8.5.1 直线与直线平行 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.5 空间直线、平面的平行 8.5.1 直线与直线平行 空间点、直线、平面之间的位置关系 点与直线的位置关系 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 点在直线上 点在直线外 点与平面的位置关系 点在平面内 点在平面外 相交 平行 异面 在面内 相交 平行 相交 平行 一个公共点 没有公共点 没有公共点 无数公共点 一个公共点 没有公共点 无数公共点 没有公共点 复习回顾 初中我们已经学过在平面几何中判断两直线平行的方法，你还记得有哪些吗？ ①内错角相等，两直线平行； 同位角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行. ②平行四边形的对边平行、梯形的上下底平行 ③三角形的中位线平行、成比例线段分点连线平行 ④平行于同一条直线的两直线平行, 即：若，且，则（平行线的传递性） 复习回顾 思考 在空间中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否也有类似的规律？ 课堂探究 你能举出生活中的例子吗？ 观察 如右图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，DD'//AA'，BB'//AA' . DD'与BB'平行吗? 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行. C B' C' A' D' B A D DD' // BB' 课堂探究 （平行线的传递性） 推广：空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行 作用：判断空间两条直线平行的依据 若，且，则 符号语言 1. 如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的所有折痕互相平行吗？为什么？ 2. 如图，在长方体中，与棱平行的棱有___________ 牛刀小试 顺次连结不共面的四点A、B、C、D，所组成的四边形叫做空间四边形. 相对顶点A与C，B与D的连线AC、BD叫做这个空间四边形的对角线. A B D C 空间四边形 课堂探究 D 例1 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证:四边形EFGH是平行四边形. 证明： 连接BD. A B C E F G H 典例精研 变式1 在本例中，如果再加上条件AC=BD, 那么四边形EFGH是什么图形？ 变式2 如果G、H改为CD、DA的三等分点， 那么四边形EFGH是什么图形？ 菱形 梯形 D A B C E F G H 例1 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证:四边形EFGH是平行四边形. 典例精研 在空间中,这一结论是否仍然成立呢? 在平面内,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角关系如何？ 课堂探究 角的两边分别对应平行且方向都相同/都相反 角的两边分别对应平行且一组对应边方向相同另一组对应边方向相反 相等 互补 与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如下图所示的两种位置. 课堂探究 如图，分别在∠BAC和∠B'A'C'的两边上截取AD、AE和A'D'、A'E'， 使得AD=A'D'、AE=A'E'. 连接AA'、DD'、EE'、DE、D'E'. 对于图(1)，可以构造两个全等三角形，使∠BAC和∠B'A'C ' 是它们的对应角，从而证明∠BAC=∠B'A'C' D D' E' E 课堂探究 ∴△ADE≌△A'D'E' ∴∠BAC=∠B'A'C'. D D' E' E 课堂探究 对于另一种情形，你能给出证明吗？ 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 等角定理　 若两个角两组对应边方向都相同，两角相等； 若两个角一组对应边方向相同另一组对应边方向相反， 两角互补. 课堂探究 图形语言 或 符号语言 证明：如图，设Q是DD₁的中点，连接EQ、QC₁ . ∵E是 AA₁ 的中点∵ EQ//A₁ D₁ ，EQ=A₁ D₁ 又在矩形 A₁ B₁C₁ D₁中，B₁C₁//A₁ D₁,B₁C₁ =A₁ D₁ , ∴EQ//B₁C₁,EQ=B₁C₁ ∴四边形EQC₁B₁为平行四边形 ∴B₁E//C₁Q，B₁E=C₁Q 又∵Q、F 是矩形DD₁CC₁ 的两边的中点，∴QD//C₁F,QD=C₁F, ∴四边形DQC₁ F 是平行四边形∴DF//C₁Q,DF=C₁Q 又 ∵B₁ E//C₁Q，B₁ E=C₁Q ∴B₁E//DF,B₁E=DF,∴四边形B₁EDF是平行四边形 1.E,F 分别是长方体ABCD-A₁ B₁C₁ D₁的棱A₁A,C₁C的中点.求证：四边形B₁EDF为平行四边形. 巩固练习 2.如图，在正方形中，分别为棱，的中点.求证：. 证明：∵为的中点，∴. 又∵为的中点，∴ 又，， ∴，. ∴四边形为平行四边形. ∴. 同理可证. ∵与的对应边平行且方向相同， ∴. 巩固练习 证明角相等的常用方法 证明角相等,利用空间等角定理是常用的方法; 也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等. 在应用等角定理时,应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时,这两个角相等,否则这两个角互补.因此,在证明两个角相等时,只说明两个角的两边分别对应平行是不够的. 总结提升 (1)求证:四边形BCHG是平行四边形; (2)C,D,F,E四点是否共面?为什么? 巩固练习 (1)求证:四边形BCHG是平行四边形; (2)C,D,F,E四点是否共面?为什么? 巩固练习 (2)解:C,D,F,E四点共面.理由如下: ∵BE∥AF且 ,G为FA的中点, ∴BE∥FG,且BE=FG, ∴四边形BEFG为平行四边形, ∴EF∥BG 由(1)知四边形BCHG为平行四边形, 则BG∥CH. ∴EF∥CH, ∴EF与CH共面 又D∈FH, ∴C,D,F,E四点共面 (2)C,D,F,E四点是否共面?为什么? 巩固练习 点共线:主要证明点同时属于两个平面,即都在交线上从而证明共线. 点线共面:主要证明两直线平行则平行线上的点共面,先确定一个平面,证明点在平面内的直线上. 总结提升 4. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点. 求证: (1)四边形BB1M1M为平行四边形; (2)∠B1M1C1=∠BMC. 巩固练习 证明 (1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点, ∴MM1 AA1. 又AA1 BB1, ∴MM1 BB1 ∴四边形BB1M1M为平行四边形. 巩固练习 (方法二)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形, ∴B1M1=BM. 由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形, ∴C1M1=CM. 又B1C1=BC, ∴△B1C1M1≌△BCM, ∴∠B1M1C1=∠BMC. (2)(方法一)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形, ∴B1M1∥BM. 由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形, ∴C1M1∥CM. 由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角. ∴∠BMC=∠B1M1C1. 巩固练习 课本P135 证明： 4. 如图，在四面体A-BCD中，E，F，G分别为AB，AC，AD上的点. 若EF//BC，FG//CD，则△EFG和△BCD有什么关系?为什么? 课本P135 直线与直线平行 等角定理 基本事实4 （传递性） 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 课堂小结 3.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BC∥AD 且BC= AD,BE∥FA且BE= FA,G,H分别为FA,FD的中点. (1)证明: 由已知得FG=GA,FH=HD, 则GH∥AD,且GH=AD. 又BC∥AD,且BC=AD, ∴GH∥BC,且GH=BC, ∴四边形BCHG为平行四边形. 3.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BC∥AD 且BC= AD,BE∥FA且BE= FA,G,H分别为FA,FD的中点. BE= AF $$