10.5一次函数与一元一次不等式练习题（2题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

10.5一次函数与一元一次不等式 题型一 用图像法求一元一次不等式的解集 1．若函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据图象得出一次函数与坐标轴的交点是解题关键．根据一次函数与轴的交点为，即可得到不等式解集． 【详解】解：由图象可知，一次函数与轴的交点为， 则时，一次函数图象在轴上方， 关于x的不等式的解集为， 故选：B． 2．数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方， 所以关于x的不等式的解集是， 所以在数轴上表示的解集，只有选项C符合． 故选：C． 3．如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，先求出点A坐标，再找到直线的函数图象在直线的函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵不等式的解集即为不等式的解集， ∴由函数图象可知，不等式的解集为， 故选：C． 4．如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集， 先将代入关系式求出x，从交点向左一次函数的图象在一次函数的图象上方，即可得出不等式的解集． 【详解】解：当时，， 解得． 当时，两个函数值相等， ∴当时，． 故选：B． 5．如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握图象法解不等式是解题的关键．观察函数图象即可得出答案． 【详解】解：由图象得，当时，， 不等式的解集为． 故答案为：．  题型二 用图像法求方程的解 1．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用一次函数的性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性质及数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， 所以①正确； ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 所以②错误； ∵当时，， ∴关于x的方程的解为， 所以③正确； ∵当，直线在直线的下方， ∴时，． 所以④错误． 故答案为：C． 2．如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据图像法解一元一次方程．根据题意利用图像即可得到本题答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴关于x的方程的解为， 故选：B． 3．如图，一次函数的图象为直线l，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确理解一次函数与一元一次方程的关系是解决本题的关键．令一次函数的y值为0，此时一次函数可转化为所求的方程；因此函数与x轴的交点横坐标，即为所求方程的解． 【详解】解：由图可知：当时，函数值为0； 因此当时，， 即方程的解为：． 故答案为：． 1．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键． 根据一次函数与一元一次不等式的关系即可解答． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴该函数图象过且当时，函数图象在x轴的上方，． 故选A． 2．如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用图象法求出不等式的解集即可，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 由图象可知：的解集为：； 故选B． 3．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，根据图象判断增减性，以及的符号，进而判断出所过象限，判断①和②，根据交点坐标判断③，图象法判断④． 【详解】解：由图象可知：对于函数来说，y随x的增大而减小；故①正确； ∴， 由图象可知：当时，， ∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴， ∴，故③正确； 由图象可知：当时，； 当时，， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 4．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ． 故选：． 5．如图，已知直线经过点，交y轴于点B，直线与直线交于点C，交y轴于点D． (1)求b的值； (2)求的面积； (3)当时，x的取值范围是 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标求不等式的解集，两直线围成的面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）把A点坐标代入中求解即可； （2）先求出C点和D点坐标，然后求出BD的长，计算面积即可； （3）利用函数图像求解不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得． （2）解：由（1）知，直线， 当， ∴． 由题意知，． 解得，即． 同理：又由知，． ∴． 所以． （3）解：当时，即， 由（2）知，． 当时，，此时， ∴直线与轴交于点， ∴由图象知，当时， 则的取时， 则的取值范围是． 故答案为：． 6．如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴y轴交于点B，C，且与的图象交于点． (1)求m，b的值； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用．待定系数法求出函数的解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． （1）将代入，求出的值，再将点代入，进行求解即可； （2）利用图象法解不等式即可； （3）先求出点A和点B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）由题意得，点在的图象上， ， ； ， ，在直线上， ， ； （2）， 由图象可知，若，则x的取值范围是； （3），当时，， ， ，当时，， ， ． 7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与函数的图象在直线处相交． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，得一次函数与函数的图象交于一点，再运用待定系数法求出一次函数的解析式，即可作答．； （2）画出函数图象，根据图象求出m的临界值即可． 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象性质，解不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，且与函数的图象在直线处相交． ∴把代入，得， 故一次函数与函数的图象交于一点， 把和分别代入， 得， 解得， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得， 当时，， 把代入，得 ， 解得， 当直线与直线平行时，， 由图象可知，当时，当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值． 8．已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时， (3)点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把分别代入两个解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得，； 把代入得，， 解得，； 联立方程组得，， 解得，， 点坐标为：； （2）解：根据图象可知，在点或点的左侧时，， ∴当时，； （3）解：由（1），． ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ∴， ∴点坐标为； 当时，， ∴， ∴点坐标为； 综上，点坐标为或． 1．学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 ， ； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 时，y随x的增大而增大； ②方程有 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 【答案】(1)x为任意实数 (2)1， (3)见解析 (4)①；②2；③ 【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据函数解析式可得自变量x的取值范围是x为任意实数； （2）把分别代入解析式可得m，n的值； （3）根据表中各组对应值描点，画出函数的图象即可； （4）①由图象可得答案；②观察图象可知，当时，或，即得方程有2个解；③由图象可知，当时，直线与的图象无交点即可解答． 【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是x为任意实数． 故答案为：x为任意实数； （2）解：当时，； 当时，． 故答案为：1，； （3）解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下： ； （4）解：①由图象可知，当时，y随x的增大而增大； ②由图象可知，当时，， ∴方程有2个解； ③由图象可知，当时， ∴关于x的方程无解，a的取值范围是． 故答案为：①；②2；③． 2．我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答问题 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． (2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，不等式的解集是________． (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和C点． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是________． ②若x轴上有一动点，使得为直角三角形，请直接出P点坐标：________． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，两点距离计算公式，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． （1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标，通过观察图象求解即可； ②分别求出，，，当时，由勾股定理建立方程求解；当时，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是， 故答案为：，； （3）解：①联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； 由的图象可知，当时，， 当时，， ∴关于x的不等式组的解集为， 故答案为：； ②令，则， ∴， ∴， ∴，，， 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或． 3．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数．如表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，______； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是______；当时，y随x的增大而______； (4)进一步探究： ①不等式的解集是______； ②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是______； (5)拓展延伸：①请在平面直角坐标系内画出函数的图象； ②直接写出不等式的解集：______． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)①，②减小 (4)①或；②或； (5)①画图见解析；② 【分析】本题考查了一次函数与不等式、一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题． （1）根据函数，计算出当对应的函数值，从而可以求得的值； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象即可求得答案； （4）观察函数图象，①根据函数图象即可求得答案；②先画出，的图象，再根据函数图象即可求得的取值范围； （5）①如图，把向下平移2个单位长度可得：的图象；②把化为，再结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）解：画出该函数图象的另一部分如图； ； （3）解：观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是； 当时，随的增大而减小； （4）解：观察图象，①不等式的解集是或； ②如图， 当关于的方程只有一个解， 则函数与函数的图象只有一个交点， 则的取值范围是或； （5）解：①如图，把向下平移2个单位长度可得：的图象； ②∵， ∴， 结合图象可得：； 1．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（    ） A．方程的解是 B．不等式组的解集是 C．不等式和不等式的解集相同 D．方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．根据直线与直线的交点P的坐标为，结合图象即可解答． 【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项正确，不符合题意； 当时，， ∴不等式的解集是，故B选项错误，符合题意； ∵由图象可得，不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故C选项正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是，故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（   ） A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】A．由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A结论正确，不合题意； B．由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故B结论正确，不合题意； C．由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，所以方程的解为，故C结论正确，不合题意； D．由函数图象可知， 当时，，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 3．如图，已知一次函数与图像的交点坐标为．现有下列四个结论：；；方程的解是；若，则．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 直接利用一次函数的性质对进行判断；利用一次函数与图象的交点坐标为得到时，，于是可对进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对进行判断． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，故正确； 一次函数的图象经过第一、三、四象限，且与轴的负半轴相交， ，， ，故错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，，故正确； 把代入得， 解得：， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， 一次函数与轴的交点坐标为， 当，， 当时，，故正确； 综上所述，正确的结论是， 故选：D． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.5一次函数与一元一次不等式 题型一 用图像法求一元一次不等式的解集 1．若函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 4．如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集为 ．  题型二 用图像法求方程的解 1．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数的图象为直线l，则关于x的方程的解为 ． 1．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知直线经过点，交y轴于点B，直线与直线交于点C，交y轴于点D． (1)求b的值； (2)求的面积； (3)当时，x的取值范围是 ．（直接写出结果） 6．如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴y轴交于点B，C，且与的图象交于点． (1)求m，b的值； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)求的面积． 7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与函数的图象在直线处相交． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，直接写出m的取值范围． 8．已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 1．学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 ， ； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 时，y随x的增大而增大； ②方程有 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 2．我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答问题 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． (2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，不等式的解集是________． (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和C点． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是________． ②若x轴上有一动点，使得为直角三角形，请直接出P点坐标：________． 3．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数．如表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，______； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是______；当时，y随x的增大而______； (4)进一步探究： ①不等式的解集是______； ②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是______； (5)拓展延伸：①请在平面直角坐标系内画出函数的图象； ②直接写出不等式的解集：______． 1．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（    ） A．方程的解是 B．不等式组的解集是 C．不等式和不等式的解集相同 D．方程组的解是 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（   ） A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 3．如图，已知一次函数与图像的交点坐标为．现有下列四个结论：；；方程的解是；若，则．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$