专题06 概率的综合应用大题（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题06 概率的综合应用大题 题型概览 题型01 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 题型02 概率最值问题 题型03 比赛问题 题型04 新定义问题 题型05 超几何分布与二项分布的综合运用 题型06 决策问题 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用题型01 1．（22-23高二下·山东泰安·期末）某高校有东，西两个阅览室，甲同学每天晚自习选择其中一个阅览室学习，第一天晚自习选择东阅览室的概率是．如果第一天去东阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为；如果第一天去西阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为； (1)记甲同学前两天去东阅览室的总天数为X，求X的分布列及数学期望； (2)如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去哪个阅览室的可能性更大？请说明理由． 【解析】（1）设“第i天去东阅览室”，“第j天去西阅览室”， 则与对立，与对立 由题意得， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 所以 （2）由全概率公式得 所以 所以  所以 所以如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去西阅览室的可能性更大 2．（22-23高二下·山东枣庄·期末）现有来自三个班级的考生报名表（一人一表），分装3袋．第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和3名女生的报名表，第三袋有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率． 【解析】记“抽到第袋”，，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”， 则，， 所以. 3．（23-24高二上·山东潍坊·期末）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个. (1)求这个零件是次品的概率； (2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率. 【解析】（1）记事件：第一台车床加工的零件，记事件：第二台车床加工的零件， 记事件：这个零件是次品， 由题意可得，，，， 由全概率公式可得： . （2）由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为 . 4．（23-24高二下·山东青岛·期末）某种植物子二代的基因型为，，，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为1∶2∶1. (1)在子二代中按基因型比例抽取4株，再从这4株中随机抽取2株，求抽取的基因型是的株数的分布列和期望； (2)在子二代中任意选取2株进行杂交实验，求子三代中基因型为的概率. 【解析】（1）在子二代中按基因型比例抽取4株，则基因型为，，的分别为1，2，1株，再随机抽取2枚，基因型是的株数可能取的值为0，1，2 所以 则的分布列为 0 1 2 的期望为 （2）子二代基因配型有六种情况，分别记为事件 子三代中基因型为记为事件，则 事件 配型 0 1 0 所以. 5．（22-23高二上·山东德州·期末）年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是. (1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率： (2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率. 【解析】（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为， 则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得， 乙、丙两人都回答正确的概率是，解得， 所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率为. （2）记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”， 记事件为“这道题被答对”， 则，，， ，，， 由全概率公式可得. 概率最值问题题型02 6．（23-24高二上·山东德州·期末）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？ 【解析】（1）由题意得，随机变量的可能取值为， 可得， 所以随机变量分别为 200 300 500 0.2 0.4 0.4 （2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶， 所以，只需考虑， 当时，若最高气温不低于25，则； 若最高气温位于区间，则； 若最高气温低于，则； 所以. 当时， 若最高气温不低于20，则； 若最高气温低于，则； 所以， 所以当时，的数学期望达到最大值，最大值为元. 7．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知离散型随机变量服从二项分布. (1)求证：，且为大于1的正整数； (2)求证：； (3)一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是，设同时发生故障的车床数为，记时的概率为.试比较最大时的值与的大小. 【解析】（1）左边， 右边， 所以左边=右边，即； （2）由知， 令由（1）知可得， ， 令，则， ； （3）由题意知，所以， 要使最大，则必有，， 即 即解得， 又因为，所以． 最大时的值小于． 8．（23-24高二下·山东临沂·期末）2022年5月以来，国际棉价小幅上涨后下行，国内棉价大幅下跌.受此影响，现有两类以棉花为主要原材料的服装，类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有40%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客；类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照7.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完. (1)通过计算比较这两类服装单件收益的均值（收益=售价-成本）； (2)某服装专卖店店庆当天，全场，两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买，两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买类服装的概率为.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设为该店当天所售服装中类服装的件数，为当天销售这两类服装带来的总收益.求的期望，以及当时，可取的最大值. 【解析】（1）设A类服装､B类服装的单件收益分别为X1元，X2元，则 ， ， ，故B类服装单件收益的期望更高； （2）由题意可知，，（元）， 又，所以（元）. 列出分布列： ，， ，， ，. 因为，， 所以当时，n可取的最大值为4. 9．（23-24高二下·山东济宁·期末）某工厂的某种产品成箱包装，每一箱100件.每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品是不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记10件产品中恰有1件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了10件，结果恰有1件不合格品，以（1）中确定的作为x的值.已知每件产品的检验费用为2.5元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付20元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求； ②以检验费用与赔偿费用的和的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【解析】（1）因为10件产品中恰有1件不合格品的概率为 所以 令，解得. 当时，；当时，. 所以在上单调递增；在上单调递减. 所以的最大值点为. （2）由（1）知，. ①令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知：， 所以，且，即. 