专题02 相交线与平行线（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（北师大版2024）

专题02 相交线与平行线 题型概览 题型01与余角、补角有关的计算 题型02垂线 题型03对顶角、邻补角的相关计算 题型04同位角、内错角、同旁内角 题型05平行公理 题型06利用平行线的性质求角 题型07平行线的性质与判定的综合 题型08尺规作图 ( 题型01 )与余角、补角有关的计算 1．（2023·24七年级下·西藏拉萨·期末）已知，则的余角是 度，∠α的补角是 ． 2．（2023·24七年级下·江西景德镇·期末）已知，互补，那么与之间的关系是（   ） A．和为 B．差为 C．互余 D．差为 3．（2023·24七年级下·福建福州·期末）一个角的补角比它的余角的3倍还多，则这个角是 ． 4．（2023·24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，若， ． 5．（2023·24七年级下·湖北襄阳·期末）社会热点情境·野生动物保护  天气转暖，每年的二、三月，一大批国家二级保护动物白天鹅从三门峡天鹅湖国家城市湿地公园北迁，天鹅迁徙时常排成人字形，这个人字形的一边与其飞行方向夹角是，从空气动力学角度看，这个角度对于白天鹅队伍飞行最佳，所受阻力最小，则的补角是 ． 6．（2023·24七年级下·福建莆田·期末）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大，求这个角的度数． 7．（2023·24七年级下·江苏盐城·期末）如图，点A、O、B在同一直线上，是的平分线，，且． (1)试求的度数； (2)直接写出图中的补角． 8．（2023·24七年级下·湖北襄阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，， ，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． ( 题型0 2 )垂线 9．（2023·24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，直线相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2023·24七年级下·江苏徐州·期末）体育课上，立定跳远时，老师丈量小明的成绩时，找到小明踏在沙坑上的离起跳线最近的脚印后跟向起跳线拉垂线段，读出小明的跳远成绩是2.25米，老师这样做的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 11．（2023·24七年级下·福建厦门·期末）下列图形是直角三角板与直线的组合，则线段的长表示点到直线的距离的是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·24七年级下·湖南怀化·期末）如图，已知直线、都经过O点，为射线，若，，则与的位置关系是 ． 13．（2023·24七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，，，，若点D在线段上运动，则线段的最短距离是 ． ( 题型0 3 )对顶角、邻补角的相关计算 14．（2023·24七年级下·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2023·24七年级下·江苏扬州·期末）如图，将长方形纸条折叠，若，则（ ）° A．60 B．70 C．80 D．100 16．（2023·24七年级下·湖南娄底·期末）如图，点在直线上，，则的度数是 ． 17．（2023·24七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线相交于点O，则 ．    18．（2023·24七年级下·江苏扬州·期末）如图，两直线交于点O，若，则的度数为 ． 19．（2023·24七年级下·江苏盐城·期末）已知直线和相交于O点，，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 20．（2023·24七年级下·重庆巴南·期末）如图，直线与相交于点，平分，且，射线在内部． (1)求的度数； (2)若，求的度数． ( 题型0 4 )同位角、内错角、同旁内角 21．（2023·24七年级下·河南南阳·期末）下列图形中，和不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 22．（2023·24七年级下·江苏无锡·期末）如图，直线a、b被直线c所截，则、的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 23．（2023·24七年级下·吉林长春·期末）如图，直线，被直线所截，则形成的角中与互为内错角的是（    ）    A． B． C． D． 24．（2023·24七年级下·湖南湘西·期末）如图，若，则的同位角= ，的内错角= ，的同旁内角= ． ( 题型0 5 )平行公理 25．（2023·24七年级下·湖北·期末）小明与小刚在讨论数学问题时，有如下对话： 小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行． 小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直． 对于两个人的说法，正确的是（        ） A．小明对 B．小刚对 C．两人均对 D．两人均不对 26．（2023·24七年级下·福建泉州·期末）在同一平面内，若，则b与c的关系为（    ） A．平行或重合 B．平行或垂直 C．垂直 D．相交 27．（2023·24七年级下·广西贵港·期末）下列说法中正确的个数为（    ） ①同一平面内不相交的两条直线互相平行；②经过一点能作一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（2023·24七年级下·安徽六安·期末）如图，是一个可折叠衣架，AB是地平线，当时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 29．（2023·24七年级下·黑龙江绥化·期末）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相 ． ( 题型0 6 )平行线的判定与性质 30．（2023·24七年级下·山东淄博·期末）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（2023·24七年级下·广西河池·期末）如图，已知直线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 32．（2023·24七年级下·福建泉州·期末）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（  ） A． B． C． D． 33．