【智乐星中考】2025山东烟台初中学业水平考试数学全真模拟卷4（PPT）

2025年烟台市初中学业水平考试 数　学　试　题 1 　　注意事项： 　　1.本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 　　2.答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上。 　　3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 　　4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。 　　5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效。 　　6.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验。 2 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，满分30分)每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。 1.下列各数的相反数中，最小的是(　　) A.1 B.-1 C. D.- 3 【考点】有理数的大小比较、相反数。 【解析】1，-1，，-的相反数分别是-1，1，-。 ∵-1<-<<1，∴所给各数的相反数中，最小的是1。 4 2.下列二次根式中是最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. 5 【考点】最简二次根式。 【解析】A.=不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B.是最简二次根式，故该选项符合题意； C.=不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D.=9，不是最简二次根式，故该选项不符合题意。 6 3.巴黎奥运会后，受到奥运健儿的感召，全民健身再次成了一种时尚，球场上出现了更多年轻人的身影。下面四幅球类的平面图案中，是轴对称图形的是(　　) 7 【考点】轴对称图形的判别。 【解析】A，B，D选项的图形都不能找到一条直线，沿这条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重合，故不符合题意； C选项的图形能找到一条直线，沿这条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重合，符合题意。 8 4.下列运算正确的是(　　) A.a3·a4=a7 B.a4+a5=a9 C.a8÷a4=a2 D.(-2a2)3=-6a6 9 【考点】同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方。 【解析】A.a3·a4=a7，故该选项符合题意； B.a4，a5不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C.a8÷a4=a4，故该选项不符合题意； D.(-2a2)3=-8a6，故该选项不符合题意。 10 5.如图，点A和点B表示的数分别为a和b，下列式子中正确的是(　　)   A.-a>b B.a+b<0 C.|b|>|a| D.(a+1)(b-1)<0 11 【考点】数轴、实数大小的比较。 【解析】由数轴知-1<a<0，b>1， ∴a<0<b，a+b>0，|b|>|a|，-a<b，(a+1)(b-1)>0。 12 6.2025年春晚，以榫卯结构、祈年殿和北京中轴线等为灵感的中国传统建筑创演秀《栋梁》成为今年的一大亮点，是总台春晚继“中国色彩”“中国纹样”之后，再次对中华优秀传统文化作出的创新性表达。鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，十分巧妙。如图是鲁班锁中的一个部件，它的俯视图是(　　) 13 【考点】俯视图的判别。 【解析】俯视图为 。 14 【授之以渔】 　　【失分陷阱】(1)分不清主视图、左视图与俯视图的区别； 　　(2)忽略看得见的线画实线，看不见的线画虚线。 15 7.投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪.某班举行投壶游戏，甲、乙两名同学五次的成绩(个数)如图，下列判断正确的是(　　)   A.甲成绩的平均数比乙成绩的平均数大 B.甲的成绩比乙稳定 C.甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大 D.甲的最好成绩比乙的最好成绩高 16 【考点】统计图的分析、平均数、中位数、方差. 【解析】甲同学的成绩从小到大依次为6，7，7，7，8， ∴中位数为7，平均数为7， 方差为×[(6-7)2+3×(7-7)2+(8-7)2]=0.4. 乙同学的成绩从小到大依次排列为5，6，7，8，9， ∴中位数为7，平均数为7，方差为×[(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2]=2， ∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙成绩的平均数和中位数均相等，甲的最好成绩比乙的最好成绩低. 