专题18：三角形（讲义）-2025年小升初数学复习讲练测（通用版）（教师版+学生版）

【复习讲义】2025年小升初数学复习讲练测（通用版） 第六章、平面图形 专题18：三角形 （9大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+变式训练+真题演练） 【考点一】三角形的概念及表示方法 【考点二】三角形的稳定性及应用 【考点三】三角形三边关系 【考点四】三角形的分类 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【考点六】画三角形 【考点七】三角形的内角和 【考点八】多边形的内角和 【考点九】三角形面积 知识点01：三角形的认识和分类 1、三角形的定义：由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做三角形。 2、三角形的特性 （1）稳定性：三角形具有稳定性，例如自行车的车架、篮球架等都是利用了三角形的稳定性。 （2）三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3、三角形的分类 （1）按角分类： ①锐角三角形：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。 ②直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 ③钝角三角形：有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 （2）按边分类： ①不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。 ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角相等。 ③等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。等边三角形的三个角都相等，都是60°。等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点02：三角形的内角和 1、三角形的内角和：三角形的内角和是180°。 2、多边形内角和： n边形的内角和公式：（n−2）×180°（n⩾3且n为整数）。 知识点03：三角形的面积 计算公式：三角形的面积＝底×高÷2，用字母表示为S＝ah÷2，其中a表示三角形的底，h表示三角形这条底边对应的高。 易错点01：对三角形任意两边之和大于第三边的性质应用错误。 【举例】判断6m、5m、11m三条线段能否围成三角形，认为6+11=17＞5，能围成三角形。 【点拨】在判断三条线段能否围成三角形时，要全面考虑所有组合情况，即任意两边之和都要大于第三边。 易错点02：在按角分类时，容易混淆锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的概念 【举例】有一个角是锐角的三角形错误地判断为锐角三角形。 【点拨】锐角三角形是三个角都是锐角。 易错点03：面积计算错误。 【举例】一是计算三角形面积时忘记除以2；二是不能准确找出三角形的底和对应的高，尤其是在一些非标准放置的三角形或组合图形中，容易找错底和高的对应关系。 【点拨】三角形面积公式：面积=底×高÷2。 考点1：三角形的概念及表示方法 【典型例题】李明用长6cm、9cm和4cm的木棒拼了一个三角形，张兵也用同样的3根木棒拼了一个三角形，李明拼的三角形和张兵的相比（    ）。 A．形状相同，大小相等 B．形状相同，大小不相等 C．形状不同，大小相等 D．形状不同，大小不相等 【变式训练1】某同学不小心将一块三角形玻璃打碎成三片（见图），如果要去玻璃店配一块形状、大小完全一样的玻璃，最省事的办法是带（ ）号去。 【变式训练2】下图共有9个三角形。（ ） 【变式训练3】下图由两个边长分别为8cm、6cm的正方形组成，三角形ABC中，若以BC为底，则高是（    ）。 A．2cm B．6cm C．8cm D．14cm 考点2：三角形的稳定性及应用 【典型例题】郑州为实现“国家中心城市环城生态绿道，市民的休闲廊道”这一目标，种植了大量的树木。在种植树林中，多用到支撑三角架（如图），这是运用了（ ）原理，生活中（ ）也运用了这一特性。 【变式训练1】木匠师傅做了一个长方形框架（如图），发现容易变形，打算进行加固。最好的一种加固方案是（    ）。 A． B． C． 【变式训练2】图中太阳能热水器支架的设计利用了三角形的（ ）性。 考点3：三角形三边关系 【典型例题】从3厘米、4厘米、6厘米、8厘米的四根小棒中取出三根，能围成（   ）种不同的三角形。 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练1】一个三角形的两条边分别长5厘米、7厘米，这个三角形第三条边的长度可能是（    ）厘米。 A．1～9 B．1.9～14 C． D．3～11 【变式训练2】从四条长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm的线段中选3条围成一个三角形，它的周长是（    ）cm。 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练3】明明用三根小棒围成了一个三角形，其中两根小棒的长度分别是5cm和8cm。第三根小棒的长度可能是（    ）。 A．2cm B．9cm C．13cm D．15cm 考点4：三角形的分类 【典型例题】一个三角形的三个内角度数的比是1∶2∶3，最大的内角的度数是（ ），这是一个（ ）三角形。 【变式训练1】△ABC是直角三角形，则下列选项一定错误的是（    ）。 A．∠A－∠B＝∠C B．∠A＝60°，∠B＝40° C．∠A＋∠B＝∠C D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2 【变式训练2】一个三角形三个内角度数比是2∶3∶5，这是一个（    ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【变式训练3】在三角形的三个内角中，，那么这个三角形一定是（    ）三角形。 A．等腰 B．钝角 C．锐角 D．直角 考点5：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典型例题】等腰三角形相邻两边的比是1∶3，周长是140厘米，则短边长（    ）厘米。 A．35 B．28 C．20 D．28或20 【变式训练1】玲玲做了一个等腰三角形的风筝框架，顶角和底角的度数比是4∶3，顶角是（ ），底角是（ ）。 【变式训练2】用60厘米长的铁丝围成一个等腰三角形，已知腰和底的比是3∶4，则这个等腰三角形的一条腰长（ ）厘米，底长（ ）厘米。 【变式训练3】等腰三角形的两条边长分别是6厘米和3厘米，则这个三角形的周长是（    ）。 A．15厘米 B．12厘米 C．15厘米或12厘米 D．无法确定 考点6：画三角形 【典型例题】如图。 （1）以AB为三角形一边，画出高为3厘米的三角形ABC。 （2）点C用数对表示为（    ）。 （3）画出三角形绕B点按顺时针方向旋转90度后的图形。 【变式训练1】（1）如图中每个方格表示边长为1cm的小正方形，已知点A（3，7）和点B（9，7），点C和点A、B构成等腰直角三角形的三个顶点。那么点C的位置用数对表示为C（ 　 　，　 　）（写出一种即可）。 （2）在图中画出这个三角形，并涂上阴影。 【变式训练2】在点子图上按要求画图。 【变式训练3】在方格纸上画出一个大三角形，使这个三角形的面积与图中三角形的面积之比是2∶1。