所以. ②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为250元. 由于，故不应该对该箱余下的产品作检验. 比赛问题题型03 10．（23-24高二下·山东菏泽·期末）第24届冬季奥林匹克运动会即北京冬奥会，于2022年2月4日在北京开幕.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，其中. (1)求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？ (2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望. 【解析】（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为； 乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：； 丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：. 因为，所以， 所以， 所以，，即甲进入决赛的可能性最大. （2）设甲、乙、丙都进入决赛的概率为，则， 整理得，解得或，由，所以， 所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为或，两轮中均获胜的概率为：， 进入决赛的人数的可能取值为：0、1、2、3， 所以； ； ； ； 所以，的分布列为 0 1 2 3 所以，. 11．（22-23高二下·山东聊城·期末）甲、乙两位同学进行乒乓球打比赛，约定：①每赢一球得1分；②采用三球换发制，即每比赛三球交换发球权．假设甲发球时甲得分的概率是，乙发球时甲得分的概率是，各球的结果相互独立．根据抽签结果决定，甲先发球． (1)用表示比赛三球后甲的得分，求的分布列和均值； (2)求比赛六球后甲比乙的得分多的概率． 【解析】（1）由题意得的所有可能取值是0，1，2，3． 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 的均值． （或因为，所以．） （2）设“比赛六球后甲比乙的得分多”，“比赛六球后甲得6分，乙得0分”，“比赛六球后甲得5分，乙得1分”，“比赛六球后甲得4分，乙得2分”，则，且，，两两互斥． 因为， ， ， 所以． 所以比赛六球后甲比乙的得分多的概率为． 12．（23-24高二下·山东枣庄·期末）甲、乙两选手进行象棋比赛，采用五局三胜制.甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且每局的胜负相互独立. (1)求比赛三局定胜负的概率； (2)在甲第一局获胜的前提下，设还需进行的局数为，求的分布列与数学期望. 【解析】（1）比赛三局定胜负即甲连赢三局或者连输三局， 故比赛三局定胜负的概率：. （2）由题意知，的可能值为：. ; ； ， 故的分布列为： 2 3 4 期望： 13．（23-24高二上·山东日照·期末）普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分． (1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率； (2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛． 【解析】（1）由题可知，所有可能的情况有： ①超过8分的是1道法律文书题，2道案例分析题，， ②超过8分的是2道法律文书题，1道案例分析题，， ③超过8分的是2道法律文书题，2道案例分析题，， 故所求的概率； （2）设强化训练后，法律文书题超过8分的概率为，案例分析题超过8分的概率为， 则， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为： ， ，且，，即，， 则，， 故可得：，， ， ， 令，则在上单调递减， ． 该同学在5轮比赛中获得“优胜奖”的次数， ， 故该同学没有希望进入决赛． 题型04 新定义问题 14．（23-24高二下·山东泰安·期末）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成这6组，得到如下的频数分布表. 分组 频数 3 15 42 42 15 3 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率. (1)若从这批零件中随机抽取3个，记x为抽取的零件的长度在的个数，求的分布列和数学期望； (2)若变量满足，且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 【解析】（1）从这批零件中随机选取1件，长度在的概率， 随机变量的可能取值为，则 ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以 （2）由题意知， ， ， 因为， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布. 所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收. 15．（24-25高二上·山东日照·期末）为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生． (1)求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率； (2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为．如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关． 在参加志愿服务活动的4名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为，不在本地区参加志愿服务的学生人数为． （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明之间的线性相关关系． 【解析】（1）记“甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务”为事件A，样本空间为， 则，， 所以. （2）由题意可知：随机变量的可能取值为0,1,2,4， 则， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 4 由题意可知：，即， 因为，则， 令， 可知随机变量的可能取值为， 则， 可得随机变量的分布列为 0 可得， 因为，所以随机变量之间具有负相关关系. 题型05 超几何分布与二项分布的综合运用 16．（23-24高二下·山东青岛·期末）为了监控某种零件的一条生产线的生成过程，检验员从该生产线随机抽取100个零件，并测量其尺寸，得到如下表格： 误差（单位：） 数量 3 10 20 35 19 9 4 (1)求这100件零件误差平均值（同一组的数据用该组区间中点代表） (2)若已知零件的误差服从正态分布，其中近似样本平均数，若随机从生产线上抽取一个零件，求其误差位于区间上的概率； (3)以频率估计概率．若从该生产线上随机抽取10个零件，10个零件中有个零件的误差位于区间，求的分布列和数学期望． 附：（若服从正态分布，则，，） 【解析】（1）， 所以这100件零件误差平均值为； （2）由题意零件的误差服从正态分布， 而，，， 所以其误差位于区间上的概率为； （3）误差位于区间的概率为，显然服从二项分布， 所以的分布列为， 数学期望. 17．（23-24高二下·山东济南·期末）一个质点从数轴上的原点0开始移动，通过抛掷一枚质地均匀的硬币决定质点向左或者向右移动.若硬币正面向上，则质点向右移动一个单位；若硬币反面向上，则质点向左移动一个单位.抛掷硬币4次后，质点所在位置对应数轴上的数记为随机变量，求： (1)质点位于2的位置的概率； (2)随机变量的分布列和期望. 【解析】（1）由题意可知，抛掷硬币4次后，质点要位于2，则4次中向右移动3次，向左移动1次， 所以质点位于2的位置的概率为； （2）由题意可知的可能取值为，则 ，， ，， ， 所以的分布列为 0 2 4 所以. 18．（23-24高二下·山东聊城·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中一次性摸出两个球，如果每次摸出的两个球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖，有两种摸球方式：一是每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，中奖次数记为；二是每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，中奖次数记为. (1)求第一次摸球就中奖的概率； (2)若，求的分布列和数学期望； (3)若，函数随机变量，求的数学期望. 【解析】（1）解:记“第一次摸球就中奖”为事件，则 即第一次摸球就中奖的概率为. （2）若，且第一次摸球后将球均不放回袋中，直接进行第二次摸球， 则的可能取值为. 则 则的分布列为 所以的数学期望为 （3）若，且每次摸球后均将球放回袋中，再进行下一次摸球， 则每次中奖相互独立,且由(1)知每次中奖的概率均为，所以. 此时的可能取值为. 的可能取值为 当时，； 当时，，当时，. 因为， 所以 又， 所以 . 所以 . 即的数学期望为    . 19．（23-24高二下·山东临沂·期末）袋中有大小、形状完全相同的4个红球，2个白球，采用有放回摸球，从袋中随机摸出1个球，定义变换为：若摸出的球是白球，则把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）；若摸出的是红球，则将图象上所有的点向上平移1个单位，函数经过1次变换后的函数记为，经过2次变换后的函数记为，…，经过次变换后的函数记为．现对函数进行连续的变换． (1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求； (2)记，求随机变量的分布列及数学期望． 【解析】（1）第一次从袋中摸出的是白球，把函数变换为， 第二次从袋中摸出的是红球，把函数变换为， 所以. （2）经过3次变换后，有4种情况: 若摸出的3个球都是白球，则； 若摸出的3个球为2个白球、1个红球，则； 若摸出的3个球为1个白球、2个红球，则； 若摸出的3个球都是红球，则； 所以随机变量的可能取值为. 因为从袋中随机摸出1个球，是白球的概率为，是红球的概率为， 故， ， ， . 所以所求随机变量的分布列为 所以，. 20．（23-24高二下·山东威海·期末）某校开设了科学、人文、艺体三类校本选修课程，每类课程开设的课程门数与学分设定如下表： 科学类 人文类 艺体类 课程门数 3 3 4 每门课程学分 3 2 1 学校要求学生从这门课程中选修门，假设学生选修每门课程的机会均等. (1)记事件为“学生甲选修的门课程中有且仅有门是科学类课程”，事件为“学生甲选修的门课程的总学分为分”，试判断与是否独立； (2)设学生甲选修的门课程的总学分为，求的分布列和数学期望. 【解析】（1）由题意知，， ， ， 因为，所以与不独立. （2）的取值范围是， ，， ，，， 从而的分布列为 . 题型06 决策问题 21．（22-23高二上·山东德州·期末）新冠疫情不断反弹，各大商超多措并举确保市民生活货品不断档，超市员工加班加点工作.某大型超市为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，拟在年会后，通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有5种面值奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额． (1)若箱子中所装的5种面值的奖券中有2张面值为100元，其余3张均为50元，试比较员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率的大小； (2)公司对奖励总额的预算是7万元，预定箱子中所装的5种面值的奖券有两种方案：第一方案是3张面值30元和2张面值130元；第二方案是3张面值50元和2张面值100元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由． 【解析】（1）用表示员工所获得的奖励额． 因为，， 所以， 故员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率． （2）第一种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为 60 160 260 所以的数学期望为， 的方差为； 第二种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为 100 150 200 所以的数学期望为， 的方差为， 又因为（元）， 所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小， 故应选择第二种方案． 22．（22-23高二上·山东青岛·期末）某学校为举办甲､乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一､方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立. (1)从该校全体男生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率，从全体女生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率； (2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； (3)将该校学生支持方案一的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和500名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小. 【解析】（1）全体男生共有200+400=600人，其中支持方案一的有200人， 故从该校全体男生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率为， 全体女生共有300+100=400人，其中支持方案一的有300人， 故从全体女生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率为； （2）支持方案一的这2人均为男生，此时概率为， 支持方案一的这2人中1男1女，此时概率为 故估计这3人中恰有2人支持方案一的概率为； （3），理由如下： 由样本的频率估计总体概率，该校学生支持方案一的概率估计值为， 该校一年级男生中支持方案二的约有人， 该校一年级女生中支持方案二的约有人， 假设一年级学生中支持方案二的概率为，则， 因为，则，故可知该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应高于平均概率，即. 23．（23-24高二上·山东德州·期末）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近500天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150． ①利用该正态分布，求； ②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数（结果保留整数）． (2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案． 方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励50元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表： 奖金 50 100 概率 小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：，若，则． 【解析】（1）①由题意，其中， ． ②故该物流公司2000天内日货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数为： （天）； （2）易知， 对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X元，则X的可能取值为50，80，120， 其对应的概率分别为0.33，0.57，0.10， 故， 对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为50，100，150，200， 故， ， 所以， 因为，所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利． 24．（23-24高二下·山东滨州·期末）某环保机器制造商为响应“2030年前碳排放达峰行动”的号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后3年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金3000元，在延保的3年内可免费维修1次，超过1次每次收取维修费1000元； 方案二：交纳延保金4000元，在延保的3年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 t 元； 制造商为制定t元的收取标准，为此搜集并整理了100台这种机器超过保修期后3年内维修的次数，统计得到下表： 维修次数 0 1 2 机器台数 10 40 50 以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记 X 表示 2 台机器超过保修期后 3年内共需维修的次数． (1)求 X 的分布列； (2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，求使客户选择方案二更合算时t 的取值范围． 