2025年中考数学考前最后一卷（无锡卷）

2025年中考考前最后一卷【无锡卷】 数 学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2．考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的考号、姓名、试室号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑。 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔、涂改液，不按以上要求作答的答案无效。 5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将答题卡交回。 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．2024的倒数是（　　） A． B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选∶A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可判断B，根据幂的乘方底数不变指数相乘，可判断C，根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可判断D． 【详解】解：A、与不是同类项不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键． 3. “任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理结合必然事件的定义进行求解即可． 【详解】解：“任意画一个三角形，其内角和是”这是一定会发生的，是必然事件， 故选C． 【点睛】本题主要考查了事件的分类，熟知必然事件的定义是解题的关键：在一定条件下一定会发生的事件是必然事件． 4．某校在3月20日开展了“传承书法风采，共创魅力校园”活动，在这次活动中五位评委给甲同学的综合评估成绩分别为10，7，8，9，10．下列关于这组数据描述正确的是（ ） A．众数为8 B．众数为9 C．中位数为9 D．中位数为8 【答案】C 【分析】分别根据众数、中位数的定义判断即可． 【解答】解：这组数据的众数是10，将数据重新排列为7、8、9、10、10，所以中位数为9， 故选：C． 【点评】本题主要考查众数、中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 5．已知，直线，一块的直角三角板如图放置，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，作，由题意知，由平行线的性质可知，，根据 ，可求的值，进而可得的值． 【详解】解：如图，作， 由题意知 ∴， ∵ ∴ ∴ 故选B． 6. 如图所示几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从上面看得到俯视图即可． 【详解】解：由题意知，几何体的俯视图为： 故选：C． 【点睛】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 7. 如图，小红用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，她先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得，对角线，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图1，图2中，连接，在图1中，可证得是等边三角形，得出，在图2中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1，图2中，连接， 图1中，∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在图2中，∵四边形是正方形， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质． 8. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=30°，半径为2，则弦CD的长为( ) A. 2 B. -1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理得，，根据圆周角定理得到，根据三角函数定义得到，最后由垂径定理得出结论． 【详解】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题是圆的计算题，考查了垂径定理，圆周角定理和三角函数的运用，熟练掌握垂径定理是解题的关键；在圆中的计算问题中，经常有直角三角形存在，经常利用三角函数求线段的长． 9. 如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形和折叠的性质可证明，通过等腰三角形的性质得到为中点，则由平行线分线段成比例定理可得，那么设，则，再由正弦的定义即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵折叠， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 10. 记实数、，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为（ ） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，观察最大值的位置，通过求函数值，求出最大值． 【详解】画出函数和的图象，如图： 由图可知：当时，函数有最大值，最大值为3， 所以的最大值为3， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和正比例函数的性质，画出函数的图象，数形结合容易求解． 二．填空题（共8小题，满分3分，每小题24分） 11．风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，将数据253000用科学记数法表示为 。 【答案】 12. 分解因式：5a3- 20a=___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式5a，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案． 【详解】解：5a3- 20a=＝5a（a2−4）＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意先提取公因式，再利用公式法进行二次分解，注意分解要彻底． 13. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，， 所以． 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 14. 在函数中，自变量的取值范围是______. 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】解：根据二次根式的意义可知：，即， 根据分式意义可知：，即， 且． 故答案：且． 【点睛】本题考查了主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 15. 