（下图小方格的边长为1厘米） 考点7：三角形的内角和 【典型例题】在△ABC中，BD⊥AC于点D，若∠ABD＝40°，则∠BAC的度数为（ ）。 【变式训练1】把两个直角三角形拼成一个大三角形，大三角形的内角和是（    ）。 A．90° B．360° C．180° 【变式训练2】如图，已知∠1与∠2的度数之比是5∶4，则∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【变式训练3】下图中∠1＝（    ）°。 A．45 B．60 C．70 D．75 考点8：多边形的内角和 【典型例题】一个五边形的内角和是540°（如图），试一试，推导出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（    ）°。请写出你的推导过程： 【变式训练1】剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是（ ）°。 【变式训练2】若一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的2倍，则它的边数为（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．8 【变式训练3】△ABC中，∠2＝70°，沿图中虚线剪去∠2，则∠4＋∠5＝（ ）°。 考点9：三角形面积 【典型例题】一块三角形的钢板，用1∶200的比例画在纸上，两条直角边共长5.4厘米，它们的长度之比是5∶4，这块钢板的实际面积是多少平方米？ 【变式训练1】小白正在设计一个小型花园，三角形花坛的底是8厘米，高是6厘米，他计划将三角形花坛的底边增加2厘米，而高度保持不变。他想知道这样做会使花坛的面积增加多少平方厘米？（    ） A．10平方厘米 B．8平方厘米 C．6平方厘米 D．4平方厘米 【变式训练2】把一个底为6cm，高为2cm的三角形按放大，得到新图形面积是（ ）。 【变式训练3】一个三角形三个内角的度数的比是1∶2∶1，如果这个三角形较短的边是6厘米，这个三角形的面积是（ ）平方厘米。 一、选择题 1．（2024·浙江金华·小升初真题）有5根小棒，长度分别是3厘米、3厘米、5厘米、5厘米、6厘米，选其中3根小棒搭一个三角形。可以搭成（    ）个不同大小的三角形，其中有（    ）个等腰三角形。 A．1；3 B．2；1 C．4；3 D．4；2 2．（2024·广东河源·小升初真题）下列小棒可以拼成三角形是（    ）。 A． B． C． D． 3．（2024·广东东莞·小升初真题）三角形三个内角的度数比是1∶3∶5，这是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 4．（2024·山东德州·小升初真题）在同一幅图上，如果点A用数对表示为（1，5），点B用数对表示数（1，1），点C用数对表示为（3，1），那么三角形ABC一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 5．（2021·福建泉州·小升初真题）如图，为估计池塘岸边A、B之间的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A、B之间的距离不可能是（    ）米。 A．25 B．20 C．15 D．10 6．（2024·新疆乌鲁木齐·小升初真题）在下面各图中，每个三角形都只露出了一部分，根据每个三角形露出的部分，不能判断出这个三角形一定是哪一类三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024·河南驻马店·小升初真题）一个平行四边形，底长是15cm，高是8cm，这个平行四边形的面积是（ ）cm2，和它等底等高的三角形的面积是（ ）cm2。 8．（2024·河南驻马店·小升初真题）三根小棒首尾相连围成一个三角形，已知其中两根小棒分别长5cm和11cm，那么还有一根小棒最短可能是（ ）cm，最长可能是（ ）cm。（都取整厘米数） 9．（2024·河南周口·小升初真题）在一个直角三角形中，一个锐角是45°，一条直角边长10厘米，另一条直角边长（ ）厘米。 10．（2024·河南漯河·小升初真题）一个三角形三个内角的度数比是2∶2∶5，那么这个三角形既是（ ）三角形，又是（ ）三角形。 11．（2024·浙江杭州·小升初真题）如图是一个轴对称图形，已知∠1∶∠2＝3∶4，∠2∶∠4＝2∶1，∠4的度数是（ ）。 12．（2024·浙江宁波·小升初真题）一个三角形的三条边长度和为42cm，三条边长度之比是2∶3∶2，这个三角形最长边是（ ）cm。按边分类，它是（ ）三角形。 13．（2024·广东广州·小升初真题）一个三角形的面积是36平方厘米，底是9厘米，高是（ ）厘米。 14．（2024·内蒙古包头·小升初真题）一个等腰三角形的两条边分别是1cm和8cm，这个三角形的周长是（ ）cm。 15．（2024·广东汕头·小升初真题）红领巾是我们少先队员的标志，其中三个角的度数比是4∶1∶1，按角分，它是（ ）三角形；按边分，它又是（ ）三角形。 16．（2024·广东清远·小升初真题）若一个等腰三角形的其中两个角的度数之比为2∶5，则它的顶角的度数是（ ）°或（ ）°。 17．（2024·广东东莞·小升初真题）一个等腰三角形，两边为5厘米和10厘米，第三边是 厘米，这个三角形的周长是（ ）厘米。 18．（2024·山东菏泽·小升初真题）在三角形ABC中∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，∠C＝（ ）°，按角的大小分，这个三角形是（ ）三角形。 19．（2024·河北邢台·小升初真题）如果点A用数对表示为（3，3），B点用数对表示为（6，1），C点用数对表示为（3，1），那么三角形ABC一定是（ ）三角形。 20．（2023·广西柳州·小升初真题）小思爸爸要做一个钝角三角形的风筝，已经准备了两根0.8m长的竹条，第三根竹条长（0.8m 1.4m 1.6m）才可以做成这个风筝。（圈出正确答案） 21．（2023·四川成都·小升初真题）如上图，在△ABC中，D为BC的中点，BE＝AB。若阴影部分的面积是12平方厘米，则三角形ABC的面积是（ ）平方厘米。 22．（2024·安徽六安·小升初真题）一个等腰三角形的一个底角是65°，这个等腰三角形的顶角是（ ）；另一个等腰一角形中有两条边分别是4cm和8cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 23．（2024·四川乐山·小升初真题）一个三角形的三个角的比是2∶5∶11，最大的角是（ ）°，这是一个（ ）三角形。 24．（2024·山西太原·小升初真题）如图，长方形的长是40厘米，宽是20厘米，B、C两点把长方形的一条长按1∶2∶1分成了三段，线段BC长（ ）厘米，三角形ABC的面积是（ ）平方厘米。 25．（2024·河北沧州·小升初真题）等腰三角形一个底角是64°，顶角是（ ）°，如果按角分，它是（ ）三角形。 三、解答题 26．（2024·浙江金华·小升初真题）一个等边三角形的边长缩短到原来的，得到的等边三角形周长是18分米，原三角形边长是多少分米？ 27．（2023·四川成都·小升初真题）如图，四边形被分成四个三角形，四边形的面积是42平方厘米，其中两个小三角形的面积分别是3平方厘米和4平方厘米，那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【复习讲义】2025年小升初数学复习讲练测（通用版） 第六章、平面图形 专题18：三角形 （9大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+变式训练+真题演练） 【考点一】三角形的概念及表示方法 【考点二】三角形的稳定性及应用 【考点三】三角形三边关系 【考点四】三角形的分类 【考点五】等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【考点六】画三角形 【考点七】三角形的内角和 【考点八】多边形的内角和 【考点九】三角形面积 知识点01：三角形的认识和分类 1、三角形的定义：由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做三角形。 