（2023·24七年级下·山西阳泉·期末）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 34．（2023·24七年级下·广西河池·期末）如图，已知直线，点E是线段上的动点，若，，则 度． 35．（2023·24七年级下·山西长治·期末）如图，，，为射线的延长线上的一点，连接，若，，则的度数为 ． 36．（2023·24七年级下·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 37．（2023·24七年级下·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． ( 题型0 7 )平行线的性质与判定的综合 38．（2023·24七年级下·吉林长春·期末）如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度． 39．（2023·24七年级下·山西长治·期末）一种路灯的示意图如图所示，灯杆与底部支架所成的．顶部支架与灯杆所成的，若底部支架与吊线平行，则等于（   ） A． B． C． D． 40．（2023·24七年级下·河北张家口·期末）如图，，直线与、分别相交于E、F两点，平分，过点F作，若，则等于（     ） A． B． C． D． 41．（2023·24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为 ． 42．（2023·24七年级下·陕西汉中·期末）已知，平分交的延长线于点，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的数． 43．（2023·24七年级下·陕西咸阳·期末）已知：如图，与相交于点F，点D在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 44．（2023·24七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． ( 题型0 8 )尺规作图 45．（2023·24七年级下·北京东城·期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 46．（2023·24七年级下·河北石家庄·期末）已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 47．（2023·24七年级下·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：，点为的边上一点． 求作：直线，使． 48．（2023·24七年级下·山东青岛·期末）已知：，点为的边上一点． 求作：直线，使． 49．（2023·24七年级下·湖北襄阳·期末）按要求完成下列作图： (1)如图1，在一条笔直的公路两侧，分别有A，B两个村庄，要在公路l旁建一公交站P，使点P到A，B两个村庄距离之和最短，在图中标出P点的位置，并说明理由； (2)如图（2），①画线段；②画；③找一点E，使E既在直线上，又在直线上． (3)在上图2的基础上，用圆规和直尺作线段，使它等于． 50．（2023·24七年级下·安徽合肥·期末）尺规作图：已知：如图（1），，如图（2），，请在图（2）中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹）． 51．（2023·24七年级下·安徽安庆·期末）已知：线段a，b，，．    求作：（1）线段；（2）．（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 一、单选题 1．（2023·24六年级下·山东淄博·期末）如图，点O是直线上一点，且平分，，．若平分，则图中与互补的角有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·24七年级下·贵州毕节·期末）一把直尺按如图所示摆放，，且，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 3．（2023·24七年级下·浙江·期末）如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论： ①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（2023·24七年级下·福建福州·期末）如图，在四边形中，，平分，，，点在直线上，满足． 若，则的值是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（2023·24七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线，直线与直线a相交于点P，与直线b相交于点Q，于点P，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·24七年级下·浙江温州·期末）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．（2023·24七年级下·江苏盐城·期末）一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当 °时，． 8．（2023·24七年级下·湖北恩施·期末）如图，若，，且，，，则 ． 9．（2023·24七年级下·浙江宁波·期末）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，若则的度数为 ． 10．（2023·24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动．若射线先转动秒，射线才开始转动，则射线转动 秒后，与平行． 11．（2023·24七年级下·河南新乡·期末）已知直线，为两直线间一定点，，若点为平面内一动点，且满足，连接，，则的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为 ． 三、解答题 12．（2023·24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知平分，且的余角比小． (1)求的度数； (2)在所在平面内，作射线，使得，求的度数． 13．（2023·24七年级下·浙江杭州·期末）如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线，交于点N； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)点C到直线的距离是线段 的长度． (4)比较大小： （填“＞”、“＜”“＝”）． 14．（2023·24七年级下·广东潮州·期末）如图，平分，平分．若． (1)求出的度数； (2)判断与是否互补，并说明理由． 15．