2025年中考数学复习 ——弧长与扇形面积

2025年中考数学复习 ——弧长与扇形面积 一、单选题 1．如图，在边长为4的正方形内部裁得一个扇形，若将该扇形围成一个圆锥，则此圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．2 2．如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的底面半径与母线的比为，则该圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 3．若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则的长为（   ） A．2π B．3π C．4π D．6π 4．圆锥形纸帽的底面直径是18cm，母线长为27cm，则它的侧面展开图的圆心角为（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 5．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D相交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣2 B．4π﹣ C．4π﹣2 D．2π﹣ 6．如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（  ） A． B． C． D． 7．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心C是的中点，且扇形绕着点C旋转，半径，交于点G，半径，交于点H，则图中阴影面积等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，C是半圆⊙O内一点，直径AB的长为4cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过的区域（图中阴影部分）的面积为（　　） A．π B．π C．4π D．+π 二、填空题 9．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm，则扇形的半径是 ． 10．如图所示，若用半径为8，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面半径是 ． 11．如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若和都经过圆心，则阴影部分的面积是 （结果保留π）． 12．如图，在矩形中，连接，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，若，，则图中阴影部分的面积是 ．    13．如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为 cm． 14．如图，AB是的直径，分别以点A和点B为圆心、AB长为半径作圆弧，两弧交于点C和点D．若，则图中阴影部分图形的周长和为 ．（结果保留） 三、解答题 15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E． （1）求∠OCA的度数； （2）若∠COB=3∠AOB，OC=，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）． 16．如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连接AC、AD、OD，其中AC=CD，过点B的切线交CD的延长线于E． （1）求证：DA平分∠CDO； （2）若AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π=3.1，=1.4，=1.7）． 17．如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD． （1）求证：； （2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和． 18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=，求图中阴影部分的面积． 19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积． 20．等边三角形的边长为1厘米，面积为0.43平方厘米．以点为圆心，长为半径在三角形外画弧，交的延长线于点，形成扇形；以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，形成扇形；以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，形成扇形． （1）求所得的图形的周长；（结果保留） （2）照此规律画至第十个扇形，求所围成的图形的面积以及所画出的所有弧长的和．（结果保留） 21．如图，某田径场的周长（内圈）为，其中两个弯道内圈（半圆形）共长，直线段共长，而每条跑道宽约（共6条跑道）． （1）内圈弯道半径为多少米？（结果精确到） （2）一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差多少米？（结果精确到） 22．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C=90°． （1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若∠CDB=60°，AB=6，求的长． 参考答案 1．A 2．C 3．C 4．C 5．A 6．C 7．D 8．B 9． 10． 11．3π 12． 13． 14． 15．（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D=180°，∵∠ABC=2∠D，∴∠D+2∠D=180°，∴∠D=60°，∴∠AOC=2∠D=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°； （2）∵∠COB=3∠AOB，∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，∴∠AOB=30°，∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，在Rt△OCE中，OC=，∴OE=OC•tan∠OCE=•tan30°==2， ∴S△OEC=OE•OC==，∴S扇形OBC==3π，∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC=． 16．解：（1）∵CD∥AB， ∴∠CDA=∠BAD， 又∵OA=OD， ∴∠ADO=∠BAD， ∴∠ADO=∠CDA， ∴DA平分∠CDO． （2）如图，连接BD， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∵AC=CD， ∴∠CAD=∠CDA， 又∵CD∥AB， ∴∠CDA=∠BAD， ∴∠CDA=∠BAD=∠CAD， ∴， 又∵∠AOB=180°， ∴∠DOB=60°， ∵OD=OB， ∴△DOB是等边三角形， ∴BD=OB=AB=6， ∵， ∴AC=BD=6， ∵BE切⊙O于B， ∴BE⊥AB， ∴∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=30°， ∵CD∥AB， ∴BE⊥CE， ∴DE=BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6×=3， ∴的长==2π， ∴图中阴影部分周长之和为2π+6+2π+3+3=4π+9+3=4×3.1+9+3×1.7=26.5． 17．（1）证明：由旋转性质得： 是等边三角形 所以 ∴； （2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1， 所以A，C两点经过的路径长之和为． 18． ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE= DE ． ∵∠CDB=30°， ∴∠COE=60°， 在Rt△OEC中，OC==2， ∵CE=DE， ∠COE=∠DBE=60° ∴Rt△COE≌Rt△DBE， ∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=. 19．（1）DE与⊙O相切， 理由：连接DO， ∵DO=BO， ∴∠ODB=∠OBD， ∵∠ABC的平分线交⊙O于点D， ∴∠EBD=∠DBO， ∴∠EBD=∠BDO， ∴DO∥BE， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB=∠EDO=90°， ∴DE与⊙O相切； （2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB， ∴DE=DF=3， ∵BE=3， ∴BD==6， ∵sin∠DBF=， ∴∠DBA=30°， ∴∠DOF=60°， ∴sin60°=， ∴DO=2， 则FO=， 故图中阴影部分的面积为：． 20．（1）由已知得：扇形ADC的半径长为1，圆心角为120°；扇形DBE半径长为2，圆心角为120°；扇形ECF半径长为3，圆心角为120°． 故据弧长公式可得：扇形ADC弧长；扇形DBE弧长；扇形ECF弧长； 故图形CDEFC的周长为：． （2）根据扇形面积公式可得： 第一个扇形的面积为，由上一问可知其弧长为； 第二个扇形的面积为，弧长为； 第三个扇形的面积为，弧长为； 总结规律可得第个扇形面积为，第个扇形弧长为． 故画至第十个图形所围成的图形面积和为：； 所有的弧长和为：． 21．解：（1）根据题意得：内圈弯道半径为 （米）， 答：内圈弯道半径约为； （2）由（1）得：外圈弯道半径为 （米）， 一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差为 （米）， 答：一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差约． 22．（1）相切．理由如下： 连接，如图所示： ∵是的平分线，∴， 又∵，∴， ∴，∴， ∴，∴与相切； （2）若，可得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$