某产品原来成本是25元，按照固定百分率降低成本，连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，可得方程 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设降低的百分率为x，再表示出连续两次降低后的成本，一次降低后的成本，根据连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，列出方程即可． 【详解】解：设降低的百分率为x，根据题意得： ． 故答案为：． 16．圆锥的底面圆直径为16cm,母线为10cm,则圆锥的侧面积为_____． 【答案】80πcm2． 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【解答】解：×10×16π=80π（cm2）， ∴圆锥的侧面积为80πcm2． 故答案为：80πcm2． 【点评】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 17. 如图，将等边三角形沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则的边长是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质，由等边三角形的性质得出，由折叠得：，，，证明，得出，设，则，，则，求出，，，建立方程，求出的值即可得解，证明是解此题的关键． 【详解】解：是等边三角形， ， 由折叠得：，，， ， ， ， ， 设，则，，则， ，， ， ， ， ， ，， ， 解得：， ， ， 的边长是， 故答案为：． 18. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当三点共线时， 有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， 求出，在中， 由勾股定理得，则的最小值为． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题(共96分) 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义进行化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）分别运用完全平方公式和平方差公式将括号展开，再合并即可得到结果． 【详解】（1） ； （2） . ． 【点睛】此题考查了实数的运算以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．(本题6分)先化简，再求值：，请在2，，0，3当中选一个合适的数代入求值． （2）解不等式组： 【详解】（1）原式 ， ∵ ∴和0， ∴当时， 原式 （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是． 21．(本题10分)矩形ABCD中，点E是DC上一点，连接AE、BE，过点A作BE的平行线，过点B作AE的平行线，两条平行线交于点F，∠DAE=∠BEC． （1）求证：四边形AFBE是矩形； （2）连接EF，若∠DAE=30°，DE=1，求EF的长． 【分析】（1）由AF∥BE，BF∥AE，证明四边形AFBE是平行四边形，由矩形的性质得∠D=90°，由∠DAE=∠BEC，推导出∠AED+∠BEC=∠AED+∠DAE=90°，则∠AEB=90°，即可证明四边形AFBE是矩形； （2）连接EF，由∠DAE=30°，∠BAD=∠AEB=∠D=90°，推导出∠ABE=∠DAE=30°，则AE=2DE=2，所以AB=2AE=4，因为四边形AFBE是矩形，所以EF=AB=4． 【解答】（1）证明：∵AF∥BE，BF∥AE， ∴四边形AFBE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°， ∵∠DAE=∠BEC， ∴∠AED+∠BEC=∠AED+∠DAE=90°， ∴∠AEB=180°-（∠AED+∠BEC）=90°， ∴四边形AFBE是矩形． （2）解：连接EF， ∵∠DAE=30°，∠BAD=∠AEB=∠D=90°，DE=1， ∴∠ABE=90°-∠BAE=∠DAE=30°， ∵AE=2DE=2， ∴AB=2AE=4， ∵四边形AFBE是矩形， ∴EF=AB=4， ∴EF的长为4． 【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出∠AED+∠BEC=90°，进而证明四边形AFBE是矩形是解题的关键． 22．(本题10分)为了奖励在运动会中表现优秀的同学，老师准备了4张纪念卡片，在4张相同的卡片正面分别写了“拼搏”、“争先”、“友谊”和“团结”，将卡片的背面朝上，并洗匀，由获奖的4名同学随机抽取，不放回，每人只抽取其中一张卡片，可获得卡片对应的纪念徽章． （1）小明先抽，抽到刻有“争先”纪念章的概率是； （2）求小明与小丽抽到的纪念章能拼成“团结友谊”的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明与小丽抽到的纪念章能拼成“团结友谊”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵在4张相同的卡片正面分别写了“拼搏”、“争先”、“友谊”和“团结”， ∴小明先抽，抽到刻有“争先”纪念章的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小明与小丽抽到的纪念章能拼成“团结友谊”的结果有2种， ∴小明与小丽抽到的纪念章能拼成“团结友谊”的概率为． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．(本题10分)某校开展了“关于安全教育知识竞赛”活动，并从七、八年级中各抽取了20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.60≤x＜70，E.50≤x＜60）． 下面给出了部分信息： 七年级所抽学生成绩在B等级的情况分别为80，81，81，82，85，85，85，85，85，88； 八年级所抽学生成绩在B等级的情况分别为80，81，82，82，83，84，86，86，86． 七、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数，中位数，众数，等级情况如下表： 请根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）上述表中a= ，b= ，m= ； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对安全知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）若该校七年级学生有700人，八年级学生有800人，请估计七、八年级竞赛成绩为A等级的学生共有多少人？ 【答案】（1）85，81.5，20；（2）八年级对安全知识掌握得更好，理由见解答；（3）265人． 【分析】（1）根据众数的定义、中位数的定义即可找到a、b的值，求出八年级A组的百分比，即可得m的值； （2）根据众数、中位数的意义进行判断即可； （3）根据样本中七、八年级竞赛成绩为A等级所占百分比解答即可． 【解答】解：（1）在七年级成绩中，85分出现的次数最多，故众数为85分，即a=85；把七年级成绩从小到大排列，排在第十和第十一个数分别是81，82，故中位数为b==81.5； 由题意得，m%=1-5%-15%-15%-×100%=20%，即m=20． 故答案为：85，81.5，20； （2）八年级对安全知识掌握得更好，理由如下：因为八年级竞赛成绩的中位数和众数均比七年级的大，所以八年级对安全知识掌握得更好； （3）700×+800×20%=265（人）， 答：估计七、八年级竞赛成绩为A等级的学生共有265人． 