精品解析：贵州省普定县第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

贵州省普定县第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试 高二 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷．草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l：，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 设不同的直线，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 抛物线 的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 12 6. 若抛物线的准线方程为，则其焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，若，则（ ） A. -2 B. 1 C. -1 D. 0 11. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 圆与轴相切 C. 若与圆有交点，则的最大值为0 D. 若平分圆的周长，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆与圆，则两圆的位置关系为________． 13. 如图，已知正方体中，分别为中点，，则到平面的距离是__________． 14. 四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为_________. 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题 15. 在平面直角坐标系xOy中，且过点的直线l与坐标轴交于A、B两点，的面积记为S. （1）当直线l在y轴上的截距为2，求S的值； （2）当，求直线l在x轴上的截距. 16. 在坐标平面上有两定点，动点满足 （1）求动点的轨迹方程； （2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值. 17. 已知离心率为的椭圆的两个焦点分别为、．过的直线交椭圆于、两点，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点作圆的切线交椭圆于、两点，求面积的最大值． 18. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，. （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）线段上是否存在点使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为，求弦长； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省普定县第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试 高二 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷．草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l：，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一般式转化为斜截式即可得出斜率. 【详解】由题意得：直线的斜截式方程为，所以直线的斜率为. 故选：B 2. 设不同的直线，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由直线平行的性质列方程求解即可. 【详解】由题意，解得，经检验，符合题意. 故选：D. 3. 抛物线 的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线焦点坐标公式可得答案. 【详解】，即，则其焦点坐标为， 故选：A. 4. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线方程公式求解即可. 【详解】由双曲线的方程为知，双曲线焦点在轴，且， 又焦点在轴的双曲线渐近线方程为，所以渐近线方程为. 故选：C. 5. 如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义求出，再代入回抛物线方程求出其纵坐标，最后计算面积即可. 【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为， 如图：过点作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义可知，设，则，解得， 将代入可得， 所以的面积为. 故选：B. 6. 若抛物线的准线方程为，则其焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线准线方程求得抛物线方程即可得到焦点坐标. 【详解】由题意知，抛物线的方程为，故其焦点坐标为. 故选：C. 7. 在直三棱柱中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值，从而求出余弦值. 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，所以， 故． 设为平面的一个法向量， 则， 令，得． 设直线与平面，所成的角为， 则， 则． 故选：D． 8. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得. 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由空间向量的数量积运算及模运算求解． 【详解】解：对于A项，，则，则与不平行，故A项错误； 对于B项，， 则， 则不成立，故B项错误； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确， 故选：CD 10. 已知向量，若，则（ ） A. -2 B. 1 C. -1 D. 0 【答案】AD 【解析】 【分析】由空间向量的模长公式求出，再由垂直向量的坐标表示解方程即可得出答案. 【详解】， 又， 当时，，则； 当，时，则． 故选：AD. 11. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 圆与轴相切 C. 若与圆有交点，则的最大值为0 D. 若平分圆的周长，则 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A，将方程变形成，即可求解；选项B，将圆变形标准形式，即可求解；选项C，利用直线与圆的位置关系，即可求解；选项D，利用直线过圆心，即可求解. 【详解】对于选项A，直线的方程可化为，由， 解得，所以直线过定点，故选项A正确， 对于选项B，圆的方程可化为，所以圆心为，半径为，故选项B正确， 对于选项C，当直线与圆有交点时，直线的斜率存在，不妨设直线方程为，即， 由，整理得到，得到， 又，所以，解得，故选项C错误， 对于选项D，若平分圆的周长，将圆心的坐标代入直线的方程，解得此时，故选项D错误， 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆与圆，则两圆的位置关系为________． 【答案】相交 【解析】 【分析】根据圆的位置关系直接得出. 【详解】根据两圆的方程， 得，，， ， 两圆相交． 故答案为：相交. 13. 如图，已知正方体中，分别为中点，，则到平面的距离是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用坐标法，根据点到平面的距离向量求法即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以到平面的距离是. 故答案为：. 14. 四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】构造长方体可知四棱锥外接球球心即为中点，即可得球半径为，利用等体积法可得球心到平面的距离为，再利用勾股定理可得截面圆半径，从而求得截面面积. 【详解】如下图所示， 易知四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同； 由题意可知球心为中点， 故球O的直径，解得 由分别是的中点可得，可得平面； 所以球心到平面的距离等于点到平面的距离， 设球心到平面的距离为，截面圆的半径为， 在三棱锥中，易知平面，且， 所以， 而，由等体积法得， 所以，故截面面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题 15. 在平面直角坐标系xOy中，且过点的直线l与坐标轴交于A、B两点，的面积记为S. （1）当直线l在y轴上的截距为2，求S的值； （2）当，求直线l在x轴上的截距. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线l的方程为，得到直线在轴上的截距，求出三角形面积； （2）设直线l在x轴上的截距为，表达出直线l的方程和在y轴上截距，从而根据面积列出方程，求出答案. 【小问1详解】 直线l的斜率为， 故直线l的方程为，令得， 所以； 【小问2详解】 设直线l在x轴上的截距为， 当时，直线l与轴无交点，不合题意，舍去， 则直线l的斜率为，直线l的方程为， 中，令得， 故，解得 故直线l在x轴上的截距为. 16. 在坐标平面上有两定点，动点满足 （1）求动点的轨迹方程； （2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用两点距离公式列方程求轨迹方程； （2）联立直线与圆得一元二次方程，应用判别式求参数k的范围，根据已知及向量数量积的坐标表示，列方程求参数值即可. 【小问1详解】 设，因为，所以， 平方并整理得，即； 【小问2详解】 已知直线与圆交于两点，设， 联立，得， 所以，解得， ， 所以或，又，则. 17. 已知离心率为的椭圆的两个焦点分别为、．过的直线交椭圆于、两点，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点作圆的切线交椭圆于、两点，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用椭圆的定义可求得的值，结合椭圆的离心率可求得的值，进一步可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，由直线与圆相切，可得出，设点、，联立直线与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出，然后利用基本不等式可求得的面积的最大值. 【详解】（1）因为的周长为，所以，由椭圆的定义可得，即， 又椭圆的离心率为，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）设、， 若直线与轴重合，则直线与圆相交，设直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以，即， 联立直线与椭圆的方程，整理得， ， 由韦达定理可得，， 所以， 又点到直线的距离为，所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 18. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，. （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）线段上是否存在点使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用空间向量法求出线面角的余弦值； （2）因为线面垂直得出，再应用线线平行得出比值. 【小问1详解】 因为正方形和矩形所在的平面互相垂直， ，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，.以为原点，的方向分别为轴､轴､轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则得，此时， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为； 【小问2详解】 ，设，则， 所以， 所以，当时，直线平面， 所以，所以， 所以线段上存在点使得平面，此时. 19. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为，求弦长； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】（1） （2） （3）证明：依题意，设直线的方程为，，， 联立，即， 则， 且，，即， 而，， 所以 为定值. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可； （2）先求出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可； （3）设出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. 【小问1详解】 由题意，双曲线的焦距为， 则，即， 由，得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的方程为， 联立，即， 设，， 则，， 所以弦长. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $