【智乐星中考】2025山东初中学业水平考试数学全真模拟卷6（PPT）

2025年山东省初中学业水平考试 数学试题 1 　　本试卷共4页.满分120分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 　　1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 　　2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 　　3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 2 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1.下列四个数中，是无理数的是(　　) A.0.121 212 12… B.- C.2sin 30° D.π 3 【考点】无理数的定义. 【解析】A.0.121 212 12…是无限循环小数，不是无理数； B.-是分数，不是无理数； C.2sin 30°=2×=1，不是无理数； D.π是无理数.故选D. 4 2.六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的三种视图中是轴对称图形的是(　　)   A.主视图 B.左视图 C.俯视图 D.三种视图都是 5 【考点】三视图的判别、轴对称图形. 【解析】该几何体的左视图为 ，是轴对称图形. 故选B. 6 3.把0.004写成a×10n(1≤a<10，n为整数)的形式，则a+n为(　　) A.1 B.2 C.0 D.-1 【考点】用科学记数法表示较小的数、代数式求值. 【解析】∵0.004=4×10-3，∴a=4，n=-3，∴a+n=4-3=1. 故选A. 7 4.现有下列命题，其中真命题是(　　) A.(-5)2的平方根是-5 B.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 C.两条直线被第三条直线所截，则同位角相等 D.相等的圆周角所对的弧相等 8 【考点】命题与定理. 【解析】A.±=±5，原命题是假命题； B.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，原命题是真命题； C.两条平行的直线被第三条直线所截，则同位角相等，原命题是假命题； D.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题.故选B. 9 5.下列运算正确的是(　　) A.±=2 B.+= C.()2=3 D.×= 10 【考点】二次根式的混合运算. 【解析】±=±2，故选项A错误，不符合题意； 与不是同类项，不能合并，故选项B错误，不符合题意； ()2=3，故选项C正确，符合题意； ×=，故选项D错误，不符合题意.故选C. 11 6.如图是甲、乙两位同学五次数学测试成绩的折线统计图.比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是(　　)   A.甲平均分高，成绩稳定 B.甲平均分高，成绩不稳定 C.乙平均分高，成绩稳定 D.乙平均分高，成绩不稳定 12 【考点】平均数、方差的计算. 【解析】==90，==84，90>84，∴乙的平均数较高； =×[(100-90)2+(85-90)2+(90-90)2+(80-90)2+(95-90)2]=50， =×[(85-84)2×2+(90-84)2+(80-84)2×2]=14. ∵50>14， ∴乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定. 故选D. 13 7.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移2 cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离为(　　)   A.2 cm B.2 cm C.(2-2)cm D.(-1)cm 14 【考点】平移的性质、正方形的性质、勾股定理. 【解析】∵四边形ABCD是边长为2 cm的正方形， ∴BD==2(cm). 由平移的性质可知BB'=2 cm， ∴B'D=(2-2)cm.故选C. 15 8.下列有关一次函数y=-3x+4的说法中，错误的是(　　) A.y的值随着x增大而减小 B.当x>0时，y>4 C.函数图象与y轴的交点坐标为(0，4) D.函数图象经过第一、二、四象限 16 【考点】一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质. 【解析】A.∵k=-3<0，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意； B.∵x=0时，y=4，又∵y的值随着x增大而减小，∴当x>0时，y<4，错误，符合题意； C.∵当x=0时，y=4，∴函数图象与y轴的交点坐标为(0，4)，正确，不符合题意； D.∵k=-3<0，b=4>0，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意.故选B. 17 9.如图，CD是☉O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，DE=2，AB=8，则AC的长为(　　) A.8 B.10 C.4 D.4 18 【考点】垂径定理、勾股定理. 【解析】如图，连接OA. 设☉O的半径为R，则OA=R，OE=R-2. ∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB=8， ∴AE=BE=4，∠AEC=90°， 由勾股定理得OA2=OE2+AE2， 即R2=(R-2)2+42，解得R=5， ∴OE=5-2=3，∴CE=OC+OE=5+3=8， ∴AC===4.