【点评】本题考查扇形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24．(本题10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若AC=6，BC=8，求⊙O的半径及CE的长． 【分析】（1）连接OD，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质得到∠CAD=∠ODA，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质和角平分线的定义解答即可； （2）利用勾股定理求得AB，利用相似三角形的判定与性质求得圆的半径，连接EF，利用相似三角形的判定与性质求得AE，则结论可求． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵BC为⊙O的切线， ∴OD⊥BC， ∵∠C=90°， ∴AC⊥BC， ∴AC∥OD， ∴∠CAD=∠ODA， ∵OA=OD， ∴∠OAD=ODA， ∴∠CAD=∠OAD， ∴AD平分∠BAC； （2）解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=10， 设⊙O的半径为r,则OD=OA=r,BO=10-r, ∵AC∥OD， ∴△BOD∽△BAC， ∴， ∴， ∴r=． ∴⊙O的半径为． ∴AF=． 连接EF，如图， ∵AF为⊙O的直径， ∴∠AEF=90°， ∴∠AEF=∠C=90°， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ACB， ∴， ∴， ∴AE=， ∴CE=AC-AE=． 25．(本题10分)某校有一块草坪，其四角上各有一棵树（如图1），现校方想让这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，使扩大后的草坪为平行四边形，校总务处让八年级某班的数学兴趣小组出一套设计方案，该数学兴趣小组回忆了八年级的相关知识：①三角形中线平分面积，②两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．（1）现将相关知识①②转化成图形语言，请用尺规在图a中作出中线AD，图b中过点D作DE∥AB，交BC于点E； （2）根据相关知识，数学兴趣小组给出以下设计方案：如图2，连接AC，过点A作AF∥BC，过点D作EG∥AC，分别交AF于点E，BC延长线于点G，并截取AF=BG，连接GF，则四边形ABGF即为所求，请证明该方案的可行性． （3）该校还有一块三角形花坛（如图3），现规划要将三角形花坛从点P处画一条线段将其均分为两块面积相等的区域，种上不同的花，请画出图形（无需尺规作图．最终的分割线用实线，其他用虚线），给出设计方案，并证明． 【分析】（1）根据三角形中线的定义画出图形，作直线DE⊥BC即可； （2） 证明四边形ACGE是平行四边形，△ABC≌△CFE（SAS）可得结论； （3）取BC的中点O，连接PO，AO，过点A作AF∥OP交BC于点F，线段PF即为所求． 【解答】（1）解：如图，线段AD，直线DE即为所求； （2）证明：如图2中， ∵AF∥BG，AF=BG， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴∠B=∠F，AB=CF， ∵AC∥EG，AE∥CG， ∴四边形ACGE是平行四边形， ∴AE=CG，S△ACD=S四边形ACGE， ∴BC=EF， ∴△ABC≌△CFE（SAS）， ∴S四边形ABCF=2S四边形ABCD； （3） 解：如图，分割线PF即为所求． 方法：取BC的中点O，连接PO，AO，过点A作AF∥OP交BC于点F，线段PF即为所求． 理由：∵O是BC的中点， ∴△AOB的面积=△AOC的面积=△ABC的面积， ∵OP∥AF， ∴△POF的面积=△PAO的面积， ∴△PBF的面积=△ABC的面积． 26．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 27. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，，点的坐标是，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为，且． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点是直线上的一个动点，且位于轴的上方，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值； （3）设抛物线在点与点之间的部分（含点和）最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②当时，直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）①当时，；当时，；当时，；②15． 【解析】 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）分别求出，，，则，，再矩形的周长，即可求解； （3）①分三种情况：当时，；当时，；当时，； ②由已知求出，过点作轴交直线与点，再求直线的解析式为，则，可求，由即可求解． 【小问1详解】 解：将代入， ， ， ； 【小问2详解】 解：令，则， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 由题可知，， ∵轴，点在直线上， ， ， 对称轴为直线， ， 、关于对称轴对称， ， ，， 矩形的周长， ， 当时，矩形的周长有最小值； 【小问3详解】 解：①当时，； 当时，； 当时，； ②当时，， 解得或（舍， ， 过点作轴交直线与点， 令，则， 解得或， ， 设直线的解析式为， ， ， ， ， ， ． ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，灵活运用割补法求三角形面积是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$保密★启用前 2025年中考考前最后一卷【无锡卷】 数 学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2．考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的考号、姓名、试室号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑。 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔、涂改液，不按以上要求作答的答案无效。 5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将答题卡交回。 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．2024的倒数是（　　） A． B． C．2024 D． 2．下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 无法确定 4．某校在3月20日开展了“传承书法风采，共创魅力校园”活动，在这次活动中五位评委给甲同学的综合评估成绩分别为10，7，8，9，10．下列关于这组数据描述正确的是（ ） A．众数为8 B．众数为9 C．中位数为9 D．中位数为8 5．