精品解析：云南省保山市腾冲市第八中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

腾冲市第八中学2024--2025学年下学期高一年级期中考试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集即可得出答案. 【详解】集合，， 则 故选：D. 2. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的概念可得. 【详解】由题意可得复数（为虚数单位）的虚部为. 故选：B 3. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性排除A，B，再根据得到D. 【详解】因为定义域为， ， 所以为偶函数，关于轴对称，排除A，B； 因为，，所以，故C错误，D正确， 故选：D. 4. 下列有关函数的已知：，且，下列命题正确的个数是（ ） ①函数的周期为 ②函数的一个对称中心为 ③函数的单调递减区间为 ④若函数在区间上是单调函数，且，则的值为2或 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由得，即可判断①②③，由得，由在区间上是单调函数，所以，根据，得为的一条对称轴，为的一个对称中心，即得解出即可判断. 【详解】由， 所以的周期为，所以函数的周期为，故①错误， ，所以函数的一个对称中心为，故②正确， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为，故③错误， ， 由在区间上是单调函数，所以, 又，所以为的一条对称轴，为的一个对称中心， 所以， 又， 所以或，当时，， 当时，，所以的值为2或，故④正确， 故选：B. 5. 向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图可得，，即可求出，再根据平面向量基本定理求出、，即可得解. 【详解】依题意可得，， 所以， 又与不共线，且， 所以，所以. 故选：D 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系求得的值，利用两角差的余弦公式即可求得，继而利用二倍角的余弦公式求得答案. 【详解】由于，则， 而，故， 由，可得， 则 ， 故， 故选：D 7. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【详解】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足， 故选：D. 8. 在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数使得不等式成立的实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得关于直线对称，判断在上单调递增，由此可得，运算得解. 【详解】， ， 所以函数关于直线对称， 当时，， 由对号函数单调性可知在时单调递增，单调递增， 所以在上单调递增， 由，可得， ，化简整理得， 解得. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则－定是钝角三角形; B. 在中，角的对边分别为，若，则是等腰三角形; C. 在中，角所对的边分别为，若，则一定是等腰三角形; D. 在中，若，则是一定钝角三角形． 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A：利用向量积定义及向量夹角知为锐角不能判断形状；对于选项B：由及正弦定理得，结合三角恒等变换得；对于选项C：由及正弦定理得，结合倍角公式得，从而可得或，再判断形状即可；对于选项D：结合正弦定理及余弦定理可判断出为钝角，故可判断形状. 【详解】对于选项A：，故为锐角，但不－定是钝角三角形，故A错误; 对于选项B：由及正弦定理得， 故， 所以， 即，即， 因为，所以，故是等腰三角形，故B正确; 对于选项C：由及正弦定理得，所以， 因为，所以或即或，故是等腰三角形或直角三角形，故C错误; 对于选项D：由及正弦定理得， 由知为钝角，故是一定钝角三角形，故D正确． 故选：BD 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是 B. 已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的重心 C. 已知，则的最大值为， D. 平面向量，，满足，，则的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解A，根据向量的线性运算，即可结合中线的性质求解B，根据弦切互化齐次式，结合二次函数的性质求解C,设，计算得到，求出，利用即可求解D.. 【详解】对于A , , 故当时，的取最小值，A正确， 对于B, 取的中点为，连接,由 可得,故点轨迹为中线所在的直线，故B正确， 对于C, ， ，则,故，故其最小值为，C错误， 对于D,设， 则， 而， 因为，所以,故D正确， 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ） A. 动点的轨迹是一条线段 B. 直线与的夹角为 C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：分别取，的中点H，G，连接，，，，证明平面平面，从而得到点F的轨迹；B：由正方体的结构特征易知且为等边三角形，即可判断；C：根据B得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，即可判断；D：设为的中点，从而根据面面平行的性质定理得到截面即为面，从而线段长度的最大值为线段的长，即可判断. 【详解】A：如图分别取，的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 且，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，对； B：由正方体的结构特征易知且为等边三角形， 所以直线与的夹角，即直线与的夹角为，对； C：由B知，点F的轨迹为线段GH，因为平面，则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，错； D：如图，设平面与平面交于AN，N在上． 因为截面平面，截面平面，平面平面， 所以，同理，所以截面为平行四边形，则点N为的中点． 在四棱锥中，侧棱最长，且，对. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则_________． 【答案】0 【解析】 【分析】把代入方程得，再化简方程利用复数相等的概念得到的值，即得的值. 【详解】由复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根 所以，即 由复数相等可得 ，故 故答案为：0 13. 郑州二七塔是为了纪念二七大罢工而修建，是中国建筑独特的仿古联体双塔，小米同学为了测量二七塔的塔高，在塔底所在的水平面内取点，测得塔顶的仰角为，前进米后到达点，测得塔顶的仰角为，再前进米后到达点，测得塔顶的仰角为，则塔高_________米.（参考数据：，最终结果保留整数，即结果精确到） 【答案】63 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合和差角公式即可求解. 【详解】在中，， 在中，由正弦定理得： ，由于为锐角，故， 在Rt中，, 故答案为：63 14. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线与、两边分别交于、两点，且，，则 ________；的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题可知，设，化简得出，根据平面向量的基本定理可求出的值；由已知得出，可得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为为的重心，延长交于点，则为的中点，且， 由重心的几何性质可知， 因为、、三点共线，设，即， 所以，， 因为，，则，， 则， 因为、不共线，所以，，，则，， 故，即，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：；. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为. （1）已知，，求； （2）在中，，，角A的平分线与交于点D，且，若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“相离度”的定义运算得解； （2）依据角平分线性质和数量积得出，知道点P是的重心，然后求出，通过向量坐标运算得到，得解. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为角A的平分线与交于点D，则，即， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点P为的重心，则， 可得，， 则， ， ， 可得， 又因为 ， 所以. 16. 在中，内角的对边分别为，满足. （1）求； （2）若，求边上的高. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理结合条件有，即，可得，从而得出答案. （2）由余弦定理可得，即，结合条件可求出，设边上的高为，由可得答案. 【详解】（1）由正弦定理知. 即，因为， 所以，故. 因为，所以. （2）由余弦定理及知. 所以，即， 所以即 设边上的高为，则， ， 所以边上的高. 17. 如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线为海岸线，，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个的养殖场 （1）已知，求的长度 （2）问如何选取点，才能使得养殖场的面积最大，并求其最大面积 【答案】（1）千米； （2）千米时，取得最大值平方千米. 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理可求出的长度；（2）根据面积公式和余弦定理可求. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得： ，代入数据得 解之：千米； 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得 令可得， 所以当且仅当时取得 又 千米时，取得最大值平方千米. 18. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，. （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明面面，即可证明平面； （2）假设在棱上存在点，使得面，由线面平行的性质定理即可得点为棱的中点. 【小问1详解】 在上取点，使得，连接， 在中，点、分别为、上的三等分点，则有 又面、面 由线面平行的判定定理：面 又且，∴四边形为平行四边形 则有，又面、面，∴面 由于面、面，，∴面面 又面，∴面 【小问2详解】 假设在棱上存在点，使得面 连接，交于 ∵面，面，面面 由线面平行的性质定理： 则在中，，易知， ∴，∴点为棱的中点，即 19. 若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. （1）已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； （2）设，若与为“函数对”，求的取值范围； （3）已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 【答案】（1）不是，理由如下： 由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数， 因为，所以函数在上有唯一零点， 当时，函数是单调递减函数， ，即， 所以函数在上没有零点，不符合题中定义，和不是“函数对”； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数和余弦函数的单调性，结合函数零点存在原理、函数单调性的性质、题中定义进行求解即可； （2）根据题中定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （3）根据题中定义，结合函数单调性的性质、对数的运算性质，通过构造新函数，利用新函数的单调性及单调性的性质进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由得，， ，所以的零点是的零点， 由得，， 当时，，所以为的零点 而当时，必须使得无解， 否则的一些零点不能使得， 所以对成立， 所以，得，此时的零点也全是的零点，综上. 【小问3详解】 由， 因为函数与为“函数对”， 所以，取对得， 由， 因为函数与为“函数对”， 所以有， 因为在上单调递增，所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质、正弦函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市第八中学2024--2025学年下学期高一年级期中考试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 下列有关函数的已知：，且，下列命题正确的个数是（ ） ①函数的周期为 ②函数的一个对称中心为 ③函数的单调递减区间为 ④若函数在区间上是单调函数，且，则的值为2或 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 8. 在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数使得不等式成立的实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则－定是钝角三角形; B. 在中，角的对边分别为，若，则是等腰三角形; C. 在中，角所对的边分别为，若，则一定是等腰三角形; D. 在中，若，则是一定钝角三角形． 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是 B. 已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的重心 C. 已知，则的最大值为， D. 平面向量，，满足，，则的最小值是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ） A. 动点的轨迹是一条线段 B. 直线与的夹角为 C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度最大值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则_________． 13. 郑州二七塔是为了纪念二七大罢工而修建，是中国建筑独特的仿古联体双塔，小米同学为了测量二七塔的塔高，在塔底所在的水平面内取点，测得塔顶的仰角为，前进米后到达点，测得塔顶的仰角为，再前进米后到达点，测得塔顶的仰角为，则塔高_________米.（参考数据：，最终结果保留整数，即结果精确到） 14. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线与、两边分别交于、两点，且，，则 ________；的最小值为________． 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为. （1）已知，，求； （2）在中，，，角A的平分线与交于点D，且，若，求. 16. 在中，内角的对边分别为，满足. （1）求； （2）若，求边上的高. 17. 如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线为海岸线，，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个的养殖场 （1）已知，求的长度 （2）问如何选取点，才能使得养殖场的面积最大，并求其最大面积 18. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，. （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 19. 若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. （1）已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； （2）设，若与为“函数对”，求的取值范围； （3）已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $