时为乙等产品， 而 根据标准正态分布的对称性， 所以这批茶叶中的乙等产品约有. 23．（23-24高二下·山东聊城·期末）某餐馆为了解顾客对某一新菜品的喜好程度是否与年龄有关，随机调查了品尝过该菜品的100位顾客，得到下面列联表： 顾客 对该菜品的喜好程度 合计 喜欢 不喜欢 青年人 35 15 50 中老年人 25 25 50 合计 60 40 100 (1)根据上表，分别估计青年人、中老年人喜欢该菜品的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断顾客对该菜品的喜好程度与年龄是否有关联. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】（1）根据表中数据，青年人共有50人,喜欢该菜品的有35人， 设“青年人喜欢该菜品”为事件A，则. 中老年人共有50人，喜欢该菜品的有25人， 设“中老年喜欢该菜品”为事件B，则. 所以估计青年人、中老年人喜欢该菜品的概率分别为 （2）零假设：顾客对该菜品的喜好程度与年龄无关.   依题意，得， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 即顾客对该菜品的喜好程度与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 24．（23-24高二下·山东烟台·期末）某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分100分，得分80及以上者获奖.为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了50名学生作为样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下： 成绩 学生人数 6 10 24 7 3 选修读课程人数 0 3 9 4 4 (1)根据以上统计数据完成下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为学生获奖与选修阅读课程有关联； 获奖 没有获奖 合计 选修阅读课程 不选阅读课程 合计 (2)在上述样本的获奖学生中随机抽取3名学生，设3人中选修阅读课程人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）根据已知条件可得 获奖 没有获奖 合计 选修阅读课程 8 12 20 不选阅读课程 2 28 30 合计 10 40 50 零假设：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联； 根据列联表中数据计算可得： ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为创新作文比赛获奖与选修阅读课程有关联，此推断犯错的概率不大于. （2）由题意可知的可能取值为， 则，， ， 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 . 25．（23-24高二下·山东菏泽·期末）某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的列联表. 性别 就餐人数 合计 南餐厅 北餐厅 男 25 25 50 女 20 30 50 合计 45 55 100 (1)对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？ (2)若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率. 附：； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【解析】（1）零假设为：分类变量X与Y相互独立，即不同区域就餐与学生性别没有关联.． 依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联． （2）设事件A为“从这100名参赛学生中抽出2人，其性别为一男一女”， 事件为“这2名学生均在南餐厅就餐”， 则． 故在抽出2名学生性别为一男一女的条件下，这2名学生的成绩均在“南餐厅”就餐概率为． 题型05 非线性回归方程 26．（22-23高二下·山东枣庄·期末）在对一组成对样本数据进行分析时，从已知数据了解到预报变量随着解释变量的增大而减小，且大致趋于一个确定的值．则下列拟合函数中符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，函数为增函数，、、均为减函数， 且当，，，， 故选：D. 27．（23-24高二下·山东青岛·期末）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中，均为大于0的常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【解析】（1）令，则，根据已知数据表得到如下表： x y 则，， 可得， ， 通过上表计算可得：， 因为回归直线过点，则， 所以y关于的回归方程. （2）由题意可知：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天， 所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为1，2，3，4，则有： ；； ；； 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 4 随机变量的期望值. 28．（23-24高二下·山东泰安·期末）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（℃）有关.现收集了某地关于红蜘蛛的平均产卵数和平均温度的7组数据，得到如下散点图. (1)根据散点图，判断模型与（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数与平均温度的回归分析模型；（给出判断即可，不必说明理由） (2)由（1）的判断结果，求出关于的经验回归方程； (3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在以下的年数占，对柚子的产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在至的年数占，柚子的产量会下降；平均气温在以上的年数占，柚子的产量会下降.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出多种防害措施供果农选择.在每年价格不变且无虫害的情况下，某果园的年产值为万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益=年产值一防害费用）为目标，请为果农从以下个方案中选择最佳防害方案，并说明理由. 方案1：选择防害措施，可以防治各种气温的红蜘蛛虫害且不减产，费用是18万元； 方案2：选择防害措施，可以防治至的红蜘蛛虫害，但无法防治以上的红蜘蛛虫害，费用是万元； 方案3：不采取防虫害措施. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， lny 5215 17713 714 27 81.3 3.6 【解析】（1）， 由散点图可以判断，更适合作为平均产卵数y与平均温度x的回归分析模型. （2）对两边同时取对数，可得， 令，则， 由题可得， ， 所以， 则， 所以，则， 所以y关于x的经验回归方程为. （3）分别用，，表示3种方案的收益， 若采用方案1，无论气温如何，产值不受影响，则收益万元； 若采用方案2，当不发生以上的红蜘蛛虫害时，收益为万元； 当发生以上的红蜘蛛虫害时，收益为万元， 所以； 同理，若采用方案3， 所以， ， ， 则， 所以方案1为最佳防害方案. 29．（23-24高二下·山东威海·期末）某电池厂对新研发的一款电池使用情况进行了9次测试.每使用1小时测量一次剩余电量，得到剩余电量(单位:库仑)与使用时间(单位:小时)的数据如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.77 2 1.92 1.36 1.12 1.09 0.74 0.68 0.53 (1)现从9组数据中选出7组数据作分析，其中剩余电量不足0.8的数据组数记为，求出的分布列和数学期望； (2)由散点图发现关于的回归方程类型为，设，利用表格中的9组数据回答下列问题: (i)计算与之间的相关系数(精确到0.01)； (ii)求关于的回归方程(a，b精确到0.01). 参考数据:. 45 -15.55 1.55 60 12.21 -11.98 2.43 4.38 其中，. 附:对于一组数据，相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:，. 【解析】（1）9组数据中，剩余电量不足的有3组数据，大于的有6组数据， 则, ，，， 则的分布列如下， 1 2 3 期望； （2）（ⅰ）由，，得， 则与之间的相关系数； （ⅱ），， ， 所以，则. 30．（22-23高二下·山东德州·期末）2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021-2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.同时为了推广新能源替代传统非绿色能源，除了财政补贴、税收优惠等激励性政策外，可间接通过前期技术研发支持等政策引导能源发展方向.某企业多年前就开始进行新能源汽车方面的研发，现对近10年的年技术创新投入和每件产品成本（，2，3，…，10）的数据进行分析，得到如下散点图，    并计算得：，，，，. (1)根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程； (2)已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大?（注：年利润年销售额年投入成本） 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【解析】（1）令，则y关于u的线性回归方程为，   由题意可得，   ，   则，      所以，y关于x的回归方程为. （2）由可得，     年利润，   当时，年利润M取得最大值，此时，   所以，当年技术创新投入为40千万元时，年利润的预报值取最大值 31．（22-23高二下·山东滨州·期末）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1-10分别对应年份2013-2022．    根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中． (1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型？并说明理由； (2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入． 附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【解析】（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜. （2）设，所以， 所以，， 所以关于的经验回归方程为， 令，则， 即预测该公司2028年的高科技研发投入亿元. 1．（23-24高二下·山东菏泽·期末）关于线性回归的描述，下列命题错误的是（    ） A．回归直线一定经过样本点的中心 B．残差平方和越小，拟合效果越好 C．决定系数越接近1，拟合效果越好 D．残差平方和越小，决定系数越小 【答案】D 【解析】对A，回归直线一定经过样本点的中心正确； 对B，残差平方和越小，拟合效果越好正确； 对C，决定系数越接近1，拟合效果越好正确； 对D，残差平方和越小，拟合效果越好，决定系数越接近1，故D错误； 故选：D 2．（多选题）（23-24高二下·山东临沂·期末）下列说法正确的是（    ） A．将一组数据的每一个数据减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 C．设随机变量，，则 D．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【解析】对A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后， 新数据的方差与原数据方差相同，故A正确； 对B：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，，故B错误； 对C：根据正态分布的对称性知，故C正确； 对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄， 其模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选题）（23-24高二下·山东烟台·期末）已知某两个变量具有线性相关关系，由样本数据确定的样本经验回归方程为，且.若剔除一个明显偏离直线的异常点后，利用剩余9组数据得到修正后的经验回归方程为，由修正后的方程可推断出（    ） A．变量的样本相关系数为正数 B．经验回归直线恒过 C．每增加1个单位，平均减少1.6个单位 D．样本数据对应的残差的绝对值为0.2 【答案】BCD 【解析】将代入可得， 剔除异常点后，新的平均值为，， 代入，可得，解得， 所以修正后的回归直线方程为， 对于A：因为的系数为，故相关系数也应为负数，故A错误； 对于B： 恒过，故B正确； 对于C：因为的系数为，所以每增加1个单位，平均减少，故C正确； 对于D：令，可得，所以残差的绝对值，故D正确. 故选：BCD. 4．（多选题）（23-24高二上·山东日照·期末）下列结论中正确的是（    ） A．若变量与之间的相关系数，则与正相关 B．由样本数据得到的线性回归方程必过点 C．已知，，则 D．已知随机变量，则 【答案】ABD 【解析】对于A，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故A正确； 对于B，回归直线方程必过样本点的中心，故B正确； 对于C，已知，，则，故C错误； 对于D，已知随机变量，则，故D正确. 故选：ABD. 5．