已知，直线，一块的直角三角板如图放置，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6. 如图所示几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小红用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，她先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得，对角线，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=30°，半径为2，则弦CD的长为( ) A. 2 B. -1 C. D. 4 9. 如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 记实数、，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为（ ） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 第II卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，满分3分，每小题24分） 11．风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，将数据253000用科学记数法表示为 。 12. 分解因式：5a3- 20a=___________． 13．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段______． 14. 在函数中，自变量的取值范围是______. 15. 某产品原来成本是25元，按照固定百分率降低成本，连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，可得方程 _____． 16．圆锥的底面圆直径为16cm,母线为10cm,则圆锥的侧面积为_____． 17. 如图，将等边三角形沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则的边长是 _____． 18. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______． 三、解答题(共96分) 19．(本题6分)（1）计算：； （2）化简：． 20．(本题6分)先化简，再求值：，请在2，，0，3当中选一个合适的数代入求值． （2）解不等式组： 21．(本题10分)矩形ABCD中，点E是DC上一点，连接AE、BE，过点A作BE的平行线，过点B作AE的平行线，两条平行线交于点F，∠DAE=∠BEC． （1）求证：四边形AFBE是矩形； （2）连接EF，若∠DAE=30°，DE=1，求EF的长． 22．(本题10分)为了奖励在运动会中表现优秀的同学，老师准备了4张纪念卡片，在4张相同的卡片正面分别写了“拼搏”、“争先”、“友谊”和“团结”，将卡片的背面朝上，并洗匀，由获奖的4名同学随机抽取，不放回，每人只抽取其中一张卡片，可获得卡片对应的纪念徽章． （1）小明先抽，抽到刻有“争先”纪念章的概率是； （2）求小明与小丽抽到的纪念章能拼成“团结友谊”的概率． 23．(本题10分)某校开展了“关于安全教育知识竞赛”活动，并从七、八年级中各抽取了20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.60≤x＜70，E.50≤x＜60）． 下面给出了部分信息： 七年级所抽学生成绩在B等级的情况分别为80，81，81，82，85，85，85，85，85，88； 八年级所抽学生成绩在B等级的情况分别为80，81，82，82，83，84，86，86，86． 七、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数，中位数，众数，等级情况如下表： 请根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）上述表中a= ，b= ，m= ； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对安全知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）若该校七年级学生有700人，八年级学生有800人，请估计七、八年级竞赛成绩为A等级的学生共有多少人？ 24．(本题10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若AC=6，BC=8，求⊙O的半径及CE的长． 25．(本题10分)某校有一块草坪，其四角上各有一棵树（如图1），现校方想让这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，使扩大后的草坪为平行四边形，校总务处让八年级某班的数学兴趣小组出一套设计方案，该数学兴趣小组回忆了八年级的相关知识：①三角形中线平分面积，②两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．（1）现将相关知识①②转化成图形语言，请用尺规在图a中作出中线AD，图b中过点D作DE∥AB，交BC于点E； （2）根据相关知识，数学兴趣小组给出以下设计方案：如图2，连接AC，过点A作AF∥BC，过点D作EG∥AC，分别交AF于点E，BC延长线于点G，并截取AF=BG，连接GF，则四边形ABGF即为所求，请证明该方案的可行性． （3）该校还有一块三角形花坛（如图3），现规划要将三角形花坛从点P处画一条线段将其均分为两块面积相等的区域，种上不同的花，请画出图形（无需尺规作图．最终的分割线用实线，其他用虚线），给出设计方案，并证明． 26．(本题10分)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 27．(本题10分)如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，，点的坐标是，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为，且． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点是直线上的一个动点，且位于轴的上方，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值； （3）设抛物线在点与点之间的部分（含点和）最高点与最低点的纵坐标之差为． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 ①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②当时，直接写出的面积． 28．(本题14分)【阅读材料】 教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点． 问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点 方法提取 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，∠B=90°，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． （1）如图1，若，，求证：点是的中点； （2）如图2，若，，探究与之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为_______，扫过的面积为______． $$ 2025年中考考前最后一卷【无锡卷】 数学·参考答案 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D C C B C B C A D 二．