2025年九年级数学复习训练—— 一次函数与几何综合

2025年九年级数学复习训练—— 一次函数与几何综合 1．如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的解析式； （2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．    2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣6交x轴于点C，交y轴于点D，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），直线AB与直线CD相交于点P． (1)直线AB的表达式为　 　； (2)点P的坐标为　 　，连接OP，则＝　 　； (3)若直线CD上存在一点E，使得△BPE的面积是△APO的面积的4倍，求点E的坐标． 3．平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O（0，0）、A（a，0）、C（0，b），且a、b满足； (1)矩形的顶点B的坐标是（　　，　　）； (2)若D是OC中点，沿AD折叠矩形OABC使O点落在E处，折痕为DA，连CE并延长交AB于F，求直线CE的解析式； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在一点P，使得△OFP是以OF为直角边的等腰直角三角形．若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，一次函数与坐标轴交于A，B两点，将线段以点O为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点C处，且的面积为．      (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)在坐标平面内存在点使得，请求出点P的坐标； (3)在直线上存在点D，使中有一个内角是，请求出点D的坐标． 5．如图所示，的顶点A在反比例函数的图像上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且． （1）若点E为线段OC的中点，求k的值； （2）若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②把称为，两点间的“ZJ距离”，记为，求的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴、轴于点和，已知点的坐标为若点是轴上的一个动点， (1)求直线的函数解析式； (2)过点作轴的平行线交于点，交于点，当点恰好是的中点时，求出点坐标． (3)若以点、、为顶点的为等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 7．如图1，直线：与轴，轴分别交于，两点，点的横坐标为3，点，连接．点是轴正半轴上一点，连接，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处． (1)求点的坐标； (2)如图2，在第（1）问的条件下，直线与交于点，点，为轴上两点，其中．过点作轴交于点，交直线于点．过点作轴交于点，交直线于点，当时，求的值； 8．在平面直角坐标系中，对于两个图形X，Y和直线，若在图形X上存在点A，在图形Y上存在点B，使得点A和点B关于直线对称，就称图形X和Y互为m关联图形． （1）已知点P的坐标为， ①点P与点Q为-关联，则点Q的坐标为____________； ②若的半径为1，点P与为m关联，则m的值为________； （2）已知点，射线与线段l：为t-关联，求t的取值范围． （3）已知的半径为2，直线与x轴，y轴分别交于C，D，若关于对称的图形S与线段互为-关联，直接写出m的取值范围． 9．如图，在直角坐标系中，，，一次函数的图象过，与x轴交于A点． (1)求点A和点C坐标； (2)求证：四边形ABCD为平行四边形； (3)将绕点O顺时针旋转，旋转得，问：能否使以O、、D、为顶点的四边形是平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 10．如图，一次函数y1＝x＋b的图象与x轴y轴分别交于点A，点B，函数y1＝x＋b，与y2＝﹣x的图象交于第二象限的点C，且点C横坐标为﹣3． （1）求b的值； （2）当0＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围； （3）在直线y2＝﹣x上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线y1＝x＋b于点Q，当PQ＝OC时，求点P的坐标． 11．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作轴，垂足为点A，过点C作轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B． (1)填空：线段的长为___________； (2)折叠图1中的，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕 交于点D，交于点E，连接，如图2． ①求线段的长___________． ②在y轴上，是否存在点P，使得为以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点Р的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，直线和直线与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线与y轴相交于点． (1)求点A的坐标及直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)试探究在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，正比例函数的图象过点．直线沿y轴平行移动，与x轴，y轴分别交于点B，C，与直线OA交于点D． （1）若点D在线段OA上（含端点），求b的取值范围； （2）当点A关于直线BC的对称点A恰好落在y轴上时，求的面积． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点为直线与轴交点． (1)直接写出点的坐标； (2)设点为直线，在第一象限的交点，其横坐标为．当的面积与的面积相等时： ①求点的坐标； ②直接写出此时的值． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求△ADE的面积； (3)y轴上是否存在一点P，使得＝，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求k与m的值； (2)点为x轴正半轴上的一点，且的面积为，求a的值． (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；不存在，请说明理由． 17．如图，，，轴，与直线交于点，轴于点，是折线上一点．设过点，的直线为．    （1）点的坐标为________；若所在的函数随的增大而减小，则的取值范围是________； （2）当时，求的解析式； （3）若与线段有交点，设该交点为，是否存在的情况？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 18．如图，Rt△ABC的顶点A（﹣6，0），B（m，0），AC交y轴正半轴于点E，将Rt△ABC沿AC翻折得△ADC，点D恰好落在y轴上． （1）若DO平分∠ADC，求m的值； （2）若E（0，3），求C点的坐标； （3）过点E的直线MN分别交x轴，CD于M，N，且M，N分别是AB，CD的中点，求m的值． 19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A．点C，过点1作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B． （1）线段OC，OA，AC的长分别为OC＝　　，OA＝　　，AC＝　　，∠ACO＝　　度． （2）将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2，求线段AD的长； （3）点M是直线AC上一个动点（不与点A、点C重合）．过点M的另一条直线MN与y轴相交于点N．是否存在点M，使与全等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3， ∴B（﹣3，0）， 把x＝1代入y＝x+3得y＝4， ∴C（1，4）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6； （2）AB＝3﹣（﹣3）＝6， 设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6）， MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6， 解得a＝3或a＝﹣1， ∴M（3，6）或（﹣1，2）． 2．（1）解：设直线AB的表达式为y＝kx+b． 由点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2）， ∴，解得， 所以直线AB的表达式为y＝﹣2x+2． 故答案为y＝﹣2x+2． （2）解：由题意，得，解得， ∴点P的坐标为（2，﹣2）， ∴＝＝1． 故答案为（2，﹣2），1． （3）解：直线y＝2x﹣6中，令x＝0，则y＝﹣6， ∴D（0，﹣6）， 设点E的坐标为（x，2x﹣6）， ∵的面积是的面积的4倍， ∴＝4， ∴或， ∴×8×2﹣＝4或﹣＝4，解得x＝1或3， ∴E（3，0）或（1，﹣4）． 3．（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 将，代入 ， 得a=-3， ∴点B坐标为（-3，4）， （2）解：如图，连接OE， 由折叠性质可得DA⊥OE，DE=OD， ∵D为OC中点 ， ∴CD=OD， ∵DE=OD=CD， ∴，， ∵， ∴ , ∴ , ∴△OCE为直角三角形， ∴OE⊥CE, ∴CE∥AD， ∴, 设直线AD解析式为，将点A（-3，0），D（0，2）代入, 得 ,解得 , ∴， 设直线CE解析式为， 将点C（0，4）代入可得m=4, ∴直线CE的解析式为． （3）解：由（2）可知直线CE的解析式为， ∴点F坐标为（-3，2）， ∴OA=3，FA=2， ①当FP=FO时，如图所示，即为所求； 过点作，交FB延长线于点H， ∵，， ∴， 在和中， ， （AAS）， ∴OA=FH=3，， ∴AH=AF+FH=2+3=5， 点的横坐标为-（3-2）=-1， ∴点的坐标为（-1，5）， 同理点坐标为（-5，-1）， ②当OF=OP时，如图所示，即为所求; 过点作轴，交x轴于点Q， ∵，， ∴， 在和中， ， （AAS）， ∴OA= =3，， ∴点的坐标为（2，3）， 同理点坐标为（-2，-3）， 综上所述满足条件的点P坐标为（-1，5），（-5，-1），（2，3），（-2，-3）． 4．（1）解：∵一次函数与坐标轴交于A，B两点， ∴点A、B的坐标分别为、，， ∵的面积为， ∴， 解得， 设点C的坐标为， ∵是由旋转得到， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点C的坐标为， 设的表达式为，把B，C坐标代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：设直线与直线交于点E，    在中，当时， ∴， 解得或， 综上所述，P的坐标为或； （3）当时，即，解得， ∴设直线交x轴于点H，则， 在中有一个内角是，这个角不可能是， ①当D在上方时， 若，过点H作交延长线于点R，过点H作y轴的平行线，交过点R与x轴的平行线于点M，交过点C与x轴的平行线于点N，如图：    ∵， ∴为等腰直角三角形，即，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点R的坐标为， 由点、得直线的表达式为， 解得， ∴点D的坐标为； 若，延长交x轴于K，如图：    由点、可知， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴轴， 在中，令得， ∴； ②当D在下方时， 若，过点H作交延长线于点G，过点G作轴于Q，过C作轴于S，如图：    同理可得， ∴，， ∴， 由，得直线解析式为， 解得， ∴； 若，如图：    ∵， ∴轴， 在中，令得， ∴， 综上所述，中有一个内角是，点D的坐标为或或或． 5．解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC=5， ∴,即：E点坐标为， 又∵AE⊥y轴，AE=1， ∴， ∴． （2）①在为等腰直角三角形中，，， ∴， 又∵BF⊥y轴， ∴， ∴ 在和中 ， ∴， ②解：设点坐标为， ∵ ∴，， ∴， 设直线AB解析式为：，将AB两点代入得： 则． 解得，． 当时，，，，符合； ∴ ， 当时，，，，不符，舍去； 综上所述：． 6．（1）解：在中，令得，令得， ，， 设直线为，将代入得：， 解得， 直线解析式为； （2）设，则，， 点恰好是的中点， ，即， 解得， ； （3）设， ，， ，，， ①当时，， ， 解得或与重合，舍去， ； ②当时， ， 解得或， 或； ③当时， ， 解得， ； 综上所述，坐标为或或或． 7．（1）解：对于直线：， 当时，，当时，， ∴点， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点恰好落在轴上的点处， ∴， ∴， 设点，则， 在中，， ∴，解得：， ∴点； （2）解：设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点Q的坐标为， ∵点，轴交于点，交直线于点， ∴点， ∵，轴交于点，交直线于点， ∴， ∴， ， ∵， 当点G在点Q的下方或与点Q重合，即时，此时，且点M在点的右侧，点N在点右侧， ，解得：； 当点G在点Q的上方，点F在点Q的下方或与点Q重合时，此时，且点M在点的右侧，点N在点的左侧， ，无解； 当点G，F均在点Q的上方时，此时，且点M在点的左侧，点N在点的左侧， ，解得：； 综上所述，的值为或． 8．