【解析】（1）由题意得的取值为. 所以的分布列为： （2）记选择方案一所需费用为元 则当时， 当时， 当时， 当时， 则的分布列为 记选择方案二所需费用为元. 则时， ； 时，； 时， 则的分布列为 因为，所以， 解得，所以的取值范围为. 1．（23-24高二下·山东淄博·期末）在一个不透明的密闭纸箱中装有 10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数. (1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和； (2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列和； 【解析】（1）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次， 且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以随机变量， 所以，. （2）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次， 且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，随机变量X服从超几何分布， 则， 可得， 所以的分布列为 2 3 4 2．（23-24高二下·山东菏泽·期末）由这四个数组成无重复数字的四位数中. (1)求两个奇数相邻的四位数的个数（结果用数字作答）； (2)记夹在两个奇数之间的偶数个数为，求的分布列与期望. 【解析】（1）两个奇数相邻的无重复数字的四位数有如下三种情况： ①0在个位上时有个四位数，②0在十位上时有个四位数， ③0在百位上时有个四位数， 所以满足条件的四位数的个数共有个． （2）由题意知夹在两个奇数之间的偶数个数X可能的取值分别为0，1，2， 则，， ， 的分布列为 X 0 1 2 P 期望为． 3．（22-23高二下·山东威海·期末）根据《国家学生体质健康标准》，六年级男生和女生一分钟跳绳等级如下（单位：次）. 一分钟跳绳等级 六年级男生 六年级女生 优秀 及以上 及以上 良好 及格 不及格 及以下 及以下 从某学校六年级男生和女生中各随机抽取名进行一分钟跳绳测试，将他们的成绩整理如下： 男生/次 女生/次 (1)从这名男生中任取名，求取到的名男生成绩都优秀的概率； (2)若以成绩优秀的频率代替成绩优秀的概率，且每名同学的测试相互独立.从该校全体六年级学生中随机抽取名男生和名女生，设为这名学生中一分钟跳绳成绩优秀的人数，求的概率分布与期望. 【解析】（1）由题意知，名男生中一分钟跳绳成绩优秀的有名， 记“抽到的名男生成绩都优秀”为事件，则. （2）由题意知，从该校六年级学生中任取一名男生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为； 任取一名女生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为. 的可能取值有、、、，则， ， ， ， 所以的概率分布为 所以，. 4．（22-23高二下·山东滨州·期末）甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛． 在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为． (1)甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲至少有两轮获胜的概率； (2)在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率． 【解析】（1）设“甲至少有两轮获胜”为事件， 则． （2）设“选中甲与机器人比赛”为事件，“选中乙与机器人比赛”为事件，“战胜机器人”为事件， 根据题意得，，， 由全概率公式得 ． 所以战胜机器人的概率为． 5．（22-23高二下·山东菏泽·期末）贵州榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，简称“村超”，该活动在榕江县如火如荼的进行中，这项活动大大促进了当地村民参加体育活动的积极性.为了更好的提高全民素质，某镇建议成人每周进行5.5小时至8小时的运动.已知“村”有56%的居民每周运动总时间超过8小时，“村”有65%的居民每周运动总时间超过8小时，“村”有70%的居民每周运动总时间超过8小时，且，，三个村的居民人数之比为5:6:9. (1)从这三个村中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过8小时的概率； (2)假设这三个村每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且. 现从这三个村中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为8至9小时的概率. 【解析】（1）因为，，三个村的居民人数之比为5:6:9， 所以设，，三个村的居民人数分别为， 则，，三个村的超过8小时的居民人数分别为， 所以从这三个村中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过8小时的概率为： . （2）由（1）知 ， 又因为，所以， 所以，则， 所以从这三个村中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为8至9小时的概率为： . 6．（22-23高二下·山东济宁·期末）甲乙两名同学玩“猜硬币，向前进”的游戏，规则是：每一局抛一次硬币，甲乙双方各猜一个结果，要求双方猜的结果不能相同，猜对的一方前进2步，猜错的一方后退1步，游戏共进行局，规定游戏开始时甲乙初始位置一样． (1)当时，设游戏结束时甲与乙的步数差为，求随机变量的分布列； (2)游戏结束时，设甲与乙的步数差为，求，（结果用表示）． 【解析】（1）当时，随机变量所有可能取值为，，3，9， ， ， ， ， 所以，随机变量的分布列为 3 3 （2）设在局游戏结束时，甲共猜对了次，则， 因为，甲与乙的步数差， 所以，， ． 7．（22-23高二下·山东青岛·期末）某单位文娱队中的每一位队员对于唱歌、跳舞都至少会一项，已知会唱歌的有4人，会跳舞的有5人，现从中选出2人参与一次社会公益演出.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且. (1)求该文娱队的队员人数； (2)求随机变量的分布列和数学期望. 【解析】（1）设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有m人，则文娱队共有人，只会一项的是人. ， 即，化简得，又，解得：， 该文娱队的队员人数为7； （2）可能的取值为0，1，2， 由（1）可知，该文娱队共有7人，既会唱歌又会跳舞的有2人，只会一项的是5人. ，， ， 的分布列为 0 1 2 P . 8．（22-23高二下·山东淄博·期末）现有甲、乙两个袋子，其中甲袋中有6个红球和2个白球，乙袋中有3个红球和5个白球，两袋子中小球形状和大小完全相同．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中一次摸出两个球，称为一次试验．已知选择甲袋子的概率为，选择乙袋子的概率为．拟进行多次重复试验，直到摸出的两个球均为红球，不再试验． (1)求第一次试验摸出两个红球的概率； (2)已知需进行第二次试验，计算第一次试验摸出的两个球来自甲袋的概率． 【解析】（1）设试验一次，“选择甲袋”为事件， “选择乙袋”为事件， “摸出的两个球均为红球”为事件， ， 即第一次试验摸出两个红球的概率为. （2） ， 所以已知需进行第二次试验，第一次试验摸出的两个球来自甲袋的概率为. 9．（22-23高二下·山东枣庄·期末）某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动．每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分．假定选手甲正确回答每一道题的概率均为． (1)甲完成一局“挑战答题”活动时回答的题数记为，求的分布列； (2)若，记为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求． 【解析】（1）记“第个题目回答正确”，“第个题目回答不正确”，，由题意知可能取值为2，3，4， ， ， ， 则的分布列为： 2 3 4 （2）记“连续9天参加“挑战答题”活动中得10分的次数”， 每天得10分的概率记为，则 由题意知 ， 所以， 又因为， 所以. 10．