（2023·24七年级下·江苏宿迁·期末）如图，，，是正方形网格中的格点（网格线的交点称为格点） (1)画直线、射线、线段； (2)过点画的平行线； (3)画出表示点到直线的距离的线段； (4)与的位置关系是 ； (5)线段与之间的大小关系是 ．（填“”“”或“”） 16．（2023·24七年级下·河南开封·期末）如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 17．（2023·24七年级下·云南红河·期末）如图，点为直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若，请判断是否平分，并说明理由． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相交线与平行线 题型概览 题型01与余角、补角有关的计算 题型02垂线 题型03对顶角、邻补角的相关计算 题型04同位角、内错角、同旁内角 题型05平行公理 题型06利用平行线的性质求角 题型07平行线的性质与判定的综合 题型08尺规作图 ( 题型01 )与余角、补角有关的计算 1．（2023·24七年级下·西藏拉萨·期末）已知，则的余角是 度，∠α的补角是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴的余角 ，的补角， 故答案为：，． 2．（2023·24七年级下·江西景德镇·期末）已知，互补，那么与之间的关系是（   ） A．和为 B．差为 C．互余 D．差为 【答案】C 【详解】解： ，互补， 与互余， 故选：C． 3．（2023·24七年级下·福建福州·期末）一个角的补角比它的余角的3倍还多，则这个角是 ． 【答案】/55度 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 4．（2023·24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，若， ． 【答案】/32度 【详解】∵， ∴与互为余角， ∵， ∴与互为余角， ∴根据同角的余角相等，得， 故答案为：． 5．（2023·24七年级下·湖北襄阳·期末）社会热点情境·野生动物保护  天气转暖，每年的二、三月，一大批国家二级保护动物白天鹅从三门峡天鹅湖国家城市湿地公园北迁，天鹅迁徙时常排成人字形，这个人字形的一边与其飞行方向夹角是，从空气动力学角度看，这个角度对于白天鹅队伍飞行最佳，所受阻力最小，则的补角是 ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 6．（2023·24七年级下·福建莆田·期末）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大，求这个角的度数． 【答案】 【详解】解：设这个角的度数为，则根据题意可得： ， 解得：， 这个角的度数为． 7．（2023·24七年级下·江苏盐城·期末）如图，点A、O、B在同一直线上，是的平分线，，且． (1)试求的度数； (2)直接写出图中的补角． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由题意得：由（1）可知：，， ∴， ∴与互补的角有； 8．（2023·24七年级下·湖北襄阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，， ，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：当点在上方时， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分，由（1）知， ∴， ∴． 当点在下方时， ∵与互余， ∴， ∵平分，由（1）知， ∴，则， ∴． 即：的度数为或． ( 题型0 2 )垂线 9．（2023·24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，直线相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 10．（2023·24七年级下·江苏徐州·期末）体育课上，立定跳远时，老师丈量小明的成绩时，找到小明踏在沙坑上的离起跳线最近的脚印后跟向起跳线拉垂线段，读出小明的跳远成绩是2.25米，老师这样做的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 【答案】A 【详解】解：立定跳远时，老师丈量小明的成绩时，找到小明踏在沙坑上的离起跳线最近的脚印后跟向起跳线拉垂线段，读出小明的跳远成绩是2.25米，老师这样做的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 11．（2023·24七年级下·福建厦门·期末）下列图形是直角三角板与直线的组合，则线段的长表示点到直线的距离的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：线段的长表示点到直线的距离的是选项A中的图形． 故选：A． 12．（2023·24七年级下·湖南怀化·期末）如图，已知直线、都经过O点，为射线，若，，则与的位置关系是 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 即， 故答案为：． 13．（2023·24七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，，，，若点D在线段上运动，则线段的最短距离是 ． 【答案】 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段的值最小， 则此时，即， 解得， 所以线段的最短距离是， 故答案为：． ( 题型0 3 )对顶角、邻补角的相关计算 14．（2023·24七年级下·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】， 即， ． 又， ． ， 即与互为补角， 所以与互补的角有：共3个． 故选C． 15．（2023·24七年级下·江苏扬州·期末）如图，将长方形纸条折叠，若，则（ ）° A．60 B．70 C．80 D．100 【答案】C 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 16．（2023·24七年级下·湖南娄底·期末）如图，点在直线上，，则的度数是 ． 【答案】 【详解】依题意， 故答案为：． 17．（2023·24七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线相交于点O，则 ．    【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．（2023·24七年级下·江苏扬州·期末）如图，两直线交于点O，若，则的度数为 ． 