（多选题）（23-24高二下·山东济南·期末）某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为，计算其相关系数为，决定系数为．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为，相关系数为，决定系数为．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由图可知两变量呈现正相关，故，，去掉“离群点”后，相关性更强，所以，故，故A正确，B不正确． 根据图象当去掉F点后，直线的基本在A,B,C,D,E附近的那条直线上，直线的倾斜程度会略向轴偏向，故斜率会变小，因此可判断，故C正确,D错误. 故选：AC． 6．（23-24高二下·山东聊城·期末）由数据可得关于的经验回归方程为，若，则 . 【答案】32 【解析】依题意，，由，得，解得， 所以. 故答案为：32 7．（22-23高二下·山东菏泽·期末）根据下面的数据： 1 2 3 4 31.6 52.5 72 91.9 求得关于的回归直线方程为，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为 . 【答案】0.105/ 【解析】根据，分别将代入求得分别为：， 则4个残差为，残差的平均数为0， 故残差的方差为， 故答案为：0.105 8．（22-23高二下·山东枣庄·期末）已知变量x和y的统计数据如下表： 9 9.5 10 10.5 11 11 10 8 6 5 若由表中数据得到经验回归直线方程为，则时的残差为 ． 【答案】/ 【解析】依题意，， 于是，即， 当时，，所以时的残差为. 故答案为： 9．（23-24高二上·山东德州·期末）19世纪中期，英国著名的统计学家弗朗西斯·高尔顿搜集了1078对夫妇及其儿子的身高数据，发现这些数据的散点图大致呈直线状态，即儿子的身高y（单位：cm）与父母平均身高x（单位：cm）具有线性相关关系，通过样本数据，求得回归直线方程，则下列结论中正确的是 ． ①回归直线方程至少过，，…，中的一个点； ②若，，则回归直线过点； ③若父母平均身高增加1cm，则儿子身高估计增加0.516cm； ④若样本数据所构成的点都在回归直线上，则线性相关系数． 【答案】②③④ 【解析】对于①，由线性回归模型可知，回归直线不一定经过样本数据所表示的点，故①错误； 对于②，由样本中心落在回归直线上，可知②正确； 对于③，由知，每增加1单位，则增加个单位，本题父母平均身高为，儿子身高为，，故③正确； 对于④，样本数据所构成的点都在回归直线上，等价于它们的关系为函数关系，此时线性相关系数，故④正确； 故选：②③④. 10．（23-24高二下·山东临沂·期末）某手机App（应用程序）公司对一大型小区居民开展5个月的调查活动，了解使用这款App的居民的满意度，统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意人数 110 95 90 85 70 (1)求不满意人数与月份之间的经验回归方程，并预测该小区8月份对这款App不满意的人数； (2)公司为了调查对这款App是否满意与性别的关系，工作人员从使用这款App的居民中随机调查60人，得到下表： 性别 满意度 满意 不满意 男性 15 15 女性 21 9 根据小概率值的独立性检验，能否认为对这款App是否满意与性别有关联？ 附： ，． ，． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】（1）由表中的数据可知，， ， ， 所求回归直线方程为. 当时，， 该小区8月份对这款App不满意人数估计为45人. （2）零假设为:对这款App是否满意与性别无关联. 由表中的数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即可以认为成立，即对这款App是否满意与性别无关联. 11．（23-24高二下·山东济南·期末）长时间近距离看电子产品会影响视力.泉泉调查了某校1000名学生，发现40%的学生近视；而该校20%的学生每天近距离看电子产品时间超过1h，这些人的近视率为50%. (1)请完成下列2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断近视与每天近距离看电子产品时间超过1h是否有关联； 近视 每天近距离看电子产品时间超过1h 合计 是 否 是 否 合计 1000 (2)研究发现，近视儿童每年眼轴的增速要大于非近视儿童，长时间近距离看电子产品会导致眼轴快速增长，最终影响视力.高度近视者的眼轴长度一般大于26mm.下图是每天近距离看电子产品时间超过1h近视儿童和非近视儿童6~16岁的眼轴生长发育散点图. ①根据散点图判断，和哪一个更符合每天近距离看电子产品时间超过1h的近视儿童的眼轴生长发育情况？（给出判断即可，不必说明理由） ②根据①中的判断结果，建立该类近视儿童眼轴长度y（单位：mm）关于年龄x（，且）的经验回归方程； ③根据②中的结果，估计该类近视儿童开始高度近视时的年龄.（结果保留整数） 参考公式及数据：（ⅰ），， α 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 （ⅱ）回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； （ⅲ）散点图1中，；散点图2中，. 【解析】（1）2×2列联表 近视 每天近距离看电子产品时间超过1h 合计 是 否 是 100 300 400 否 100 500 600 合计 200 800 1000 零假设为：近视与每天近距离看电子产品时间超过1h无关 根据列联表中的数据，并计算得到 ， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为近视与每天近距离看电子产品时间超过1h有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. （2）①适宜每天近距离看电子产品时间超过1h的近视儿童的眼轴生长发育情况. ②由题意可得， 因此， 再由题意得，所以， 从而该类近视儿童眼轴长度)(单位：mm)关于年龄x的回归方程为. ③，解得， 所以该类近视儿童开始高度近视时大约18岁. 12．（23-24高二下·山东滨州·期末）某景点在2024年2月10日至24日(正月初一至正月十五)期间，为吸引游客，共举行了15场精彩的烟花秀节目．前9场的观众人数(单位：万)与场次的统计数据如下表所示： 场次编号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 观众人数y(单位：万) 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 经计算可得：， ，． (1)通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)； (2)若该烟花秀节目分A、B 两个等次的票价，该节目组织者随机调查了某场烟花秀节目100位观众购买A、B 两个等次票的情况，其中 60位男性观众中有 15 位观众购买了 B 等票；40位女性观众中有5位观众购买了 B 等票．请根据以上数据，将2×2列联表补充完整，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为观众的性别与购票情况有关联？ 