专题02 导数核心考点深度剖析与解答策略（10大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题02 导数核心考点深度剖析与解答策略 题型概览 题型01 恒成立与能成立问题 题型02 证明不等式 题型03 零点问题 题型04 双变量问题 题型05 最值问题 题型06 极值问题 题型07 新定义问题 题型08 含参数单调性的讨论 题型09 极值点偏移问题 题型10 利用导数解决实际应用问题 恒成立与能成立问题题型01 1．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若的图象恒在轴的上方，求的取值范围. 2．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在定义域内单调递增，求的取值范围； (3)若函数有两个极值点，，且恒成立，求实数的取值范围. 3．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知函数， (1)若是的极值点，求在区间上的最值； (2)若方程有两个不同的根，． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围． 4．（23-24高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)判断的奇偶性，并求的单调区间； (2)若，求实数的取值范围. 题型02 证明不等式 5．（23-24高二下·山东泰安·期末）已知函数，其中. (1)若，求的极值； (2)证明：. 6．（23-24高二下·山东威海·期末）设函数. (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，记函数，若，证明：. 7．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，时，证明：； (3)证明：. 题型03 零点问题 8．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 9．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数，若过点可作曲线两条切线，求a的取值范围. 10．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若是的一个极大值点，求的取值范围； (3)令且是的两个极值点，是的一个零点，且互不相等.问是否存在实数，使得按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出，若不存在说明理由. 题型04 双变量问题 11．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数的一个零点是． (1)求的值； (2)设曲线与轴的交点为，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方； (3)若关于的方程有两个不相等的实根，求证：． 12．（23-24高二下·山东日照·期末）已知函数. (1)求的值； (2)若函数有3个零点，其中. （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 13．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数存在两个不同的极值点. (1)求的取值范围； (2)设函数的极值点之和为，零点之和为，求证：. 最值问题题型05 14．（23-24高二下·山东济南·期末）函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围. 15．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数． (1)讨论函数极值点的个数，并说明理由； (2)若有两个极值点，其中，求的最小值． 16．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的值. 题型06 极值问题 17．（23-24高二上·山东青岛·期末）设函数， (1)若，求在处的切线方程； (2)若是的极大值，求a的取值范围． 18．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若为函数的一个极值点，求曲线的对称中心. 19．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 题型07 新定义问题 20．（23-24高二下·山东枣庄·期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，. (1)已知，，求曲线在处的切线方程； (2)若且，研究函数的单调性； (3)已知，，，均大于0，且，讨论和的大小关系. 21．（23-24高二下·山东济南·期末）将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是一个函数的图象，即函数的图象与直线至多有1个交点，则称函数具有“α旋转不变性”. (1)证明：函数，具有“旋转不变性”； (2)若函数具有“旋转不变性”，求m的取值范围. 22．（23-24高二下·山东临沂·期末）刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容．曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．若记，则函数在点处的曲率． (1)求函数在点处的曲率； (2)已知函数存在两个不同的点，，使得在，处的曲率为0， （i）求的取值范围； （ii）当时，证明． 