专题03 平行线模型与动态问题（六大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（北师大版2024）

专题03 平行线模型与动态问题 题型概览 题型01铅笔模型 题型02猪蹄模型 题型03鸡翅模型和骨折模型 题型04动态问题之翻折 题型05动态问题之旋转 题型06动态问题之动点 ( 题型01 )铅笔模型 1．（2023·24七年级下·湖北恩施·期末）如图，直线，于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·24七年级下·江苏泰州·期末）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中，测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·24七年级下·吉林通化·期末）如图是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C度数为（　　）      A．120° B．100° C．140° D．90° 4．（2023·24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2023·24六年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（2023·24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，直线，，则（    ）    A． B． C． D． 7．（2023·24七年级·江苏常州·期末）如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CDAE，则∠ABC+∠BCD＝ 度； 8．（2023·24七年级下·山西·期末）如图，若直线，，，则的度数为 ． ( 题型0 2 )猪蹄模型 9．（2023·24七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 10．（2023·24七年级下·上海·期末）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 11．（2023·24七年级下·全国·期末）如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（2023·24七年级下·四川自贡·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．，，则的度数是 ． 13．（2023·24七年级下·四川雅安·期末）如图，，平分，平分，若，则的度数= ． 14．（2023·24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是 ． 15．（2023·24七年级下·广东云浮·期末）（1）如图①，已知，探究与有怎样的位置关系； （2）如图②，已知，试猜想之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，已知，试猜想之间的数量关系，请直接写出这种关系，不用说明理由．    ( 题型0 3 )鸡翅模型和骨折模型 16．（2023·24七年级下·江苏镇江·期末）如图，AB//CD，∠E =38°，∠C=20°，则∠EAB的度数为 . 17．（2023·24七年级下·辽宁抚顺·期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图，，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 18．（2023·24七年级下·江苏南通·期末）如图，，EMNF是直线AB、CD间的一条折线，若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为 19．（2023·24七年级下·河北邯郸·期末）如图，若，则、、之间关系是（    ）    A． B． C． D． 20．（2023·24七年级下·浙江宁波·期末）如图，当光线从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为，如图，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为，，在水中两条折射光线的夹角为，则，，三者之间的数量关系为（  ）    A． B． C． D． 21．（2023·24七年级下·湖北武汉·期末）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为    A．30° B．35° C．36° D．45° 22．（2023·24七年级下·山东济南·期末）如图，已知，P为直线，外一点，平分，平分，的反向延长线交于点E，若，用表示的度数为（    ） A． B． C． D． 23．（2023·24七年级下·湖南株洲·期末）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ( 题型0 4 )动态问题之翻折 24．（2023·24七年级下·福建龙岩·期末）生活中，将纸带沿着翻折得到如图所示的图形．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 25．（2023·24七年级下·山东济南·期末）如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（     ）    A． B． C． D． 26．（2023·24七年级下·安徽滁州·期末）如图1，将一条对边互相平行的纸条进行两次折叠，第一次折叠的折痕为，且，第二次折叠的折痕为，如图2，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 27．（2023·24七年级下·四川成都·期末）如图所示，将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点处，折痕为，若，那么的度数为 ． 28．（2023·24七年级下·广西南宁·期末）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与对应，若，则的度数为 ． 29．（2023·24七年级下·安徽黄山·期末）折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质．如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿直线折叠成图3，则图3中 ．    30．（2023·24七年级下·福建宁德·期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ．    ( 题型0 5 ) 动态问题之旋转 31．（2023·24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（  ）度    A． B． C． D． 32．（2023·24七年级下·山东德州·期末）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯，，现激光绕点 P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当∥时，t的值为 ． 33．（2023·24七年级下·河北承德·期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．    34．（2023·24七年级下·安徽六安·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．    35．（2023·24七年级下·四川南充·期末）有一副直角三角板按照如图放置，，保持三角板固定不动，此时，，将三角板绕着C点顺时针方向旋转，使与三角板一直角边平行，求此时的度数．    