【答案】/140度 【详解】解：由对顶角相等得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（2023·24七年级下·江苏盐城·期末）已知直线和相交于O点，，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为 【详解】（1）解：∵与是对顶角，， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴的度数为． 20．（2023·24七年级下·重庆巴南·期末）如图，直线与相交于点，平分，且，射线在内部． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴ 即的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴． ( 题型0 4 )同位角、内错角、同旁内角 21．（2023·24七年级下·河南南阳·期末）下列图形中，和不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不合题意； B、和是同位角，故此选项不合题意； C、和不是同位角，故此选项符合题意； D、和是同位角，故此选项不合题意； 故选：C． 22．（2023·24七年级下·江苏无锡·期末）如图，直线a、b被直线c所截，则、的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】D 【详解】解：、的位置关系是同旁内角． 故选：D． 23．（2023·24七年级下·吉林长春·期末）如图，直线，被直线所截，则形成的角中与互为内错角的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：与互为内错角的是． 故选：C． 24．（2023·24七年级下·湖南湘西·期末）如图，若，则的同位角= ，的内错角= ，的同旁内角= ． 【答案】 /78度 /78度 /102度 【详解】解：如图， ∵， ∴的同位角，的内错角，的同旁内角； 故答案为：，， 【点睛】本题考查了同位角，内错角和同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截，构成八个角（简称“三线八角”），其中同位角4对，内错角2对，同旁内角2对．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角，同时考查了邻补角与对顶角． ( 题型0 5 )平行公理 25．（2023·24七年级下·湖北·期末）小明与小刚在讨论数学问题时，有如下对话： 小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行． 小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直． 对于两个人的说法，正确的是（        ） A．小明对 B．小刚对 C．两人均对 D．两人均不对 【答案】B 【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴小明错，小刚对， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行公理，垂线的基本性质，熟练掌握基础知识点是解题的关键． 26．（2023·24七年级下·福建泉州·期末）在同一平面内，若，则b与c的关系为（    ） A．平行或重合 B．平行或垂直 C．垂直 D．相交 【答案】A 【详解】解：若，则或b，c重合； 故选：A． 27．（2023·24七年级下·广西贵港·期末）下列说法中正确的个数为（    ） ①同一平面内不相交的两条直线互相平行；②经过一点能作一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①同一平面内不相交的两条直线互相平行，所以①正确； ②经过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，所以②错误； ③平行于同一条直线的两条直线平行，所以③正确； ④同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直，所以④正确． 故选：C． 28．（2023·24七年级下·安徽六安·期末）如图，是一个可折叠衣架，AB是地平线，当时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【详解】解：依题意，当时，； 当时，，就可以确定点，，在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）． 故选：D． 29．（2023·24七年级下·黑龙江绥化·期末）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相 ． 【答案】平行 【详解】解：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 故答案为：平行 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． ( 题型0 6 )平行线的判定与性质 30．（2023·24七年级下·山东淄博·期末）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 31．（2023·24七年级下·广西河池·期末）如图，已知直线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 32．（2023·24七年级下·福建泉州·期末）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：A． 33．（2023·24七年级下·山西阳泉·期末）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴； ∴， ∴， ∴； 故选：D． 34．（2023·24七年级下·广西河池·期末）如图，已知直线，点E是线段上的动点，若，，则 度． 【答案】45 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：45． 35．（2023·24七年级下·山西长治·期末）如图，，，为射线的延长线上的一点，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】/105度 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 36．（2023·24七年级下·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 【答案】/66度 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 37．（2023·24七年级下·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 【答案】/72度 【详解】解：， ， 由题意知，， ， ， ， ， 故答案为：． ( 题型0 7 )平行线的性质与判定的综合 38．