专题01 导数的典型小题全归纳与剖析（11大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题01 导数的典型小题全归纳与剖析 题型概览 题型01 切线问题 题型02 已知单调性求参数问题 题型03 导数的运算及导数的定义 题型04 不等式的解集问题 题型05 求单调区间 题型06 最值问题 题型07极值问题 题型08 利用导数研究函数的性质 题型09 构造函数比较大小 题型10 零点问题 题型11 恒成立与能成立问题 切线问题题型01 1．（多选题）（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则（    ） A． B． C． D．曲线在处的切线方程为 2．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知曲线在点处的切线与轴相交于点，则实数（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．（23-24高二上·山东滨州·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山东日照·期末）已知，，若直线是函数的一条切线，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东济南·期末）函数在点处的切线斜率为（    ） A． B．0 C．1 D． 6．（23-24高二下·山东济南·期末）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.对于方程，如果用二分法求近似解，给定初始区间，若精确度，则至少需要经过4次迭代才能求出其近似解.牛顿在《流数法》一书中用“作切线”的方法求高次方程的近似解.从函数的观点看，给定一个初始值，在横坐标为的点处作函数的切线，切线与x轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到，一直继续下去得到，，…，.它们越来越逼近函数的零点r，当时，或即为方程的近似解.现给定初始值，利用牛顿法求的近似解，至少需要几次迭代也能达到同样的精确度（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 已知单调性求参数问题 7．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 题型03 导数的运算及导数的定义 10．（多选题）（23-24高二上·山东聊城·期末）下列求导运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 11．（多选题）（23-24高二上·山东临沂·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·山东淄博·期末）若函数满足则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 14．（23-24高二下·山东威海·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·山东菏泽·期末）设函数，下列说法正确的为（    ） A．当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为2.1 B．在处的导数为3 C．的图象在点处的切线的斜率为6 D．的极小值点为 16．（23-24高二下·山东枣庄·期末）某运动员在10米跳台起跳后，其速度与时间的函数为，则该运动员在秒处的瞬时高度（忽略身高）为（    ） A．9.8米 B．9.9米 C．10米 D．10.1米 题型04 不等式的解集问题 17．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 求单调区间题型05 18．（23-24高二下·山东青岛·期末）函数，则，（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递减 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．是奇函数，且在区间上单调递减 题型06 最值问题 19．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·山东聊城·期末）设函数，若的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 21．（23-24高二下·山东青岛·期末）正实数，满足，则的最大值为 ． 22．（23-24高二下·山东威海·期末）如图，在河岸同侧有甲、乙两个工厂，甲工厂位于笔直河岸的岸边处，乙工厂位于离河岸40公里的处，BD垂直于河岸，垂足为且与相距50公里.两个工厂要在此岸边A，D之间合建一所供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂铺设水管的费用分别为每公里3a元和5a元，供水站建在与甲工厂相距 公里，可使铺设水管的总费用最省. 题型07 极值问题 23．（23-24高二下·山东菏泽·期末）函数的极小值为 . 24．（23-24高二下·山东济南·期末）函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二下·山东威海·期末）若函数存在极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 利用导数研究函数的性质题型08 26．（23-24高二下·山东枣庄·期末）已知函数的图象是下列四个图象之一.且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二下·山东日照·期末）已知函数的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．在区间内有2个极值点 C．在区间上是增函数 D．曲线在处的切线的斜率大于0 28．（多选题）（24-25高二上·山东滨州·期末）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 29．（多选题）（23-24高二下·山东青岛·期末）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，且，则（    ）    A．是的极小值点 B．有2个极大值点 C．在区间单调递增 D． 30．（多选题）（23-24高二下·山东临沂·期末）已知函数，则（    ） A．存在实数使得 B．当时，有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．若曲线有两条过点的切线，则 31．（多选题）（23-24高二下·山东枣庄·期末）已知函数，则函数（    ） A．单调减区间为 B．在区间上的最小值为 C．图象关于点中心对称 D．极大值与极小值的和为 构造函数比较大小题型09 32．