含参数单调性的讨论题型08 23．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 极值点偏移问题题型09 24．（22-23高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递减，求实数的取值范围； (2)若存在两个极值点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 25．（22-23高二下·山东聊城·期末）已知函数． (1)当时，求在区间上的最值； (2)若有两个不同的零点，，求的取值范围，并证明：． 26．（23-24高二下·山东泰安·期末）已知函数其中. (1)若存在唯一的极值点，求的取值范围； (2)若存在两个极值点，求证：. 题型10 利用导数解决实际应用问题 27．（22-23高二下·山东聊城·期末）病毒感染是指病毒通过多种途径侵入机体，并在易感的宿主细胞中增殖的过程．如果一个宿主感染了病毒并且在刚出现不良反应时就对症下药，在用药小时后病毒的数量为（细菌个数的单位：百个） (1)求曲线点在处的切线方程； (2)求细菌数量超过14（百个）的时间段． 1．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知函数 且曲线在处切线也是曲线的切线． (1)求的值； (2)求证：； (3)若直线与曲线有两个公共点，，与曲线有两个公共点，，求证： 2．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知函数，其中． (1)若时，有极小值，求的值； (2)若在区间存在单调递减区间，求的取值范围． 3．（23-24高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，若的零点为的零点为. (i)证明:； (ii)证明:. 4．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知函数在处的切线方程为. (1)求的值; (2)若过点的直线与曲线相切，求的方程. 5．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)设，当时，求证为增函数； (2)当时，求证. 6．（22-23高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)当时，求在区间的最大值； (2)若存在唯一的零点，且，求实数的取值范围. 7．（22-23高二下·山东德州·期末）已知函数（为自然对数的底数），函数． (1)求函数的单调区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 8．（22-23高二下·山东聊城·期末）已知（，且）． (1)判断函数的奇偶性和单调性，并给出证明； (2)求函数的值域． 9．（22-23高二下·山东菏泽·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)若函数在上的最小值是，求实数的取值范围. 10．（22-23高二下·山东菏泽·期末）已知（为自然对数的底数）在处的切线方程为. (1)求的解析式； (2)若，时，任意成立，求最大值. 11．（22-23高二下·山东菏泽·期末）已知函数. (1)求的导数； (2)求的图象在处的切线方程. 12．（22-23高二下·山东德州·期末）已知函数，. (1)当时，判断的零点个数； (2)若恒成立，求实数a的值. 13．（22-23高二下·山东德州·期末）已知函数，. (1)若是的极值点，求函数的极值； (2)若时，恒有成立，求实数a的取值范围. 14．（22-23高二下·山东德州·期末）已知. (1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围； (2)设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围. 15．（22-23高二下·山东德州·期末）已知命题：“，使得不等式成立”是真命题. (1)求实数m的取值集合A； (2)设不等式的解集为B，若是的充分条件，求实数a的取值范围. 16．（22-23高二下·山东济宁·期末）已知函数． (1)讨论的单调性; (2)设函数，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 导数核心考点深度剖析与解答策略 题型概览 题型01 恒成立与能成立问题 题型02 证明不等式 题型03 零点问题 题型04 双变量问题 题型05 最值问题 题型06 极值问题 题型07 新定义问题 题型08 含参数单调性的讨论 题型09 极值点偏移问题 题型10 利用导数解决实际应用问题 恒成立与能成立问题题型01 1．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若的图象恒在轴的上方，求的取值范围. 【解析】（1）由，则，， ，， 代入得， 所以在处的切线方程为． （2）由图象恒在轴上方，则恒成立， 即在上恒成立， 令，即， ，令，则， 所以在上为单调递增函数且． 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以为函数的最小值，即． 所以综上可知． 2．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在定义域内单调递增，求的取值范围； (3)若函数有两个极值点，，且恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由函数解析式，可得在定义域为， 当，，则， 令， 可得，即， 解得，. 