性别 购买情况 合计 购买 A 等票 购买 B 等票 男性观众 60 女性观众 40 合计 100 附： ①对于一组数据((x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(xₙ，yₙ)，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，； ② 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）由表格中的数据可得， 因为， ，， 所以，则， 所以关于的线性回归方程为. （2）根据题意，得到的列联表，如下表所示： 性别 购买情况 合计 购买A等票 购买B等票 男性观众 45 15 60 女性观众 35 5 40 合计 80 20 100 零假设为：观众的性别与购票情况无关， 根据列联表中的数据，经计算可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以认为成立，即认为观众的性别与购票情况无关. 13．（23-24高二下·山东青岛·期末）甲、乙两台机床生产同种产品，产品质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床的产品质量，随机抽查了两台机床各生产的100件产品，统计数据如下面的不完整的列联表（单位：台）. 一级品 二级品 合计 甲机床 100 乙机床 合计 60 (1)求的值，完成列联表，试根据小概率的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? (2)分别从样本中筛选出5件甲机床和3件乙机床生产的产品，这8件产品中有2件甲机床生产的一级品和2件乙机床生产的一级品，现从这8件产品中任选3件甲机床生产的产品和2件乙机床生产的产品进行进一步检测，记为这5件产品中一级品的件数，求的分布列及数学期望. 附参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 … 2.706 3.841 6.635 … 【解析】（1）由题意，甲机床生产的二级品台，甲乙机床总共生产的二级品有60台， 所以，解得， 所以可得列联表： 一级品 二级品 合计 甲机床 100 乙机床 合计 60 零假设为：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异. ， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异，此推断犯错误的概率不大于0.01. （2）由题意，甲机床生产的5台产品中有2台一级品，3台二级品， 乙机床生产的3台产品中有2台一级品，1台二级品， 从中任选3件甲机床生产的产品和2件乙机床生产的产品， 则5件产品中一级品的件数可能为， 所以，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 . 14．（23-24高二下·山东淄博·期末）近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为. (1)随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表： 成年男性 成年女性 合计 养宠物 38 60 98 不养宠物 62 40 102 合计 100 100 200 依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关? (2)记2018-2023年的年份代码x依次为中国宠物经济产业年规模为y（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y，关于x的回归方程为，且. 求相关系数r并判断该回归方程是否有价值. 参考公式及数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 回归方程其中，相关系数；若， 则认为y与x有较强的相关性. 其中 . 【解析】（1）零假设为：认为养宠物与性别无关； ， 依据小概率值的独立性检验，可以认为养宠物与性别有关. （2）由的取值依次为得， 回归方程为， ， ， ， ,与有较强的相关性，该回归方程有价值. 15．（23-24高二下·山东东营·期末）某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且． (1)求和； (2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并分析能否有的把握认为学生期末统考中数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关； 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格A 建立B 未建立 合计 (3)现从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法抽取6人座谈，再从这6人中随机抽取3人了解建立错题本情况，记建立个性化错题本的学生人数为X，求X的分布列及期望． 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （附：，．） 【解析】（1）因为，所以， 所以 由，解得，所以， 则，解得． （2）个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格A 建立B 20 4 24 未建立 4 8 12 合计 24 12 36 根据列联表中的数据，经计算得到． 所以有的把握认为期末统考中的数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关． （3）从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，其中建立个性化错题本的学生人数为2人，不建立个性化错题本的学生人数为4人．故X的取值范围是 X的分布列为 X 0 1 2 P 故X的期望为 16．（23-24高二上·山东日照·期末）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战略举措．随着国务院《新能源汽车产业发展规划（2021—2035）》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力．国产某品牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市年前几个月的销售量（单位：辆），用表示第月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格： 1 2 3 4 5 6 7 28 32 37 45 47 52 60 (1)经研究，、满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并根据此方程预测该店月份的成交量（、按四舍五入精确到整数）； (2)该市某店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”、“二等奖”和“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励千元；“二等奖”奖励千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，获得一份纪念品的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望． 