故选C. 19 10.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D， BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F， 点H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G.下列结 论：①BF=AC；②CE=BF；③△DGF是等腰三角形； ④BD+DF=BC；⑤=.正确的结论个数是(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 20 【考点】等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形的面积公式. 【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°， ∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB. ∵∠ABC=45°，∠BDC=90°， ∴∠DCB=90°-45°=45°=∠DBC，∴BD=DC. 在△BDF和△CDA中， 21 ∴△BDF≌△CDA(AAS)，∴BF=AC，故①正确. ∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°， ∴∠ABE=∠EBC=22.5°. 又∵BE⊥AC， ∴∠A=∠BCA=67.5°，∴BA=BC， ∴AE=EC=AC=BF，故②正确. ∵∠BDC=90°，BH=HC，∴∠BDF=∠BHG=90°， ∴∠BGH=∠BFD=67.5°，∴∠DGF=∠DFG=67.5°， 22 ∴DG=DF，∴△DGF是等腰三角形，故③正确. ∵△BDF≌△CDA，∴DF=AD， ∴BC=AB=BD+AD=BD+DF，故④正确. ∵BE平分∠ABC， ∴点F到AB的距离等于点F到BC的距离， ∴=，故⑤正确.故选A. 23 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.分解因式：2am2-4amn+2an2=_________.  2a(m-n)2 【考点】分解因式——提取公因式法、公式法. 【解析】原式=2a(m2-2mn+n2)=2a(m-n)2. 故答案为2a(m-n)2. 24 12.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，其中AB=CD， 请你再添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，可以添加的条件是 ____________________.  AD=BC(答案不唯一) 25 【考点】平行四边形的判定. 【解析】∵AB=CD， ∴当AD=BC时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形. 故答案为AD=BC(答案不唯一). 26 【授之以渔】——方法指导 　　判定平行四边形的一般思路 　　(1)已知一组对边平行 　　(2)已知一组对边相等 　　(3)对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 27 13.若分式方程=3-的解为正整数，则整数m的值为___.  -1 【考点】由分式方程的解求未知参数的值. 【解析】解分式方程=3-得x=. ∵解为正整数，∴2+m=1或3，解得m=-1或1. ∵当m=1时，x-1=0，分式无意义，∴m≠1， ∴整数m的值为-1.故答案为-1. 28 14.如图，在一次数学实践活动课中，小阳所在的学习小组计划测量学校教 学楼上校训牌的高度AB，小阳先在教学楼前的广场C处测得校训牌下端B 的仰角为30°，然后他朝正对教学楼方向前进6 m到达D处，又测得该校训 牌上端A处的仰角为45°.若教学楼的高AE=16.5 m，小阳的眼睛离地面的距 离CM=DN=1.5 m.已知A，B，E三点共线，AE⊥CE，校训牌的顶端与教学 楼顶端平齐，则校训牌的高度AB为___m.(结果保留整数.参考数据：≈1.73)  3 29 【考点】解直角三角形的实际应用——仰角、俯角问题. 【解析】如图，延长MN交AE于点F， 则四边形MCEF是矩形， ∴EF=CM=1.5 m，MN=CD=6 m， ∴AF=AE-EF=16.5-1.5=15(m). 在Rt△AFN中，∠ANF=45°， ∴NF=AF=15 m，∴FM=MN+NF=21 m. 30 在Rt△BFM中，∠BMF=30°， ∴BF=FM=7 m， ∴AB=AF-BF=15-7≈3(m). 故答案为3. 31 15.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，以点B为圆心，适当长为半径 画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长 为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点 M，N，则CN的长为______.  2 32 【考点】尺规作图、矩形的性质. 【解析】如图，设CN交BP于点Q. 在矩形ABCD中，∠BCD=∠ADC=90°，AD∥BC， ∵AB=6，BC=8，∴CD=AB=6，∴BD==10. 由作图得BP平分∠CBD， ∴∠DBP=∠CBP. ∵过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N， ∴∠MQB=∠CQB=90°. 