所以当变化时，，的变化情况如下表： + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由函数解析式，可得在定义域为， 所以， 由在定义域内单调递增，得对任意的恒成立， 即恒成立，即恒成立. 因为，所以， 当且仅当，时，等号成立， 所以，即的取值范围是. （3）因为函数有两个极值点，， 所以方程有两个不相等的实数根，. 设，则有两个不相等的正实数根，， 故，且，， 所以，，， 又恒成立，即恒成立， . 设， 则，在恒成立， 故在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 3．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知函数， (1)若是的极值点，求在区间上的最值； (2)若方程有两个不同的根，． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由可得， 由于是的极值点，则，则， 故， 当时，单调递增，当和时，单调递减， 故是的极值点，满足题意，故， ，， 由于，故，因此，故， ， 由于， 故，，因此， 故， （2）（ⅰ）由可得有两个不同的根，， 故， 记，则， 故当时，单调递减，当时，单调递增， 故，当且， 故； （ⅱ），是的两个根，所以且， 不妨设， ， 设，故，， 由可得， ， 记 ， 记，， ，， ，故在上单调递增，， 从而在上单调递增，， 故在上单调递增，， 因此，故在上单调递增， 由洛必达法则可得 ， 因此，得 4．（23-24高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)判断的奇偶性，并求的单调区间； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为，，所以函数是偶函数， 当时，，所以函数在区间上单调递增， 根据函数是偶函数，则函数在区间单调递减. 所以函数的增区间是，减区间是； （2），即， 由函数是偶函数，且在单调递增， 则，平方后得， 则，得， 或，得， 综上可知， 题型02 证明不等式 5．（23-24高二下·山东泰安·期末）已知函数，其中. (1)若，求的极值； (2)证明：. 【解析】（1）易知的定义域为， 则， 若，则，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，极大值为，无极小值. （2）因为，所以， 要证，只需证即可， 即证即可，即证即可， 令，则， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以的最大值在或处取得，又，， 所以，即恒成立， 所以. 6．（23-24高二下·山东威海·期末）设函数. (1)若直线是曲线的切线，求实数的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，记函数，若，证明：. 【解析】（1）设切点为，， 所以切线方程为， 因为直线是曲线的切线， 所以，即， 化简切线方程得， 所以，解得， 所以. （2）， 当时，， 所以在上单调递增， 当时，令，解得， 所以在上单调递增， 令，解得， 所以在上单调递减， 综上可知，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意知，， 令， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，可得， 所以在上单调递减， 因为， 所以，中至少有一个大于（否则若，有，这与矛盾）， 不妨设，， 所以， 所以， 令 ， 因为，所以，即，又， 所以，即， 可得， 所以. 7．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，时，证明：； (3)证明：. 【解析】（1）由， ①当时，，因此在上单调递增； ②当时，由， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在单调递减； ③当时，，因此在上单调递减. （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 又，所以，即，因此， 因此要证明 即证明， 只需证明， 即证：， ，即证 令， 则， 因此在上单调递增，，则， 即，得证. （3）由（2）知：，令，有 …… 累加得 即得：. 题型03 零点问题 8．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【解析】（1）． ①若，，在为增函数； ②若，令，得. 当时，为减函数， 当时，为增函数. 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）当时，在单调递增，不可能有两个零点，不符合题意. 当时，在单调递减，在单调递增， 因为有两个零点，必有， 因为，所以.令， 则，所以在单调递减，而， 所以当时，，即. 又，故在有1个零点； 当时，因为，则，由得，由得， 所以函数在单调递减，在单调递增，所以，即，故，所以， 取，有， 所以在有1个零点. 综上所述，当有两个零点时，. 9．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数，若过点可作曲线两条切线，求a的取值范围. 