36．（2023·24七年级下·山东青岛·期末）如图，，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；同时，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，为平角？ (2)当t为何值时，平分？ (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使将分成的两个角的度数之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 37．（2023·24七年级下·江苏无锡·期末）如图1，，点E，F分别在直线上，，过点A作的延长线交于点G，交于点N，平分，交于点H，交于点M． (1)直接写出之间的关系：　 　． (2)若，求． (3)如图2，在（2）的条件下，将绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时t的值． ( 题型0 6 ) 动态问题之动点 38．（2023·24七年级下·山西·期末）如图是某小区车库门口的曲臂直杆道闸模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（　　） A． B． C． D． 39．（2023·24七年级下·广东河源·期末）已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 40．（2023·24七年级下·河南南阳·期末）如图，已知．点P是射线上一动点（与点A不重合），， 的角平分线分别交射线于点C，D． (1)①的度数是______； ②∵，∴______； (2)求的度数； (3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系；若变化，请写出变化规律． (4)当点P运动到使时，的度数是______． 41．（2023·24七年级下·浙江绍兴·期末）如图1，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．      (1)求的度数． (2)点为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点在点的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由． ②在整个运动过程中，是否存在点，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 42．（2023·24七年级下·广东肇庆·期末）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），平分，平分，分别交射线于点，．    (1)求，的度数； (2)当点运动时，试判断与的度数有怎样的关系，并说明理由． 一、单选题 1．（2023·24七年级下·山东青岛·期末）如图，直线，于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 2．（2023·24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·24七年级下·贵州遵义·期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点，分别落在点，处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2023·24·七年级下 山东济南·期末）将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为 ． 5．（2023·24七年级下·天津滨海新·期末）已知． （1）如图1，当时，则的度数为 ； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为 ； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小 （用含α、β、γ的式子表示）． 6．（2023·24七年级下·福建泉州·期末）如图，，E，F分别为直线上两点，且，射线绕点E以/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以/秒的速度逆时针旋转至射线后立即返回，当与重合时，两条射线都停止运动．若射线先转动秒，射线才开始转动，在旋转过程中，当射线转动 秒时，． 7．（2023·24七年级下·浙江杭州·期末）如图，分别为直线上两点，且射线绕点以3度/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以12度/秒的速度逆时针旋转至射线后立即以8度/秒的速度顺时针返回．当与重合时，两条射线都停止运动，设旋转时间为（秒），当时，的值为 秒． 三、解答题 8．（2023·24七年级下·甘肃兰州·期末）探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 9．（2023·24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 10．（2023·24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 11．（2023·24七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 12．（2023·24七年级下·陕西西安·期末）问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求． （1）按照小明的思路，求度数； 问题迁移： （2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由． 13．（2023·24七年级下·安徽芜湖·期末）如图，已知直线，且分别交，于A，B两点，点P在上，分别交，于C，D两点，连接，． (1)试写出，，之间的关系，并说明理由； (2)如果当点P在A，B两点之间运动时，问：，，之间的关系是否发生变化？ (3)如果点P在A，B两点的外侧运动时，试探究，，之间的关系（点P和A，B不重合）． 14．（2023·24七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 15．（2023·24七年级下·内蒙古包头·期末）已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行线模型与动态问题 题型概览 题型01铅笔模型 题型02猪蹄模型 题型03鸡翅模型和骨折模型 题型04动态问题之翻折 题型05动态问题之旋转 题型06动态问题之动点 ( 题型01 )铅笔模型 1．（2023·24七年级下·湖北恩施·期末）如图，直线，于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作直线． ，， ． ， ． ． 故选：B． 2．（2023·24七年级下·江苏泰州·期末）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中，测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点C作， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．（2023·24七年级下·吉林通化·期末）如图是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C度数为（　　）      A．120° B．100° C．140° D．90° 【答案】B 【详解】解：过点C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠B+∠1=180°，∠D+∠2=180°； 故∠B+∠1+∠D+∠2=360°， 即∠B+∠BCD+∠D=360°， 故∠BCD=360°﹣140°﹣120°=100°． 