参考数据及公式：，，． 【解析】（1）由题意可得，， ， ，， 故线性回归方程为， 当时，，故预计月份的成交量为辆． （2）由题意可得，获得“一等奖”的概率为， 的所有可能取值为、、、、、， ，， ，， ，， 故的分布列为： 故. 17．（22-23高二下·山东聊城·期末）天气越来越热，某冷饮店统计了近六天每天的用电量和对应的销售额，目的是了解二者之间的关系，数据如下表： 用电量（千瓦时） 4 7 8 9 14 12 销售额（百元） (1)该冷饮店做了一次摸奖促销活动，在一个口袋里放有大小、质地完全相同的个红色雪花片和个白色雪花片．若有放回地从口袋中每次摸取个雪花片，连续摸两次，两次摸到的雪花片颜色不同定为一等奖，两次摸到的雪花片颜色相同定为二等奖，试比较中一等奖和中二等奖的概率的大小． (2)已知两个变量与之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，据此能否预测明年同时期用电量为千瓦时的销售额？如果能，计算出结果；如果不能，请说出理由． 参考公式：，． 相关数据：，． 【解析】（1）两次摸到的雪花片颜色不同的概率为， 两次摸到的雪花片颜色相同的概率为， 显然，所以中二等奖的概率大． （2）依题意可得， 所以， 由于， 所以，所以， 因为，， 所以，则， 所以，所以，回归方程为． 因为经验回归方程有时效性，即冷饮受温度影响较大，明年的这个时期的温度不一定和现在相同， 故不能用今年求出的经验回归方程估算明年的情况． 18．（22-23高二下·山东菏泽·期末）电商的兴起，促进了我市经济的发展.已知某电商平台对其牌下一家专营店在2022年3月至7月的营业收入（单位：万元）进行统计，得到以下数据： 月份 3 4 5 6 7 营业收入 10 12 11 12 20 (1)依据表中给出的数据，用样本相关系数说明营业收入与月份的相关程度； (2)试用最小二乘法求出营业收入与月份的一元线性回归方程，并预测当时该专营店的营业收入. （，） ，.以上各式仅供参考） 【解析】（1），， ， ， ， 所以， 因为，说明营业收入与月份的相关程度很强，可用线性回归模型拟合与的关系； （2）由（1），，， 所以关于的线性回归方程为，当时该专营店的营业收入为万元. 19．（22-23高二下·山东济宁·期末）为研究在校学生每天玩手机时间是否大于1小时和学生近视之间的关联性，某视力研究机构采取简单随机抽样的方法，调查了2000名在校学生，得到成对样本观测数据，样本中有的学生近视，有的学生每天玩手机超过1小时，而每天玩手机超过1小时的学生近视率为． (1)根据上述成对样本观测数据，完成如下列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析每天玩手机时间是否超过1小时会不会影响视力． 每天玩手机时间 视力情况 合计 近视 不近视 超过1小时 不足1小时 合计 (2)从近视的学生中随机抽取8人，其中每天玩手机时间超过1小时的2人，不超过1小时的6人，现从8人中随机选出3人，设3人中每天玩手机时间超过1小时的学生人数为，求随机变量的分布列． 参考公式： 参考数据：下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1） 每天玩手机时间 视力情况 合计 近视 不近视 超过1小时 200 200 400 不足1小时 600 1000 1600 合计 800 1200 2000 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们认为长时间（每天超过1小时）玩手机与视力情况有关联． （2）随机变量的可能取值为0，1，2． 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 20．（22-23高二下·山东青岛·期末）某疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了1800名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的，男性患A型疾病的人数为男性患者人数的，女性患A型疾病的人数是女性患者人数的. (1)根据所给信息完成下列列联表： 性别 疾病类型 合计 A型 B型 男 女 合计 (2)基于（1）中完成的列联表，依据小概率值的独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关? (3)某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为9元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果第一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中1人用于接种疫苗的费用为，求. 附：， 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）设男性患者人数为m，则女性患者人数为，由可得：， 因此男性患者人数为1200，女性患者人数为600， 男性患A型疾病的人数为，女性患A型疾病的人数是 列联表如下： 性别 疾病类型 合计 A型 B型 男 800 400 1200 女 450 150 600 合计 1250 550 1800 （2）零假设：所患疾病的类型与性别无关， 根据列联表中的数据，经计算得到， 由于， 依据小概率值的独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关. （3）接种疫苗的费用可能的取值为27，54， ，， 则的分布列为 27 54 P 期望为. 21．（22-23高二下·山东泰安·期末）攀岩是一项集健身，娱乐，竞技于一身的极限运动，被称为“峭壁上的芭蕾”．某攀岩俱乐部为了解攀岩爱好者对此项运动的了解程度，进行了一次攀岩知识竞赛（满分10分），为得分在6分以上（含6分）的爱好者颁发了荣誉证书．已知参加本次竞赛的攀岩爱好者共有50人，其中获得荣誉证书的女攀岩爱好者有24人，所有男攀岩爱好者的竞赛成绩如下： 10，5，9，8，6，7，4，8，3，4，8，7，5，9，2，10，8，9，7，8，9，10 (1)根据所给数据，完成下面列联表； 性别 荣誉证书 合计 未获得 获得 男 女 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为获得荣誉证书与性别有关联？ (3)如果把（1）中列联表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断获得荣誉证书与性别之间的关联性，结论还一样吗？请说明理由． 附：，其中． α 0.1 0.01 0.001 【解析】（1） 性别 荣誉证书 合计 未获得 获得 男 6 16 22 女 4 24 28 合计 10 40 50 （2）零假设为：获得荣誉证书与性别无关联． 