2、三角形的特性 （1）稳定性：三角形具有稳定性，例如自行车的车架、篮球架等都是利用了三角形的稳定性。 （2）三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3、三角形的分类 （1）按角分类： ①锐角三角形：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。 ②直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 ③钝角三角形：有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 （2）按边分类： ①不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。 ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角相等。 ③等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。等边三角形的三个角都相等，都是60°。等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点02：三角形的内角和 1、三角形的内角和：三角形的内角和是180°。 2、多边形内角和： n边形的内角和公式：（n−2）×180°（n⩾3且n为整数）。 知识点03：三角形的面积 计算公式：三角形的面积＝底×高÷2，用字母表示为S＝ah÷2，其中a表示三角形的底，h表示三角形这条底边对应的高。 易错点01：对三角形任意两边之和大于第三边的性质应用错误。 【举例】判断6m、5m、11m三条线段能否围成三角形，认为6+11=17＞5，能围成三角形。 【点拨】在判断三条线段能否围成三角形时，要全面考虑所有组合情况，即任意两边之和都要大于第三边。 易错点02：在按角分类时，容易混淆锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的概念 【举例】有一个角是锐角的三角形错误地判断为锐角三角形。 【点拨】锐角三角形是三个角都是锐角。 易错点03：面积计算错误。 【举例】一是计算三角形面积时忘记除以2；二是不能准确找出三角形的底和对应的高，尤其是在一些非标准放置的三角形或组合图形中，容易找错底和高的对应关系。 【点拨】三角形面积公式：面积=底×高÷2。 考点1：三角形的概念及表示方法 【典型例题】李明用长6cm、9cm和4cm的木棒拼了一个三角形，张兵也用同样的3根木棒拼了一个三角形，李明拼的三角形和张兵的相比（    ）。 A．形状相同，大小相等 B．形状相同，大小不相等 C．形状不同，大小相等 D．形状不同，大小不相等 【答案】A 【分析】三角形只有3条边，三角形的周长是3条边的长度和，用同样的3根木棒拼成的三角形的形状相同，大小也相等，据此分析。 【详解】根据分析，李明用长6cm、9cm和4cm的木棒拼了一个三角形，张兵也用同样的3根木棒拼了一个三角形，李明拼的三角形和张兵的相比形状相同，大小相等。 故答案为：A 【变式训练1】某同学不小心将一块三角形玻璃打碎成三片（见图），如果要去玻璃店配一块形状、大小完全一样的玻璃，最省事的办法是带（ ）号去。 【答案】③ 【分析】要想还原玻璃的原状，最重要的就是知道三角形各角的度数和各边的长度，①只能知道一个角的度数，不知道两条边的长度，②不能知道边的长短，只有③保留了原三角形的两个角和一条边，只要延长另两条边相交就还原了玻璃的形状，据此解答。 【详解】根据分析：如果要去玻璃店配一块形状、大小完全一样的玻璃，最省事的办法是带③号去。 【变式训练2】下图共有9个三角形。（ ） 【答案】× 【分析】单个的三角形有4个，由2个三角形组成的大三角形有3个，由3个三角形组成的大三角形有2个，由4个三角形组成的大三角形有1个，最后把所有三角形的数量相加即可。 【详解】4＋3＋2＋1＝10（个），共有10个三角形。 故答案为：× 【变式训练3】下图由两个边长分别为8cm、6cm的正方形组成，三角形ABC中，若以BC为底，则高是（    ）。 A．2cm B．6cm C．8cm D．14cm 【答案】B 【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底；由此可知，在三角形ABC中，以BC为底的高等于小正方形的边长，依此选择。 【详解】 由此可知，三角形ABC中，若以BC为底，则高是6cm。 故答案为：B 考点2：三角形的稳定性及应用 【典型例题】郑州为实现“国家中心城市环城生态绿道，市民的休闲廊道”这一目标，种植了大量的树木。在种植树林中，多用到支撑三角架（如图），这是运用了（ ）原理，生活中（ ）也运用了这一特性。 【答案】 三角形的稳定性 摄像机的三脚架 【分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性即可解答。 【详解】运用了三角形的稳定性原理，生活中摄像机的三脚架也运用了这一特性。（答案不唯一） 【变式训练1】木匠师傅做了一个长方形框架（如图），发现容易变形，打算进行加固。最好的一种加固方案是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】沿着长方形相对的两个顶点加一根木条，形成两个三角形，可利用三角形的稳定性加固长方形的框架，据此解答。 【详解】A．将长方形框架分成了两个长方形，长方形是四边形，四边形具有不稳定性，不符合题意； B．将长方形框架分成了两个长方形，长方形是四边形，四边形具有不稳定性，不符合题意； C．将长方形框架分成了两个三角形，三角形具有稳定性，符合题意。 故答案为：C 【变式训练2】图中太阳能热水器支架的设计利用了三角形的（ ）性。 【答案】稳定 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点；据此解答。 【详解】图中太阳能热水器支架的设计利用了三角形的稳定性。 考点3：三角形三边关系 【典型例题】从3厘米、4厘米、6厘米、8厘米的四根小棒中取出三根，能围成（   ）种不同的三角形。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】三角形的两边之和大于第三边。据此将题中小棒能围成的三角形一一列举，再统计个数即可。 【详解】①3＋4＝7（厘米），7＞6 取3厘米、4厘米、6厘米这三根小棒可围成一个三角形； ②3＋6＝9（厘米），9＞8 取3厘米、6厘米、8厘米这三根小棒可围成一个三角形； ③4＋6＝10（厘米），10＞8 取4厘米、6厘米、8厘米这三根小棒可围成一个三角形。 所以能围成3种不同的三角形。 故答案为：B 【变式训练1】一个三角形的两条边分别长5厘米、7厘米，这个三角形第三条边的长度可能是（    ）厘米。 A．1～9 B．1.9～14 C． D．3～11 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答。 【详解】7＋5＝12（厘米） 7－5＝2（厘米） 所以第三边的长度应该大于2厘米且小于12厘米。在四个选项中，只有3~11厘米符合条件。 