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质，关键是作出辅助线，运用平行线的性质探求三个角的关系． 4．（2023·24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过顶点作直线支撑平台，直线将分成两个角和， ∵工作篮底部与支撑平台平行， ∴直线支撑平台工作篮底部， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2023·24六年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图，分别过点、作直线，， ， ，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ，，，（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补） ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 6．（2023·24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，直线，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图，作直线，    ∵，， ∴， ． ， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行公理的应用，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键． 7．（2023·24七年级·江苏常州·期末）如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CDAE，则∠ABC+∠BCD＝ 度； 【答案】270 【详解】解：过点B作BFAE， ∵CDAE， ∴CDBFAE， ∴∠BCD+∠CBF=180°，∠ABF+∠BAE=180°， ∴∠BAE+∠ABF+∠CBF+∠BCD=360°， 即∠BAE+∠ABC+∠BCD=360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE=90°， ∴∠ABC+∠BCD=270°． 故答案为：270． 【点睛】本题考查了平行线的性质．作出辅助线是解此题的关键． 8．（2023·24七年级下·山西·期末）如图，若直线，，，则的度数为 ． 【答案】/150度 【详解】如图所示，点在直线上，点、在直线上，点在、之间，为， 直线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质与判定定理是解本题的关键． ( 题型0 2 )猪蹄模型 9．（2023·24七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】D 【详解】解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S． ∵AB∥CD， ∴∠KSM＝∠CNP＝30°． ∵∠EFA＝∠KFG＝25°，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°， ∠SMH＝180°﹣∠HMN＝155°， ∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF ＝25°+90° ＝115°． ∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°， ∴∠GHM＝360°﹣115°﹣155°﹣30° ＝60°． 故选：D． 【点睛】本题考查了邻补角、平行线的性质、三角形的外角与内角的关系及多边形的内角和定理等知识点．利用平行线、延长线把分散的角集中在四边形中是解决本题的关键． 10．（2023·24七年级下·上海·期末）如图，若，用含、、的式子表示x，应为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过C作，过M作，    ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 11．（2023·24七年级下·全国·期末）如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 12．（2023·24七年级下·四川自贡·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．，，则的度数是 ． 【答案】/50度 【详解】∵，， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 13．（2023·24七年级下·四川雅安·期末）如图，，平分，平分，若，则的度数= ． 【答案】40度/ 【详解】过点B作，过点C作， ∵， ∴， ∴，，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等，确定各角之间的数量关系是解题的关键． 14．（2023·24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是 ． 【答案】/度 【详解】解：设交于点，过作，如图： 设，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ，，， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（2023·24七年级下·广东云浮·期末）（1）如图①，已知，探究与有怎样的位置关系； （2）如图②，已知，试猜想之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，已知，试猜想之间的数量关系，请直接写出这种关系，不用说明理由．    【答案】（1）；（2）．理由见解析（3） 【详解】解：（1）过点E作 （F在E点右侧）． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以．    （2）． 理由：过点C作（D在C点右侧）， 所以． 因为， 所以． 所以． 因为， 所以．    （3）如图，过拐点分别作的平行线，    由（1）（2）可得：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等． ( 题型0 3 )鸡翅模型和骨折模型 16．（2023·24七年级下·江苏镇江·期末）如图，AB//CD，∠E =38°，∠C=20°，则∠EAB的度数为 . 【答案】58° 【详解】 ∵∠E =38°，∠C=20°， ∴∠DFE=38°+20°=58° ∵AB//CD， ∴∠EAB＝∠DFE=58° 故答案为：58° 17．（2023·24七年级下·辽宁抚顺·期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图，，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，延长交于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理以及平行线的性质是解题的关键． 18．（2023·24七年级下·江苏南通·期末）如图，，EMNF是直线AB、CD间的一条折线，若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为 【答案】50°/50度 【详解】 解：如图分别过点M，点N做直线AB的平行线OM、NP， ∵AB∥OM， ∴∠1=∠OME 又∵∠OMN=∠2－∠OME ∴∠OMN =∠2-∠1=60°－40°=20° ∵OM∥PN ∴∠MNP=∠OMN 又∵∠PNF=∠3-∠MNP ∴∠PNF = ∠3-∠OMN=70°－20°=50° ∵PN∥AB∥CD ∴∠4=∠PNF=50° 故答案为50° 【点睛】本题考查了两直线平行内错角相等的应用，添加适当的辅助线是解题的关键． 