【解析】依题意，， 设过点的直线与曲线相切时的切点为， 则斜率， 所以切线方程为： 又点在切线上， 所以 ， 即有， 由过点可作曲线两条切线，得方程 有两个不相等的实数根， 令，则函数有2个零点， 求导得， 若， 由，得或， 由，得， 即函数在， 上单调递增，在 上单调递减， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值， 又， 当 时，恒成立 ，所以函数最多1个零点，不合题意； 若恒成立，函数在上单调递增， 因此函数最多1个零点，不合题意； 若，由，得或 ， 由， 得， 即函数在上单调递增，在 上单调递减， 则当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 又， 显然当时，恒成立， 所以函数最多1个零点，不合题意； 若， 显然， 当时， ， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值， 要函数有2个零点，必有，得 ， 当时，， 而函数在(0,1)上的值域为 ， 因此在上的值域为， 当时，令，求导得， 所以函数在上单调递减， 则， ， 而函数在上单调递减，值域为， 因此函数在上的值域为， 于是当时，函数有两个零点， 所以过点可作曲线两条切线时， 所以的取值范围是 10．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若是的一个极大值点，求的取值范围； (3)令且是的两个极值点，是的一个零点，且互不相等.问是否存在实数，使得按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出，若不存在说明理由. 【解析】（1）由得， 当，时，， 令，解得，，， 所以当或时， 当或时， 所以的单调递减区间为，，单调递增区间为，. （2）函数的定义域为，且， 令， 则． 所以有两个不等实根，，不妨设． ①当或时，不是的极值点，此时不合题意； ②当时，则或时，当或时， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以不是的极大值点， ③当时，则或时，当或时， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以不是的极大值点， ④当时，则或时，当或时， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极大值点． 所以，即， 所以，所以的取值范围． （3）由，知， 由，故， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 不妨设的两个极值点分别为，． 因为互不相等，是的一个零点，所以， 所以， 所以存在，使成等差数列， 即存在实数，使得按照某种顺序排列后构成等差数列，且． 题型04 双变量问题 11．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数的一个零点是． (1)求的值； (2)设曲线与轴的交点为，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方； (3)若关于的方程有两个不相等的实根，求证：． 【解析】（1）由题知，， 所以； （2）由题知，， 又因为，所以直线： 令，， 则， 因为， 又因为在上单调递增， 当时，，在区间单调递减， 当时，，在区间单调递增， 故 所以，即上的点都不在直线的上方； （3）令，得， 当时，，在区间单调递增， 当时，，在区间单调递减， 又，， 所以有两个零点1和， 在处的切线为，在处的切线为 设与两条切线交点的横坐标分别为，则， 由（2）知，所以 记，， 因为，所以，故在上单调递增， 所以， 所以． 12．（23-24高二下·山东日照·期末）已知函数. (1)求的值； (2)若函数有3个零点，其中. （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【解析】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为，所以除1外还有两个不同的零点， 由，得， 令， 当时，在上恒成立，则， 所以在上单调递减， 所以在上至多有1个零点，不合题意，舍去； 当时，除1外还有两个不同的零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为， 则，所以， 当或时，，则， 当时，，则， 所以在和上递增，在上递减， 因为，所以， 因为，且， ，且， 所以存在，使得， 所以有3个零点， 综上，a的取值范围为； （ⅱ）证明：由（1）知，即， 所以若，则，所以， 当时，先证明不等式恒成立， 令， 则， 所以在上递增，所以， 所以当时，不等式恒成立， 由，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 两边同除以，得， 即， 所以. 13．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数存在两个不同的极值点. (1)求的取值范围； (2)设函数的极值点之和为，零点之和为，求证：. 【解析】（1）由已知函数的定义域为， 当时，，函数在单调递增，无极值点， 当时，，， 又函数有两个不同的极值点，即在有两个解， 即方程有两个解， 可转化为函数，与直线有两个公共点， 又，令，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取最小值为， 做出函数，与图像如图所示， 所以，解得. （2）由（1）得有两个解，设为，，且， 则当时，，即，函数单调递减， 当时，，即，函数单调递增， 当时，，即，函数单调递减， 又， 所以函数至多有三个零点， 当时，令，即， 则， 即函数除以外的零点即为方程的解，且 设，则， 又函数，恒成立，单调递减，且当时，， 所以当时，，即，单调递增，且此时恒成立，又 当时，，即，单调递减，且此时恒成立，由， 所以又两个解，设为，，且， 又，， 所以， 所以函数的零点之和， 所以若证，可证， 即证， 由（1）可知， 则， 设，， 所以恒成立， 所以在上单调递减， 所以， 即， 即， 又由（1）得在上单调递减， 所以，即， 所以. 