（23-24高二下·山东威海·期末）已知奇函数对于满足，，则（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数，若，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 34．（23-24高二下·山东日照·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型10 零点问题 36．（23-24高二下·山东威海·期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 37．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，过点可作曲线的两条切线，则的取值范围为 ；若切点为，，则的取值范围为 . 38．（23-24高二下·山东德州·期末）设函数，若且，则的取值范围是 ． 39．（多选题）（23-24高二下·山东济南·期末）下列函数中，有两个零点的是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若方程有三个实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高二下·山东烟台·期末）若曲线与总存在关于原点对称的点，则的取值范围为 . 42．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为 题型11 恒成立与能成立问题 43．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知函数，使得成立，则实数的最大值为 ． 44．（23-24高二上·山东滨州·期末）若，且，都有，则的最大值为 . 45．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 46．（23-24高二下·山东日照·期末）已知函数，，若函数的图象恒在的图象的上方，其中，则的取值范围为 . 1．（23-24高二下·山东菏泽·期末）一质点沿直线运动，位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系为，当位移大小为9时，质点运动的速度大小为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（多选题）（23-24高二下·山东烟台·期末）某弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则（    ） A．时，弹簧振子的位移为 B．时，弹簧振子的瞬时速度为 C．时，弹簧振子的瞬时加速度为 D．时，弹簧振子的瞬时速度为 3．（多选题）（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，则（    ） A．是极大值点 B．有三个零点 C．当时， D．的图象关于对称 4．（多选题）（22-23高二下·山东青岛·期末）某地工业化工厂排风扇发生故障，在抢修人员到来前测得工厂内部空气中有毒物质含量达到了危险状态．经过抢修人员的抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得工厂内的有毒物质浓度为128ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为64ppm．由检验知该工厂内有毒物质浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分）之间满足函数关系，其中（R为常数）．当有毒物质浓度不高于0.5ppm时称空气质量为合格等次，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．排气32分钟后，工厂内部空气质量为合格等次 D．排气36分钟后，工厂内部空气质量为合格等次 5．（多选题）（23-24高二下·山东威海·期末）已知函数是方程的实数根，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（23-24高二上·山东青岛·期末）已知函数， 则（    ） A． 存在唯一的极值点 B． 存在唯一的零点 C．直线与的图像相切 D．若， 则 7．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知，则 . 8．（23-24高二下·山东济南·期末）以半径为R，圆心角为α的扇形铁皮为圆锥的侧面，制成一个圆锥形容器.当扇形的圆心角α为 时，容器的容积最大. 9．（23-24高二下·山东泰安·期末）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 . 10．（23-24高二下·山东威海·期末）曲线与直线平行的切线方程为 . 11．（23-24高二上·山东聊城·期末）若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为 ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 导数的典型小题全归纳与剖析 题型概览 题型01 切线问题 题型02 已知单调性求参数问题 题型03 导数的运算及导数的定义 题型04 不等式的解集问题 题型05 求单调区间 题型06 最值问题 题型07极值问题 题型08 利用导数研究函数的性质 题型09 构造函数比较大小 题型10 零点问题 题型11 恒成立与能成立问题 切线问题题型01 1．（多选题）（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则（    ） A． B． C． D．曲线在处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】令，则， 依题意，解得，故A正确； 依题意可得曲线在原点处的切线过点，所以，故C正确； 又，所以， 则曲线在处的切线方程为，故B错误，D正确. 故选：ACD 2．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知曲线在点处的切线与轴相交于点，则实数（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为， 所以，则， 所以在点处的切线方程为， 又因为切线与轴相交于点， 所以，解得， 故选：A 3．（23-24高二上·山东滨州·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，可得， 令，可得， 因为，可得，则， 即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 故选：B. 4．（23-24高二下·山东日照·期末）已知，，若直线是函数的一条切线，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设切线的切点为，则. 