故答案为：D 【变式训练2】从四条长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm的线段中选3条围成一个三角形，它的周长是（    ）cm。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先写出任意三根木条的所有组合情况，再根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”进行分析解答。 【详解】任意三条组合有四种情况： ①1cm、2cm、3cm；1＋2＝3，3＝3，不能围成三角形； ②1cm、2cm、4cm；1＋2＝3，3＜4，不能围成三角形； ③1cm、3cm、4cm；1＋3＝4，4＝4，不能围成三角形； ④2cm、3cm、4cm；2＋3＝5，5＞4，能围成三角形； 周长：2＋3＋4＝9（cm） 它的周长是9cm。 故答案为：D 【变式训练3】明明用三根小棒围成了一个三角形，其中两根小棒的长度分别是5cm和8cm。第三根小棒的长度可能是（    ）。 A．2cm B．9cm C．13cm D．15cm 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系可知，另两边长度的差＜第三边长度＜另两边长度的和，据此解答。 【详解】（cm），（cm） 所以，3cm＜第三边＜13cm， A. 2cm＜3cm B. 3cm＜9cm＜13cm C. 13cm＝13cm D. 15cm＞13cm 第三根小棒的长度可能是9cm。 故答案为：B 考点4：三角形的分类 【典型例题】一个三角形的三个内角度数的比是1∶2∶3，最大的内角的度数是（ ），这是一个（ ）三角形。 【答案】 90°/90度 直角 【分析】分析题目，三角形的内角和是180°，据此先用180°除以总份数求出一份是多少度，再乘3求出最大的角是多少度；最后根据最大的角确定三角形的类型，最大的角是什么角，则这个三角形就是什么三角形，据此解答。 【详解】180°÷（1＋2＋3） ＝180°÷6 ＝30° 30°×3＝90° 90°是直角，所以这个三角形是直角三角形。 一个三角形的三个内角度数的比是1∶2∶3，其中最大的内角的度数是90°，这是一个直角三角形。 【变式训练1】△ABC是直角三角形，则下列选项一定错误的是（    ）。 A．∠A－∠B＝∠C B．∠A＝60°，∠B＝40° C．∠A＋∠B＝∠C D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2 【答案】B 【分析】三角形内角和是180°；直角三角形中，一个角是90°，其余两个角的和是90°，据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．∠A－∠B＝∠C；如果∠A＝90°，那么∠A－∠B＝∠C正确。 B．∠＝60°，∠B＝40°； ∠C＝180°－60°－40° ∠C＝120°－40° ∠C＝80° ∠C是80°，是锐角三角形，∠A＝60°，∠B＝40°错误。 C．∠A＋∠B＝∠C；因为是直角三角形，∠C是90°，其余两个角的和是90°，∠A＋∠B＝∠C正确。 D．最大角： 180°× ＝180°× ＝90° 最大角是90°，所以∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2正确。 △ABC是直角三角形，一定错误的是∠A＝60°，∠B＝40°。 故答案为：B 【变式训练2】一个三角形三个内角度数比是2∶3∶5，这是一个（    ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】三角形的内角和是180°，三个内角度数比是2∶3∶5，则最大的内角占内角和的，用180°乘可以求出最大内角的度数。三角形的最大内角是什么角，这个三角形就是什么三角形。据此解答。 【详解】180°× ＝180°× ＝90° 最大内角是直角，则这是一个直角三角形。 故答案为：B 【变式训练3】在三角形的三个内角中，，那么这个三角形一定是（    ）三角形。 A．等腰 B．钝角 C．锐角 D．直角 【答案】D 【分析】由于∠2＋∠3＝∠1，三角形的内角和是180°，即三个角的和是180°，∠1＋∠2＋∠3＝180°，此时可以变为∠1＋∠1＝180°，据此即可知道∠1＝180°÷2＝90°，在三角形中，由一个角是直角的三角形是直角三角形，由于∠2和∠3不确定是否相等，所以不能是等腰三角形，据此即可选择。 【详解】由分析可知： ∠1＝180°÷2＝90° 所以这个三角形一定是直角三角形。 故答案为：D 考点5：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典型例题】等腰三角形相邻两边的比是1∶3，周长是140厘米，则短边长（    ）厘米。 A．35 B．28 C．20 D．28或20 【答案】C 【分析】分析题目，由于相邻两边的比是1∶3，根据比的意义可知，两条边分别是1份和3份，由于三角形中，任意两边之和必须大于第三边，所以可知腰是3份，底是1份，则三边的比是3∶3∶1，三角形的周长为三边之和，所以140厘米是（3＋3＋1）份，据此用除法求出一份的长度，再乘短边对应的份数即可解答。 【详解】由分析可知：三边的比是3∶3∶1。 140÷（3＋3＋1） ＝140÷7 ＝20（厘米） 20×1＝20（厘米） 等腰三角形相邻两边的比是1∶3，周长是140厘米，则短边长20厘米。 故答案为：C 【变式训练1】玲玲做了一个等腰三角形的风筝框架，顶角和底角的度数比是4∶3，顶角是（ ），底角是（ ）。 【答案】 72°/72度 54°/54度 【分析】等腰三角形两底角相等，根据顶角和底角的度数比是4∶3，可知三个内角的度数比是4∶3∶3，三角形内角和180°，将比的各项看成份数，三角形内角和÷总份数＝一份数，一份数分别乘顶角和底角的对应份数，即可求出顶角和底角的度数。 【详解】180°÷（4＋3＋3） ＝180°÷10 ＝18° 18°×4＝72° 18°×3＝54° 顶角是72°，底角是54°。 【变式训练2】用60厘米长的铁丝围成一个等腰三角形，已知腰和底的比是3∶4，则这个等腰三角形的一条腰长（ ）厘米，底长（ ）厘米。 【答案】 18 24 【分析】铁丝长度相当于三角形的周长，等腰三角形有2条腰1条底，因此这个等腰三角形3条边的长度比是3∶3∶4，将比的各项看成份数，铁丝长度÷总份数，求出一份数，一份数分别乘腰和底的对应份数，即可求出腰长和底长。 【详解】60÷（3＋3＋4） ＝60÷10 ＝6（厘米） 6×3＝18（厘米） 6×4＝24（厘米） 这个等腰三角形的一条腰长18厘米，底长24厘米。 【变式训练3】等腰三角形的两条边长分别是6厘米和3厘米，则这个三角形的周长是（    ）。 A．15厘米 B．12厘米 C．15厘米或12厘米 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据三角形两边之和一定大于第三边，又因，所以可以确定这个等腰三角形三条边的长分别是6厘米、6厘米、3厘米，再把三条边加起来，即可得解。 【详解】 （厘米） 这个三角形的周长是15厘米。 故答案为：A 考点6：画三角形 【典型例题】如图。 （1）以AB为三角形一边，画出高为3厘米的三角形ABC。 （2）点C用数对表示为（    ）。 （3）画出三角形绕B点按顺时针方向旋转90度后的图形。 【答案】（1）（3）图见详解（三角形画法不唯一） （2）（5，7） 【分析】（1）把AB边作为三角形的底边，因为线段AB位于第4行，所以与线段AB距离为3厘米的点都位于第7行上，据此取C点，再画出三角形ABC即可； （2）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此表示出点C的位置即可； （3）根据旋转的意义，找出图中三角形3个关键点，再画出按顺时针方向绕B点旋转90度后的三角形即可。 