33 ∵BQ=BQ，∴△BQM≌△BQC(ASA)， ∴BM=BC=8，∠CMB=∠MCB， ∴DM=BD-BM=2. ∵AD∥BC，∴∠DNC=∠NCB. ∵∠DMN=∠CMB，∴∠DNC=∠NMD， ∴DN=DM=2，∴CN==2， 故答案为2. 34 16.已知A(m，0)，B(-4，0)为x轴上两点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)为二次函 数y=x2-mx+m+2图象上两点.当x<1时，二次函数y随x增大而减小.若-2≤x1 ≤m+1，-2≤x2≤m+1时，|y1-y2|≤16恒成立，则A，B两点之间的最大距离为 ___.  8 35 【考点】二次函数的图象与性质. 【解析】抛物线y=x2-mx+m+2的对称轴为直线x=， ∵当x<1时，二次函数y随x增大而减小， ∴≥1，∴m≥2，∴m+1≥3. 当x=-2时，y=6+3m；当x=时，y=-+m+2， ∵-2≤x1≤m+1，-2≤x2≤m+1， ∴|y1-y2|的最大值为6+3m-(-+m+2)=+2m+4. 36 ∵|y1-y2|≤16恒成立， ∴+2m+4≤16，即m2+8m-48≤0，∴-12≤m≤4. ∵m≥2，∴2≤m≤4， ∴m的最大值为4， ∴A，B两点之间的最大距离为4-(-4)=8. 故答案为8. 37 三、解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题每小题3分，共6分) (1)化简：[(x+y)2-y(2x+y)-6x]÷2x； (2)解不等式组：并把解集在数轴上表示出来. 38 【考点】整式的化简、解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集. 解：(1)原式=(x2+2xy+y2-2xy-y2-6x)÷2x =(x2-6x)÷2x=x-3.　…………3分 (2) 由不等式①得x≤4， 由不等式②得x>1， 39 则不等式组的解集为1<x≤4，　…………5分 将解集表示在数轴上如下.   　…………6分 40 【授之以渔】——失分陷阱 　　解一元一次不等式(组)的易错点 　　解一元一次不等式(组)时，最易出错的地方有以下三点： 　　(1)去分母时，常数项漏乘； 　　(2)两边同乘负数时，不等号方向忘记改变； 　　(3)需用数轴表示解集时，忽略“实心圆点”与“空心圆圈”的区别. 41 18.(本小题满分7分) 近年来，随着全球人工智能大模型等发展迅速，人工智能日渐成为新一轮科技革命和产业革命的重要驱动力量.为了培养新时代青少年对科技的探究兴趣，某校开展了以“人工智能”为主题的知识讲座.讲座后，该校还开展了“人工智能”知识答题竞赛活动.现从该校九年级中随机抽取部分学生的成绩(百分制，单位：分)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，共分成四组：80≤x<85；85≤x<90；90≤x<95；95≤x≤100).下面给出了部分信息： 九年级10名学生的成绩在90≤x<95中的数据是90，92，92，91. 42 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a=________，并补全频数分布直方图；  (2)所抽取学生的竞赛成绩的中位数为________；  43 (3)上述调查过程中，从九年级抽取的10名学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这4人中任选两名学生参加市级“人工智能知识”的培训课程，求选中的两名学生都是女生的概率； (4)该校九年级共600人参加了此次答题竞赛活动，请估计参加竞赛活动的学生成绩不低于90分的有多少人. 44 【考点】用列表法或画树状图法求概率、用样本估计总体、统计图的分析. 解：(1)30　…………1分 补全的频数分布直方图如图.   　…………2分 (2)91.5　…………3分 45 (3)2名男生用A，B表示，2名女生用a，b表示， 画树状图如下.   共有12种等可能的结果，其中选中的两名学生都是女生的结果数为2， ∴选中的两名学生都是女生的概率P==.　…………5分 46 (4)600×=420(人). 答：估计参加竞赛活动的学生成绩不低于90分的共有420人. 　…………7分 47 19.(本小题满分8分) (1)【问题背景】 如图，PC是△PAB的角平分线，求证：PA·BC=PB·AC. 社团成员进行了探索研究，小明和小红提出两种不同的证明思路： 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”. 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA于点D，作CE⊥PB于点E，利用“等面积法”. 48 【问题解决】 请根据小明或小红的思路，将两人的证明补充完整.(任选一种即可) (2)【深度思考】 如图2，在△ABC中，AB=6，AC=4，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF.当BD=3时，AF的长为________.    图1　　　　　　　　　　　图2 49 【考点】相似三角形的判定与性质. (1)证明：小明的思路： 如图，过点B作BD∥AP交PC的延长线于点D. ∵BD∥AP，∴∠APC=∠D. 又∵∠ACP=∠BCD，∴△ACP∽△BCD， ∴=，∴AP·BC=BD·AC.　…………3分 ∵PC是△PAB的角平分线，∴∠APC=∠BPC， ∴∠BPC=∠D，∴PB=BD， 50 ∴PA·BC=PB·AC.　