2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷二（2024新人教版）

· 2024-2025学年七年级第二学期期末考试 · 数学试卷（2024新人教版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上。 1．为了解某校学生每天体育活动的情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（　　） A．随机抽取某一个班的全体同学 B．每个年级随机抽取15名女生 C．课外活动时间，在操场上随机抽取20名同学 D．将全校学生姓名输入电脑程序，由电脑随机抽取150名学生 2．在平面直角坐标系中，点在第四象限，则可能是（   ） A．0 B．的立方根 C．5 D．9的算术平方根 3．已知，下列不等式的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（ ） A．比大 B． C．与互为余角 D．等于 第4题 第6题 5．估算的值，它最接近哪个整数（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图所示，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且；③若，那么向右平移了，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论正确的有几个（   ） ①当时，方程组的解也是的解； ②x，y均为正整数的解只有1对； ③无论m取何值，x、y的值不可能互为相反数： ④若方程组的解满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 9．如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A，B，G，C，D，E，F，将A，B，G，C，D，E，F顺次首尾连接．若B，G，C三点共线，恰好经过点G，且，，，则为（   ） A． B． C． D． 10．关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．计算： ． 12．“两条直线平行，同位角相等”的逆命题可以写成 ． 13．如图，这是小东在男子400米田径赛时起跑的动作简易图，起跑时手臂，若小东上臂与前臂之间的夹角，，则小东身体与上臂之间夹角的度数为 ． 第13题 第15题 第17题 14．已知点在轴上，且点到轴的距离为，则点的坐标为 ． 15．2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，其古文“巳”是蛇的形象表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了200名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有60名，若该地区共有初中学生6000名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有 名． 16．父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是 岁． 17．如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 18．如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题纸对应的位置和区域内解答。 19．（本题10分）计算： (1)； (2)． 20．（本题10分）解方程组和不等式组： (1)解方程组： (2)解不等式组： 21．（本题10分）某学校为了解学生对本地非遗文化（A：剪纸艺术；B：皮影戏；C：手工刺绣；D：其他）的知晓情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两个不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查的人数为___________人； (2)将图①中的条形统计图补充完整； (3)图②中所对应的圆心角为___________； (4)若该校有2000人，估算有多少人知晓剪纸艺术此项非遗文化． 22．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点分别为点A、B、C的对应点． (1)请在所给坐标系中画出； (2)若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含x、y的式子表示点的坐标为______； (3)计算的面积； 23．（本题12分）如图，已知，与互补． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 24．（本题12分）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 25．（本题13分）如图1，在平面直角坐标系中，且满足，过点C作轴于点B． (1)请写出点A（___，___）、点B（___，___）的坐标； (2)如图2，过点B作交y轴于D，且，分别平分与，求的度数； (3)如图1，在y轴上是否存在点P使得和的面积相等？若存在，直接写出点P坐标． 26．（本题13分）新定义：如果，则叫做的“和谐角”．已知：，点E、F是直线、任意两点上，，， (1)【操作发现】 如图1，小丽发现是的“和谐角”，你同意小丽的说法吗？并说明理由 (2)【探索证明】 如图2，点M、N在直线、上，H在线段上，连接，线段的延长线交延长线于Q，小明发现，当，是的“和谐角”时，和是互补的．你同意小明的说法吗？并说明理由 (3)【拓展应用】 ①如图3，点M、N在直线、上，，过E作交直线于G，当是的“和谐角”时，直接写出的度数 ． ②如图4，将图3 中线段平移到的右侧，，过E作交直线于G，请画出图形，当和是“和谐角”时，求的度数． 第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 2024-2025学年七年级第二学期期末考试 · 数学试卷（2024新人教版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上。 1．为了解某校学生每天体育活动的情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（　　） A．随机抽取某一个班的全体同学 B．每个年级随机抽取15名女生 C．课外活动时间，在操场上随机抽取20名同学 D．将全校学生姓名输入电脑程序，由电脑随机抽取150名学生 【答案】D 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性．应用抽样调查的可靠性进行判定即可出答案． 【详解】解：A、随机抽取某一个班的全体学生，没有涉及其他班级的学生，不能很好地反映总体的情况，故本选项不符合题意； B、每个年级随机抽取15名女生，没有抽取男生，不能很好地反映总体的情况，故本选项不符合题意； C、课外活动时间，在操场上随机抽取20名学生，没有抽取到其他场所的学生，不能很好地反映总体的情况，故本选项不符合题意； D、将全校学生姓名输入程序，由电脑随机抽取150名学生，能很好地反映总体的情况，故本选项符合题意． 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，点在第四象限，则可能是（   ） A．0 B．的立方根 C．5 D．9的算术平方根 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系各象限的符号特征，算术平方根，立方根的含义，根据第四象限的纵坐标是负数可得答案． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴． ∵的立方根为，9的算术平方根是， ∴可能是的立方根． 故选：B． 3．已知，下列不等式的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，则，原式变形错误，不符合题意； B、由可得，原式变形正确，符合题意； C、由不一定可得，例如当时，满足，但不满足，原式变形错误，不符合题意； D、由可得，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 4．如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（） A．比大 B． C．与互为余角 D．