且由，及该直线斜率为，知. 所以，故，从而代入知，即. 所以. 当，时，有，. 所以的最小值是. 故选：C. 5．（23-24高二下·山东济南·期末）函数在点处的切线斜率为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以. 故选：A 6．（23-24高二下·山东济南·期末）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.对于方程，如果用二分法求近似解，给定初始区间，若精确度，则至少需要经过4次迭代才能求出其近似解.牛顿在《流数法》一书中用“作切线”的方法求高次方程的近似解.从函数的观点看，给定一个初始值，在横坐标为的点处作函数的切线，切线与x轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到，一直继续下去得到，，…，.它们越来越逼近函数的零点r，当时，或即为方程的近似解.现给定初始值，利用牛顿法求的近似解，至少需要几次迭代也能达到同样的精确度（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】令，则，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，得. 又，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，解得， 因为， 所以利用牛顿法求的近似解，至少需要次迭代也能达到同样的精确度. 故选：B. 题型02 已知单调性求参数问题 7．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即，即， 设，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：D. 8．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由在上单调递减，可得在上恒成立，故， 所以， 故选：A 9．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以没有单调递增区间，不符合题意； 当时，单调递增，令，解得， 所以的单调递增区间为（或）， 依题意可得，解得. 故选：C 题型03 导数的运算及导数的定义 10．（多选题）（23-24高二上·山东聊城·期末）下列求导运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A：由于是常数，常数的导数是，即，错误； 对于B：，正确； 对于C：，正确； 对于D：，正确； 故选：BCD 11．（多选题）（23-24高二上·山东临沂·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C正确； ，所以D错误. 故选：BC 12．（23-24高二下·山东淄博·期末）若函数满足则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据导数的定义知，，则. 故选：A. 13．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 故，解得， 故选：A 14．（23-24高二下·山东威海·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得， 所以，解得. 故选：B. 15．（23-24高二下·山东菏泽·期末）设函数，下列说法正确的为（    ） A．当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为2.1 B．在处的导数为3 C．的图象在点处的切线的斜率为6 D．的极小值点为 【答案】A 【解析】A：当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为，所以本选项说法正确； B：，因此本选项说法不正确； C：由上可知，所以有，因此本选项说法不正确； D：由上可知，显然， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以的极小值点为，因此本选项说法不正确， 故选：A 16．（23-24高二下·山东枣庄·期末）某运动员在10米跳台起跳后，其速度与时间的函数为，则该运动员在秒处的瞬时高度（忽略身高）为（    ） A．9.8米 B．9.9米 C．10米 D．10.1米 【答案】B 【解析】速度与时间的函数为， 设高度与时间的函数为，则， 故设： 且，故， 在秒处的瞬时高度：. 故选：B 题型04 不等式的解集问题 17．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数，， ，即函数在上单调递减， 等价于，解得. 即的解集为. 故选：D 求单调区间题型05 18．（23-24高二下·山东青岛·期末）函数，则，（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递减 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．是奇函数，且在区间上单调递减 【答案】A 【解析】的定义域为,且 ，故，即函数是偶函数； 因，当时，，则，即函数在区间上单调递增. 故选：A. 题型06 最值问题 19．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，. 当时，， 若即，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，. 又函数的值域为，所以，（）； 若即，函数在上单调递增，所以，. 又函数的值域为，所以（）. 综上可知：或. 故选：C 20．（23-24高二下·山东聊城·期末）设函数，若的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解析】由，得， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为的最小值为，所以， 所以， 因为，， 所以的最大值为. 故选：B 21．（23-24高二下·山东青岛·期末）正实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，即， 设，则，且， 所以在上，单调递增. 因为，为正实数，，即， 所以等价于，即，， 所以. 设,则. 令，则， 所以在上单调递减，所以. 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，即的最大值为. 故答案为:. 22．（23-24高二下·山东威海·期末）如图，在河岸同侧有甲、乙两个工厂，甲工厂位于笔直河岸的岸边处，乙工厂位于离河岸40公里的处，BD垂直于河岸，垂足为且与相距50公里.