最值问题题型05 14．（23-24高二下·山东济南·期末）函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围. 【解析】（1）当时，（），则， 由，得或，由，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）由，得， 由，得或， 因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以的最大值为， 即， ， 因为，所以， 所以的最小值为，即， 所以， 令，，则， 令，得或， 所以当时，， 所以在上单调递增， 所以，所以， 即， 所以. 15．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数． (1)讨论函数极值点的个数，并说明理由； (2)若有两个极值点，其中，求的最小值． 【解析】（1）定义域为， ， 令，则， 当，即时，恒成立， 故，所以在上单调递增，无极值点， 当，即或时，设的两根分别为， 则， 若，此时，故，， 在上单调递增，无极值点， 若，此时，且， ， 故令得或， 令得， 故在上单调递增， 在上单调递减， 故为极大值点，为极小值点，共两个极值点， 综上，当时，极值点个数为0，当时，有两个极值点； （2）由（1）知，，，， 故， ， 令，， 则， 故在上单调递减， 故当时，取得最小值，最小值为. 16．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的值. 【解析】（1）， 当时，，所以在上单调递增 当时，由得，由得 所以在区间单调递减，在区间单调递增 （2）由（1）知，当时，在区间单调递增，无最小值 当时，在区间单调递减，在区间单调递增 所以，所以 令，则， 由得，， 所以在区间单调递增，在区间单调递减，所以的最大值为 所以， 所以的值为1. 题型06 极值问题 17．（23-24高二上·山东青岛·期末）设函数， (1)若，求在处的切线方程； (2)若是的极大值，求a的取值范围． 【解析】（1）若，则，所以，故， 又，所以在处的切线方程． （2）由题意，从而， ①当时，，所以， 从而在上单调递增，在上单调递减，故是的极大值点，满足题意； ②当时，，所以或，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 从而是的极大值点，满足题意； ③当时，，所以在上单调递增，不合题意； ④当时，，所以或，， 从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意； 综上所述，实数a的取值范围是． 18．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若为函数的一个极值点，求曲线的对称中心. 【解析】（1），， ， 因为函数在上单调递增， 所以当，恒成立， 又二次函数开口向上，且对称轴为， 故在上单调递增， 所以只需，即， 故实数的取值范围为； （2）由，函数的一个极值点为， 所以，解得， 此时， 当时，，在区间单调递减， 当时，，在区间单调递增， 所以为函数的极小值点，故满足题意， 所以， 设曲线的对称中心为， 由题意，函数为奇函数， 则， 由， 即对任意恒成立， 得， 因为，所以， 解得，所以曲线的对称中心为. 19．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 【解析】（1）的定义域为， ，所以， 又因为，所以切点为， 所以曲线在处的切线方程为 （2）， 当时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值. 题型07 新定义问题 20．（23-24高二下·山东枣庄·期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，. (1)已知，，求曲线在处的切线方程； (2)若且，研究函数的单调性； (3)已知，，，均大于0，且，讨论和的大小关系. 【解析】（1）， 故， ，且， 故切线方程为，即 （2）， 故 ， 设，， 则， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以， 即，故在单调递增. （3）设，则， 设， 由在单调递增知，在单调递增. 故当时，，即， 即， 当时，，即， 即. 综上，当时， ； 当时， 21．（23-24高二下·山东济南·期末）将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是一个函数的图象，即函数的图象与直线至多有1个交点，则称函数具有“α旋转不变性”. (1)证明：函数，具有“旋转不变性”； (2)若函数具有“旋转不变性”，求m的取值范围. 【解析】（1）由题意可知，当时，, 令 ，， 则， 在上单调递减. 故与至多有1个交点， 即与至多有1个交点， 故函数具有“旋转不变性”. （2）由题意得：当时，， 函数与函数的图象至多有1个交点， 即方程至多有一个根, 即函数与函数的图象至多1个交点， 因此函数在上为单调函数， ，而当时，， 所以在上恒成立，故. 令，则 因为在上单调递减，且， 由零点存在定理可知，，使 所以， 当单调递增， 当单调递减， 所以， 即. 22．（23-24高二下·山东临沂·期末）刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容．曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．