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个白球，2个红球. (1)若从袋子中任意摸出4个球，求其中恰有2个白球的概率； (2)试验1：若每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸到红球即停止摸球，最多摸球四次，表示停止时的摸球次数；试验2：若每次随机地摸出一个球，记下颜色后不放回，摸到红球即停止摸球，表示停止时的摸球次数. （i）求的分布列及均值； （ii）求试验1和试验2停止时摸球次数相同的概率. 【解析】（1）从袋子中任意摸出4个球，共有种摸法，其中恰有2个白球的有种摸法， 所以所求概率为. （2）（i）的所有可能取值为， ，，， ， 所以的分布列为： 1 2 3 4 . （ii）的所有可能取值为， ，，， ， 所以. 所以试验1和试验2停止时摸球次数相同的概为. 11．（23-24高二下·山东枣庄·期末）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件． (1)求这件产品是次品的概率； (2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率． 【解析】（1）设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”． 则，，，， 由全概率公式，所求概率为 ． （2）所求概率为. 12．（23-24高二下·山东淄博·期末）某部门有职工人，其中睡眠不足者人，睡眠充足者人．现从人中随机抽取人做调查． (1)用表示人中睡眠不足职工的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)求事件“人中既有睡眠充足职工，也有睡眠不足职工”发生的概率． 【解析】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 则，，， ， 所以，随机变量的分布列如下表： . （2）事件“人中既有睡眠充足职工，也有睡眠不足职工”发生的概率为. 13．（23-24高二下·山东东营·期末）为了促进消费，某超市开展购物抽奖送积分活动，顾客单次购物消费每满100元，即可获得一次抽奖的机会，假定每次中奖的概率均为，不中奖的概率均为，且各次抽奖相互独立.活动规定：第1次抽奖时，若中奖则得10分，不中奖得5分；第2次抽奖时，需要从以下两个方案中任选一个：方案一：若中奖则得30分，不中奖得0分；方案二：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分.当抽奖次数大于两次时，执行第2次抽奖所选的方案，直到抽奖结束. (1)甲顾客单次消费了200元，获得了两次抽奖机会. ①若甲顾客在第二次抽奖时选择了方案二，求甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率并求此时的得分； ②若以甲顾客两次抽奖累计得分的期望为决策依据，甲顾客应该选择哪一个方案？请说明理由； (2)乙顾客单次消费了1100元，获得了11次抽奖机会，记乙顾客11次抽奖共中奖k次的概率为，求的最大值点 【解析】（1）①由题意，甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率为，此时得分为； ②若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为40，35，10，5． ，，，， 所以． 若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为30，15，10， 则，，，， 因为，所以应选择方案①． （2）由题意，，可得最大值点满足，即，化简可得，解得，故或 14．（23-24高二下·山东济南·期末）在某地区进行某种疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病．现有n（，）个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案： 方案一：逐份检验，需要检验n次； 方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验n＋1次． (1)若，且其中两人患有该疾病，采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率； (2)已知每个人患该疾病的概率为． （ⅰ）若两种方案检验总次数的期望值相同，求p关于n的函数解析式； （ⅱ）若，且每单次检验费用相同，为降低总检验费用，选择哪种方案更好？试说明理由． 【解析】（1）将5份待检血液排成一排有； 满足条件的排法有两种：（1）第一步，将两份选一份排在第三位有2种； 第二步，在第一、二位选一个空位排另一份患者血液有2种排法； 第三步，将剩余3份排成一排有. 所以满足条件的排法共； （2）前三个血液均为非患病的，共有种排法； 所以恰好检验3次就能确定患病两人的概率为 （2）（ⅰ）因为每个人都有可能患病，故方案一检验次数为定值n； 记方案二检验次数为X，则X的取值为1，n+1 ， 所以 由题可知，即， 整理可得，即 （ⅱ）当时，记单次检验费用为x， 则方案一：检验费用为； 方案二：记检验费为Y，则Y的分布列为 Y P 则 记，因为，所以 因为，所以单调递增， 由（ⅰ）知，当时，， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，； 故当时，选择方案二；当时，选择方案一；当时，选择两种方案均可. 15．（23-24高二下·山东济南·期末）某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数． (1)若有放回的抽取，求X的分布列与期望； (2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率． 【解析】（1）有放回的抽取，， 根据题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4， 所以, , , , . X的分布列为： P 0 1 2 3 4 X 所以X的数学期望. （2）由题意得总体中合格品的比例为， 因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过， 所以样本中样品中合格品的比例大于小于，即样品中合格品的个数为2或3. , 。 所以 16．（23-24高二下·山东青岛·期末）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的，且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． (1)已知，，，，求； (2)设表示该生物临近灭绝的概率，当时，证明：p是关于x的方程的最小正实根． 【解析】（1）由题知：， （2）因为 所以，p是方程的正实根 令，则 令，所以当时， 所以在区间上单调递增 又因为， 当时， 所以存在，使得 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 又因为， 所以在上存在唯一零点， 综上，所以p是方程的最小正实根 17．（23-24高二上·山东日照·期末）2020年12月4日，“直播带货”入选《咬文嚼字》2020年度十大流行语，与电商直播相关的职业成了年轻人就业新选择.有甲、乙两家农副产品直播间，直播主持人的日工资方案如下：甲直播间底薪100元，直播主持人每箱抽成3元；乙直播间无底薪，80箱以内（含80箱）的部分直播主持人每箱抽成4元，超过80箱的部分直播主持人每箱抽成6元.现从这两家直播间各随机选取一名直播主持人，分别记录其50天的售货箱数，得到如下频数分布表： 售货箱数 60 70 80 90 100 甲直播间天数 5 15 10 15 5 乙直播间天数 5 10 15 12 8 (1)①从记录甲直播间售货的50天中随机抽取3天，求这3天的售货箱数都不小于80箱的概率； ②以样本估计总体，视样本频率为概率，估计甲直播间主持人3天中至少有2天售货箱数不小于80箱的概率. (2)假设同一个直播间的主持人一天的售货箱数相同，将频率视为概率，小张打算到甲、乙两家直播间中的一家应聘主持人，如果从日工资的角度考虑，小张应选择哪家直播间应聘？说明你的理由. 【解析】（1）①由表知，50天售货箱数中有30天的售货箱数都不小于80箱，记抽取的这3天的售货箱数都不小于80箱事件A，则. ②甲直播间主持人某一天售货箱数不小于80箱的概率为.设甲直播间主持人三天中恰有天售货箱数不小于80箱，则，. （2）依题意，甲直播间主持人的日平均售货箱数为， 所以甲直播间主持人的日平均工资为100+3×80＝340元， 设乙直播间售货箱数为n，日工资为X元，则 当n＝60时，X＝60×4＝240；当n＝70时，X＝70×4＝280；当n＝80时，X＝80×4＝320；当n＝90时，X＝320+10×6＝380；当n＝100时，X＝320+20×6＝440. 