…………5分 (选择小红的思路： 如图，过点C分别作CD⊥PA于点D，作CE⊥PB于点E，过点P作PF⊥BC于点F. ∵PC是△PAB的角平分线，∴CD=CE. ∵S△PAC=PA·CD，S△PBC=PB·CE，S△PAC=AC·PF，S△PBC=BC·PF， ∴PB·CE=BC·PF，PA·CD=AC·PF， ∴CE=，∴PA·=AC·PF， ∴PA·BC=PB·AC.　…………5分) 51 (2)解：6　…………8分 提示：∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC. ∵AB=6，AC=4，BD=3，∴==，∴CD=2. ∵AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F， ∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA. ∵∠FAD=∠FAC+∠DAC，∠FDA=∠B+∠BAD， ∴∠B=∠FAC. ∵∠AFB=∠CFA，∴△FBA∽△FAC， ∴=，∴=，∴AF=6. 52 20.(本小题满分9分) 学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.下表是函数y=部分自变量与对应的函数值. x -3 0 1 2 y a 1 2 b 53 (1)填空：a=________，b=________；  (2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出函数的一条性质：______________；  (4)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在这个函数的图象上，且1<x3<2，-1<x1<x2<0，请写出y1，y2，y3的大小关系：________.(用“<”连接)  54 【考点】反比例函数的性质. 解：(1)-2　1　…………2分 (2)画出的图象如图.   　…………4分 55 (3)当x<1时，y随x增大而增大；当x>1时，y随x增大而减小. (答案不唯一)　…………6分 (4)y1<y2<y3　…………9分 56 21.(本小题满分9分) 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进香蕉、苹果进行销售.通过市场调研发现：购进5千克香蕉和3千克苹果共需38元；苹果每千克的进价比香蕉多2元. (1)求香蕉、苹果每千克的进价分别是多少. (2)已知香蕉、苹果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中香蕉的质量不低于苹果的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？ 57 【考点】二元一次方程组的实际应用、一次函数的实际应用. 解：(1)设香蕉、苹果每千克的进价分别是x元和y元. 根据题意得解得 答：香蕉、苹果每千克的进价分别是4元和6元.　…………4分 (2)设购进香蕉m千克，则购进苹果(300-m)千克. 由题意得m≥2(300-m)， 解得m≥200.　…………5分 58 由题意知w=(6-4)m+(9-6)(300-m)=-m+900.　…………6分 ∵-1<0，∴w随m的增大而减小， ∴当m=200时，w最大，此时w=-200+900=700，　…………8分 300-200=100(千克)， ∴水果店应购进香蕉200千克、苹果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元.　…………9分 59 【授之以渔】——解题关键 　　(1)用二元一次方程(组)解决实际问题的关键是读懂题意，找出题中存在的等量关系列出方程； 　　(2)找等量关系时，要抓住关键词语，如多、少、共、几分之几、倍等.设未知数时，可采取直接设元，也可以采取间接设元. 60 22.(本小题满分10分) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的☉O交AB 于点D，☉O的切线DE交AC于点E. (1)求证：AE=CE； (2)若cos B=，AB=10，求图中阴影部分的面积. 61 【考点】切线的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、解直角三角形、三角形的中位线定理. (1)证明：如图，连接CD.∵∠ACB=90°，∴CE⊥BC. ∵BC为☉O的直径，∴CE为☉O的切线，∠BDC=90°， ∴∠ADC=90°.　…………2分 ∵DE为☉O的切线，∴CE=DE， ∴∠ECD=∠EDC.　…………3分 ∵∠A+∠ECD=90°，∠EDA+∠EDC=90°， ∴∠A=∠EDA，∴AE=DE， ∴AE=CE.　…………5分 62 (2)解：如图，连接OD，OE. ∵cos B=，AB=10，∴∠B=60°，BC=5.　…………7分 ∵∠ACB=90°，∴AC=5，∴AE=EC=. ∵AE=CE，OC=OB， ∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥BA， ∴∠EOC=∠B=60°.　…………8分 63 由(1)知DE=EC. ∵OE=OE，OC=OD， ∴△ECO≌△EDO(SSS)，∴∠COD=120°， ∴S扇形COD===π，　…………9分 ∴S阴影=×××2-π=-π.　…………10分 64 23.(本小题满分10分) 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=x2+bx+c(b，c是常数)与x轴的两个交点分别为A(-1，0)，B(3，0). (1)求该抛物线对应的函数表达式. (2)当-1<x≤4时，y的取值范围是________.  (3)点M(m，0)是x轴上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点P，当点M和点P不重合时连接PM，点D是线段PM的中点，以PD为边，在PD的右侧作矩形PQND，且矩形的一边PQ长为3. 65 ①当矩形PQND同时有两个顶点落在此抛物线上时，求m的值； ②当此抛物线在矩形PQND内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围. 66 【考点】二次函数的综合. 解：(1)由题意可设抛物线的表达式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3， ∴该抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x-3.　…………2分 【授之以渔】——方法指导 　　用待定系数法求二次函数表达式 　　若已知任意三点坐标，则设一般式； 若已知顶点坐标，则设顶点式； 若已知与x轴交点坐标，则设交点式. 67 (2)-4≤y≤5　…………4分 提示：∵抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x-3， ∴对称轴为直线x=1，抛物线开口向上， 故当x=1时，ymin=-4，当x=4时，ymax=5， ∴y的取值范围是-4≤y≤5. (3)∵M(m，0)，∴设P(m，m2-2m-3)，则D(m，). ①Ⅰ：当点P，Q落在抛物线上时，PQ=3， 且点P，Q关于对称轴直线x=1对称，故点Q的横坐标为m+3， 由对称性可得=1，解得m=-.　…………5分 68 Ⅱ：当点P，N落在抛物线上时. ∵以PD为边，在PD的右侧作矩形PQND， ∴此时点N的坐标为(m+3，)，　…………6分 从而可得yD=yN，即=(m+3)2-2(m+3)-3， 解得m=-5±. 综上所述，当矩形PQND同时有两个顶点落在此抛物线上时，m=-或-5+或-5-.　…………8分 69 ②当m<-1时，抛物线在矩形PQND内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，不符合题意； 当-1<m≤-时，矩形PQND内部没有抛物线经过，不符合题意； 当m=3时，点P与点M重合，不符合题意； 当m>3时，矩形PQND内部没有抛物线经过，不符合题意. 综上所述，当此抛物线在矩形PQND内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，m的取值范围为-<m<3.　…………10分 70 24.(本小题满分13分) 问题提出：如图1，E是菱形ABCD的边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=β(β≥90°)，AF交CD于点G，探究∠GCF与β的数量关系. 问题探究：(1)先将问题特殊化，如图2，当β=90°时，求∠GCF的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求∠GCF与β的数量关系； 问题拓展：(3)将图1特殊化，如图3，当AB=3，β=120°，且=时，求CF的值. 71 【考点】菱形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质. 解：问题探究：(1)如图，在BA上截取BJ，使得 BJ=BE. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=90°，BA=BC. ∵BJ=BE，∴AJ=EC.　…………2分 ∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠B，∠AEF=∠B=90°. ∴∠CEF=∠EAJ. ∵EA=EF， 72 ∴△AJE≌△ECF(SAS)，　…………4分 ∴∠AJE=∠ECF. ∵∠BJE=45°，∴∠AJE=180°-45°=135°，∴∠ECF=135°， ∴∠GCF=∠ECF-∠ECD=135°-90°=45°.　…………5分 73 (2)如图，在AB上截取AN，使 AN=EC，连接NE. ∵∠ABC+∠BAE+∠AEB=∠AEF+∠FEC+∠AEB=180°，∠ABC=∠AEF， ∴∠EAN=∠FEC. ∵AE=EF，∴△ANE≌△ECF(SAS)，∴∠ANE=∠ECF. ∵AB=BC，∴BN=BE.　…………7分 ∵∠EBN=β，∴∠BNE=90°-β，∴∠ANE=90°+β， ∴∠GCF=∠ECF-∠BCD=∠ANE-∠BCD=(90°+β)-(180°-β)=β-90°.　 …………9分 74 问题拓展：(3)如图，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P. ∵AB=3，=， ∴DG=1，CG=2.　…………10分 在Rt△ADP 中，∠ADC=∠ABC=120°， ∴∠ADP=60°，∴PD=，AP=，∴PG=. 由(2)知∠GCF=β-90°=90°. 75 ∵∠AGP=∠FGC， ∴△APG∽△FCG，　…………11分 ∴=， ∴CF==.　…………13分 76 【错题反思】 核对完答案后，将错题做重点反思.对应的考点如果还有不明白的地方，可回 到《中考备战》《学考传奇》(或者手上的其他一轮资料)中再深入复习一遍. 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T8、T9、T11、T12、T13、T14、T17 再接再厉鼓舞你 T15、T18、T19、T20 伤筋动骨磨炼你 T10、T21、T22 学霸登顶恭喜你 T16、T23、T24 77 $$