两个工厂要在此岸边A，D之间合建一所供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂铺设水管的费用分别为每公里3a元和5a元，供水站建在与甲工厂相距 公里，可使铺设水管的总费用最省. 【答案】20 【解析】设，则，，,, 所以总费用 ，令，得， 当，，函数单调递减，当，，函数单调递增， 所以当时，总费用取得最小值，此时公里. 故答案为： 题型07 极值问题 23．（23-24高二下·山东菏泽·期末）函数的极小值为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 又， 所以当或时，当或时， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，即极小值为. 故答案为： 24．（23-24高二下·山东济南·期末）函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 因为有两个极值点， 所以有两个不等的正根， 即有两个不等的正根， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 当时，，当时，， 所以的大致图象如图所示， 由图可知当时，与的图象有两个不同的交点， 所以当时，有两个极值点. 故选：D 25．（23-24高二下·山东威海·期末）若函数存在极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， 当时，二次函数开口向上，且， 此时，即恒成立， 所以在上单调递增，此时不存在极大值，故不满足题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故满足题意； 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故符合题意； 当时，或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故满足题意； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 利用导数研究函数的性质题型08 26．（23-24高二下·山东枣庄·期末）已知函数的图象是下列四个图象之一.且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】图象可知，. 故函数在处，切线的斜率为0， 只有选项D满足条件. 故选：D 27．（23-24高二下·山东日照·期末）已知函数的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．在区间内有2个极值点 C．在区间上是增函数 D．曲线在处的切线的斜率大于0 【答案】D 【解析】由导函数的部分图象可得， 当或时，，当或时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在区间内有个极值点，故BC错误； 所以，故A错误； 曲线在处的切线的斜率为，故D正确. 故选：D. 28．（多选题）（24-25高二上·山东滨州·期末）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【答案】ABD 【解析】由有， 由图可知的分布如图所示： 当时，，，，所以， 所以在单调递增，故A错误； 当时，，所以，即，在单调递减，故B错误； 当时，，所以，由图可知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时的极小值点，故当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，，所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 故选：ABD. 29．（多选题）（23-24高二下·山东青岛·期末）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，且，则（    ）    A．是的极小值点 B．有2个极大值点 C．在区间单调递增 D． 【答案】BCD 【解析】A：由题意知，当时，， 所以不是的极小值点，故A错误； 由图知， 当时，函数，递增， 当时，函数，递减， 当时，函数，递增， 当时，函数，递减， 所以当或时，取得极大值，故B正确； 且在区间单调递增，故C正确； D：由题意知，由图，得，， 所以区间内单位增长率大于1，且，可得，故D正确； 故选：BCD 30．（多选题）（23-24高二下·山东临沂·期末）已知函数，则（    ） A．存在实数使得 B．当时，有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．若曲线有两条过点的切线，则 【答案】AC 【解析】对A，根据已知的导函数，令 则，令， ，当时， 根据函数零点存在定理存在实数使得，故A正确； 对B，根据题意知，令得到， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 是的极大值，且的极大值大于极小值， ， ， 所以在定义域内有且只有一个零点，故B错误； 对C，令，该函数定义域为R， 且， 所以为奇函数，是的对称中心， 将向下移动两个单位得到的图像， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对D，过的切线的切点为，切线斜率为， 则切线方程为， 把点代入可得，化简可得， 令， 则，令可得或， 在和上大于零，所以在和上单调递增， 在上小于零，所以在单调递减， 要使有两个解，一个极值一定为， 若函数在极值点时的函数值为，可得， 所以 若函数在极值点时的函数值为，可得， 所以，故D不正确. 故选：AC 31．（多选题）（23-24高二下·山东枣庄·期末）已知函数，则函数（    ） A．单调减区间为 B．在区间上的最小值为 C．图象关于点中心对称 D．极大值与极小值的和为 【答案】BCD 【解析】对于A，， 故， 所以在和上，，函数单调递增； 在上，，函数单调递减， 故A错误； 对于D，由A知，函数的极大值为， 极小值， 则，故D正确； 对于B，， 结合函数在的单调性可知：，故B正确； 对于C，， 所以， 故函数图象关于点中心对称，故C正确. 故选：BCD 构造函数比较大小题型09 32．（23-24高二下·山东威海·期末）已知奇函数对于满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可令， 由于为奇函数，故为奇函数； 而，结合， 可得，即在上单调递减， 由于，故， 由可得， 则， 同理由， 可得， 则，故， 由条件无法推出或， 故选：B 33．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数，若，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】由，， 当或时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， ，且， 设，则， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， ， 设， 则 设，则， 设，则恒成立， 所以在单调递增，， 即恒成立，所以在单调递增， 则，即恒成立， 所以在单调递增，则， 所以在上恒成立，在显然也成立，如图， 若，可知， 若，则显然， 若，由，所以， 综上所述， 故选：A 34．