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为获得荣誉证书与性别无关联． （3）列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为获得荣誉证书与性别关联，此推断犯错误的概率不大于． 所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，会导致变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化． 22．（22-23高二下·山东泰安·期末）某水果店对某个新品种水果进行试销，需了解试销价（单位：元）对销售量y（单位：件）的影响情况，现得到5组销售数据，并对得到的数据进行初步处理，得到下面的散点图．    (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与的关系，请用样本相关系数加以说明；（精确到0.01） (2)求关于的经验回归方程． 参考公式：经验回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，样本相关系数， 参考数据： 【解析】（1），， ，，, , 由样本相关系数，可以推断y与这两个变量负线性相关，且相关程度很强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. （2）, ,  ∴. 23．（22-23高二下·山东青岛·期末）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良，为了检验甲、乙两种疗法的效果差异，采用有放回简单随机抽样的方法抽取了100名患者，部分统计数据如下表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 48 60 乙 18 合计 100 (1)请将上表补充完整，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析疗法与疗效是否有关联？ 附：，其中n＝a＋b＋c＋d. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)从100名患者中按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取10名，从这10人中选取3人参加免费体检，设免费体检者中治愈的人数为X，求X的分布列与数学期望. 【解析】（1）列联表补充完整如下： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 48 12 60 乙 22 18 40 合计 70 30 100 零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法没有差异； 根据列联表中的数据，经计算得到： ， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为疗法与疗效有关联， 此推断犯错误的概率不大于0.01； （2）按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取10名， 其中治愈的人数为，未治愈的人数为， X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P . 24．（22-23高二下·山东青岛·期末）近年来，各种类型的网约车服务在我国各城市迅速发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在某地的发展情况，某调查机构从该地抽取了6个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数x，y，经过统计分析，它们满足最小二乘法，且y关于x的经验回归方程为． (1)预测当A指标数为52时，B指标数的估计值． (2)试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若，则线性相关程度较强）． 附：参考数据：． 相关系数． 【解析】（1）当时，， 当A指标数为52时，B指标数的估计值为103. （2）因为，所以， 所以相关系数， 因为r＞0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系. 25．（22-23高二下·山东滨州·期末）为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 平均每天户外体育锻炼的时间（分钟） 总人数 10 18 22 25 20 5 规定：将平均每天户外体育锻炼时间在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”． (1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？ 户外体育锻炼不达标 户外体育缎练达标 合计 男 女 10 55 合计 (2)从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； (3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率. 参考公式：，其中． 参考数据：（独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解析】（1） 户外体育锻炼不达标 户外体育锻炼达标 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 零假设为:性别与户外体育锻炼是否达标无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到, 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立, 因此可以认为成立，即认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联. （2）易知，所抽取的5名居民中男性为名，女性为名. 的所有可能取值为0,1,2, ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）设所抽取的3名居民中 “户外体育锻炼达标”的人数为， 列联表中居民“户外体育锻炼达标”的频率为， 将频率视为概率则， 所以， 所以从该市所有居民中随机抽取3人,其中恰有2人“户外体育锻炼达标”的概率为. 26．（23-24高二下·山东临沂·期末）2022年6月5日是世界环境日，十三届全国人大常委会第三十二次会议表决通过的《中华人民共和国噪声污染防治法》今起施行.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度（单位：）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图： (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归模型？