【详解】（1）作图如下：（画法不唯一） （2）点C用数对表示为（5，7）。 （3）作图如下： 【变式训练1】（1）如图中每个方格表示边长为1cm的小正方形，已知点A（3，7）和点B（9，7），点C和点A、B构成等腰直角三角形的三个顶点。那么点C的位置用数对表示为C（ 　 　，　 　）（写出一种即可）。 （2）在图中画出这个三角形，并涂上阴影。 【答案】（1）（3，1） （2）见详解 【分析】（1）有一个角是直角且有两条边相等的三角形叫等腰直角三角形，据此以点A为直角顶点，以线段AB、线段AC为等腰直角三角形的直角边（也是相等的两腰）。再根据数对的表示方法：（列数，行数），找出点C在方格中对应的列数和行数，再用数对表示出来。 （2）连接A、B、C三点涂色即可。 【详解】（1）那么点C的位置用数对表示为C（3，1）。（答案不唯一） （2）如图：（答案不唯一） 【变式训练2】在点子图上按要求画图。 【答案】见详解 【分析】根据题意，在点阵上任选三个点，分别满足以下条件即可。 锐角三角形：三个内角都小于 90°。可以选取相对接近的三个点，使其互相连接后没有直角也没有钝角。 等腰直角三角形：先确定一条水平边与一条竖直边长度相等（如都取 2 个点的间隔），二者相交处为直角顶点，连接第三个点即可。 钝角三角形：选取两个较近的点和一个较远的点，使其中一角大于 90°即可。（比如先画一条相对较长的底边，再在该边以外的较远位置选第三点。） 【详解】根据分析画图如下： （画法不唯一） 【变式训练3】在方格纸上画出一个大三角形，使这个三角形的面积与图中三角形的面积之比是2∶1。（下图小方格的边长为1厘米） 【答案】见详解 【分析】从图中可知，图中三角形ABC的底是4厘米、高是2厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出原来三角形的面积； 要使所画的大三角形的面积与图中三角形的面积之比是2∶1，即所画三角形的面积是三角形ABC面积的2倍，据此求出所画三角形的面积； 根据三角形的面积＝底×高÷2，确定所画三角形的底和高，据此画出这个三角形。 【详解】三角形ABC的面积：4×2÷2＝4（平方厘米） 所画三角形的面积：4×2＝8（平方厘米） 8＝4×4÷2，可以画一个底为4厘米、高为4厘米的三角形。 如图：（答案不唯一） 考点7：三角形的内角和 【典型例题】在△ABC中，BD⊥AC于点D，若∠ABD＝40°，则∠BAC的度数为（ ）。 【答案】/50度 【分析】因为于点D，所以，在中，三个内角的和是180°，所以等于内角和减去另两个内角，据此解答。 【详解】因为，所以。 故的度数是。 【变式训练1】把两个直角三角形拼成一个大三角形，大三角形的内角和是（    ）。 A．90° B．360° C．180° 【答案】C 【分析】将两个直角三角形拼成一个大三角形，它还是一个三角形；依据三角形的内角和等于180°即可解答。 【详解】把两个直角三角形拼成一个大三角形，大三角形的内角和是180°。 故答案为：C 【变式训练2】如图，已知∠1与∠2的度数之比是5∶4，则∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】 60 48 【分析】根据三角形的内角和为180°以及平角为180°可知，∠1和∠2两角的和与第三个角的度数是180°，而第三个角的度数与108°的和是180°，也就是∠1和∠2两角的和是108°。∠1与∠2的度数之比是5∶4，即∠1占5份，∠2占4份。再用两角的和乘（）计算出∠1的度数；再用两角的和乘（）计算出∠2的度数。 【详解】∠1＋∠2＝108° 因此∠1＝60°，∠2＝48°。 【变式训练3】下图中∠1＝（    ）°。 A．45 B．60 C．70 D．75 【答案】C 【分析】平角是180°，将180°减去60°和45°，求出三角形的另一个内角。三角形内角和是180°，将180°减去35°、再减去另一个内角的度数，即可求出∠1。 【详解】180°－60°－45°＝75° 180°－35°－75°＝70° 所以，∠1＝70°。 故答案为：C 考点8：多边形的内角和 【典型例题】一个五边形的内角和是540°（如图），试一试，推导出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（    ）°。请写出你的推导过程： 【答案】360；过程见详解 【分析】观察图形可知，∠1＝180°－∠6，∠2＝180°－∠7，∠3＝180°－∠8，∠4＝180°－∠9，∠5＝180°－∠10，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝180°－∠6＋180°－∠7＋180°－∠8＋180°－∠9＋180°－∠10，又因为这个五边形的内角和是540°，即∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10＝540°，进而解答即可。 【详解】∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝180°－∠6＋180°－∠7＋180°－∠8＋180°－∠9＋180°－∠10 ＝180°×5－（∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10） ＝900°－540° ＝360° 推导出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°。 【变式训练1】剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是（ ）°。 【答案】360 【分析】已知三角形的内角和是180°，把剩下的图形分成两个三角形，根据三角形的内角和是180°，据此得出剩下图形的内角和。 【详解】如图： 180°×2＝360° 剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是（360）°。 【变式训练2】若一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的2倍，则它的边数为（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】若一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的2倍，说明每个内角都相等，该多边形是正多边形。每个内角与它相邻外角之和都是180°，且每个内角都等于与它相邻外角的2倍，说明这个外角的3倍是180°，据此用除法求出外角，再用外角度数乘2就是内角度数。正多边形有几条边就有几个内角，再结合多边形内角度数的公式，设边数是n条，列方程解答即可。 【详解】 解：设它的边数为n条。 多边形的边数是6。 故答案为：C 【变式训练3】△ABC中，∠2＝70°，沿图中虚线剪去∠2，则∠4＋∠5＝（ ）°。 【答案】250 【分析】三角形的内角和是180°，那么∠1＋∠3＝180°－∠2，代入∠2的角度，求出∠1与∠3的和； 四边形的内角和是360°，那么∠4＋∠5＝360°－（∠1＋∠3），代入∠1与∠3的和，据此求出∠4与∠5的和。 【详解】∠1＋∠3 ＝180°－∠2 ＝180°－70° ＝110° ∠4＋∠5 ＝360°－（∠1＋∠3） ＝360°－110° ＝250° 则∠4＋∠5＝250°。 考点9：三角形面积 【典型例题】一块三角形的钢板，用1∶200的比例画在纸上，两条直角边共长5.4厘米，它们的长度之比是5∶4，这块钢板的实际面积是多少平方米？ 