故选B. 17 8.根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为△ABC外心的是(　　) 18 【考点】尺规作图、三角形的外接圆与外心。 【解析】三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点。 19 9.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，满足CE=DF，连接AF，DE，点G在AB边上，连接DG交AF于点H，使得∠DHF=45°，连接GE。若∠DAF=α，则∠EGD的度数为(　　)   A.90°-2α B.45°+α C.4α D.3α+15° 20 【考点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质。 【解析】如图，设DE与AF的交点为O，过点D作DK∥AF，交BA的延长线于点K。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，AB∥CD，∠ADF=∠C=90°。 ∵CE=DF，∴△ADF≌△DCE(SAS)， ∴DE=AF，∠CDE=∠DAF=α。 21 ∵∠DAF+∠AFD=90°， ∴∠AFD+∠CDE=90°，∴∠AOD=90°。 ∵∠DHF=45°，∴∠HDE=45°。 ∵AB∥CD，DK∥AF， ∴四边形AKDF是平行四边形，∠KDG=∠DHF=45°=∠HDE， ∠KGD=∠GDC=45+α°，∴DK=AF=DE。 ∵DG=DG，∴△GDK≌△GDE(SAS)， ∴∠EGD=∠KGD=45°+α。 22 10.如图，两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形DEF的直角边DF=AC=5，点E与点A重合，斜边AB与DE在一条直线上，△ABC保持不动，△DEF以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点D与点B重合时停止运动，设运动时间为x秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为y个平方单位，则y与x函数关系的图象大致是(　　) 23 【考点】动点问题的函数图象、二次函数的图象与性质。 【解析】∵DF=AC=5，∴AB=DE=10。 分两种情况： ①如图，当0≤x≤5时，设AC，EF交于点M，过点M作 MN⊥BD于点N。 ∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形， ∴∠D=∠B=45°，∠F=∠C=90°。 由平移可得DF∥AC， ∴∠AME=∠F=90°，∠MAE=∠D=45°， 24 ∴△MAE是等腰直角三角形。 ∵△ABC保持不动，△DEF以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴AE=2x，∴MN=AN=AE=x， ∴y=AE·MN=×2x·x=x2， ∴函数图象是开口向上的抛物线， ∴当x=5时，y=25； 25 ②如图，当5<x≤10时，设DF，BC交于点P，过点P作PQ⊥BD于点Q。 同理可得△PBD是等腰直角三角形，AE=2x， ∴AD=BE=2x-10，∴BD=10-(2x-10)=20-2x， ∴PQ=DQ=BD=10-x， ∴y=BD·PQ=×(20-2x)·(10-x)=(10-x)2=(x-10)2， ∴函数图象是开口向上的抛物线。 综上所述，只有选项C符合条件。 26 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分) 11.中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消 费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元。其中数据 10.6万亿用科学记数法表示为 __________。  1.06×1013 【考点】科学记数法——表示较大的数。 【解析】10.6万亿=10 600 000 000 000=1.06×1013。 27 12.北京中轴线申遗已确定天安门等15处遗产点。北京的南北中轴线南起永 定门，北至钟鼓楼，北京城另一条重要的东西线是长安街。我们以天安门 为原点，分别以长安街的正东方向和中轴线的正北方向为x轴、y轴的正方 向建立平面直角坐标系，单位长度为1 km。表示前门的点A的坐标为(0， -1.5)，表示朝阳门的点B的坐标为(4，3)，表示广安门的点C的坐标为(-5， -2)。这几个点中，距离天安门5 km以内的点是 ___________。  A(0，-1.5) 28 【考点】平面直角坐标系中点的坐标特征。 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系。 由坐标系可知距离天安门5 km以内的点是A(0，-1.5)。 29 13.