若记，则函数在点处的曲率． (1)求函数在点处的曲率； (2)已知函数存在两个不同的点，，使得在，处的曲率为0， （i）求的取值范围； （ii）当时，证明． 【解析】（1）， ， 在点处的曲率为. （2）(i)， ， 存在两个不同的点，使得的曲率为0， 即有两个不同的解， 即有两个不同的解， ， 令，得，令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ， 又当时，恒成立，且时，， . (ii)由得， 要证明:，只要证， 而， 令，则，欲证， 只要证:， 即即可. 令， ， 在时单调递增， 则， ，即， . 含参数单调性的讨论题型08 23．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）当时，，所以. 设切点为，则， 所以，切线方程为， 将代入得，解得或， 故过的切线方程为或. （2）. 当时，，恒有，函数单调递增， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 极值点偏移问题题型09 24．（22-23高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递减，求实数的取值范围； (2)若存在两个极值点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 【解析】（1）法一：，             若函数在上单调递减，则对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，，                  因为，所以在上单调递增，                所以，                   所以. 法二：，             若函数在上单调递减，则对任意恒成立， 即对任意恒成立， 所以对任意恒成立，                                 令，，则， 可得在上单调递增，在上单调递减， ①当时，在上单调递增， 所以，可得，解得， 所以；                                                ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以. 综上，. （2）（ⅰ），令，若存在两个极值点，， 则，为的两个变号零点，， ①当时，，在单调递减， 所以不可能存在两个变号零点，不合题意； ②当时，可得在上单调递增，在上单调递减， 若存在两个变号零点，则，解得， 又，令， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 又， 所以当时，存在两个极值点. （ⅱ）不妨设，则，，        要证，即证， 因为，，在上单调递减， 即证，又因为， 即证， 令，， ，                                        所以， 所以在上单调递增， 所以，因为，所以， 即. 综上，. 25．（22-23高二下·山东聊城·期末）已知函数． (1)当时，求在区间上的最值； (2)若有两个不同的零点，，求的取值范围，并证明：． 【解析】（1）当时，，， ． 由，得；由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为，， ， ， 所以在区间上的最大值为0，最小值为． （2）． 当时，，在上单调递减，不可能有两个零点，舍去； 当时，所以， 由，得，所以在上单调递增； 由，得，所以在上单调递减． 当时，取得极大值，极大值为． 为满足题意，必有，得． 又时，， 时，， 所以的取值范围为． 因为，是的两个不同的零点， 所以，， 两式相减得． 设，要证， 只需证，即证． 设，只需证， 设，则， ∴在上为增函数，从而， 所以成立，从而． 26．（23-24高二下·山东泰安·期末）已知函数其中. (1)若存在唯一的极值点，求的取值范围； (2)若存在两个极值点，求证：. 【解析】（1）由题意知，，令， 故，当时，，故在上单增， 又，，故， 故在上存在唯一变号零点，即存在唯一的极值点，符合题意； 当时，在上单调递增，即无极值点，不合题意； 当时，由得，又是增函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， ①当时，，所以，， 所以，所以在上单调递增，即无极值点，不合题意； ②当时，，所以，又， ， 所以在上存在两个变号零点，即在上存在两个极值点，不合题意. 综上，，即. （2）因为存在两个极值点，由（1）知，， 且均为正数，所以，，即. 所以欲证，只需证，只需证. 又由题意，，，所以， 所以，，即，所以. 下面先证明，不妨设， 记，则，， 令，，， 所以在上单调递增，所以，由得，. 所以，，即得证. 所以，，即. 所以，证毕. 题型10 利用导数解决实际应用问题 27．（22-23高二下·山东聊城·期末）病毒感染是指病毒通过多种途径侵入机体，并在易感的宿主细胞中增殖的过程．如果一个宿主感染了病毒并且在刚出现不良反应时就对症下药，在用药小时后病毒的数量为（细菌个数的单位：百个） (1)求曲线点在处的切线方程； (2)求细菌数量超过14（百个）的时间段． 【解析】（1）当时，，， ，． 故曲线在点处的切线方程为，即． （2）当时，由，解得，所以； 当时，由，解得， 综上所述，即细菌数量超过14百个的时间段是． 1．