【答案】14.4平方米 【分析】两条直角边共长5.4厘米，它们的长度之比是5∶4，说明把一条直角边长度看作5份，另一条直角边长度看作4份，它们长度之和看作10份，据此求出两直角边的图上距离，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两直角边的实际长度，最后根据三角形面积公式，求出三角形钢板的实际面积即可。 【详解】底： （厘米） ＝6（米） 高： （厘米） ＝4.8（米） 钢板实际面积：6×4.8÷2 ＝28.8÷2 ＝14.4（平方米） 答：这块钢板的实际面积14.4平方米。 【变式训练1】小白正在设计一个小型花园，三角形花坛的底是8厘米，高是6厘米，他计划将三角形花坛的底边增加2厘米，而高度保持不变。他想知道这样做会使花坛的面积增加多少平方厘米？（    ） A．10平方厘米 B．8平方厘米 C．6平方厘米 D．4平方厘米 【答案】C 【分析】增加的部分也是三角形，根据三角形面积＝底×高÷2，用增加的底×高÷2＝增加的面积，据此列式计算。 【详解】2×6÷2＝6（平方厘米） 这样做会使花坛的面积增加6平方厘米。 故答案为：C 【变式训练2】把一个底为6cm，高为2cm的三角形按放大，得到新图形面积是（ ）。 【答案】96 【分析】一个底6cm、高2cm的三角形按4∶1放大，即三角形的底和高都扩大到原来的4倍，据此分别求出三角形放大后的底和高，再利用三角形的面积＝底×高÷2计算，即可完成解答。 【详解】6×4＝24（cm） 2×4＝8（cm） 24×8÷2 ＝192÷2 ＝96（） 所以得到新图形面积是96。 【变式训练3】一个三角形三个内角的度数的比是1∶2∶1，如果这个三角形较短的边是6厘米，这个三角形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】18 【分析】把三个内角的度数比看作份数比，总份数为1＋2＋1＝4（份），用三角形的内角和除以4，进而求出每个内角的度数，再判断出这个三角形的形状。最后结合题意以及三角形的面积公式，求出这个三角形的面积即可。 【详解】180÷（1＋2＋1） ＝180÷4 ＝45（度） 45×2＝90（度） 所以这个三角形是等腰直角三角形，底和高分别是6厘米。 6×6÷2＝18（平方厘米） 所以这个三角形的面积是18平方厘米。 一、选择题 1．（2024·浙江金华·小升初真题）有5根小棒，长度分别是3厘米、3厘米、5厘米、5厘米、6厘米，选其中3根小棒搭一个三角形。可以搭成（    ）个不同大小的三角形，其中有（    ）个等腰三角形。 A．1；3 B．2；1 C．4；3 D．4；2 【答案】C 【分析】先任意选取三根小棒，然后根据三角形的三边关系判断这三根小棒是否能搭成一个三角形；如果可以搭成三角形，再根据等腰三角形的意义判断是否是等腰三角形；最后数出可以搭成几个不同大小的三角形以及等腰三角形的个数。 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边。 两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 【详解】任意三根小棒有以下组合： ①3厘米、3厘米、5厘米，3＋3＞5，可以搭成三角形，且是等腰三角形； ②3厘米、3厘米、6厘米，3＋3＝6，不可以搭成三角形； ③3厘米、5厘米、5厘米，3＋5＞5，可以搭成三角形，且是等腰三角形； ④3厘米、5厘米、6厘米，3＋5＞6，可以搭成三角形，但不是等腰三角形； ⑤5厘米、5厘米、6厘米，5＋5＞6，可以搭成三角形，且是等腰三角形； 综上所述，可以搭成4个不同大小的三角形，其中有3个等腰三角形。 故答案为：C 2．（2024·广东河源·小升初真题）下列小棒可以拼成三角形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐项分析，进行解答。 【详解】 A． 8＋5＝13；13＞10；8－5＝3；3＜10；能拼成三角形。 B． 3＋5＝8；8＝8；不能拼成三角形。 C． 3＋4＝7；7＜8，不能拼成三角形。 D． 3＋2＝5；5＜7，不能拼成三角形。 可以拼成三角形是。 故答案为：A 3．（2024·广东东莞·小升初真题）三角形三个内角的度数比是1∶3∶5，这是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 【答案】C 【分析】已知三角形的内角和是180°，三角形内角度数比是1∶3∶5，则这个三角形中最大的内角占三角形内角和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出这个最大内角的度数，再根据三角形按角的分类，确定这个三角形的类型。 【详解】180°× ＝180°× ＝100° 90°＜100°＜180° 所以，这个三角形是钝角三角形。 故答案为：C 4．（2024·山东德州·小升初真题）在同一幅图上，如果点A用数对表示为（1，5），点B用数对表示数（1，1），点C用数对表示为（3，1），那么三角形ABC一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 【答案】B 【分析】用数对表示物体的位置，数对的第一个数字表示第几列，第二个数字表示第几行。点A用数对表示为（1，5），B用数对表示为（1，1），说明点A、B在同一列上；点B用数对表示为（1，1），点C用数对表示为（3，1），说明点B、C在同一行上；AB垂直于BC，说明三角形ABC一定是直角三角形。如图： 【详解】由分析可知，在同一幅图上，如果点A用数对表示为（1，5），点B用数对表示数（1，1），点C用数对表示为（3，1），那么三角形ABC一定是直角三角形。 故答案为：B 5．（2021·福建泉州·小升初真题）如图，为估计池塘岸边A、B之间的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A、B之间的距离不可能是（    ）米。 A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【详解】15－10＜A、B之间的距离＜15＋10， 5＜A、B之间的距离＜25， 即A、B之间的距离取值在5～25米（不包括5米和25米）， 所以A、B之间的距离不可能是25米。 故答案为：A 6．（2024·新疆乌鲁木齐·小升初真题）在下面各图中，每个三角形都只露出了一部分，根据每个三角形露出的部分，不能判断出这个三角形一定是哪一类三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。据此进行判断即可。 【详解】A．已知一个角是锐角，被遮住的两个角可能都是锐角，也可能是一个锐角、一个钝角；所以这个三角形无法判定是什么三角形； B．已知一个角是钝角，所以这个三角形是钝角三角形； C．已知一个角是直角，所以这个三角形是直角三角形； D．已知两个角是锐角，被遮住的角也是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 故答案为：A 二、填空题 7．（2024·河南驻马店·小升初真题）一个平行四边形，底长是15cm，高是8cm，这个平行四边形的面积是（ ）cm2，和它等底等高的三角形的面积是（ ）cm2。 【答案】 120 60 【分析】根据平行四边形的面积公式S＝ah，代入数据求出平行四边形的面积，再根据等底等高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，求出三角形的面积。 【详解】15×8＝120（cm2） 120÷2＝60（cm2） 所以，这个平行四边形的面积是120cm2，和它等底等高的三角形的面积是60cm2。 8．（2024·河南驻马店·小升初真题）三根小棒首尾相连围成一个三角形，已知其中两根小棒分别长5cm和11cm，那么还有一根小棒最短可能是（ ）cm，最长可能是（ ）cm。