8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 基本 事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 文字语言 图形语言       符号语言 作用 A B C α A B α l P 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β ⇒ α∩β=l，且P∈l A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ⇒ l⊂α C∉AB⇒ 有且只有一个平面α，A∈α，B∈α，C∈α ①确定一个平面的依据 ①判断直线是否在面内 ②判断点是否在面内 ①判断两平面是否相交 ②判断点是否在直线上 复习回顾 前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等. 空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？ 长方体是我们熟悉的空间几何图形，下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直线、平面之间的位置关系. 观察 我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面. 12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，观察右图所示的长方体ABCD-A'B'C'D',你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗? 课堂导入 问题1 空间中点与直线的位置关系有几种？空间中点与平面的位置关系有几种？你能结合长方体模型举例说明吗？ 点与直线 的位置关系 点在直线上 点在直线外 例如A∈AB，B∈AB 例如 C ∉AB，D ∉AB 点与平面 的位置关系 点在平面内 点在平面外 例如A∈平面ABCD 例如 C' ∉平面ABCD 课堂探究 问题2 观察下图的长方体，棱与直线AB有哪些不同的位置关系？ 共面 棱A'B', C'D', CD与AB平行 棱A'A, AD, B'B, BC与AB 相交 棱A'D', DD', B'C', CC'与AB 异面 追问1 异面直线的定义是什么？ 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线 课堂探究 追问2 由此你能概括空间中两直线的位置关系吗？ 相交直线 平行直线 共面直线 异面直线 在同一平面内，有且只有一个公共点 在同一平面内，没有公共点. 不同在任何一个平面内，没有公共点. 无公共点 平行 异面 相交 课堂探究 问题3 如何在平面上画出异面直线？ 异面直线的画法 说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托. a a b a A b b (1) (3) (2) 课堂探究 a与b是相交直线 a与b是平行直线 a与b是异面直线 a b M 答：不一定. 它们可能异面，可能相交，也可能平行. 思考 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ a b a b 课堂探究 问题4 右图中,直线AB与平面ABCD有多少个公共点?直线AA'与 平面ABCD呢？直线A'B'与平面ABCD呢？ B D C A' B' C' D' A 直线与平面的位置关系 直线在平面内—有无数个公共点； 直线与平面相交—有且只有一个公共点； 直线与平面平行—没有公共点. 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 A • α a 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外. 课堂探究 练习 判断下列命题是否正确. (1) 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l // α．(　) (2) 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行．(　) (3) 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．(　) (4)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．( ) × × × √ 课堂探究 问题5 下图中，平面ABCD与平面A'B'C'D'有多少个公共点？ 平面ABCD与平面BCC'B'呢？ 两个平面平行——没有公共点； B D C A' B' C' D' A 两个平面相交——有一条公共直线. 平面与平面的位置关系 α β α // β α β l α∩β=l α l 注意：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 课堂探究 探究 如图，在长方体ABCD-A中，连接AB，DC，请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子，并用符号表示这些位置关系． 直线A'B与直线A'A相交 直线A'B与直线D'C平行 直线A'B与直线DC异面 平面A'ADD'∩平面A'BCD'=直线A'D' 平面A'ADD'//平面B'BCC' 直线A'B⊂平面A'BCD' 直线A'A∩平面A'BCD'=A' 直线AD//平面A'BCD' 课堂探究 例1 如下图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系. (1) α β a l A • B • (2) α β a l P • b 分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来. 解： 典例精研 例2 如下图，AB∩α=B，A∉α，a⊂α，B∉a. 直线AB与a具有怎样的位置关系? 为什么? B • α a A • 直线AB与a是异面直线. 理由如下： 若直线AB与直线a不是异面直线，则它们 相交或平行. 解： 设它们确定的平面为β，则B∈β，a⊂β. 由推论1可知经过点B与直线a有且仅有一个平面α， 因此平面α与β重合. 从而AB⊂α，进而A∈α，这与A∉α矛盾. 所以直线AB与a是异面直线. 典例精研 B • α a A • 定理：与一个平面相交的直线， 和这个平面内不经过交点的直线是异面直线. 异面直线的判定 总结提升 反证法：假设两条直线不是异面直线 →平行或相交 →推理得出矛盾 →否定假设，所以异面 D D 巩固练习 3.四面体的六条棱所在直线成异面直线的有( ). A.对 B.对 C. 对 D.对 A 巩固练习 4. 三个不重合的平面把空间分成几部分？ （2） （1） （3） （4） （5） 4 6 6 7 8 巩固练习 5. 已知直线a, b, 平面α, β, 且a⊂α, b⊂β, α // β.判断直线a与b的位置关系，并说明理由. 直线a与b是平行直线或异面直线. 理由如下： 由a⊂α, b⊂β, 且α // β，可知a与b没有公共点. 解： 因为若a与b有公共点，那么这个点也是平面α与 β的公共点. 这与α // β矛盾. 所以直线a与b是平行直线或异面直线. b a α β 巩固练习 空间点、直线、平面之间的位置关系 点与直线的位置关系 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 点在直线上 点在直线外 点与平面的位置关系 点在平面内 点在平面外 相交 平行 异面 在面内 相交 平行 相交 平行 一个公共点 没有公共点 没有公共点 无数公共点 一个公共点 没有公共点 无数公共点 没有公共点 课堂小结 练习 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是____________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是____________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是____________. 1．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是 (　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 2.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为 (　　) A．平行 B．直线在平面内 C．相交或直线在平面内 D．平行或直线在平面内 $$