19．（2023·24七年级下·河北邯郸·期末）如图，若，则、、之间关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键． 20．（2023·24七年级下·浙江宁波·期末）如图，当光线从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为，如图，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为，，在水中两条折射光线的夹角为，则，，三者之间的数量关系为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过，，分别作水平线的垂线，如图所示：   ， ， 由题可得，，， ，， ，即， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 21．（2023·24七年级下·湖北武汉·期末）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为    A．30° B．35° C．36° D．45° 【答案】C 【详解】解：如图延长FB交CD于G    ∵BF∥ED ∴∠F=∠EDF 又∵DF 平分∠CDE， ∴∠CDE=2∠F， ∵BF∥ED ∴∠CGF=∠EDC=2∠F， ∵AB∥CD ∴∠ABF=∠CGF=2∠F， ∵BF平分∠ABE ∴∠ABE=2∠ABF=4∠F， 又∵∠F 与∠ABE 互补 ∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36° 故答案选C. 【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键. 22．（2023·24七年级下·山东济南·期末）如图，已知，P为直线，外一点，平分，平分，的反向延长线交于点E，若，用表示的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长交于点G，延长交于点H，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系是关键． 23．（2023·24七年级下·湖南株洲·期末）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C=360°， 故①正确； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为3， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． ( 题型0 4 )动态问题之翻折 24．（2023·24七年级下·福建龙岩·期末）生活中，将纸带沿着翻折得到如图所示的图形．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵纸带沿着EN翻折得到如图所示的图形， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键． 25．（2023·24七年级下·山东济南·期末）如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ， ； B．由翻折可知：， ， ， ，故B选项不符合题意； C．由翻折可知：， ， ， ， ，故C选项不符合题意； ， ， ， 不平行，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 26．（2023·24七年级下·安徽滁州·期末）如图1，将一条对边互相平行的纸条进行两次折叠，第一次折叠的折痕为，且，第二次折叠的折痕为，如图2，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系． 27．（2023·24七年级下·四川成都·期末）如图所示，将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点处，折痕为，若，那么的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴， 故答案为：． 28．（2023·24七年级下·广西南宁·期末）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与对应，若，则的度数为 ． 【答案】/108度 【详解】解：由翻折的性质可知：， ∵， ， ∵， ∴设，则， ， ， ， ， 故答案为：． 29．（2023·24七年级下·安徽黄山·期末）折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质．如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿直线折叠成图3，则图3中 ．    【答案】/105度 【详解】解：∵如图，， ∴由折叠的性质， ∵如图，， ∴， ∴， ∵如图，由折叠的性质可知 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为.    【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，对顶角相等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 30．（2023·24七年级下·福建宁德·期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ．    【答案】77 【详解】解：如图：    ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵彩带两边平行， ∴， ∵折叠，彩带两边平行， ∴， ∴， ∴． 故答案为：77． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． ( 题型0 5 ) 动态问题之旋转 31．（2023·24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（  ）度    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转角以及平行线的判定定理的运用，掌握平行线的判定方法是关键． 32．（2023·24七年级下·山东德州·期末）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯，，现激光绕点 P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当∥时，t的值为 ． 【答案】12或48或84 【详解】解：设旋转时间为t秒后，， 如图1， ∴， ， 解得：． 如图2， 由图得： 解得： 如图3， ∴ 解得： 如图4， ∴ 解得：(舍去） 综上所述：12或48或84 故答案为：12或48或84． 33．（2023·24七年级下·河北承德·期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．    【答案】 60 45或105 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵灯的光线先转动45秒，灯的光线才开始转动， ∴此时， 设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行， ①当射线未过线段时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ②射线过线段且未到达射线时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：      ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； ③射线到达后回转，两灯的光线互相平行，则，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； ∴综上所述：灯的光线转动45秒或105秒时，两灯的光线互相平行； 故答案为：60；45或105． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质及一元一次方程的应用是解题的关键． 34．（2023·24七年级下·安徽六安·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．    【答案】或 【详解】当时， ∵， ∴， ∵， ； 当时， ∵， ； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板中的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 35．（2023·24七年级下·四川南充·期末）有一副直角三角板按照如图放置，，保持三角板固定不动，此时，，将三角板绕着C点顺时针方向旋转，使与三角板一直角边平行，求此时的度数．    【答案】或 【详解】解：①当时，如图，   ， ， ②当时，如图，    同理可得：， 的度数或． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．注意不要缺少情况． 36．（2023·24七年级下·山东青岛·期末）如图，，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；同时，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，为平角？ (2)当t为何值时，平分？ (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使将分成的两个角的度数之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或； (4)存在，或． 【详解】（1）根据题意可知，. 当为平角时，， 即， 解得． 答：时为平角； （2）根据题意可知，. 当OC平分时，， 即， 解得． 答：时OC平分； （3）根据题意可知，. 第一种：，， 第二种：，． 答：存在，或时，OB将分成的两个角的度数之比为； （4）根据题意可知，，. 当时，， 解得； 当时，， 解得． 答：存在，或时，． 【点睛】本题主要考查了平角，角平分线，垂直，角的和差等，弄清各角之间的数量关系列出方程是解题的关键，注意分情况讨论，不能丢解． 37．（2023·24七年级下·江苏无锡·期末）如图1，，点E，F分别在直线上，，过点A作的延长线交于点G，交于点N，平分，交于点H，交于点M． (1)直接写出之间的关系：　 　． (2)若，求． (3)如图2，在（2）的条件下，将绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ， 是的外角， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①当时，延长交边于，如图， ， ， ， ， ， 当绕点旋转时，， （秒） ②当时，如图， ，， ， ， 当绕点旋转时，， （秒）， ③当时，即与在同一直线上时， 当绕点旋转时，， （秒）， ④当时， ，， 当旋转时，， （秒） ⑤当时， ， ， 当旋转时，， （秒）， 综上所述，当的其中一边与的某一边平行时t的值为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键． ( 题型0 6 ) 动态问题之动点 38．（2023·24七年级下·山西·期末）如图是某小区车库门口的曲臂直杆道闸模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：D． 39．（2023·24七年级下·广东河源·期末）已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点在直线上方时，；当点在直线下方时， 【详解】（1）解：，理由如下； 如图1，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解； ①当点在点上方，如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②当点在点下方，如图3，作， 同理①，∴，， ∴，即； 综上所述，或． 40．（2023·24七年级下·河南南阳·期末）如图，已知．点P是射线上一动点（与点A不重合），， 的角平分线分别交射线于点C，D． (1)①的度数是______； ②∵，∴______； (2)求的度数； (3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系；若变化，请写出变化规律． (4)当点P运动到使时，的度数是______． 【答案】(1)①；② (2) (3)，理由见解析 (4) 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， 当时，则有， ∴， ∴， 由（2）， ∴， ∴， 故答案为：． 41．（2023·24七年级下·浙江绍兴·期末）如图1，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．      (1)求的度数． (2)点为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点在点的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由． ②在整个运动过程中，是否存在点，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②存在，或 【详解】（1）解： ， ， ， ． ．                        ， ． ．     ．                          （2）①．                                                               理由如下： ， ． ， ． ． ．                                                     ②存在点，使得． 下分两种情况： Ⅰ．如图，当点在点的左侧时． ， ． ， ． ， ， ．                          Ⅱ．如图，当点在点的右侧时． ， ． ， ． ， ， ．                            【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 42．（2023·24七年级下·广东肇庆·期末）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），平分，平分，分别交射线于点，．    (1)求，的度数； (2)当点运动时，试判断与的度数有怎样的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，见解析 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）与之间数量关系是：． 理由：， ，， 平分， ， ． 【点睛】此题考查了平行线的性质、角平分线的相关计算等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 一、单选题 1．（2023·24七年级下·山东青岛·期末）如图，直线，于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 2．