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知函数 且曲线在处切线也是曲线的切线． (1)求的值； (2)求证：； (3)若直线与曲线有两个公共点，，与曲线有两个公共点，，求证： 【解析】（1），， 所以在处切线方程为， 联立，得， ，得； （2）设，， 设，，单调递减，且， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，取得最大值0，所以，当时等号成立，即， ，当时等号成立， 即， 综上可知，，即. （3），对称轴方程为，由对称性可知，， 所以要证明，只需证明， ，，得， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 当时，取得最大值， 当时，，当时，，，， 所以与的图象有两个公共点，，设， 则，， 设， ， ， 当时，，则，， 即时，，单调递增，, 所以当时，，即， ，所以，由， 即，在上单调递减， 所以，即， 综上可知，. 2．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知函数，其中． (1)若时，有极小值，求的值； (2)若在区间存在单调递减区间，求的取值范围． 【解析】（1）由，可得， 因为函数在处取极小值，所以，解得或. 当时，， 所以当时， 函数在和上单调递增； 当时，， 函数在上单调递减； 所以时，有极小值，所以满足题意. 当时，， 所以当时，， 函数在区间和上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减， 所以时，有极大值,所以不满足题意. 综上所述，所求的值为2. （2）因为， 当时，由，解得，所以函数的减区间为. 在区间存在单调递减区间，所以， 当时，，所以函数在单调递增，不存在减区间， 所以不符合题意. 当时，由，解得，所以函数单调递减区间为. 所以在区间不存在单调递减区间，所以不符合题意. 综上所述，的取值范围为. 3．（23-24高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，若的零点为的零点为. (i)证明:； (ii)证明:. 【解析】（1）函数的定义域为， 由，可得， 当时，，函数在上为增函数， 当时，令，可得， 当时，，函数在上为减函数， 当时，，函数在上为增函数， 综上所述：当时，函数在上为增函数，在上为减函数， 当时，函数在上为增函数； （2）当时，， 因为的零点为的零点为. 所以， （i）由（1）可知函数在上为增函数， 又，所以， 的定义域为，又， 所以函数在上为增函数， 又，， 所以， 综上所述：； （ii）由函数在上为增函数，函数在上为增函数， 又， 所以，所以， 又，所以， 所以 所以. 4．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知函数在处的切线方程为. (1)求的值; (2)若过点的直线与曲线相切，求的方程. 【解析】（1）由题可得， 由的斜率为1，得，即. （2）由(1)知，， 设切点为，则， 又直线过点， 整理得，， 直线的方程为，即. 5．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)设，当时，求证为增函数； (2)当时，求证. 【解析】（1）函数的定义域为， ， ， 因为，所以， 所以为上的增函数. （2）当时，，则有， 故只需证恒成立， 由（1）知当时，在上单调递增， 又， 由零点存在定理，可知在上有唯一实根，且， 当时，，当时，， 从而当时，取得最小值. 由，得， 即，所以， 故. 当且仅当时，上式等号成立， 所以，当时，. 综上所述，当时，恒成立. （2）方法二 当时，，则有，故只需证明当时，恒成立， 令，， 由得，由得，由得， 所以时. 所以恒成立，当时，等号成立. 所以即， 当且仅当时，等号成立， ，即，当且仅当时，等号成立. 所以成立. 综上，当时，恒成立. 6．（22-23高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)当时，求在区间的最大值； (2)若存在唯一的零点，且，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 则， 由，可得或，，可得， 因此在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增， 所以在区间的最大值为、中较大者， 因为，， 所以在区间的最大值为； （2）法一：， ①当时，，令，可得，不合题意； ②当时，解不等式，可得， 解不等式，可得或， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减， 又因为，所以在存在零点，不合题意； ③当时，解不等式，可得或， 解不等式，可得， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 又因为，所以在存在零点， 若存在唯一的零点，且，则， 可得，即，解得或，所以. 综上，. 法二：依题意知方程有唯一的负根， 即有唯一负根， 所以与的图象有唯一交点且位于轴左侧， 令，则，， 解不等式，可得， 解不等式，可得或， 所以在单调递减，在，单调递增，在单调递减， 所以， 又，所以. 7．（22-23高二下·山东德州·期末）已知函数（为自然对数的底数），函数． (1)求函数的单调区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数定义域为，又，   令，解得， 所以、与的关系如下所示： 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，；单调递增区间为. （2）不等式在上恒成立，等价于不等式在上恒成立， 故不等式在上恒成立，     令，，则， 当时，，所以在上为增函数； 当时，，所以在上为减函数； 所以，所以． 8．（22-23高二下·山东聊城·期末）已知（，且）． (1)判断函数的奇偶性和单调性，并给出证明； (2)求函数的值域． 