若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，按键顺序如图所 示， ，则输出结果应为 ____。  13 【考点】计算器、有理数的混合运算。 【解析】根据按键顺序得6×-(-2)3=5+8=13。 30 14.如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈110°， 40°和180°，则∠BAC的度数为 _____°。  110 31 【考点】圆周角定理、三角形内角和定理。 【解析】如图，点O为外圈所对的圆心，连接OA，OC，OB。 由题意得∠AOC=70°，∠AOB=70°。 由圆周角定理可知，∠ABC=∠AOC=35°，∠ACB=∠AOB=35°，∴∠BAC=180°-35°-35°=110°。 32 15.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-1，并与x轴交于A，B 两点。若OA=3OB，则下列结论中：①abc>0；②(a+c)2-b2=0；③3a+2c<0； ④若m为任意实数，则am2+b(m+1)≥a。正确的结论有 ________。(只填写序 号)  ②③④ 33 【考点】二次函数图象与系数a，b，c的关系、二次函数图象上点的坐标特征。 【解析】由题图可知a>0，b>0，c<0，∴abc<0，故①错误。 ∵对称轴为直线x=-1，OA=3OB，∴OA=3，OB=1， ∴A(-3，0)，B(1，0)， ∴当x=1时，y=0，即a+b+c=0， ∴(a+c)2-b2=(a+b+c)(a+c-b)=0，故②正确。 抛物线的对称轴为直线x=-1，即-=-1，∴b=2a。 ∵a+b+c=0，∴3a+c=0，∴c=-3a，∴3a+2c=-3a。 34 ∵a>0，∴3a+2c<0，故③正确。 当x=-1时，函数有最小值y=a-b+c。 由am2+bm+c≥a-b+c，可得am2+bm+b≥a， ∴若m为任意实数，则am2+b(m+1)≥a，故④正确。 综上所述，正确的结论有②③④。 35 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=4，D是AC上 一点，且CD=2，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点 F处，连接BF，则BF的最小值为 _______ 。  2-2 36 【考点】折叠的性质、勾股定理。 【解析】根据题意可知点F在以点D为圆心，CD长为半径的圆弧上运动。 如图，由点F的运动轨迹可知当B，F，D三点共线时，BF的值最小。 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=4， ∴BC===4. 在Rt△BCD中，BD===2， ∴BF的最小值为BD-DF=2-2。 37 三、解答题(本大题共8个小题，满分72分) 17.(本题满分6分) 先化简，再求值：-+，其中m是4的算术平方根。 【考点】分式的化简求值、算术平方根。 解：原式=+=。 …………3分 ∵m是4的算术平方根， ∴m=2，…………4分 ∴当m=2时，原式==-3。…………6分 38 18.(本题满分7分) 烟台某小学开展课后延时特色课程，需要提前了解该校学生的兴趣爱好，采取抽样调查的方法，调查了若干名学生对舞蹈、乒乓球、书画、面点四个课程的喜爱情况，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的折线统计图和扇形统计图，要求每位同学必需选择且只能选择一种自己最喜欢的课程，请你根据图中提供的信息解答下列问题： 39 (1)在这次抽样调查中，一共有多少名学生？ (2)补全折线统计图，并求出面点在扇形统计图中所占的圆心角度数。 (3)小莹和小兰分别从四个特色课中选择一门参加，求她们选择相同特色课的概率。 【考点】统计图表的综合。 解：(1)20÷20%=100(名)。 答：一共有100名学生。…………2分 40 (2)补全的折线统计图如图。   …………4分 360°×10%=36°。 答：面点在扇形统计图中所占的圆心角是36°。…………5分 41 (3)令A，B，C，D分别代表舞蹈、乒乓球、书画、面点四个特色课。 列表如下： 小莹 小兰 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由表可知，共有16种等可能的结果，其中她们选择相同特色课的结果有4种， ∴她们选择相同特色课的概率为=。…………7分 42 19.(本题满分8分) 某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表： 实践探究活动记录表 活动内容 测量湖边A，B两处的距离 测量工具 测角仪、皮尺等 测量示意图   说明：因为湖边A，B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C。可测量C处到A，B两处的距离。通过测角仪可测得∠A，∠C的度数 测量数据 角的度数 ∠A=30°，∠C=105° 边的长度 BC=40米，AC=56.4米 43 (1)根据以上测量结果，选择适当数据，求出A，B两点之间的距离。