等于 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，余角和补角等知识，根据垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等，通过推理计算得出有关角的度数，逐个进行判断即可，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴与互为余角，故选项不符合题意； D、由B得，故选项符合题意； 故选：D． 5．估算的值，它最接近哪个整数（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是找出与被开方数相邻的两个立方数，从而确定的范围．通过找到，判断更接近哪个整数． 【详解】解：，且， ，即， 更接近， 故选：B． 6．如图所示，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且；③若，那么向右平移了，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质，并灵活应用． 利用平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①四边形的面积加上的面积为的面积， 四边形的面积加上的面积为的面积， 而和面积相等， 所以，四边形的面积与四边形的面积相等， 故①正确，符合题意； ②由平移的性质可得，，但与不一定相等， 故②错误，不符合题意； ③根据平移的性质可得， 所以，向右平移了， 故③错误，不符合题意； 故选：B． 7．已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论正确的有几个（   ） ①当时，方程组的解也是的解； ②x，y均为正整数的解只有1对； ③无论m取何值，x、y的值不可能互为相反数： ④若方程组的解满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，求出方程组的解，再对各结论进行判断即可． 【详解】解：解方程组得： ，则； 当时，，方程组的解为， ∴，故①正确； 当时，；当时，； 即x，y均为正整数的解有2对，故②错误； 若x、y的值互为相反数，即，由知，得，矛盾，故③正确； 把方程组的解代入中，得，解得，故④正确； 故正确的有三个； 故选：C． 8．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的应用，设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组即可，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选D． 9．如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A，B，G，C，D，E，F，将A，B，G，C，D，E，F顺次首尾连接．若B，G，C三点共线，恰好经过点G，且，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． 故选：A． 10．关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了由一元一次不等式组解集的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，进而根据解集的情况解答即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 先算开方，再算加减即可． 【详解】解： ； 故答案为：0． 12．“两条直线平行，同位角相等”的逆命题可以写成 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了逆命题，掌握命题的基本知识是解题的关键．把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等．”的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”． 所以它的逆命题是“同位角相等，两直线平行．” 故答案为：同位角相等，两直线平行． 13．如图，这是小东在男子400米田径赛时起跑的动作简易图，起跑时手臂，若小东上臂与前臂之间的夹角，，则小东身体与上臂之间夹角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算，先求解，，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 14．已知点在轴上，且点到轴的距离为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查求点的坐标，根据轴上的点的纵坐标为0，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵点在轴上，且点到轴的距离等于， ∴， ∴或； 故答案为：或． 15．2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，其古文“巳”是蛇的形象表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了200名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有60名，若该地区共有初中学生6000名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有 名． 【答案】1800 【分析】本题考查了利用样本估计总体，熟练掌握利用样本估计总体的方法是解题关键．利用该地区初中学生的总人数乘以知道上述传统文化知识的学生人数所占的百分比即可得． 【详解】解： （名）． 故答案为：1800． 16．父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是 岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁，由题意：父亲今年44岁，x年前父亲的年龄是儿子的8倍，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴， 即当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是岁， 故答案为：． 17．如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， 在中， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 18．如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 先解方程，再根据不等式组有解求出的取值范围，然后根据方程有正整数解得出，将的取值代入，找出符合条件的值，并相加即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 该不等式组有解， ， 解得． 整理方程，得． 方程有正整数解， ，解得， ． 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得，不符合题意，舍去； 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题纸对应的位置和区域内解答。 19．（本题10分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了实数的运算． （1）首先化简带根号的部分，然后进行有理数的加减法运算即可； （2）首先去绝对值符号，然后进行实数的加减法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（本题10分）解方程组和不等式组： (1)解方程组： (2)解不等式组： 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，掌握方程组和不等式组的解法是解题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）分别解出两个不等式，进而求得不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 得：，即， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为：； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：． 