（23-24高二下·山东日照·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，即， 所以， 令，则， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，即，即， 所以， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，即， 所以，即， 综上所述. 故选：A. 35．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，可得， 因为，所以，所以， 令，求导得， 可得当时，，函数在上单调递增， 又，， 当时，有，可得， 当时，有恒成立，所以， 综上所述：. 故选：A. 题型10 零点问题 36．（23-24高二下·山东威海·期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】函数的定义域是， 令，得， 令， 令， 令解得， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ，， 当时，， 所以，所以， 所以当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. ，当时，，， 所以，要使有两个解，则需. 故答案为： 37．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，过点可作曲线的两条切线，则的取值范围为 ；若切点为，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】对于第一空：已知，过点可作曲线的两条切线，， 若切点为，，则， 整理得，同理， 所以关于的方程在上有两根，且不是该方程的根， 设，则， 若，则，这表明单调递减，故此时最多有一个零点， 从而，当时，，当时，， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 设，则当时，，当时，， 所以要使关于的方程在上有两根， 只需，令， 则， 当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增，且注意到， 所以满足的的范围为； 对于第二空：由以上分析可知，， 所以， 令，所以的值域为， 即的取值范围为. 故答案为：；. 38．（23-24高二下·山东德州·期末）设函数，若且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数， 若且， 如图画出函数的大致图象， 由已知条件可知：， ， ， ， 由，故在为减区间， ， 的取值范围是：． 故答案为：． 39．（多选题）（23-24高二下·山东济南·期末）下列函数中，有两个零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，由，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，所以有且只有一个零点，所以A错误， 对于B，由，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为，， 所以在上有且只有一个零点，在上有且只有一个零点， 所以有两个零点，所以B正确， 对于C，由，得， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 因为当，， 所以在上有且只有一个零点，在上有且只有一个零点， 所以有两个零点，所以C正确， 对于D，由，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为，， 所以在上有且只有一个零点，在上有且只有一个零点， 所以有两个零点，所以D正确， 故选：BCD 40．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若方程有三个实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 当或时，；当时，， 故在，上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为，的极小值为， 当时，，当时，， 故的图像如图所示： 故， 故选：A. 41．（23-24高二下·山东烟台·期末）若曲线与总存在关于原点对称的点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】若曲线与总存在关于原点对称的点， 则上的点关于原点的对称点在曲线上， 所以方程有解， 令，则方程有解， 即方程有解， 令，则，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，当趋于0时，趋于负无穷，当趋于正无穷时，趋于0， 所以的值域为， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 42．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为 【答案】 【解析】等价于， 令，则，所以是增函数， 所以等价于， 所以，所以， 令，则， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以，故， 所以实数的取值范围为． 故答案为： 题型11 恒成立与能成立问题 43．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知函数，使得成立，则实数的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】在能成立，即在能成立， 即，， 令，则，令有， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故，即实数的最大值为. 故答案为： 44．（23-24高二上·山东滨州·期末）若，且，都有，则的最大值为 . 【答案】1 【解析】由题意可知，、均为正数， 因为，由， 所以，， 令，， 则， 由于， 可得时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以，，则，即实数的最大值为1. 故答案为：1. 45．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由可得，即恒成立， 令， 则不等式可化为：， 令，则， 所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增. 