填空题（共8小题，满分3分，每小题24分） 11．2.53×105 12. 13. ##1.5 14. 且 15. 16．80πcm2． 17. ## 18. 三、解答题(共96分) 19. （1） ； （2） . ． 20．（1）原式 ， ∵ ∴和0， ∴当时， 原式 （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是． 21．（1）证明：∵AF∥BE，BF∥AE， ∴四边形AFBE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°， ∵∠DAE=∠BEC， ∴∠AED+∠BEC=∠AED+∠DAE=90°， ∴∠AEB=180°-（∠AED+∠BEC）=90°， ∴四边形AFBE是矩形． （2）解：连接EF， ∵∠DAE=30°，∠BAD=∠AEB=∠D=90°，DE=1， ∴∠ABE=90°-∠BAE=∠DAE=30°， ∵AE=2DE=2， ∴AB=2AE=4， ∵四边形AFBE是矩形， ∴EF=AB=4， ∴EF的长为4． 【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出∠AED+∠BEC=90°，进而证明四边形AFBE是矩形是解题的关键． 22．解：（1）∵在4张相同的卡片正面分别写了“拼搏”、“争先”、“友谊”和“团结”， ∴小明先抽，抽到刻有“争先”纪念章的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小明与小丽抽到的纪念章能拼成“团结友谊”的结果有2种， ∴小明与小丽抽到的纪念章能拼成“团结友谊”的概率为． 23．解：（1）在七年级成绩中，85分出现的次数最多，故众数为85分，即a=85；把七年级成绩从小到大排列，排在第十和第十一个数分别是81，82，故中位数为b==81.5； 由题意得，m%=1-5%-15%-15%-×100%=20%，即m=20． 故答案为：85，81.5，20； （2）八年级对安全知识掌握得更好，理由如下：因为八年级竞赛成绩的中位数和众数均比七年级的大，所以八年级对安全知识掌握得更好； （3）700×+800×20%=265（人）， 答：估计七、八年级竞赛成绩为A等级的学生共有265人． 24．（1）证明：连接OD，如图， ∵BC为⊙O的切线， ∴OD⊥BC， ∵∠C=90°， ∴AC⊥BC， ∴AC∥OD， ∴∠CAD=∠ODA， ∵OA=OD， ∴∠OAD=ODA， ∴∠CAD=∠OAD， ∴AD平分∠BAC； （2）解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=10， 设⊙O的半径为r,则OD=OA=r,BO=10-r, ∵AC∥OD， ∴△BOD∽△BAC， ∴， ∴， ∴r=． ∴⊙O的半径为． ∴AF=． 连接EF，如图， ∵AF为⊙O的直径， ∴∠AEF=90°， ∴∠AEF=∠C=90°， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ACB， ∴， ∴， ∴AE=， ∴CE=AC-AE=． 25．（1）解：如图，线段AD，直线DE即为所求； （2）证明：如图2中， ∵AF∥BG，AF=BG， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴∠B=∠F，AB=CF， ∵AC∥EG，AE∥CG， ∴四边形ACGE是平行四边形， ∴AE=CG，S△ACD=S四边形ACGE， ∴BC=EF， ∴△ABC≌△CFE（SAS）， ∴S四边形ABCF=2S四边形ABCD； （2） 解：如图，分割线PF即为所求． 方法：取BC的中点O，连接PO，AO，过点A作AF∥OP交BC于点F，线段PF即为所求． 理由：∵O是BC的中点， ∴△AOB的面积=△AOC的面积=△ABC的面积， ∵OP∥AF， ∴△POF的面积=△PAO的面积， ∴△PBF的面积=△ABC的面积． 26．（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 27. 解：（1）将代入， ， ， ； （2）解：令，则， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 由题可知，， ∵轴，点在直线上， ， ， 对称轴为直线， ， 、关于对称轴对称， ， ，， 矩形的周长， ， 当时，矩形的周长有最小值； （3）解：①当时，； 当时，； 当时，； ②当时，， 解得或（舍， ， 过点作轴交直线与点， 令，则， 解得或， ， 设直线的解析式为， ， ， ， ， ， ． ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷【无锡卷】 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。 2．考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的考号、姓名、试室号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑。 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔、涂改液，不按以上要求作答的答案无效。 5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将答题卡交回。 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．2024的倒数是（　　） A． B． C．2024 D． 2．下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 无法确定 4．某校在3月20日开展了“传承书法风采，共创魅力校园”活动，在这次活动中五位评委给甲同学的综合评估成绩分别为10，7，8，9，10．下列关于这组数据描述正确的是（ ） A．众数为8 B．众数为9 C．中位数为9 D．中位数为8 5．已知，直线，一块的直角三角板如图放置，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6. 如图所示几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小红用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，她先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得，对角线，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=30°，半径为2，则弦CD的长为( ) A. 2 B. -1 C. D. 4 9. 如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 记实数、，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为（ ） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 第II卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，满分3分，每小题24分） 11．