（2023·24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 3．（2023·24七年级下·贵州遵义·期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点，分别落在点，处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得， ∴， 解得． 故选B． 二、填空题 4．（2023·24·七年级下 山东济南·期末）将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 5．（2023·24七年级下·天津滨海新·期末）已知． （1）如图1，当时，则的度数为 ； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为 ； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小 （用含α、β、γ的式子表示）． 【答案】 【详解】解：（1）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：． （3）如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，，， ； 故答案为：． 6．（2023·24七年级下·福建泉州·期末）如图，，E，F分别为直线上两点，且，射线绕点E以/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以/秒的速度逆时针旋转至射线后立即返回，当与重合时，两条射线都停止运动．若射线先转动秒，射线才开始转动，在旋转过程中，当射线转动 秒时，． 【答案】或20 【详解】解：∵， ∴， 设当射线转动时，，则： ①当未到达时，，， ∴，解得：； ②当从返回时，则：，， ∴， 解得：； 故答案为：或20． 7．（2023·24七年级下·浙江杭州·期末）如图，分别为直线上两点，且射线绕点以3度/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以12度/秒的速度逆时针旋转至射线后立即以8度/秒的速度顺时针返回．当与重合时，两条射线都停止运动，设旋转时间为（秒），当时，的值为 秒． 【答案】12或24 【详解】解：由题意，得：与重合所需时间为，旋转至射线所需时间为：；， ∵， ∴， 当时，如图， ∵， ∴，即：， 解得：； 当时，如图： 同理：，即：， 解得：； 综上：或； 故答案为：12或24． 三、解答题 8．（2023·24七年级下·甘肃兰州·期末）探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【答案】(1)理由见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）解：能，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． （2）解：，证明如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 9．（2023·24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【详解】（1）解：， 理由如下：过点作，如图，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， 解得． 10．（2023·24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∴； （3）解：设交于O，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 11．（2023·24七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 【答案】任务一：A，B，C；任务二：见解析 【详解】解：任务一：如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∵, ∴， 故选项A正确； ∵ ∴， 故选项B正确； ∵ ∴， 故选项C正确； D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误； E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误； 所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C； 故答案为：A，B，C； 任务二：∵ ∴ 由折叠得， ∴ 又 ∴ 由折叠得， ∴， ∴， ∴． 12．（2023·24七年级下·陕西西安·期末）问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求． （1）按照小明的思路，求度数； 问题迁移： （2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当在延长线时，；当在延长线时，，理由见解析 【详解】解：（1）过点作，如图所示， ， ， ，， ，， ，， ； （2）， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 13．（2023·24七年级下·安徽芜湖·期末）如图，已知直线，且分别交，于A，B两点，点P在上，分别交，于C，D两点，连接，． (1)试写出，，之间的关系，并说明理由； (2)如果当点P在A，B两点之间运动时，问：，，之间的关系是否发生变化？ (3)如果点P在A，B两点的外侧运动时，试探究，，之间的关系（点P和A，B不重合）． 【答案】(1)；见解析 (2)，，之间的关系不发生变化，证明见解析 (3)如果点P在A，B（点P和A，B不重合）两点的外侧运动时，，，之间的关系是或 【详解】（1）解：如图1，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即； （2）解：，，之间的关系不发生变化， 仍是； 作，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∴，即； （3）解：当P点在A的外侧时，如图2，过P作，交于F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当P点在B的外侧时，如图3，过P作，交于G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴如果点P在A，B（点P和A，B不重合）两点的外侧运动时，，，之间的关系是或． 14．（2023·24七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①7.5；②或30 【详解】（1）解：如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：①如图， ， ， ， ， ， ， 在旋转过程中，若边，t的值为； ②如图，当时，延长交于R， ， ， ，， ， ， ； 如图，当时，延长交于R， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，满足条件的t的值为或30． 15．（2023·24七年级下·内蒙古包头·期末）已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)详见解析 【详解】（1）解：如图1，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，，理由是： 由（1）知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∴， 同理得， ∴，即， ∴； （3）如图3，∵， ∴， 由（2）得：， 中，，， ∴， ∴． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$