所以， 故要使恒成立，只需，即，即， 令，所以， 令，则， 所以时，，在上单调递增，且当时，， 时，，在上单调递减，且当时，， 所以， 故. 故答案为： 46．（23-24高二下·山东日照·期末）已知函数，，若函数的图象恒在的图象的上方，其中，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，恒成立， 令，则， ， 当时，， 所以函数在上单调递增， 又时，， 所以函数无最小值，所以时与题意矛盾； 当时，令，则，令，则， 所以函数在山单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，所以， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 1．（23-24高二下·山东菏泽·期末）一质点沿直线运动，位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系为，当位移大小为9时，质点运动的速度大小为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】因为，令，解得（负值已舍去）， 又，所以， 所以当位移大小为9时，质点运动的速度大小为. 故选：D 2．（多选题）（23-24高二下·山东烟台·期末）某弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则（    ） A．时，弹簧振子的位移为 B．时，弹簧振子的瞬时速度为 C．时，弹簧振子的瞬时加速度为 D．时，弹簧振子的瞬时速度为 【答案】ABD 【解析】对于A，当时，， 即时，弹簧振子的位移为，故A正确； 对于B，， 当时，， 即时，弹簧振子的瞬时速度为，故B正确； 对于C，设， 则， 当时，， 即时，弹簧振子的瞬时加速度为，故C错误； 对于D，， 当时，， 即时，弹簧振子的瞬时速度为，故D正确. 故选：ABD. 3．（多选题）（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，则（    ） A．是极大值点 B．有三个零点 C．当时， D．的图象关于对称 【答案】ACD 【解析】， 当时，，单调递增， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处有极大值，为， 在处有极小值，为， ， 可得的大致图象，故A正确，B错误； 对于C，当时，，由图象可知，故C正确； 对于D，因为， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 4．（多选题）（22-23高二下·山东青岛·期末）某地工业化工厂排风扇发生故障，在抢修人员到来前测得工厂内部空气中有毒物质含量达到了危险状态．经过抢修人员的抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得工厂内的有毒物质浓度为128ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为64ppm．由检验知该工厂内有毒物质浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分）之间满足函数关系，其中（R为常数）．当有毒物质浓度不高于0.5ppm时称空气质量为合格等次，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．排气32分钟后，工厂内部空气质量为合格等次 D．排气36分钟后，工厂内部空气质量为合格等次 【答案】BD 【解析】由题意可设， 则，此时为常数， 由，得，则，即 ，，故A错误，B正确； 把代入，得， 又，,由，得. 至少排气36分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态， 则C错误，D正确. 故选：BD. 5．（多选题）（23-24高二下·山东威海·期末）已知函数是方程的实数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】，当时，，所以在单调递增， 那么，其中，则，即， ，，即， 则，故A正确；B错误； ，由，得，则 所以，故C正确； 因为，设函数，在上单调递增， ，，所以，故D正确. 故选：ACD 6．（多选题）（23-24高二上·山东青岛·期末）已知函数， 则（    ） A． 存在唯一的极值点 B． 存在唯一的零点 C．直线与的图像相切 D．若， 则 【答案】BCD 【解析】对于A中，函数，可得， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以函数在上单调递增， 所以函数在上没有极值点，所以A错误； 对于B中，因为函数在上单调递增，且， 所以在上存在唯一的零点，所以B正确； 对于C中，令，可得，即切点为， 所以切线方程为，即，所以C正确； 对于D中，因为函数在上单调递增，且， 所以且，可得且， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以D正确. 故选：BCD. 7．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知，则 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 8．（23-24高二下·山东济南·期末）以半径为R，圆心角为α的扇形铁皮为圆锥的侧面，制成一个圆锥形容器.当扇形的圆心角α为 时，容器的容积最大. 【答案】/ 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则， 因此， 则，令 ，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时容积最大， 把代入，得 由，得， 即圆心角为时容积最大. 故答案为： 9．（23-24高二下·山东泰安·期末）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 . 【答案】8 【解析】由，求导得，则， 因此曲线在点处的切线为，即， 由，消去并整理得， 而直线与曲线相切，显然，则， 所以. 故答案为：8 10．（23-24高二下·山东威海·期末）曲线与直线平行的切线方程为 . 【答案】 【解析】，，由题意令，解得， 而，所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 11．（23-24高二上·山东聊城·期末）若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为 ． 【答案】/ 【解析】设直线切曲线于点，切曲线于点， 由得，则直线的方程为， 即； 由可得，则直线的方程为， 即， 所以，， 消去可得，即，可得， 因此，直线的斜率为. 故答案为：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$