（都取整厘米数） 【答案】 7 15 【分析】根据三角形的特征，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合边长取整厘米数进行解答。 【详解】5＋11＝16（厘米） 11－5＝6（厘米） 所以另一根小棒的长度要大于6厘米，小于16厘米，最短7厘米，最长15厘米。 9．（2024·河南周口·小升初真题）在一个直角三角形中，一个锐角是45°，一条直角边长10厘米，另一条直角边长（ ）厘米。 【答案】10 【分析】分析题目，直角三角形有一个锐角是45°，则这个直角三角形是等腰直角三角形，再根据等腰三角形有两条相等的边可知：等腰直角三角形的两条直角边相等，据此解答。 【详解】有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，它的两条直角边相等，即另一条直角边也是10厘米。 在一个直角三角形中，一个锐角是45°，一条直角边长10厘米，另一条直角边长10厘米。 10．（2024·河南漯河·小升初真题）一个三角形三个内角的度数比是2∶2∶5，那么这个三角形既是（ ）三角形，又是（ ）三角形。 【答案】 钝角 等腰 【分析】三角形三个内角之和是180°，把180°平均分成（2＋2＋5）份，先用除法求出1份的度数，再用乘法分别求出2份、5份的度数，然后根据三角形按边分类、按角分类的方法，即可对了此三角形类型； 等腰三角形：有两条边相等的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；据此解答。 【详解】根据分析： 180°÷（2＋2＋5） ＝180°÷9 ＝20° 20°×2＝40° 20°×5＝100° 这个三角形的三个内角是40°、40°、100°。 这个三角形的最大角是钝角，按角分是钝角三角形；这个三角形有两个角相等，根据等腰三角形的特征，是等腰三角形。 所以，这个三角形既是钝角三角形，又是等腰三角形。 11．（2024·浙江杭州·小升初真题）如图是一个轴对称图形，已知∠1∶∠2＝3∶4，∠2∶∠4＝2∶1，∠4的度数是（ ）。 【答案】60°/60度 【分析】分析题目，根据这个四边形是轴对称图形可知：∠1＝∠3，再根据求连比的方法求出∠1∶∠2∶∠4，并结合∠1＝∠3写出∠1∶∠2∶∠3∶∠4，最后根据四边形的内角和是360°，用360°乘∠4占四边形内角和的几分之几即可解答。 【详解】∠2∶∠4＝2∶1＝（2×2）∶（1×2）＝4∶2 ∠1∶∠2∶∠4＝3∶4∶2 因为图形是一个轴对称图形，所以∠1＝∠3，所以∠1∶∠2∶∠3∶∠4＝3∶4∶3∶2。 ∠4＝360°×＝360°×＝60° 如图是一个轴对称图形，已知∠1∶∠2＝3∶4，∠2∶∠4＝2∶1，∠4的度数是60°。 12．（2024·浙江宁波·小升初真题）一个三角形的三条边长度和为42cm，三条边长度之比是2∶3∶2，这个三角形最长边是（ ）cm。按边分类，它是（ ）三角形。 【答案】 18 等腰 【分析】已知三角形的三条边长度和为42cm，三条边长度之比是2∶3∶2，那么最长的边占三条边长度和的，根据求一个数的几分之几是多少，用三条边的长度和乘，求出这个三角形的最长边；再根据三角形按边的分类，确定这个三角形的类型。 【详解】42× ＝42× ＝18（cm） 因为三条边长度之比是2∶3∶2可知，这个三角形有两条边相等，所以它是等腰三角形。 填空如下： 这个三角形最长边是（18）cm。按边分类，它是（等腰）三角形。 13．（2024·广东广州·小升初真题）一个三角形的面积是36平方厘米，底是9厘米，高是（ ）厘米。 【答案】8 【分析】已知三角形的面积和底，根据三角形面积＝底×高÷2，可知三角形的高＝面积×2÷底，代入数据计算，即可求出三角形的高。 【详解】36×2÷9 ＝72÷9 ＝8（厘米） 高是8厘米。 14．（2024·内蒙古包头·小升初真题）一个等腰三角形的两条边分别是1cm和8cm，这个三角形的周长是（ ）cm。 【答案】17 【分析】根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；1＋8＝9cm；9＞8；8－1＝7cm；7＜8，所以等腰三角形的腰是8cm，底是1cm；根据三角形周长的求法，三边之和，据此求出三角形的周长。 【详解】8×2＋1 ＝16＋1 ＝17（cm） 一个等腰三角形的两条边分别是1cm和8cm，这个三角形的周长是17cm。 15．（2024·广东汕头·小升初真题）红领巾是我们少先队员的标志，其中三个角的度数比是4∶1∶1，按角分，它是（ ）三角形；按边分，它又是（ ）三角形。 【答案】 钝角 等腰 【分析】已知三角形的内角和是180°，三个角的度数比是4∶1∶1，则这个三角形中最大的内角占三角形内角和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出这个最大内角，然后根据三角形按角的分类，确定这个三角形的类型。 由三个角的度数比是4∶1∶1，说明另外两个底角相等，根据等腰三角形的特征“等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等”，据此可知这是一个等腰三角形。 【详解】最大的内角是： 180°× ＝180°× ＝120° 90°＜120°＜180°，这是一个钝角三角形。 由三个角的度数比是4∶1∶1，说明另外两个底角相等，则这是一个等腰三角形。 填空如下： 按角分，它是（钝角）三角形；按边分，它又是（等腰）三角形。 16．（2024·广东清远·小升初真题）若一个等腰三角形的其中两个角的度数之比为2∶5，则它的顶角的度数是（ ）°或（ ）°。 【答案】 30 100 【分析】等腰三角形：有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。两腰的夹角叫做顶角，底边上的两个角叫做底角。等腰三角形的两个底角相等。据此可知：这个等腰三角形的三个角的度数之比为2∶5∶5或2∶2∶5。又根据三角形内角和为180°，用内角和除以三个角的份数和，求出一份的度数，再乘顶角的份数即可。 【详解】180°÷（2＋5＋5）×2 ＝180°÷12×2 ＝15°×2 ＝30° 180°÷（5＋2＋2）×5 ＝180°÷9×5 ＝20°×5 ＝100° 它的顶角的度数是30°或100°。 17．（2024·广东东莞·小升初真题）一个等腰三角形，两边为5厘米和10厘米，第三边是 厘米，这个三角形的周长是（ ）厘米。 【答案】 10 25 【分析】等腰三角形，有两条边相等，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可推算出第三边的长度。再根据周长的定义把三边的长度加起来即可得解。 【详解】5＋5＝10 10＝10 不符合三角形三边关系，故第三边为10厘米； 5＋10＋10＝25（厘米） 一个等腰三角形，两边为5厘米和10厘米，第三边是10厘米，这个三角形的周长是25厘米。 18．（2024·山东菏泽·小升初真题）在三角形ABC中∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，∠C＝（ ）°，按角的大小分，这个三角形是（ ）三角形。 【答案】 90 直角 【分析】根据三角形的内角和定理，三角形三个内角之和是180°，把180°平均分成（2＋3＋5）份，用除法即可求出1份的度数，再乘5求出∠C的度数。∠C是这个三角形的最大内角。最大内角是钝角的是钝角三角形，最大内角是直角的是直角三角形，最大内角是锐角的是锐角三角形。 【详解】180°÷（2＋3＋5） ＝180°÷10 ＝18° 18°×5＝90° 所以∠C＝90°，按角的大小分，这个三角形是直角三角形。 19．（2024·河北邢台·小升初真题）如果点A用数对表示为（3，3），B点用数对表示为（6，1），C点用数对表示为（3，1），那么三角形ABC一定是（ ）三角形。 