风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，将数据253000用科学记数法表示为 。 12. 分解因式：5a3- 20a=___________． 13．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段______． 14. 在函数中，自变量的取值范围是______. 15. 某产品原来成本是25元，按照固定百分率降低成本，连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，可得方程 _____． 16．圆锥的底面圆直径为16cm,母线为10cm,则圆锥的侧面积为_____． 17. 如图，将等边三角形沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则的边长是 _____． 18. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______． 三、解答题(共96分) 19．(本题6分)（1）计算：； （2）化简：． 20．(本题6分)先化简，再求值：，请在2，，0，3当中选一个合适的数代入求值． （2）解不等式组： 21．(本题10分)矩形ABCD中，点E是DC上一点，连接AE、BE，过点A作BE的平行线，过点B作AE的平行线，两条平行线交于点F，∠DAE=∠BEC． （1）求证：四边形AFBE是矩形； （2）连接EF，若∠DAE=30°，DE=1，求EF的长． 22．(本题10分)为了奖励在运动会中表现优秀的同学，老师准备了4张纪念卡片，在4张相同的卡片正面分别写了“拼搏”、“争先”、“友谊”和“团结”，将卡片的背面朝上，并洗匀，由获奖的4名同学随机抽取，不放回，每人只抽取其中一张卡片，可获得卡片对应的纪念徽章． （1）小明先抽，抽到刻有“争先”纪念章的概率是； （2）求小明与小丽抽到的纪念章能拼成“团结友谊”的概率． 23．(本题10分)某校开展了“关于安全教育知识竞赛”活动，并从七、八年级中各抽取了20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.60≤x＜70，E.50≤x＜60）． 下面给出了部分信息： 七年级所抽学生成绩在B等级的情况分别为80，81，81，82，85，85，85，85，85，88； 八年级所抽学生成绩在B等级的情况分别为80，81，82，82，83，84，86，86，86． 7、 八年级各抽取的20名学生成绩的平均数，中位数，众数，等级情况如下表： 请根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）上述表中a= ，b= ，m= ； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对安全知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）若该校七年级学生有700人，八年级学生有800人，请估计七、八年级竞赛成绩为A等级的学生共有多少人？ 24．(本题10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若AC=6，BC=8，求⊙O的半径及CE的长． 25．(本题10分)某校有一块草坪，其四角上各有一棵树（如图1），现校方想让这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，使扩大后的草坪为平行四边形，校总务处让八年级某班的数学兴趣小组出一套设计方案，该数学兴趣小组回忆了八年级的相关知识：①三角形中线平分面积，②两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．（1）现将相关知识①②转化成图形语言，请用尺规在图a中作出中线AD，图b中过点D作DE∥AB，交BC于点E； （2）根据相关知识，数学兴趣小组给出以下设计方案：如图2，连接AC，过点A作AF∥BC，过点D作EG∥AC，分别交AF于点E，BC延长线于点G，并截取AF=BG，连接GF，则四边形ABGF即为所求，请证明该方案的可行性． （3）该校还有一块三角形花坛（如图3），现规划要将三角形花坛从点P处画一条线段将其均分为两块面积相等的区域，种上不同的花，请画出图形（无需尺规作图．最终的分割线用实线，其他用虚线），给出设计方案，并证明． 26．(本题10分)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 27．(本题10分)如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，，点的坐标是，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为，且． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点是直线上的一个动点，且位于轴的上方，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值； （3）设抛物线在点与点之间的部分（含点和）最高点与最低点的纵坐标之差为．①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②当时，直接写出的面积． 28．(本题14分)【阅读材料】 教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点． 问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点 方法提取 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，∠B=90°，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． （1）如图1，若，，求证：点是的中点； （2）如图2，若，，探究与之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为_______，扫过的面积为______． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考考前最后一卷（无锡卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共10分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共24分） 11． _________________ 12．___________________ 13. __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 17.___________________ 18．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共10题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19． 20. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. 22. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. 24. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28. （12分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$