21．（本题10分）某学校为了解学生对本地非遗文化（A：剪纸艺术；B：皮影戏；C：手工刺绣；D：其他）的知晓情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两个不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查的人数为___________人； (2)将图①中的条形统计图补充完整； (3)图②中所对应的圆心角为___________； (4)若该校有2000人，估算有多少人知晓剪纸艺术此项非遗文化． 【答案】(1) (2)见详解 (3)54 (4)人 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，求圆心角，补齐条形统计图，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用组的人数除以占比，求出本次调查的人数，即可作答． （2）运用总人数分别减去组的人数，即可得出组的人数，再补齐条形统计图，即可作答． （3）运用组的人数除以总人数，再与相乘，即可作答． （4）根据样本估计总体的公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（人）， 故答案为：， （2）解：（人）， 补齐条形统计图，如图所示： （3）解：， 故答案为：54； （4）解：依题意，（人） ∴该校有2000人，估算有人知晓剪纸艺术此项非遗文化． 22．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点分别为点A、B、C的对应点． (1)请在所给坐标系中画出； (2)若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含x、y的式子表示点的坐标为______； (3)计算的面积； 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图——平移变换，平移的性质，割补法求三角形面积，掌握平移变换的坐标规律是解题关键． （1）根据平移的性质确定点A、B、C的对应点的坐标，再依次连接即可； （2）根据向右平移5个单位长度，横坐标，向下平移4个单位长度，纵坐标，即可求解； （3）利用割补法求三角形面积即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：边上一点经过上述平移后的对应点为， 点的坐标为， 故答案为： （3）解：的面积． 23．（本题12分）如图，已知，与互补． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质与判定方法是解题的关键． （1）先利用平行线判定定理证明，进一步等量代换得出，即可证明； （2）根据平分，得出，进一步结合平行线性质得出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， , 又， ， ． （2）解：平分， ， 又， ， ， , , , ， ． 24．（本题12分）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)见解析 【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键． （1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案； （2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放时长， 故答案为：． （2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列， 因此由（1）可得， 解得， （辆） 答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车． （3）解：有3种方案， 设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，4，5， 共有3种运输方案： ①扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ②扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ③扶手电梯运5次． 25．（本题13分）如图1，在平面直角坐标系中，且满足，过点C作轴于点B． (1)请写出点A（___，___）、点B（___，___）的坐标； (2)如图2，过点B作交y轴于D，且，分别平分与，求的度数； (3)如图1，在y轴上是否存在点P使得和的面积相等？若存在，直接写出点P坐标． 【答案】(1)、； (2) (3)存在， P点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，坐标与图形，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求出、的值，即可得到答案； （2）过E作，根据平行线的性质和平角的定义，得到，再结合角平分线的定义，得到，即可得到答案； （3）分两种情况讨论：①当P在y轴正半轴上时，如图，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N；②当P在y轴负半轴上时，如图，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N．根据和的面积相等分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 故答案为：、； （2）解：如图，过E作， 轴， 轴，， ． 又， ， ． ， ， ，． ，分别平分，， ，， ； （3）解：①当P在y轴正半轴上时，如图，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N， 由题意可知，，，， 设点，则，，，． ， ， ， 解得， 即点P的坐标为． ②当P在y轴负半轴上时，如图，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N． 设点，则，，． ， ， 解得， 点P的坐标为． 综上所述，P点的坐标为或． 26．（本题13分）新定义：如果，则叫做的“和谐角”．已知：，点E、F是直线、任意两点上，，， (1)【操作发现】 如图1，小丽发现是的“和谐角”，你同意小丽的说法吗？并说明理由 (2)【探索证明】 如图2，点M、N在直线、上，H在线段上，连接，线段的延长线交延长线于Q，小明发现，当，是的“和谐角”时，和是互补的．你同意小明的说法吗？并说明理由 (3)【拓展应用】 ①如图3，点M、N在直线、上，，过E作交直线于G，当是的“和谐角”时，直接写出的度数 ． ②如图4，将图3 中线段平移到的右侧，，过E作交直线于G，请画出图形，当和是“和谐角”时，求的度数． 【答案】(1)同意，理由见解析 (2)同意，理由见解析 (3)①；②图见解析， 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质、垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，然后根据平行公理推论和平行线的性质可得，从而可得，最后根据可得，由此即可得； （3）①设，先求出，，再过点作，根据平行线的性质可得，，然后根据建立方程，解方程即可得； ②根据题意画出图形，过点作，设，先求出，，，则，再根据和是“和谐角”建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：同意，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“和谐角”． （2）解：同意，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵是的“和谐角”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴和是互补的． （3）解：①设， ∵， ∴， ∵是的“和谐角”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． ②由题意，画出图形如下： 过点作， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵和是“和谐角”， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$