(选一种做法完成即可) 选取的数据为 _______________________________，并写出解题过程。(结果保留整数。参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)  (2)请你设计自己的不同于测量小组的测量方案，并说明理由。 ∠A=30°，∠C=105°，BC=40米 44 【考点】解直角三角形的实际应用。 解：(1)∠A=30°，∠C=105°，BC=40米 …………3分 如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D。 ∵∠A=30°，∠ACB=105°，∴∠B=45°。 在Rt△BCD中， 45 CD=BD=BC ·cos 45°=40×=20≈28.2(米)。 在Rt△ACD中，∠A=30°，∴AD=CD=20≈49(米)， ∴AB=AD+BD=49+28.2≈77(米)。 答：A，B两点之间的距离约为77米。(答案不唯一) …………5分 46 (2)先在边上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是AB的长度，如图。 理由：在△ACB和△DCE中， ∵ ∴△ACB≌△DCE(SAS)，∴AB=DE。…………8分 47 20.(本题满分8分) 2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功。某航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费400元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个。 48 (1)每个“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元。设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元。若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 49 【考点】分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、一次函数的实际应用。 解：(1)设“天宫”模型的进价为每个x元，则“神舟”模型的进价为每个(x+5)元。 依题意得 =+4， 解得x=20(负值已舍去). 经检验，x=20是原分式方程的解，且符合题意，∴x+5=25。 答：每个“天宫”模型的进价为20元，每个“神舟”模型的进价为25元。…………4分 50 (2)∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型(100-a)个， ∴w=(35-25)a+(28-20)(100-a)=2a+800.…………5分 ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的， ∴a≤(100-a)， 解得a≤20，∴0<a≤20。…………6分 ∵w=2a+800，2>0，∴w随a的增大而增大， ∴当a=20时，wmax=2×20+800=840(元)。 答：购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是840元。…………8分 51 21.(本题满分9分) 如图，直线y=-x与双曲线y=交于A，B两点，已知点 A的坐标为(a，3)。 (1)求反比例函数的表达式。 (2)将直线y=-x向上平移m(m>0)个单位长度，与双曲线y=在第二象限交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P。若PE=PC，求m的值。 52 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。 解：(1)∵点A在一次函数图象上，∴3=-a，解得a=-3。 将点A(-3，3)代入y=中，解得k=-9， ∴反比例函数的表达式为y=-。…………4分 53 (2)如图，过点C作CF⊥y轴于点F， ∴CF∥OE，∴∠FCP=∠OEP，∠CFP=∠EOP。 ∵PC=PE，∴△CFP≌△EOP(AAS)， ∴CF=OE，OP=PF。 ∵直线y=-x向上平移m个单位长度得到直线y=-x+m， 54 令x=0得y=m，令y=0得x=m，∴E(m，0)，P(0，m)， ∴CF=OE=m，OP=PF=m，∴C(-m，2m)。 ∵双曲线y=-过点C，∴-m·2m=-9， 解得m=或-(舍去)，∴m=。…………9分 55 22.(本题满分10分) 如图，已知AC为☉O的直径，直线PA与☉O相切于点A，直线PD经过☉O上的点B且∠CBD=∠CAB=30°，连接OP交AB于点M。 (1)求证：PD是☉O的切线； (2)若PM=3，求☉O的直径。 56 【考点】切线的判定与性质、锐角三角函数。 (1)证明：如图，连接OB。 ∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC。 ∵AC是☉O的直径，∴∠CBA=90°， ∴∠CAB+∠OCB=90°。