2025年九年级数学复习训练圆专题——与切线有关的问题

2025年九年级数学复习训练圆专题——与切线有关的问题 1．如图，是的直径，点为外一点，连接交于点，连接并延长交线段于点，．求证：与相切． 2．如图，在△ABC中，∠ABC=90º，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） (1)①作∠BAC的平分线，交BC于点O；②以O为圆心，OB为半径作圆； (2)在你所作的图中，判断AC与⊙O的位置关系并说明理由； (3)若AB=6，BC=8，求⊙O的半径． 3．已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP． (1)如图①，△OPC的最大面积是________； (2)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线． 4．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°． (1)求AB的长； (2)若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线． 5．如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点C作的垂线交的延长线于点E，点F为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若B为半圆弧的中点，，求的长． 6．如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED， （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知AD=3，CD=2，求BC的长． 7．如图，点C在以AB为直径的☉O上，BD平分∠ABC交☉O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E． （1）求证：DE与☉O相切； （2）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由； （3）若AB=5，BE=4，求BD的长． 8．如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线． 9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 10．如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 11．如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P．连结DP并延长交AB于点E． 求证：（1）DP＝AB； （2）DE为半圆O的切线； （3）连结OE，求tan∠BOE的值． 12．如图，在中，，是的平分线，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求线段的长． 13．如图，已知的直径为，于点A，与相交于点D，在上取一点E，使得． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 14．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长，交延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 15．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接．    （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 16．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D． (1)求证：PB为⊙O的切线； (2)若OB＝3，OD＝5，求PB和AB的长． 17．如图，为⊙的直径，是⊙的一条弦，为的中点，过点作，垂足为的延长线上的点．连接、． (1)求证：是⊙的切线； (2)延长交的延长线于，若，，求⊙的半径． 18．在中，，以为直径的圆交于，交于.过点的切线交的延长线于．求证：是的切线． 19．如图，是外接圆，是的直径，弦于点H，与相交于点G，的延长线交于点F，P是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径是1，，，求的长？ 20．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（0，8）、（6，0），以AC为直径作⊙O，交坐标轴于点B，点D是⊙O 上一点，且，过点D作DE⊥BC，垂足为E． （1）求证：CD平分∠ACE； （2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）求线段CE的长． 参考答案 1．解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切． 2．（1）解：如图所示 （2）AC与⊙O相切，                 证明：过点O作OE⊥AC于点E， ∵∠ABC=90°， AO平分∠BAC， ∴OE=OB， 又∵OE⊥AC，OB为圆的半径， ∴AC与⊙O相切； （3）设⊙O的半径为r， ∵ 又∵AB=6，BC=8，∠ABC=90° ∴AC=10 ∴ ∴ ∴ 即⊙O的半径为3． 3．（1）解：∵AB＝4， ∴OB＝2，OC＝OB+BC＝4． 在△OPC中，设OC边上的高为h， ∵S△OPCOC•h＝2h， ∴当h最大时，S△OPC取得最大值． 作PH⊥OC，如图①，则，当OP⊥OC时，，此时h最大，如答图1所示： 此时h＝半径＝2，． ∴△OPC的最大面积为4， （2）证明：如答图②，连接AP，BP． ∵∠AOP＝∠BOD， ∴AP＝BD， ∵CP＝DB， ∴AP＝CP， ∴∠A＝∠C， 在△APB与△CPO中， ， ∴△APB≌△CPO（SAS）， ∴∠APB＝∠OPC， ∵AB是直径， ∴∠APB＝90°， ∴∠OPC＝90°， ∴DP⊥PC， ∵DP经过圆心， ∴PC是⊙O的切线． 4．（1） 解：如图所示，连接OA、OB， ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， 由OP⊥AB于D，则， 又∵OP⊥AB ∴， （2）证明：由（1）知∠BOC=60°，从而∠OBC=∠OCB=60°， C是OP的中点，CP=CO=CB，从而． ∴∠OBP=90°（OB⊥BP）， ∴PB是⊙О的切线． 5．（1）证明：连接． ， ． 为的直径， ． 点为的中点， ， ， ， ， 又， ． 是的切线． （2）解：为的直径， ， ∵B为半圆弧的中点， ， ， 在中，， 又，， ． ， ， 又∵， ， ∴， 设为， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵在中，， ∴， 解得：（舍负）， ∴． 6．（1）∵AB是⊙O的切直径， ∴∠ADB=90°， 又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC， ∴∠BAD=∠DBC， ∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°， ∴∠ABC=90°， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴，即BC2=AC•CD=（AD+CD）•CD=10， ∴BC=． 7．解：（1）连接OD， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD=∠CBD， ∴∠ODB=∠CBD， ∴OD∥BE， ∵BE⊥DE， ∴OD⊥DE， ∴DE与⊙O相切； （2）CE=AB-BE，理由如下： 过D作DH⊥AB于H， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BE， ∴DH=DE， 在Rt△BED与Rt△BHD中， ， ∴Rt△BED≅Rt△BHD（HL）， ∴BH=BE， ∵∠DCE=∠A，∠DGA=∠DEC=90°， ∴△ADH≅△CDE（AAS）， ∴AH=CE， ∵AB=AH+BH， ∴AB=BE+CE， ∴CE=AB-BE； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵BE⊥DE， ∴∠ADB=∠BED=90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBE， ∴△ABD∽△DBE， ∴， ∴， ∴BD=2． ． 8．证明：连接OE ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C． 又∵OB=OE， ∴∠ABC=∠OEB． ∴∠OEB=∠C．OE∥AC． ∵EF⊥AC， ∴OE⊥EF． ∵OE是⊙O半径， ∴直线EF是⊙O的切线． 9．解：（1）过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B=90°， ∴AB⊥BC ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD=DF， ∴AC与圆D相切； （2）在△BDE和△DCF中； ∵BD=DF，DE=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴EB=FC． ∵AB=AF， ∴AB+EB=AF+FC， 即AB+EB=AC， ∴AC=5+3=8． 10．（1）证明：连接，过作于； 与相切， ， 四边形是正方形， 平分， ， 与相切； （2）解：四边形为正方形， ，，， ，， ， ； 又， ， ． 11．证明（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝AB， 又∵DC＝DP， ∴DP＝AB， （2）连接DO，PO， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°， 在△ODP与△OCD中， ， ∴△ODP≌△ODC（SSS）， ∴∠DPO＝∠C＝90°， 又∵OP是⊙O的半径， ∴DE为半圆O的切线． （3）连接EO， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABO＝90°， ∵∠DPO＝90°， ∴∠EPO＝90°＝∠B， 在Rt△OBE与Rt△OPE中， ， ∴Rt△OBE≌Rt△OPE（HL）， ∴∠BOE＝∠POE， 由（2）得△ODP≌△OCD， ∴∠DOP＝∠DOC， ∴∠BOE+∠DOC＝90°， 又∵∠DOC+∠CDO＝90°， ∴∠BOE＝∠CDO， ∵点O是AB的中点， ∴， 在Rt△COD中， ． 12．（1）证明：（1）连接，如图： 平分， ， ， ， ， //， ，平分， ， ， 为的切线； （2）解：连接，如图： ，平分， ，， ，， ，， ， 设，则， 是切线， ， ， ，解得， ，， 为直径， ， //， ， ，即， ． 13．（1）证明：如图，连接． ， ，即． 在与中， ， ， ，即． 又是的半径， 是的切线； （2）解：如图，． 是直径， ，即． 又∵由（1）知，， ， 又， ， ， ， ，即的长是20． 14．（1）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点E在上， 是的切线； （2）解：过点O作于点M， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 15．（1）连接，    是的直径， ，即， ， 连接， ∵点C为劣弧的中点， ， ∵， ∵OC是的半径， ∴CE是的切线； （2）连接 ，， ∵点C为劣弧的中点， ， ， ， ， ∴S扇形FOC=， 即阴影部分的面积为：． 16．（1）证明：连接OA， ∴由垂径定理可知：∠BOC＝∠AOC， ∵PA是⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， 在△OBP与△OAP中， ， ∴△OBP≌△OAP（SAS）， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∵OB是⊙O半径， ∴PB是⊙O的切线； （2）在Rt△AOD中，AD＝＝4， ∵PA、PB为⊙O的切线， ∴PA＝PB， 在Rt△DBP中，PD2＝PB2+BD2，即（PA+4）2＝PB2+82， 解得，PB＝PA＝6， 在Rt△OBP中，OP＝＝3， ∵S△OBP＝×OP×BC＝×OB×PB， ∴×3×BC＝×3×6， 解得，BC＝， ∴AB＝2BC＝． 17．（1）证明：连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是⊙的切线； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∴⊙的半径为2． 18．证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴，则， ∴， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴ ∵是的切线，则， ∴， ∴，则， ∴是的切线． 19．（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵P是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：如图2，连接，交于点M， ∵是的直径，弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（1）∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°， 又∵∠BCD+∠DCE=180°，  ∴∠DCE=∠BAD， ∵＝，  ∴∠BAD=∠ACD， ∴∠DCE=∠ACD，  ∴CD平分∠ACE．      （2）直线ED与⊙O相切．连接OD． ∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD， 又∵∠DCE=∠ACD，∴∠DCE=∠ODC， ∴OD∥BE，∴∠ODE=∠DEC， 又∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°， ∴∠ODE=90° ∴OD⊥DE， ∴ED与⊙O相切．                                                              （3）延长DO交AB于点H． ∵OD∥BE，O是AC的中点， ∴H是AB的中点， ∴HO是△ABC的中位线， ∴HO=BC=3， 又∵AC为直径，  ∴∠ADC=90°， 又∵O是AC的中点 ∴OD=5， ∴HD=3+5=8， ∵∠ABC=∠DEC=∠ODE=90°， ∴四边形BEDH是矩形， ∴BE=HD=8，∴CE=8﹣6=2． 学科网（北京）股份有限公司 $$