【解析】（1）， 因为的定义域为，， 所以为奇函数． （方法一）设， 当时，因为，，，所以， 故为增函数； 当时，因为，，，所以， 故为减函数． 综上，当时，为增函数；当时，为减函数． （方法二）， 当时，因为，又，所以，故为增函数； 当时，因为，又，所以，故为减函数． 综上，当时，为增函数；当时，为减函数． （2）． 因为，所以（当且仅当时取等号）， 又时，，所以的值域为． 9．（22-23高二下·山东菏泽·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)若函数在上的最小值是，求实数的取值范围. 【解析】（1）由得， 令，得或， 令，得， 故的增区间为，单调减区间为； （2）由（1）可知的极大值为，极小值为； （3）函数在上的最小值是，故， 由可知是的一个解， 故，解得或， 由于的增区间为，单调减区间为， 故要使得函数在上的最小值是，只需， 即实数的取值范围为. 10．（22-23高二下·山东菏泽·期末）已知（为自然对数的底数）在处的切线方程为. (1)求的解析式； (2)若，时，任意成立，求最大值. 【解析】（1）由可得，由题意知， ，则， 故. （2）令， 则，则为R上单调递增函数， 当时，，故可以取负无穷小， 当时，，故可以取正无穷大， 故存在唯一零点，即为，即①； 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故， 结合①可得， 即，解得或， 当时，， 可得； 当时，， 即，该式不可能成立； 故，由于，，故， 故，当且仅当时等号成立， 即最大值为. 11．（22-23高二下·山东菏泽·期末）已知函数. (1)求的导数； (2)求的图象在处的切线方程. 【解析】（1）因为， 所以. （2）由， 所以， 所以在处的切线方程为，即. 12．（22-23高二下·山东德州·期末）已知函数，. (1)当时，判断的零点个数； (2)若恒成立，求实数a的值. 【解析】（1）当时，， 则，    当，，函数在上单调递增， 当，，函数在上单调递减， 所以，     所以的零点个数为0. （2）不等式，即为， 设，，则，   设，， 当时，，可得，则单调递增， 此时当而当时，，故不满足题意；    当时，由，单调递增， 当x无限趋近0时，无限趋近于负数a，当x无限趋近正无穷大时，无限趋近于正无穷大，故有唯一的零点， 即，则，， 当时，，可得，单调递减； 当时，，可得，单调递增， 所以 ， 因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以   因为恒成立，即恒成立， 令，，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以，即      又由恒成立，则，所以. 13．（22-23高二下·山东德州·期末）已知函数，. (1)若是的极值点，求函数的极值； (2)若时，恒有成立，求实数a的取值范围. 【解析】（1），因为是的极值点，     所以，所以， 所以 当或时，； 当时，. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 所以极大值，极小值为 （2）若时，恒有恒成立，即，即， 因为，所以，   令，则， 则时，，时，      所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为，所以.   所以a的取值范围为 14．（22-23高二下·山东德州·期末）已知. (1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围； (2)设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围. 【解析】（1）因为在区间上单调递减， 所以在区间恒成立.     即区间恒成立， 即，即在上恒成立，      易知在上单调递增， 当时，， 所以，即. （2）函数在上有两个零点， 即在上有两个不等的实根.   即在上有两个不等的实根， 令， 则，   解得. 15．（22-23高二下·山东德州·期末）已知命题：“，使得不等式成立”是真命题. (1)求实数m的取值集合A； (2)设不等式的解集为B，若是的充分条件，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由，使得不等式成立， 所以   因为二次函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 所以，当时，，    所以，. （2）由可得.    设，令 ，，单调递递减，，，单调递增， ，所以，所以     从而或， 因为是的充分条件，则， 则，即； 实数的取值范围是. 16．（22-23高二下·山东济宁·期末）已知函数． (1)讨论的单调性; (2)设函数，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为，， ①当时，，函数在上单调递减； ②当时，令，得， 函数在上单调递增； 令，得， 函数在上单调递减． 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数单调递增区间为， 单调递减区间为． （2）因为函数，对任意，不等式恒成立， 等价于对任意，恒成立． 令， 则， 令，则 若，则，在上单调递增， 若，则，在上单调递减， 所以． 又因为，， 所以有两个实根，且，． 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数有两个极小值点为． 因为是的根，所以，即， 所以函数的一个极小值为 ． 同理，函数的另一个极小值为， 所以， 所以若对任意，不等式恒成立，则． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$