…………2分 ∵∠CBD=∠CAB，∴∠CBD+∠OBC=90°， ∴∠OBD=90°。 又∵OB是☉O的半径， ∴PD是☉O的切线。…………4分 57 (2)解：由(1)知PD是☉O的切线，直线PA与☉O相切， ∴PO垂直平分AB，∠OAP=90°，∴AM⊥OP。 ∵∠CAB=30°，∴∠MAP=60°，∴∠APM=30°， ∴在Rt△PAM中，AM=PM·tan 30°=， ∴在Rt△OAM中，∠OAM=30°，OA==2， ∴AC=4，∴☉O的直径为4。…………10分 58 23.(本题满分11分) 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，OA=4，OC=3，D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作矩形ADEF。 (1)当点D在CB中点时，求AD的长。 (2)当点D在CB中点，且以点A，D，E，F为顶点的矩形与矩形OABC相似时，求矩形ADEF的面积。 (3)如图2，若四边形ADEF为正方形，连接OE。求OE长度的最小值及此时CD的长度。 59 【考点】矩形的性质、矩形的面积、勾股定理。 解：(1)∵点D为CB的中点， ∴DB=CB=OA=2， ∴在Rt△ABD中，AD===。 …………2分 60 (2)以点A，D，E，F为顶点的矩形与矩形OABC相似，分以下两种情况： ①∵矩形ADEF∽矩形AOCB，∴=， ∴S矩形ADEF=()2·S矩形AOCB=×3×4=。…………4分 ②∵矩形ADEF∽矩形OCBA，∴=， ∴S矩形ADEF=()2·S矩形OCBA=×3×4=。 综上所述，矩形ADEF的面积为或。…………6分 61 (3)如图，过点D作GH⊥x轴于点H，过点E作EG⊥GH于点G，则四边形CDHO为矩形。 设CD=x，则OH=x，HA=4-x。 由题可知∠EDA=90°， ∴∠EDG+∠GED=∠EDG+∠HDA=90°， ∴∠GED=∠HDA。…………8分 62 在△EGD和△DHA中， ∴△EGD≌△DHA(AAS)，∴GE=DH=3，GD=HA=4-x， ∴E(x+3，3+4-x)，OE2=(x+3)2+(7-x)2=2(x-2)2+50， ∴当x=2时，OE有最小值，最小值为5，此时CD的长度为2。 …………11分 63 24.(本题满分13分) 如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，在第一象限的抛物线上有一动点P。 64 (1)求该抛物线的函数表达式。 (2)当△CPB面积最大时，求此时△CPB的面积及点P的坐标。 (3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点Q，使得以点A，P，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。 65 【考点】二次函数的综合。 解：(1)把点A(-1，0)，B(3，0)分别代入抛物线y=ax2+bx+3得解得 ∴该抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3。…………2分 66 (2)令x=0，则y=3，∴C(0，3)。 ∵B(3，0)，∴直线BC的表达式为 y=-x+3。 如图，作PE∥y轴，交CB于点E。 设点P(x，-x2+2x+3)，则点E(x，-x+3)， ∴PE=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x， ∴S△CPB=PE·(xB-xC)=(-x2+3x)×3=-x2+x=-(x-)2+， ∴当x=时，△CPB的面积最大，S△CPB最大值为，此时P()。 …………5分 67 (3)存在。…………6分 由(2)得P()，设点Q(t，-t2+2t+3)。 若△APQ是直角三角形，则点Q不能与点P，A重合， ∴t≠，t≠-1，下面分三种情况讨论： ①若∠APQ=90°，如图，过点P作PP2⊥x轴于点P2， 作QP1⊥P2P 交P2P的延长线于点P1，则△PP1Q∽△AP2P， ∴=，∴=。 ∵t≠，∴=，∴t=。…………7分 68 ②若∠PAQ=90°，如图，过点P作直线PA1⊥x轴于点A1，过点Q作QA2⊥x轴于点A2，则△APA1∽△QAA2， ∴=，∴=。 ∵t≠-1，∴=， ∴t=。…………9分 69 ③若∠AQP=90°，如图，过点Q作QQ1⊥x轴于点Q1，作 PQ2⊥Q1Q交Q1Q的延长线于点Q2，则△PQQ2∽△QAQ1， ∴=，∴=。 ∵t≠，t≠-1，∴=3-t， ∴t1=1，t2=。 综上所述，点Q的横坐标为或或或1。…………13分 70 【错题反思】 核对完答案后，将错题做重点反思。对应的考点如果还有不明白的地方，可回到五四《学考传奇》(或者手上的其他一轮资料)中再深入复习一遍。 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1、T2、T3、T4、T5、T6、T11、T12、T13、T14、T17、T18 再接再厉鼓舞你 T7、T8、T9、T15、T19、T20、T24(1) 伤筋动骨磨炼你 T10、T16、T21、T22 学霸登顶恭喜你 T23、T24(2)(3) 71 $$