（能给出判断即可，不必说明理由） (2)求声音强度关于声音能量的非线性经验回归方程（请使用题后参考数据作答）； (3)假定当声音强度大于45dB时，会产生噪声污染，城市中某点处共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.已知点处的声音能量等于与之和，请根据（2）中的非线性经验回归方程，判断点处是否受到噪声污染，并说明理由. 参考数据：，，令，有，， ，，， ，，，. 【解析】（1）散点图近似在一条曲线上，故更适合． （2）令，，则，，， 即关于的回归方程是， 则关于的非线性经验回归方程是． （3）设点处的声音能量为，则， 因为，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以， 所以点处会受到噪声污染． 27．（23-24高二下·山东临沂·期末）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京隆重开幕，这大大激发了国人对冰雪运动的关注.为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，现随机抽取该城市50人进行调查统计，得到如下列联表： 关注冰雪运动 不关注冰雪运动 男 20 10 女 10 10 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为性别对关注冰雪运动有明显影响； (2)此次冬奥会共设七个大项，其中滑雪、雪车、雪橇、冬季两项（滑雪加射击两者结合）四大项为雪上运动项目，滑冰、冰球、冰壶三大项为冰上运动项目.小明想从中挑选三个大项观看比赛，设挑选的三个大项中含雪上运动项目的数量为，求的分布列与期望. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）由题意可得： ， 故依据小概率值的独立性检验，不能认为性别对关注冰雪运动有明显影响； （2）由题意可知的取值可能为：0,1,2,3， 则， ， 故的分布列为： X 0 1 2 3 P 故的数学期望为. 28．（23-24高二下·山东滨州·期末）随着夏季的来临，遮阳帽开始畅销，某商家为了解某种遮阳帽如何定价才可以获得最大利润，现对这种遮阳帽进行试销售.统计后得到其单价（单位：元）与销量（单位：顶）的相关数据如表： 单价（元） 30 35 40 45 50 日销售量（顶） 140 130 110 90 80 (1)已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的经验回归方程； (2)若每顶帽子的成本为10元，试销售结束后，请利用（1）中所求的经验回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大？（结果保留到整数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：，. 【解析】（1），， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为， （2）设销售单价为元，销售利润为，则 对称轴为， 因为二次函数的图象开口向下， 所以当单价为42元时，销售利润最大 29．（23-24高二下·山东济宁·期末）2021年9月，山东省政府办公厅印发《山东省电动自行车管理办法》（以下简称《办法》），自2022年5月1日起施行.《办法》的第十九条第三款规定：驾乘电动自行车人员规范佩戴安全头盔.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的行为.某市为贯彻《办法》精神，加强对市民的安全教育，自2022年5月1日起，在该市某主干路口连续监控5周，每周抓拍到驾乘电动自行车人员未规范佩戴安全头盔的统计数据如下表： 周数 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 周数序号x 1 2 3 4 5 未规范佩戴头盔人数y 1150 1000 900 750 600 (1)请利用所给数据求未规范佩戴头盔人数y与周数序号x之间的经验回归方程； (2)利用（1）中建立的经验回归方程估算该路口第6周未规范佩戴头盔的人数. 参考数据：， 参考公式：，. 【解析】（1）由表中数据知， 所以 所以 故所求经验回归方程为. （2）令，则人 预计该路口第6周未规范佩戴头盔的人数为475人. 30．（23-24高二下·山东枣庄·期末）某公司对其产品研发的年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表： x 1 2 3 4 5 y 1.5 2 3.5 8 15 (1)求变量x和y的样本相关系数r（精确到0.01），并推断变量x和y的线性相关程度（参考：若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；如果，则线性相关程度较弱）； (2)求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程； (3)当公司对其产品研发的年投资额为600万元时，估计产品的年销售量． 参考公式：对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分别为和； 称为变量x和y的样本相关系数； 线性回归方程中，，； 参考数据：． 【解析】（1）由题意，，， ， ， 所以， 因为，所以变量x和y的线性相关程度很强． （2），． 所以年销售量y关于年投资额x的线性回归方程为． （3）当x＝6时，由（2）． 所以研发的年投资额为600万元时，产品的年销售量约为15.9千件． 31．（23-24高二下·山东淄博·期末）对某品牌机电产品进行质量调查，共有“擦伤、凹痕、外观”三类质量投诉问题．其中保质期内的投诉数据如下： 擦伤 凹痕 外观 合计 保质期内 1 保质期后的投诉数据如下： 擦伤 凹痕 外观 合计 保质期内 1 (1)若100项投诉中，保质期内60项，保质期后40项．依据小概率值的独立性检验，能否认为凹痕质量投诉与保质期有关联？ (2)若投诉中，保质期内占64%，保质期后占36%．设事件A：投诉原因是产品外观，事件B：投诉发生在保质期内． （ⅰ）计算，并判断事件A，B是独立事件吗？ （ⅱ）“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率大”，这种说法是否成立？并给出理由． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ，． 【解析】（1）零假设：凹痕质量投诉与保质期无关联 根据题意可得列联表： 凹痕 非凹痕 总计 保质期前 10 50 60 保质期后 20 20 40 总计 30 70 100 则可得： ∵ ∴不成立 即在犯错概率不大于的前提下，认为凹痕质量投诉与保质期有关联 （2）（ⅰ）由据题意可得： ∴ ∵，则事件A，B不是独立事件 （ⅱ）由题意可得： “该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内”的概率 “该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期后”的概率 ∵，则“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率大”，这种说法成立 32．