【答案】直角 【分析】用数对表示位置时，括号里第一个数字表示列，第二个数字表示行。通常列是从左往右数，行是从前往后数。三个角都小于 90 度的三角形叫做锐角三角形；有一个角等于 90 度的三角形叫做直角三角形；有一个角大于 90 度且小于 180 度的三角形叫做钝角三角形；据此根据三角形中角的大小来判断三角形的形状。 【详解】点A、B、C的位置如图： 由图可知AC和CB两条边互相垂直，所以，三角形ABC是直角三角形。 20．（2023·广西柳州·小升初真题）小思爸爸要做一个钝角三角形的风筝，已经准备了两根0.8m长的竹条，第三根竹条长（0.8m 1.4m 1.6m）才可以做成这个风筝。（圈出正确答案） 【答案】见详解 【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边；因为0.8＋0.8＝1.6，所以第三根竹条要小于1.6m；三条边相等的三角形为等边三角形，等边三角形为锐角三角形，据此可知，第三根竹条长度为1.4m。 【详解】若选0.8m，则为锐角三角形，所以0.8m不能选， 0.8＋0.8＝1.6（m） 1.6＞1.4 所以第三根竹条长才可以做成这个风筝。 21．（2023·四川成都·小升初真题）如上图，在△ABC中，D为BC的中点，BE＝AB。若阴影部分的面积是12平方厘米，则三角形ABC的面积是（ ）平方厘米。 【答案】224 【分析】根据高相等，三角形面积比等于底边比，可知BE＝AB，也就是△BCE的面积＝×△ABC的面积，△ACE的面积＝×△ABC的面积；已知D为BC的中点，则CD＝BC，△CDE的面积＝×△BCE的面积，所以△CDE的面积＝××△ABC的面积；△CDE的面积∶△ACE的面积＝（×）∶，也就是1∶6；根据风筝模型，可知DF∶AF＝1∶6，所以△DEF的面积∶△AEF的面积＝1∶6，已知△DEF的面积是12平方厘米，也就是1份是12平方厘米，6份就是（12×6）平方厘米，△ADE的面积＝△DEF的面积＋△AEF的面积；已知BE＝AB，则AE＝AB，所以△ADE的面积＝×△ABD的面积；根据分数除法的意义，用△ADE的面积÷即可求出△ABD的面积；D为BC的中点，所以BD＝CD，△ABD的面积＝△ACD的面积，用△ABD的面积＋△ACD的面积即可求出△ABC的面积。 【详解】高相等，面积比等于底边比； BE＝AB △BCE的面积＝×△ABC的面积 △ACE的面积 ＝（1－）×△ABC的面积 ＝×△ABC的面积 CD＝BC △CDE的面积＝×△BCE的面积 △CDE的面积＝××△ABC的面积 △CDE的面积∶△ACE的面积 ＝（×）∶ ＝∶ ＝（×8）∶（×8） ＝1∶6 根据风筝模型，可知DF∶AF＝1∶6 △DEF的面积∶△AEF的面积＝1∶6 △AEF的面积：12×6＝72（平方厘米） △ADE的面积：72＋12＝84（平方厘米） BE＝AB 则AE＝AB △ADE的面积＝×△ABD的面积 △ABD的面积：84÷ ＝84× ＝112（平方厘米） D为BC的中点 所以BD＝CD △ABD的面积＝△ACD的面积 △ABC的面积：112＋112＝224（平方厘米） 三角形ABC的面积是224平方厘米。 22．（2024·安徽六安·小升初真题）一个等腰三角形的一个底角是65°，这个等腰三角形的顶角是（ ）；另一个等腰一角形中有两条边分别是4cm和8cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 【答案】 50° 20 【分析】等腰三角形的两个底角相等；三角形内角和是180°，一个底角是65°，则另一个底角也是65°，用180°减去两个底角的和，即可求出顶角的度数。根据三角形三边之间关系：两边之和大于第三边；4＋4＝8cm，8＝8，所以等腰三角形的两条腰是8cm，根据三角形周长求出，用三边之和就是三角形周长，据此解答。 【详解】180°－65°×2 ＝180°－130° ＝50° 8＋8＋4 ＝16＋4 ＝20（cm） 一个等腰三角形的一个底角是65°，这个等腰三角形的顶角是50°；另一个等腰一角形中有两条边分别是4cm和8cm，这个等腰三角形的周长是20cm。 23．（2024·四川乐山·小升初真题）一个三角形的三个角的比是2∶5∶11，最大的角是（ ）°，这是一个（ ）三角形。 【答案】 110 钝角 【分析】已知三角形的内角和是180°，三角形内角度数比是2∶5∶11，则这个三角形中最大的内角占三角形内角和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出这个最大内角的度数，再根据三角形按角的分类，确定这个三角形的类型。 【详解】180°× ＝180°× ＝110° 90°＜110°＜180° 最大的角是110°，这是一个钝角三角形。 24．（2024·山西太原·小升初真题）如图，长方形的长是40厘米，宽是20厘米，B、C两点把长方形的一条长按1∶2∶1分成了三段，线段BC长（ ）厘米，三角形ABC的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 20 200 【分析】由图可知：线段BC在长方形的长上面，B、C两点把长方形的一条长分成了（1＋2＋1）份，求出其中的一份，线段BC占其中的两份，乘2即可；三角形ABC的高等于长方形的宽20厘米，再按三角形面积计算公式代值计算即可。 【详解】40÷（1＋2＋1）×2 ＝40÷4×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 20×20÷2 ＝400÷2 ＝200（厘米） 25．（2024·河北沧州·小升初真题）等腰三角形一个底角是64°，顶角是（ ）°，如果按角分，它是（ ）三角形。 【答案】 52 锐角 【分析】因为等腰三角形的两个底角相等，且三角形的内角和是180°，所以顶角；也就是说三角形的三个内角分别为64°、64°、52°，这是一个锐角三角形，据此解答即可。 【详解】 ＝180°－128° ＝52°； 这是一个锐角三角形； 三、解答题 26．（2024·浙江金华·小升初真题）一个等边三角形的边长缩短到原来的，得到的等边三角形周长是18分米，原三角形边长是多少分米？ 【答案】18分米 【分析】三条边相等的三角形叫做等边三角形。先用等边三角形的周长18分米除以3，求出缩小后等边三角形的边长为6分米；已知原来等边三角形的边长缩短到原来的是6分米，把原来等边三角形的边长看作单位“1”，单位“1”未知，用缩小后等边三角形的边长除以，求出原等边三角形的边长。 【详解】缩小后的等边三角形的边长： 18÷3＝6（分米） 原等边三角形的边长： 6÷ ＝6×3 ＝18（分米） 答：原三角形边长是18分米。 27．（2023·四川成都·小升初真题）如图，四边形被分成四个三角形，四边形的面积是42平方厘米，其中两个小三角形的面积分别是3平方厘米和4平方厘米，那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】20平方厘米 【分析】和等高，所以DE∶EB＝∶＝3∶4。同理和等高，所以∶＝DE∶EB＝3∶4。先用四边形面积减去两个小三角形的面积得到和的面积和，再根据∶＝3∶4，那么和分别是把面积和平均分成3＋4＝7份中的3份和4份，求出一份的面积再乘最大的份数即可找出最大的三角形面积。 【详解】因为，并且和等高，所以DE∶EB＝∶＝3∶4。 因为和等高，所以∶＝DE∶EB＝3∶4。 因为＋＝42－3－4＝35（平方厘米） 所以（平方厘米） ＝35－15＝20（平方厘米） 因为3＜4＜15＜20，所以最大的一个三角形的面积是20平方厘米。 答：最大的一个三角形的面积是20平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$