所以X的分布列为： X 240 280 320 380 440 P 所以乙直播间支持人日平均工资为337.6元 因为337.6<340，所以小张应选择甲直播间应聘. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 概率的综合应用大题 题型概览 题型01 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 题型02 概率最值问题 题型03 比赛问题 题型04 新定义问题 题型05 超几何分布与二项分布的综合运用 题型06 决策问题 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用题型01 1．（22-23高二下·山东泰安·期末）某高校有东，西两个阅览室，甲同学每天晚自习选择其中一个阅览室学习，第一天晚自习选择东阅览室的概率是．如果第一天去东阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为；如果第一天去西阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为； (1)记甲同学前两天去东阅览室的总天数为X，求X的分布列及数学期望； (2)如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去哪个阅览室的可能性更大？请说明理由． 2．（22-23高二下·山东枣庄·期末）现有来自三个班级的考生报名表（一人一表），分装3袋．第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和3名女生的报名表，第三袋有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率． 3．（23-24高二上·山东潍坊·期末）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个. (1)求这个零件是次品的概率； (2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率. 4．（23-24高二下·山东青岛·期末）某种植物子二代的基因型为，，，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为1∶2∶1. (1)在子二代中按基因型比例抽取4株，再从这4株中随机抽取2株，求抽取的基因型是的株数的分布列和期望； (2)在子二代中任意选取2株进行杂交实验，求子三代中基因型为的概率. 5．（22-23高二上·山东德州·期末）年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是. (1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率： (2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率. 概率最值问题题型02 6．（23-24高二上·山东德州·期末）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？ 7．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知离散型随机变量服从二项分布. (1)求证：，且为大于1的正整数； (2)求证：； (3)一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是，设同时发生故障的车床数为，记时的概率为.试比较最大时的值与的大小. 8．（23-24高二下·山东临沂·期末）2022年5月以来，国际棉价小幅上涨后下行，国内棉价大幅下跌.受此影响，现有两类以棉花为主要原材料的服装，类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有40%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客；类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照7.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完. (1)通过计算比较这两类服装单件收益的均值（收益=售价-成本）； (2)某服装专卖店店庆当天，全场，两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买，两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买类服装的概率为.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设为该店当天所售服装中类服装的件数，为当天销售这两类服装带来的总收益.求的期望，以及当时，可取的最大值. 9．（23-24高二下·山东济宁·期末）某工厂的某种产品成箱包装，每一箱100件.每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品是不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记10件产品中恰有1件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了10件，结果恰有1件不合格品，以（1）中确定的作为x的值.已知每件产品的检验费用为2.5元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付20元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求； ②以检验费用与赔偿费用的和的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 比赛问题题型03 10．（23-24高二下·山东菏泽·期末）第24届冬季奥林匹克运动会即北京冬奥会，于2022年2月4日在北京开幕.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，其中. (1)求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？ (2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望. 11．（22-23高二下·山东聊城·期末）甲、乙两位同学进行乒乓球打比赛，约定：①每赢一球得1分；②采用三球换发制，即每比赛三球交换发球权．假设甲发球时甲得分的概率是，乙发球时甲得分的概率是，各球的结果相互独立．根据抽签结果决定，甲先发球． (1)用表示比赛三球后甲的得分，求的分布列和均值； (2)求比赛六球后甲比乙的得分多的概率． 12．（23-24高二下·山东枣庄·期末）甲、乙两选手进行象棋比赛，采用五局三胜制.甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且每局的胜负相互独立. (1)求比赛三局定胜负的概率； (2)在甲第一局获胜的前提下，设还需进行的局数为，求的分布列与数学期望. 13．（23-24高二上·山东日照·期末）普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分． (1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率； (2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛． 题型04 新定义问题 14．（23-24高二下·山东泰安·期末）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成这6组，得到如下的频数分布表. 分组 频数 3 15 42 42 15 3 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率. (1)若从这批零件中随机抽取3个，记x为抽取的零件的长度在的个数，求的分布列和数学期望； (2)若变量满足，且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 15．（24-25高二上·山东日照·期末）为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生． (1)求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率； (2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为．如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关． 在参加志愿服务活动的4名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为，不在本地区参加志愿服务的学生人数为． （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明之间的线性相关关系． 题型05 超几何分布与二项分布的综合运用 16．（23-24高二下·山东青岛·期末）为了监控某种零件的一条生产线的生成过程，检验员从该生产线随机抽取100个零件，并测量其尺寸，得到如下表格： 误差（单位：） 数量 3 10 20 35 19 9 4 (1)求这100件零件误差平均值（同一组的数据用该组区间中点代表） (2)若已知零件的误差服从正态分布，其中近似样本平均数，若随机从生产线上抽取一个零件，求其误差位于区间上的概率； (3)以频率估计概率．若从该生产线上随机抽取10个零件，10个零件中有个零件的误差位于区间，求的分布列和数学期望． 附：（若服从正态分布，则，，） 17．（23-24高二下·山东济南·期末）一个质点从数轴上的原点0开始移动，通过抛掷一枚质地均匀的硬币决定质点向左或者向右移动.若硬币正面向上，则质点向右移动一个单位；若硬币反面向上，则质点向左移动一个单位.抛掷硬币4次后，质点所在位置对应数轴上的数记为随机变量，求： (1)质点位于2的位置的概率； (2)随机变量的分布列和期望. 18．（23-24高二下·山东聊城·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中一次性摸出两个球，如果每次摸出的两个球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖，有两种摸球方式：一是每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，中奖次数记为；二是每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，中奖次数记为. (1)求第一次摸球就中奖的概率； (2)若，求的分布列和数学期望； (3)若，函数随机变量，求的数学期望. 19．（23-24高二下·山东临沂·期末）袋中有大小、形状完全相同的4个红球，2个白球，采用有放回摸球，从袋中随机摸出1个球，定义变换为：若摸出的球是白球，则把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）；若摸出的是红球，则将图象上所有的点向上平移1个单位，函数经过1次变换后的函数记为，经过2次变换后的函数记为，…，经过次变换后的函数记为．现对函数进行连续的变换． (1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求； (2)记，求随机变量的分布列及数学期望． 20．（23-24高二下·山东威海·期末）某校开设了科学、人文、艺体三类校本选修课程，每类课程开设的课程门数与学分设定如下表： 科学类 人文类 艺体类 课程门数 3 3 4 每门课程学分 3 2 1 学校要求学生从这门课程中选修门，假设学生选修每门课程的机会均等. (1)记事件为“学生甲选修的门课程中有且仅有门是科学类课程”，事件为“学生甲选修的门课程的总学分为分”，试判断与是否独立； (2)设学生甲选修的门课程的总学分为，求的分布列和数学期望. 题型06 决策问题 21．（22-23高二上·山东德州·期末）新冠疫情不断反弹，各大商超多措并举确保市民生活货品不断档，超市员工加班加点工作.某大型超市为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，拟在年会后，通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有5种面值奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额． (1)若箱子中所装的5种面值的奖券中有2张面值为100元，其余3张均为50元，试比较员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率的大小； (2)公司对奖励总额的预算是7万元，预定箱子中所装的5种面值的奖券有两种方案：第一方案是3张面值30元和2张面值130元；第二方案是3张面值50元和2张面值100元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由． 22．（22-23高二上·山东青岛·期末）某学校为举办甲､乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一､方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立. (1)从该校全体男生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率，从全体女生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率； (2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； (3)将该校学生支持方案一的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和500名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小. 23．（23-24高二上·山东德州·期末）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近500天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150． ①利用该正态分布，求； ②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数（结果保留整数）． (2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案． 方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励50元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表： 奖金 50 100 概率 小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：，若，则． 24．（23-24高二下·山东滨州·期末）某环保机器制造商为响应“2030年前碳排放达峰行动”的号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后3年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金3000元，在延保的3年内可免费维修1次，超过1次每次收取维修费1000元； 方案二：交纳延保金4000元，在延保的3年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 t 元； 制造商为制定t元的收取标准，为此搜集并整理了100台这种机器超过保修期后3年内维修的次数，统计得到下表： 维修次数 0 1 2 机器台数 10 40 50 以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记 X 表示 2 台机器超过保修期后 3年内共需维修的次数． (1)求 X 的分布列； (2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，求使客户选择方案二更合算时t 的取值范围． 1．（23-24高二下·山东淄博·期末）在一个不透明的密闭纸箱中装有 10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数. (1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和； (2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列和； 2．（23-24高二下·山东菏泽·期末）由这四个数组成无重复数字的四位数中. (1)求两个奇数相邻的四位数的个数（结果用数字作答）； (2)记夹在两个奇数之间的偶数个数为，求的分布列与期望. 3．（22-23高二下·山东威海·期末）根据《国家学生体质健康标准》，六年级男生和女生一分钟跳绳等级如下（单位：次）. 一分钟跳绳等级 六年级男生 六年级女生 优秀 及以上 及以上 良好 及格 不及格 及以下 及以下 从某学校六年级男生和女生中各随机抽取名进行一分钟跳绳测试，将他们的成绩整理如下： 男生/次 女生/次 (1)从这名男生中任取名，求取到的名男生成绩都优秀的概率； (2)若以成绩优秀的频率代替成绩优秀的概率，且每名同学的测试相互独立.