解：（1）①∵点P的坐标为，点P与点Q为-关联， 如图1所示：作出直线， 点P与点Q关于直线对称， ∴点Q的坐标为， ②∵若圆的半径为1，点P与为m关联， ∴点Q既在y轴上也在上， 如图2所示， 点P和关于直线对称， 点P和关于直线对称， ∴或2， （2）如图3所示： 设线段l：的左右两个端点 分别为,,与轴交于点, 设OA的解析式为：， 则：，解得：， ∴OA的解析式为：， 设点Q为EF上的一个动点，在点Q从左到右运动过程中， 在射线OA上存在一点P，使得P和Q关于直线对称， 当点与点G重合时，为第一个临界位置，此时， 当时，直线上对应点为点H，可得, 在第二个临界位置，点P和点H重合时，此时可得， 综上可知：t的取值范围为； （3）∵直线与x轴，y轴分别交于C，D， 令，则，令，则， ∴, ∴,, ∴, 设关于对称的图形为S，则S的圆心为，半径为2的圆， 圆S与线段互为-关联，如图4所示： 若线段CD上存在一点P，圆S上存在一点Q， 则可知P、Q关于直线对称， 即过圆心的直线是线段的垂直平分线， ∴根据垂径定理，只要圆S与线段CD相交，则交点为点P， 此时在圆S上一定存在一点Q与点P关于直线对称， 当圆S向下运动时，如图5所示： 当圆S经过点时，圆S的圆心为，半径为2， 此时，解得：， 圆S在图5基础上继续向上运动，如图6所示： 当圆S经过点C时， ∵， ∴点S与点D重合， 此时，解得：， ∴m的取值范围为：； 当圆S从图6位置继续向上运动时，如图7所示： 当圆S经过点D时， ∵, ∴为等边三角形， ∴，解得：， 当圆S从图7位置继续向上运动时，如图8所示， 当圆S与线段CD相切时，设切点为K， 在中，,, ∴, 解得：, 又∵, ∴, ∴， 解得：， ∴m的取值范围为：； 综上可知，m的取值范围为：或． 9．（1）当时， 点 当时，，解得 点坐标为； 当时，，解得 点坐标为 （2）点，点 ，轴 ∵点 ，点 ∴ 四边形为平行四边形； （3）能， 由题意可知；， ①旋转后，若轴，成四边形，如图1 四边形构成平行四边形， 此时，设与轴交于 则， 点的坐标为， ②旋转后，若的中点在轴上，成四边形，如图2 四边形构成平行四边形 又 ∴四边形为矩形 ∴ 设作轴交于， 则， 点的坐标为， ③旋转后，若轴，成四边形，如图3， 又 四边形构成平行四边形 此时，设与轴交于 则， 点的坐标为， 综上所述，满足条件为，， 10．解：（1）将x＝﹣3代入y2＝﹣x， 可得C(﹣3，4)， 再将C点代入y1＝x＋b， ∴ b＝7； （2）由（1）知，y1＝x＋7， 令y=0，由x+7=0得：x=﹣7， ∴点A(﹣7，0)，又C(﹣3，4) ∴由图象可知，当0＜y1＜y2时，x的取值范围为﹣7＜x＜﹣3； （3）∵ 点P为直线y2＝﹣x上一动点， 设P(a，﹣a)， ∵ PQ∥x轴， ∴ Q(﹣a﹣7，﹣a)， ∴ PQ＝|a＋7|， ∵ C(﹣3，4)， ∴ OC＝5， ∴ PQ＝OC＝14， ∴ |a＋7|＝14， ∴ a＝3或a＝﹣9， ∴ P(3，﹣4)或P(﹣9，12)． 11．（1）当时，， ∴点C的坐标为； 当时，，解得：， ∴点A的坐标为． 由已知可得：四边形为矩形， ∴． 故答案为： ． （2）①设，则． 在中，，即， 解得：， ∴线段的长为5． ②存在，设点P的坐标为． ∵点A的坐标为，点D的坐标为， ∴ ． 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为或； 当AP＝DP时， 解得：， ∴点P的坐标为． 综上所述：在y轴上存在点P，使得为以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或． 12．（1）将代入得，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 设直线的函数表达式为： 将、分别代入得： ， 解得 ∴直线的函数表达式为：． （2）∵点C是直线和的交点， ∴，解得 ∴ ∵， ∴． ∴的面积为：． （3）①点P在点B右侧的x轴上时，过点作于点，过点作轴，垂足为，如图3-1， ∴ ∴ 易证： ∴ ∴点坐标为， ∴直线解析式为：， ∴直线与轴交点的坐标为； ②点P在点B左侧的x轴上时， 过点作于点，过点作轴，垂足为，过作轴，如图3-2， 同理易证：, ∴，， 设，则， 解得：， ∴， ∴点坐标为， ∴直线解析式为：， ∴直线与轴交点的坐标为； 综上，在x轴上存在点P，使得，点P的坐标为或 13．解：（1）当点D和点O重合时， 将点代入中，得； 当点D和点A重合时，将点代入中， 得，即， 的取值范围是. （2）将点代入中，得，即 直线OA的解析式为. 在中，令，则， ，即， 令，则， ， 又 . 点A关于直线BC的对称点恰好落在y轴上， 垂直平分 ， ， 即.将点代入中，得， 直线BC的解析式为. 由，得， 点. . 14．（1）解：点为直线与轴交点 令， ， ， （2）解：①点横坐标为，点在直线上， ， 直线与轴，轴分别交于点，， 令，则， ， 令，则， 解得， ， ， ， ， ， ， 解得， ； ②把代入得， 解得：. 15．