（2023·24七年级下·吉林长春·期末）如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度． 【答案】 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 39．（2023·24七年级下·山西长治·期末）一种路灯的示意图如图所示，灯杆与底部支架所成的．顶部支架与灯杆所成的，若底部支架与吊线平行，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过E作， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 40．（2023·24七年级下·河北张家口·期末）如图，，直线与、分别相交于E、F两点，平分，过点F作，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，过点P作 ∵，平分， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 故选：C． 41．（2023·24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：过点作， ， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 42．（2023·24七年级下·陕西汉中·期末）已知，平分交的延长线于点，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解；∵， ∴可设， ∵， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 43．（2023·24七年级下·陕西咸阳·期末）已知：如图，与相交于点F，点D在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 44．（2023·24七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ． 由（1）可得：，， ，， ． ( 题型0 8 )尺规作图 45．（2023·24七年级下·北京东城·期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是． 故选：B． 46．（2023·24七年级下·河北石家庄·期末）已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 【答案】见解析 【详解】解：如图，为所求． 47．（2023·24七年级下·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：，点为的边上一点． 求作：直线，使． 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧分别交于F、E，再以P为圆心，以的长为半径画弧交于D，接着以D为圆心，以的长为半径画弧交圆P于C，作直线，则直线即为所求． 48．（2023·24七年级下·山东青岛·期末）已知：，点为的边上一点． 求作：直线，使． 【答案】见解析 【详解】解：如图，直线即为所求． 49．（2023·24七年级下·湖北襄阳·期末）按要求完成下列作图： (1)如图1，在一条笔直的公路两侧，分别有A，B两个村庄，要在公路l旁建一公交站P，使点P到A，B两个村庄距离之和最短，在图中标出P点的位置，并说明理由； (2)如图（2），①画线段；②画；③找一点E，使E既在直线上，又在直线上． (3)在上图2的基础上，用圆规和直尺作线段，使它等于． 【答案】(1)图见解析，理由：两点之间，线段最短； (2)图见解析 (3)图见解析 【详解】（1）解：如图，点P即为所求． 理由：两点之间，线段最短； （2）解：如图所示，即为所求的线段；即为所求的角；点E即为所求的点． （3）解：先作射线，以点M为圆心为半径画弧，交于点F，以点F为圆心为半径画弧，交于点G，以点G为圆心为半径画弧，交于点H，以点H为圆心为半径画弧，交于点N，则即为所求作的线段． 50．（2023·24七年级下·安徽合肥·期末）尺规作图：已知：如图（1），，如图（2），，请在图（2）中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，即为所求， 51．（2023·24七年级下·安徽安庆·期末）已知：线段a，b，，．    求作：（1）线段；（2）．（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见详解 【详解】（1）如图所示，    线段即为所求； （2）如图所示，，   即为所求． 【点睛】本题主要考查了利用尺规作一个角等于已知角的方法以及利用尺规作角的和差，掌握尺规作图法是解题的关键． 一、单选题 1．（2023·24六年级下·山东淄博·期末）如图，点O是直线上一点，且平分，，．若平分，则图中与互补的角有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：根据题意可得：， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴图中与互补的角有、、，共3个． 故选：C． 2．（2023·24七年级下·贵州毕节·期末）一把直尺按如图所示摆放，，且，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图：    由题意得：， 故选：A． 3．（2023·24七年级下·浙江·期末）如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论： ①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】①平分， ， ， ， 而， ， 即 ， 因此①正确； ②， ， ， ， ，因此②正确； ③平分， ， 只有当 时, ， 而与是否垂直不确定，因此③不正确； ④∵平分平分， ，， ， 即 ，因此④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故选: B． 4．（2023·24七年级下·福建福州·期末）如图，在四边形中，，平分，，，点在直线上，满足． 若，则的值是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：如图，当点H在点F的上方时，设， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点H在点F的下方时， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．（2023·24七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线，直线与直线a相交于点P，与直线b相交于点Q，于点P，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，∵，， ∴， ∵， ∴， 故选A． 6．（2023·24七年级下·浙江温州·期末）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由翻折的性质得：，， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换和性质，平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，利用图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系． 二、填空题 7．（2023·24七年级下·江苏盐城·期末）一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当 °时，． 【答案】或 【详解】解：由题意得，， 如图， 当时，可得； ②如图， 当时，可得， 则． 故答案为：或； 8．（2023·24七年级下·湖北恩施·期末）如图，若，，且，，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点E作，过点F作， ，， ， ， ，， ． ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 9．（2023·24七年级下·浙江宁波·期末）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，若则的度数为 ． 【答案】/40度 【详解】解：设， ∴， 由折叠可得：， 又∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 10．（2023·24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动．若射线先转动秒，射线才开始转动，则射线转动 秒后，与平行． 【答案】30或110 【详解】解：设转动后与交于点M，转动后与交于点N， 当时，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，射线转动30或110秒，两射线互相平行； 故答案为：30或110． 11．（2023·24七年级下·河南新乡·期末）已知直线，为两直线间一定点，，若点为平面内一动点，且满足，连接，，则的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为 ． 【答案】或 【详解】解：当点F在下方时， 过点F作，过点E作，如图1所示： 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当点F在上方时，过点E作，如图2所示： 设， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所示：的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为或， 故答案为：14°或37°． 三、解答题 12．（2023·24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知平分，且的余角比小． (1)求的度数； (2)在所在平面内，作射线，使得，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵平分， ∴设，则 由题意得： 解得： 答：的度数为． （2）由（1）得， 则 当射线在上方时， 当射线在下方时， 综上：的度数为或． 13．（2023·24七年级下·浙江杭州·期末）如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线，交于点N； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)点C到直线的距离是线段 的长度． (4)比较大小： （填“＞”、“＜”“＝”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【详解】（1）解：的平行线如图所示； （2）解：的垂线如图所示； （3）解：点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为：； （4）解：根据垂线段最短可知， 故答案为：． 14．（2023·24七年级下·广东潮州·期末）如图，平分，平分．若． (1)求出的度数； (2)判断与是否互补，并说明理由． 【答案】(1) (2)与互补．理由见解析 【详解】（1）解：∵平分．， ∴， ∵， ∴； （2）解：与互补．理由： ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， 故与互补． 15．（2023·24七年级下·江苏宿迁·期末）如图，，，是正方形网格中的格点（网格线的交点称为格点） (1)画直线、射线、线段； (2)过点画的平行线； (3)画出表示点到直线的距离的线段； (4)与的位置关系是 ； (5)线段与之间的大小关系是 ．（填“”“”或“”） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)互相垂直 (5) 【详解】（1）解：根据直线、射线和线段的含义，分别画直线、射线、线段如图所示； （2）解：过点画的平行线如图所示； （3）解：画出表示点到直线的距离的线段，即过点作的垂线段如图所示； （4）解：， ， 又， ， ， ， 即与的位置关系为互相垂直， 故答案为：互相垂直； （5）解：由垂线段的性质可知，垂线段最短， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段、平行线、垂线段的画法，垂线的定义，平行线的性质，垂线段的性质等知识点，熟练掌握上述各种线的性质是解题的关键． 16．（2023·24七年级下·河南开封·期末）如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)， (3)，理由见解析 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 的补角有； （2）∵平分，， ∴ ∴，， ∴， 又∵平分， ∴； （3）射线与互相垂直．理由如下： ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴， ∴． 即射线的位置关系是互相垂直． 17．（2023·24七年级下·云南红河·期末）如图，点为直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若，请判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，证明见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， 平分， ， ； （2）解：如图， ， ， ， ， ， 即平分． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$