从该校全体六年级学生中随机抽取名男生和名女生，设为这名学生中一分钟跳绳成绩优秀的人数，求的概率分布与期望. 4．（22-23高二下·山东滨州·期末）甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛． 在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为． (1)甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲至少有两轮获胜的概率； (2)在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率． 5．（22-23高二下·山东菏泽·期末）贵州榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，简称“村超”，该活动在榕江县如火如荼的进行中，这项活动大大促进了当地村民参加体育活动的积极性.为了更好的提高全民素质，某镇建议成人每周进行5.5小时至8小时的运动.已知“村”有56%的居民每周运动总时间超过8小时，“村”有65%的居民每周运动总时间超过8小时，“村”有70%的居民每周运动总时间超过8小时，且，，三个村的居民人数之比为5:6:9. (1)从这三个村中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过8小时的概率； (2)假设这三个村每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且. 现从这三个村中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为8至9小时的概率. 6．（22-23高二下·山东济宁·期末）甲乙两名同学玩“猜硬币，向前进”的游戏，规则是：每一局抛一次硬币，甲乙双方各猜一个结果，要求双方猜的结果不能相同，猜对的一方前进2步，猜错的一方后退1步，游戏共进行局，规定游戏开始时甲乙初始位置一样． (1)当时，设游戏结束时甲与乙的步数差为，求随机变量的分布列； (2)游戏结束时，设甲与乙的步数差为，求，（结果用表示）． 7．（22-23高二下·山东青岛·期末）某单位文娱队中的每一位队员对于唱歌、跳舞都至少会一项，已知会唱歌的有4人，会跳舞的有5人，现从中选出2人参与一次社会公益演出.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且. (1)求该文娱队的队员人数； (2)求随机变量的分布列和数学期望. 8．（22-23高二下·山东淄博·期末）现有甲、乙两个袋子，其中甲袋中有6个红球和2个白球，乙袋中有3个红球和5个白球，两袋子中小球形状和大小完全相同．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中一次摸出两个球，称为一次试验．已知选择甲袋子的概率为，选择乙袋子的概率为．拟进行多次重复试验，直到摸出的两个球均为红球，不再试验． (1)求第一次试验摸出两个红球的概率； (2)已知需进行第二次试验，计算第一次试验摸出的两个球来自甲袋的概率． 9．（22-23高二下·山东枣庄·期末）某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动．每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分．假定选手甲正确回答每一道题的概率均为． (1)甲完成一局“挑战答题”活动时回答的题数记为，求的分布列； (2)若，记为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求． 10．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个白球，2个红球. (1)若从袋子中任意摸出4个球，求其中恰有2个白球的概率； (2)试验1：若每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸到红球即停止摸球，最多摸球四次，表示停止时的摸球次数；试验2：若每次随机地摸出一个球，记下颜色后不放回，摸到红球即停止摸球，表示停止时的摸球次数. （i）求的分布列及均值； （ii）求试验1和试验2停止时摸球次数相同的概率. 11．（23-24高二下·山东枣庄·期末）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件． (1)求这件产品是次品的概率； (2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率． 12．（23-24高二下·山东淄博·期末）某部门有职工人，其中睡眠不足者人，睡眠充足者人．现从人中随机抽取人做调查． (1)用表示人中睡眠不足职工的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)求事件“人中既有睡眠充足职工，也有睡眠不足职工”发生的概率． 13．（23-24高二下·山东东营·期末）为了促进消费，某超市开展购物抽奖送积分活动，顾客单次购物消费每满100元，即可获得一次抽奖的机会，假定每次中奖的概率均为，不中奖的概率均为，且各次抽奖相互独立.活动规定：第1次抽奖时，若中奖则得10分，不中奖得5分；第2次抽奖时，需要从以下两个方案中任选一个：方案一：若中奖则得30分，不中奖得0分；方案二：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分.当抽奖次数大于两次时，执行第2次抽奖所选的方案，直到抽奖结束. (1)甲顾客单次消费了200元，获得了两次抽奖机会. ①若甲顾客在第二次抽奖时选择了方案二，求甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率并求此时的得分； ②若以甲顾客两次抽奖累计得分的期望为决策依据，甲顾客应该选择哪一个方案？请说明理由； (2)乙顾客单次消费了1100元，获得了11次抽奖机会，记乙顾客11次抽奖共中奖k次的概率为，求的最大值点 14．（23-24高二下·山东济南·期末）在某地区进行某种疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病．现有n（，）个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案： 方案一：逐份检验，需要检验n次； 方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验n＋1次． (1)若，且其中两人患有该疾病，采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率； (2)已知每个人患该疾病的概率为． （ⅰ）若两种方案检验总次数的期望值相同，求p关于n的函数解析式； （ⅱ）若，且每单次检验费用相同，为降低总检验费用，选择哪种方案更好？试说明理由． 15．（23-24高二下·山东济南·期末）某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数． (1)若有放回的抽取，求X的分布列与期望； (2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率． 16．（23-24高二下·山东青岛·期末）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的，且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． (1)已知，，，，求； (2)设表示该生物临近灭绝的概率，当时，证明：p是关于x的方程的最小正实根． 17．（23-24高二上·山东日照·期末）2020年12月4日，“直播带货”入选《咬文嚼字》2020年度十大流行语，与电商直播相关的职业成了年轻人就业新选择.有甲、乙两家农副产品直播间，直播主持人的日工资方案如下：甲直播间底薪100元，直播主持人每箱抽成3元；乙直播间无底薪，80箱以内（含80箱）的部分直播主持人每箱抽成4元，超过80箱的部分直播主持人每箱抽成6元.现从这两家直播间各随机选取一名直播主持人，分别记录其50天的售货箱数，得到如下频数分布表： 售货箱数 60 70 80 90 100 甲直播间天数 5 15 10 15 5 乙直播间天数 5 10 15 12 8 (1)①从记录甲直播间售货的50天中随机抽取3天，求这3天的售货箱数都不小于80箱的概率； ②以样本估计总体，视样本频率为概率，估计甲直播间主持人3天中至少有2天售货箱数不小于80箱的概率. (2)假设同一个直播间的主持人一天的售货箱数相同，将频率视为概率，小张打算到甲、乙两家直播间中的一家应聘主持人，如果从日工资的角度考虑，小张应选择哪家直播间应聘？说明你的理由. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$