3.2.3 离散型随机变量的数学期望 教学设计-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

课题 3.2.3 离散型随机变量的数学期望 编号 选择性必修 第二册 第三章 第2节 共5课时 施教 教师 施教日期 第 周 星期 施教班级 课型 新授课 主备 教师 内容分析 离散型随机变量的数学期望是在学生已学了随机变量这一数学概念之后进而学习的新的知识，期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫。同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响。 教学目标 1. 理解取有限值的离散型随机变量的均值或数学期望的概念； 2. 会求离散型随机变量的数学期望以及具有线性关系的两个离散型随机变量数学期望之间的关系； 3. 能灵活运用离散型随机变量的数学期望公式解决实际问题． 核心素养 ○直观想象 ●数学运算 ●数据分析 ●数学抽象 ●逻辑推理 ○数学建模 教学重点 掌握如何求离散型随机变量的数学期望. 教学难点 能灵活运用离散型随机变量的数学期望公式解决实际问题. 教学方法 问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学. 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 教学环节 教学内容 设计意图 二次备课 复习回顾 （一）两点分布： 如果随机变量X只取值0或1，且其概率分布是 ，， 则称随机变量服从两点分布，记作．其分布列是 0 1 （二）二项分布： 一般地，在次独立重复试验中，用表示示事件出现的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则的概率分布： 我们称服从二项分布，记为，其分布列为： X 0 1 … k … n P … … （三）超几何分布： 一般地，若件产品中有件次品，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为 其中，且，称分布列 为超几何分布.如果随机变量的分布列为超几何分布列，就称服从超几何分布，记做. 回顾复习两点分布，二项分布，超几何分布。 自主探究 合作交流 展示完善 精讲释疑 离散型随机变量的分布列完全描述了随机变量取值的概率规律．但是为了对随机变量有一个概括的认识，我们还需要了解刻画随机变量的某些特征数值． 正如想了解两个班级学生某门课程的考试成绩一样，除了通过记分册查看每个学生的考试成绩外，还需要在记分册的基础上对学生的成绩进行一些加工整理．比如计算两个班级的平均分，看哪个班的平均成绩好一些． 随机变量的特征数值中最重要的是期望与方差．我们先来研究反映离散型随机变量平均取值大小的数字特征 期望． 【问题1】 在一次考试中，统计某中学高二年级300名学生的某学科成绩后得到下表： 其中 ． 现从这300人中任选一人，用表示这名学生的分数，则有概率分布： ，，，. 将以上概率分布列成表格形式： 由上表可以看出，随机变量的概率分布就是全年级学生成绩的分布： ， 经计算可知，全年级学生的平均成绩是 由于的分布是全年级学生成绩的分布，我们把全年级的平均成绩μ定义为的均值，记作，则 问题2 设离散型随机变量有如下分布列： 作为随机变量 的可能值1和100的平均数，(1＋100) / 2 = 50.5 并不能真正体现 的取值的平均水平． 因为 X 取值100的概率比取值1的概率大得多， 所以应当用1×0.01＋100×0.99=99.01表示 的平均取值． 离散型随机变量的数学期望公式: 一般地，若离散型随机变量的分布列为 则称为的数学期望或均值． 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均水平． 可以发现，随机变量的均值是常数，而样本的均值依赖于样本的选择，是一个随机变量．在大多数情况下，当样本量足够大时，样本均值会接近于总体均值．因此，我们常用样本均值估计总体的均值． 例1. 甲击中目标的概率是，如果击中，得1分，否则得0分，用表示甲的得分，计算随机变量的数学期望。 【教师总结】 例1中的随机变量服从两点分布，于是有若，则 ． 若随机变量服从二项分布，即，那么如何计算的期望呢？ 于是有若，则． 设一试验成功的概率为，将该试验独立重复次，用表示成功的次数，则有数学期望．是次独立重复试验中成功的平均次数，同时说明成功的平均次数既与成正比，也与成正比． 因此，单次试验成功的概率越大，次独立重复试验中成功的平均次数就越多． 例2. 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，由于两种保险作用类似，因而没有人同时购买，设各车主购买保险相互独立，用表示该地100位车主甲，乙两种保险都不够买的车主数，求的数学期望。 【教师总结】 若随机变量服从超几何分布，即， 由组合数公式可得 于是有若，则 例3. 一袋中装有 50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数 的数学期望． 例4. 已知离散型随机变量有概率分布，若，其中a，为常数，求。 由复习引出新的问题，为新知学习铺垫. 体会数学期望概念的生成，特殊到一般，具体到抽象。 例1代表两点分布的数学问题. 例2是二项分布问题 例3是超几何分布问题 课堂练习 1. 一厂家向用户提供一箱产品共10件,其中有2件次品,用户先对产品进行抽查以决定是否接收,抽查规则是:一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子),若前三次没有抽查到次品,则用户接受这箱产品;若前三次中抽查到次品就立即停止抽查,并且用户拒绝接受这箱产品。 求这箱产品被用户接收的概率； 记抽查的产品数为,求的分布列和数学期望。 2. 某君向一目标射击,击中目标的概率为， 若他连续射击5次,求他至少2次击中目标的概率；若他只有5颗子弹,每次射击一发,一旦击中目标或子弹打完了就立刻转移到别的地方去,求他转移前射击次数的分布列和期望。 3. 从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试,每位同学通过测试的概率为,试求： 选出的三位同学中至少有一名女同学的概率； 选出的三位同学中甲同学被选中并且这三位同学中恰有两人通过的概率； 设选出的三位同学中男同学和女同学的人数的差的绝对值为,求的概率分布和数学期望。 4. 甲,乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中6题,乙能答对其中的8题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格。 求甲答对试题数的概率分布及数学期望； 求甲,乙两人至少有一人考试合格的概率。 通过练习，巩固所学知识，发现学生错误并及时纠正. 总结提升 本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？用到的数学方法有哪些？ 系统梳理整节课所学内容. 作业布置 1. 巩固作业 10分钟左右时间，做教材P148习题7、8题 2. 预习作业: (1) 10分钟左右时间，看教材P144-147，划出重点，看懂例题，标记疑惑； (2) 5分钟左右时间，尝试做一做教材P147练习。 教后反思 更快、更高、更强，领先就是金牌 我自信，我拼搏，我出色，我成功1 学科网（北京）股份有限公司 $$