（1）当x＝0时，y＝x+4＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； 当y＝0时，x+4＝0， 解得：x＝3， ∴点A的坐标为（3，0）． 在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4， ∴AB＝＝5． 由折叠的性质，可知：∠BDA＝∠CDA，∠D＝∠C，AC＝AB＝5， ∴OC＝OA+AC＝8， ∴点C的坐标为（8，0）． （2）∵∠B＝∠C，∠OAB＝∠EAC，∠B+∠AOB+∠OAB＝180°，∠C+∠AEC+∠EAC＝180°， ∴∠AEC＝∠AOB＝90°=∠AED＝∠AOD． 又∵∠BDA＝∠CDA， 在Rt△AOD和Rt△AED中， ∴Rt△AOD≌Rt△AED， ∴． （3）存在点P，且坐标为（0，-3）或（0，-9），理由如下： 设点P的坐标为（0，m），则DP＝|m+6|． ∵＝， ∴， ∴|m+6|＝3， 解得：m＝﹣3或m＝﹣9， ∴y轴上存在点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得＝． 16（1）解：将代入一次函数得， ，解得：， ∴， 将代入得， ， 将代入反比例函数得， ， （2）解： 当时，， ∴， 由题意可得， ， 解得：； （3）解：由（2）得，，，， 当是对角线时，根据对角线互相平分可得， ， ， ∴； 当是对角线时，根据对角线互相平分可得， ， ， ∴； 当是对角线时，根据对角线互相平分可得， ， ， ∴； 综上所述Q的坐标为：或或． 17．（1）当y＝4时，有＝4， 解得：x＝6， ∴点C的坐标为（6，4）； ∵l所在的函数随x的增大而减小， ∴点P在线段CD上，且纵坐标小于2， ∴0≤PD＜2． （2）∵，点为线段的中点， ∴点为线段的中点，即． 设直线的解析式为， 将，代入， 得 解得 ∴的解析式为． （3）不存在，理由如下： 连接，交于点，如图， 当点在上时，与线段有交点，且， ∴， ∴， ∴，即． 而， ， ， ∴． 18．解：（1）∵DO平分∠ADC， ∴∠ADO＝∠COD＝45°， ∴△AOD为等腰直角三角形，故OD＝OA＝6， 由图形的翻折知，AD＝AB＝m+6， 在等腰直角三角形ADO中，AD＝AO＝6＝AB， 故OB＝6﹣6＝m； （2）由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝x+3，故设点C的坐标为（m，m+3） ∵BC∥y轴，则∠ACB＝∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝CD＝BC＝m+3， 故OD＝OE+DE＝m+6， ∵AD＝AB＝m﹣（﹣6）＝m+6，AO＝6， 在Rt△AOD中，AD2＝AO2+OD2，即（m+6）2＝62+（m+6）2， 解得m＝﹣12（舍去）或4， 故点C的坐标为（4，5）； （3）取AD的中点P，连接PN，PM，DB，作NH⊥OD于点H，作CF⊥OD于点F， ∴， ∵将Rt△ABC沿AC翻折得△ADC，点D恰好落在y轴上，且点M，P分别是AB，AD的中点， ∴点M，P关于AC对称， ∴PM⊥AC，PE=EM， ∵点N，P分别是CD，AD的中点， ∴， ∴， ∵PE=EM， ∴，， ∴， ∴PE=EN， ∴PE=EN=EM， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点M是AB的中点， ∴， ∴m=3． 19．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C， ∴A（2，0），C（0，2）， ∴OA＝2，OC＝2， ∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC＝90°， ∴四边形OABC是矩形， ∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝4， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC＝＝＝4， ∴∠ACO＝30°． （2）由（1）知，BC＝2，AB＝2， 由折叠知，CD＝AD， 在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝2﹣AD， 根据勾股定理得，CD2＝BC2+BD2， 即：AD2＝4+（2﹣AD）2， ∴AD＝； （3）①如图1，MN⊥y轴，若△AOC≌△MNC，则CN＝CO， ∴M点的纵坐标为4，代入y＝﹣x+2得，x＝﹣2， ∴． ②如图2，MN⊥AC，MP⊥y轴， ∵S△MCN＝S△AOC＝， ∴CN＝AC＝4， ∴PM＝， ∴M点的横坐标为或﹣，代入y＝﹣x+2得，y＝﹣3+2或y＝3+2． ∴M点的坐标为（）或（﹣）． 综合以上可得M点的坐标为（﹣2，4）或（）或（﹣）． 学科网（北京）股份有限公司 $$