（23-24高二下·山东青岛·期末）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．统计数据如下面列联表： 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 92 96 188 不合格品 8 4 12 总计 100 100 200 (1)依据的独立性检验，能否认为产品的包装合格与流水线的选择有关联？ 附：，其中． 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)从抽取的200件产品中随机任取两件，记“这两件产品中至少一件为合格品”为事件B，记“这两件产品均来自甲流水线”为事件A，求； (3)公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行不合格品情况检查分析，在x（单位：百件）件产品中，得到不合格品数量y（单位：件）的情况汇总如下表所示： （百件） 1 4 7 8 10 （件） 2 14 24 35 40 求y关于x的经验回归方程，并预测一小时生产2000件时的不合格品数（精确到1）． 附：；． 【解析】（1）根据列联表可得 依据的独立性检验，不能认为产品的包装合格与装流水线的选择有关联 （2）由题知： （3）由已知可得：，， ， ， 所以， 所以， 当（百件）时，件 所以估计一小时生产2000件时的不合格品数约为83件 33．（23-24高二下·山东青岛·期末）为治疗病毒引起的疾病，某医药公司研发了一种新药，为了解的药效，进行“双盲”对比试验，统计得到如下数据列联表： 使用药人数 未使用药 总计 治愈人数 未治愈人数 总计 （1）依据的独立性检验，能否认为使用药与治愈病毒引起的疾病有关联？ （2）假设该药的治愈率为，该公司生产了一批该药共份赠予某医院，该医院对于赠药有这样的接受规定：随机选择份该药给名患者试用，如果治愈患者数量少于名，则拒绝接受整批药物.求该批药物被拒绝的概率； （3）已知该地区某医院收治的（，）名病毒感染者使用该药治疗，需要通过被治疗者血液样本检测后确定是否治愈，若样本为阴性说明已经治愈，若样本为阳性说明未治愈.如果将样本混合后检测为阴性则说明每份均为阴性，如果将样本混合后检测为阳性则说明其中至少一份样本为阳性，样本之间是否呈阳性相互独立.假设该药治愈的概率.现将份样本均分成两组进行检测，若任何一组为阳性则对该组每份逐一检测.当时，预测检测次数是否小于次？ 附：参考公式及数据： ①，. ② 【解析】（1）由题知： 依据的独立性检验，认为使用药与治愈病毒引起的疾病有关联 （2）由题知，名患者中治愈的人数 所以该批药物被拒绝的概率 （3）设检测的次数为，由题知的可能取值为：，，； 所以 因为， 所以. 所以可以预测检测次数小于次 34．（23-24高二下·山东济宁·期末）新冠疫情对人们的生产生活造成了严重的伤害，在国家和人民的共同努力下，疫情得到了有效遏制，人们的生活步入正轨.某企业为了刺激经济复苏､增加经济收益连续对生产增加投入.该企业连续5个月的生产投入(十万元)与收益(十万元)的数据统计如下表： 生产投入 4 6 8 10 12 收益 根据散点图的特点，可认为样本点分布在曲线的周围，据此对数据进行了一些初步处理，如下表： 其中 （1）请根据表中数据，建立关于的回归方程(保留两位小数)； （2）根据所建立的回归方程，若该企业在下一月生产投入15(十万元)，则企业的收益估计有多少？(保留两位小数)附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【解析】（1）， 令，则 根据最小二乘估计可知 从而， 故回归方程为，即 （2）令，得. 故生产投入15(十万元)时，企业的收益估计有(十万元). 35．（23-24高二下·山东枣庄·期末）某高中学校为了解高二年级学生在2021年高考和中考期间居家学习的自制力，随机抽取了100名学生，请他们的家长（每名学生请一位家长）对学生打分，满分为10分．下表是家长所打分数的频数统计： 分数 5 6 7 8 9 10 频数 5 15 20 25 20 15 （1）求家长所打分数的平均值； （2）在抽取的100位学生中，男同学共50人，其中打分不低于8分的男同学为20人，填写列联表．若打分不低于8分认为“自制力强”，打分低于8分认为“自制力一般”，依据小概率值的独立性检验，判断高二年级学生的性别与自制力的强弱是否有关联？如果结论是性别与自制力的强弱有关联，请解释它们如何相互影响． 附： 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 性别 自制力 合计 不小于8分 小于8分 男 20 30 50 女 合计 【解析】（1）家长所打分数的平均值为 ． （2）列联表如下： 性别 自制力 合计 不小于8分 小于8分 男 20 30 50 女 40 10 50 合计 60 40 100 假设为：分类变量与相互独立，即性别与自制力的强弱之间无关联． 根据列联表中的数据得 ． 依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为性别与自制力的强弱之间有关联，该推断犯错误的概率不超过0.001， 男生中“自制力强”和“自制力一般”的频率分别为和； 女生中“自制力强”和“自制力一般”的频率分别为和． 由，，可见，女生“自制力强”的频率是男生的2倍，男生“自制力一般”的频率是女生的3倍，于是，根据频率稳定于概率的原理，可以认为女生自制力强的概率明显大于男生自制力强的概率，即女生自制力更强． 36．（23-24高二下·山东威海·期末）2021年3月17日，中宣部办公厅印发《关于做好2021年全民阅读工作的通知》，提出了2021年全民阅读工作的总体要求，部署了重点工作及组织保障等措施. 某地为了了解市民的阅读情况，组织相关调查机构围绕“阅读量多少”与“幸福感强弱”进行问卷调查，得到部分调查数据如下： 幸福感强 幸福感弱 总计 阅读量多 54 阅读量少 36 总计 90 60 150 现从被调查的“阅读量多”的人群中任取人，取到“幸福感强”的人的概率为. （Ⅰ）完成上述列联表，并判断：在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关吗？ （Ⅱ）从阅读量多且幸福感强的人群中抽取名男性，名女性组成“阅读推广宣讲团”，在某次活动中，将从这人中随机选取人为宣讲员. （ⅰ）当时，求男性宣讲员人数的分布列； （ⅱ）若男性宣讲员人数的期望至少为2人，求的最小值. 参考公式： 参考数据： 【解析】（Ⅰ）因为被调查的“阅读量多”的人群中任取人，取到“幸福感强”的人的概率为， 所以阅读量多的人数为：，所以列联表如下： 幸福感强 幸福感弱 总计 阅读量多 阅读量少 总计 则. 查表可得，由于，所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关. （Ⅱ）（ⅰ）当时，随机变量的取值范围是， ，， ，， 则的分布列为: （ⅱ）由题意， 故，解得， 所以的最小值为. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$